TÍCH PHÂN FOURIER và BIẾN đổi FOURIER (TOÁN kỹ THUẬT SLIDE)

TỪ CHUỖI FOURIER ĐẾN TÍCH PHÂN FOURIER Như vậy, với một hàm tuần hòan fx chu kỳ 2L có chuỗi Khi cho , hàm fx trở thành hàm không tuần hòan.. Tích phân ấy bao gồm các thành phần với là mộ

DẪN NHẬPXét việc phân tích một hàm f(x) như sau:

dùng cho hàm tuần hòan?

DẪN NHẬP

Ở chương 1, chúng ta biết có một cách là mở rộng f(x) trở thành hàm tuần hòan với chu kỳ 2L

)()

2(

1 ,

0

11

,

1

1

,

0)

(

x f L

x f

L x

x

x

L x

DẪN NHẬP

Có nhiều cách để chọn L

Có gì khác nhau giữa các cách này?

DẪN NHẬP Trước khi phân tích sự khác nhau do việc chọn L, ta tính các

hệ số Fourier cho trường hợp tổng quát mở rộng f(x) thành

tuần hòan ở chu kỳ 2L

f(x) mở rộng như vậy là hàm chẵn nên:

L L L

  

      

DẪN NHẬPTrường hợp L = 2

DẪN NHẬPTrường hợp L = 4

DẪN NHẬPTrường hợp L = 8

0

14

DẪN NHẬP

DẪN NHẬPNhận xét:

Khi tăng L càng lớn thì biên độ của các thành phần xuất hiện với mật độ ngày càng dày hơn trên trục , ở đây

Với 2L = 4, 8, 16,…chúng ta lần lượt có 1, 3, 7 biên độ của các thành phần xuất hiện trong một “nửa sóng” của đồ thị hàm số

TỪ CHUỖI FOURIER ĐẾN TÍCH

PHÂN FOURIER Như vậy, với một hàm tuần hòan f(x) chu kỳ 2L có chuỗi

Khi cho , hàm f(x) trở thành hàm không tuần hòan Khi

đó chuỗi Fourier sẽ trở thành cái gì?

Chúng ta có thể dự đoán kết quả là một tích phân (thay vì là

một chuỗi) Tích phân ấy bao gồm các thành phần

với là một biến số liên tục chứ không phải là một bội số

TỪ CHUỖI FOURIER ĐẾN TÍCH

PHÂN FOURIERNếu ta thay các công thức tính hệ số chuỗi Fourier vào chuỗi,

TỪ CHUỖI FOURIER ĐẾN TÍCH

PHÂN FOURIERCho , khi đó tổng sẽ trở thành tích phân và: L � �

ĐỊNH LÝ TÍCH PHÂN FOURIERGỉa thiết rằng:

(1)f(x) xác định và đơn trị ngọai trừ một số hữu hạn điểm trong mọi khỏang hữu hạn (-L,L)

(2)f(x) và f’(x) liên tục từng đọan trong mọi khỏang hữu hạn

Lưu ý: định lý trên chỉ cho điều kiện đủ chứ không là điều kiện cần

 0  0

2

f x   f x 

TÍCH PHÂN FOURIER DẠNG

PHỨC Tương tự dạng thực, ta có thể suy ra tích phân Fourier dạng phức bằng cách bắt đầu với chuỗi Fourier phức của hàm f(t) tuần hòan chu kỳ T

  jn t0

n n

TÍCH PHÂN FOURIER DẠNG

PHỨCKhỏang cách giữa hai thành phần :

/2 /2

BIẾN ĐỔI FOURIER

F t

2

1 )

F  là biến đổi Fourier (Fourier transform) của f(t) và f(t)

là biến đổi Fourier ngược (inverse Fourier transform) của F  

TOÁN TỬ FOURIERNgười ta cũng đưa ra khái niệm toán tử

2

1 )}

( { )

• F được gọi là toán tử biến đổi Fourier hay gọi tắt là toán

tử Fourier

• F-1 được gọi là tóan tử biến đổi Fourier ngược hay gọi tắt

là tóan tử Fourier ngược

SO SÁNH GiỮA CHUỖI FOURIER VÀ

BiẾN ĐỔI FOURIER

• Dùng cho hàm tuần hoàn

• Phổ tần số rời rạc.

