Chương I. §14. Số nguyên tố. Hợp số. Bảng số nguyên tố

Giải Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012 là một số chẵn Giả sử cả ba số nguyên tố đều là số nguyên tố lẻ.. ⇒ Tổng của ba số nguyên tố lẻ là một số lẻ (trái với đề bài) Do đó, trong ba số[r]

Chuyên đề: Số nguyên tố Hợp số A/ Lý thuyết

1/ Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố

Tính chất 1: Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì a ⋮ p hoặc b ⋮ p

Tính chất 2: Nếu a n ⋮ p thì a ⋮ p

B/ Bài tập

Dạng 1: Chứng minh một biểu thức là số nguyên tố hoặc hợp số

Bài 1: Cho p và p + 8 đều là số nguyên tố (p > 3) Hỏi p + 100 là số nguyên tố hay hợp số

Giải

Vì p là số nguyên tố, p > 3 nên p không chia hết cho 3

Do đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 ( k ∈ N )

Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = (3k + 1) + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) ⋮ 3

mà p + 8 > 3

Do đó p + 8 là hợp số (trái với đề bài)

Vậy p≠ 3 k +1 mà p = 3k + 2

Khi đó p + 100 = (3k + 2) + 100 = 3k + 102= 3(k + 34) ⋮ 3

mà p + 100 > 3

Do đó p + 100 là hợp số

Bài 2: Cho p và p + 4 đều là số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng p + 8 là hợp số

Giải

Vì p là số nguyên tố, p > 3 nên p không chia hết cho 3

Do đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 ( k ∈ N )

Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = (3k + 2) + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) ⋮ 3

mà p + 4 > 3

Do đó p + 4 là hợp số (trái với đề bài)

Vậy p≠ 3 k +2 mà p = 3k + 1

Khi đó p + 8 = (3k + 1) + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) ⋮ 3

mà p + 8 > 3

Do đó p + 8 là hợp số

Bài 3: Cho p và 8p - 1 đều là số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng 8p + 1 là hợp số

Giải

Vì p là số nguyên tố, p > 3 nên p không chia hết cho 3

Do đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 ( k ∈ N )

Nếu p = 3k + 2 thì 8p - 1 = 8(3k + 2) - 1 = 24k + 15 = 3(8k + 5) ⋮ 3

mà 8p - 1 > 3

Do đó 8p - 1 là hợp số (trái với đề bài)

Vậy p≠ 3 k +2 mà p = 3k + 1

Khi đó 8p + 1 = 8(3k + 1) + 1 = 24k + 9 = 3(8k + 3) ⋮ 3

mà 8p + 1 > 3

Do đó 8p + 1 là hợp số

Bài tập tương tự

Bài 4: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, 8p + 1 cũng là số nguyên tố Chứng minh rằng 4p + 1 là hợp số

Bài 5: Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp số

Bài 6: Cho p và p + 8 cùng là số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng p + 10 là hợp số Bài 7: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Hỏi p2 + 2006 là số nguyên tố hay hợp số

Bài 8: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Hỏi p2 + 2015 là số nguyên tố hay hợp số

Bài 9: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Hỏi p2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số

Dạng 2: Tìm số nguyên tố p để các biểu thức đã cho cũng là các s ố nguyên t ố

Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p + 4 v à p + 8 cũng là các số nguyên tố.

Giải

+/ Với p = 2 thì p + 4 = 2 + 4 = 6 không là số nguyên tố

Vậy p = 2 loại

+/ Với p = 3 thì p + 4 = 3 + 4 = 7 là số nguyên tố

và p + 8 = 3 + 8 = 11 là số nguyên tố Vậy p = 3 thỏa mãn điều kiện

+/ Với p > 3, vì p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3

Do đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 ( k ∈ N )

Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = (3k + 1) + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) ⋮ 3

mà p + 8 > 3

Do đó p + 8 là hợp số

Vậy p = 3k + 1 loại

Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = (3k + 2) + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) ⋮ 3

mà p + 4 > 3

Do đó p + 4 là hợp số

Vậy p = 3k + 2 loại

Tóm lại: p = 3 là số nguyên tố cần tìm.

Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng là các

số nguyên tố

Giải

Vì p, q là các số nguyên tố nên p ≥ 2, q ≥ 2

Do đó pq + 11 > 2

Nếu pq + 11 là số nguyên tố thì pq + 11 là số nguyên tố lẻ

Do đó pq là số chẵn

Do đó: p là số nguyên tố chẵn, q là số nguyên tố lẻ

hoặc p là số nguyên tố lẻ, q là số nguyên tố chẵn

hoặc p và q cùng là số nguyên tố chẵn

Do đó: p = 2, q là số nguyên tố lẻ

hoặc p là số nguyên tố lẻ, q = 2

hoặc p = 2, q = 2

Trư

ờng h ợp 1: p = 2, q = 2 Khi đó 7p + q = 7.2 + 2 = 16 không là số nguyên tố Vậy p = 2, q = 2 loại

Trường hợp 2: q = 2, p là số nguyên tố lẻ

Khi q = 2 thì 7p + q = 7p + 2 và pq + 11 = 2p + 11

+/ Với p = 3 thì 7p + 2 = 7.3 + 2 = 23 là số nguyên tố

và 2p + 11 = 2.3 + 11 = 17 là số nguyên tố

Vậy q = 2, p = 3 thỏa mãn điều kiện

+/ Với p > 3, vì p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3

Do đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 ( k ∈ N )

Nếu p = 3k + 1 thì 7p + 2 = 7(3k + 1) + 2 = 21k + 9 = 3(7k + 3) ⋮ 3

mà 7p + 2 > 3

Do đó 7p + 2 là hợp số

Vậy p = 3k + 1 loại

Nếu p = 3k + 2 thì 2p + 11 = 2(3k + 2) + 11 = 6k + 15 = 3(2k + 5) ⋮ 3

mà 2p + 11 > 3

Do đó 2p + 11 là hợp số

Vậy p = 3k + 2 loại

Trường hợp 3: p = 2, q là số nguyên tố lẻ

Khi p = 2 thì 7p + q = q + 14 và pq + 11 = 2q + 11

+/ Với q = 3 thì q + 14 = 3 + 14 = 17 là số nguyên tố

và 2q + 11 = 2.3 + 11 = 17 là số nguyên tố

Vậy q = 3, p = 2 thỏa mãn điều kiện

+/ Với q > 3, vì q là số nguyên tố nên q không chia hết cho 3

Do đó q = 3k + 1 hoặc q = 3k + 2 ( k ∈ N )

Nếu q = 3k