• Dùng cho hàm không tuần hoàn

• Phổ tần số liên tục

BIẾN ĐỔI FOURIERBài tập 1:

(a) Tìm biến đổi Fourier của

F f x e dx e dt

a a

BIẾN ĐỔI FOURIER

BIẾN ĐỔI FOURIER

MATLAB VỚI BiẾN ĐỔI

MATLAB VỚI BiẾN ĐỔI

FOURIER Trong trường hợp biểu thức kết quả có vẻ phức tạp, chúng

MATLAB VỚI BiẾN ĐỔI

FOURIERCách 2: Sử dụng lệnh fourier

F = fourier(f,v): biến độc lập của hàm ra F là v thay cho w

F = fourier(f,u,v): f là hàm với biến độc lập là u và F là hàm

ra với biến độc lập là v, thay cho 2 biến mặc nhiên là x và w

MATLAB VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER

Thông thường khi tính biến đổi Fourier ta cần biết thêm về hàm

MATLAB VỚI BIẾN ĐỔI

FOURIERTrong bài tập 1, hàm f(x) được biểu diễn dưới công thức:f(x) = heaviside(x+a) – heaviside(x-a)

>> syms x w a real;

>> Fw = a)))

fourier((heaviside(x+a)-heaviside(x-Fw =

2/w*sin(a*w)

MATLAB VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER

Bài tập 2:Tìm biến đổi Fourier của hàm f(x)

MATLAB VỚI BIẾN ĐỔI

 

F 

 

F 

MATLAB VỚI BIẾN ĐỔI

CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN

ĐỔI FOURIERNếu , a và b là các hằng số

CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN

ĐỔI FOURIERBài tập 3:Tìm biến đổi Fourier của hàm f(x)

CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN

ĐỔI FOURIERTính chất tỷ lệ theo thời gian trực tiếp dẫn đến tính chất sau:

3 Tính chất đảo (property of reversion):

 

F   F �

e F   � F �  F � 

CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN

ĐỔI FOURIERBài tập 5: Tìm biến đổi Fourier của hàm g(t)

Sử dụng kết quả của bài tập 1,

đặt a = 1/2, ta suy ra biến đổi

Fourier của hàm f(t) dưới đây:

Sau đó, ta viết g(t) = g1(t) + g2(t) với g1(t) và g2(t) như sau:

3 )

CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN

ĐỔI FOURIERa) Dùng công thức Euler:

2

1 )

( 2

) ( )

5

3 )

1 (

5

3 2

1

) 1 (

) 1

( 2

1

) ( )

( 2

1 )

( ) (cos

F F

t f e

t f e t

f

F

CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN

ĐỔI FOURIER

(b) Tính chất dịch trong miền tần số không áp dụng trực tiếp vào

bài này được vì không có thành phần e jat Tuy nhiên, nếu lưu

ý j2 = -1, ta có thể viết:

) ( )

( )

( t e 2 f t e f t f

j

j F

t f e

t f

( 5

3

) (

) ( )

F

CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI

FOURIER

6 Tính chất đạo hàm trong miền thời gian (time differentiation): Giả sử và tồn tại trong suốt (n là số nguyên dương) Nếu khi (k = 0,1, 2,…n-1) thì

) (

) (

t f

  F    ,

F   f t f  n  t  ��, 

 k   0

f t � t � ��

Chứng minh: Ta sẽ chứng minh cho trường hợp n = 1 và sẽ

dùng quy nạp toán học cho những trường hợp khác Với n = 1

CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI

CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI

CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI

CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI

FOURIER

9 Tính chất đối ngẫu (duality) hay còn gọi là tính chất đối xứng (symmetry)

) (

2 )}

( { F t   f  

CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI

CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI

FOURIER

10 Tích chập (convolution):

) (

) ( )}

( )

( { f t  g t  F  G 

F

) (

)

( 2

1 )}

( ) (

t g t

HÀM DELTA DIRAC

Hàm Delta Dirac hay còn gọi tắt là hàm delta (một số

sách còn gọi là hàm xung đơn vị - unit impulse function) thực

ra không phải là một hàm theo nghĩa thông thường Nó không được xác định bởi các giá trị của nó mà được định nghĩa một cách hình thức bằng các phát biểu như sau:

Khi n tăng, độ rộng của hàm

(xung) càng nhỏ hơn và chiều

cao càng tăng lên Với mỗi n,

diện tích dưới mỗi xung = 1

 

0

11,

Hàm delta, hay còn gọi là hàm xung

đơn vị (unit impulse function), ký hiệu

là , được hiểu như là:  t

 t



) (

2 )

( 2

} 1 {   f         

F

vì  (   )   (  )

(b) Dùng định nghĩa

a j t

j dt e e

a t

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM

DELTA

(c) Từ kết quả câu (b), dùng tính chất đối ngẫu,

) (

2 ))

( ( 2

) (

2 }

2 )

(

2 2 1

} {

}

{ 2

1

2

} {cos

j

t j t

j

e e

e

e t

F F

F F

PHƯƠNG PHÁP “ĐẠO HÀM TRONG

MiỀN THỜI GIAN”

 Biến đổi Fourier đơn giản nhất là dùng cho hàm delta

 

 

F  t 1

Sử dụng kết quả này, ta có một phương pháp tìm biến đổi

Fourier của một hàm là sẽ đạo hàm hàm đó cho đến khi kết quả được biểu diễn bởi dạng các hàm delta

Các tính chất quan trọng thường được sử dụng trong phương pháp này là:

) ( )

t f



F

PHƯƠNG PHÁP “ĐẠO HÀM TRONG

MIỀN THỜI GIAN”

Bài tập 11: Dùng phương pháp đạo hàm trong miền thời gian, tìm biến đổi Fourier của hàm:

Ý tưởng giải quyết bài tóan là ta sẽ đạo hàm f(t) cho đến khi

có kết quả được biểu diễn dưới dạng các hàm delta Đối với bài toán này ta sẽ phải lấy đạo hàm 2 lần

PHƯƠNG PHÁP “ĐẠO HÀM TRONG MIỀN

THỜI GIAN”

f = t + 1 f = 1 − t

PHƯƠNG PHÁP “ĐẠO HÀM TRONG

MIỀN THỜI GIAN”

Suy ra,

) 1 (

) ( 2 )

1 (

)

(2

( )

(

2 )

( )

(

)}

1 (

) ( 2 )

1 (

{

) (

2 2 2 2

j j

e e

F

e e

F j

t t

t dt

t f

d

F F

Do đó,

2

) cos 1

(

2 )

Tính chất tỷ lệ theo thời gian hay còn gọi là tính chất đồng dạng Tính chất đảo Tính chất dịch trong miền thời gian

Tính chất đạo hàm trong miền thời gian

Tính chất đạo hàm trong miền tần số

Tính chất tích phân

Tính chất đối ngẫu

 

F 

j t

TÍCH CHẬPĐịnh nghĩa:

• Tạo ra một biến tạm (giả sử là ) rồi chuyển các hàm đang xét

sang biến này



) ( )

) (   g  

g

TÍCH CHẬP

• Dịch chuyển hàm vừa mới đảo theo t Điều đó giống như di chuyển hàm này dọc theo trục -

) (

)) (

( )

(    g    t  g t  

g

• Tìm tích của phần giao nhau

) (

) (  g t  

g

f (  ) (  ) 

• Tổng hợp tất cả các tích phân sau khi hàm được di chuyển

đã di chuyển hết từ   � t �

TÍCH CHẬP

Bài tập 12: Tìm tích chập của hai hàm

1 Viết hai hàm f(t) và g(t) như là hàm của 

3 Viết như thể Vì t thay đổi từ đến ,

điều này có nghĩa là ta sẽ mang f đến rồi từ từ dịch chuyển

nó theo hướng tiến về

TÍCH CHẬP

4&5 Trong suốt chuyến “du hành” của , đánh giá phần giao nhau giữa f và g Sau đó, lấy tích phân dọc theo phần giao nhau này:

) )(

1 (

g f

t t

( 2 2

) )(

1 (

1

1

2 1

1

t

t d

g

f

t t

0

2 1

, ) 2

(

1 0

,

0 ,

0 )

(

2 1

2 2 1

t

t t

t

t t

t t

1 t 2 (2 )

1 t  t

1 0

, 1

0 1

,

1 )

t t

1

|

| ,

1 )

(

t

t t

TÍCH CHẬP

Giả sử ta chọn h là hàm dịch chuyển Sau khi biểu diễn h và

) 1 (

) 1 )(

1 (1

d h

x

t



d d

) 1 0 ( )

1 )(

1 ( )

1 )(

1 (

1 0

0 1

d d

( )

1 )(

1 ( )

1 )(

1 (

1 0

0

1





1 (

1 )

1 )(

1 (

1 1

d h

0

2 1

, 2

1 1

,

1 2

, 2 )

(

t t

t t

t t

t h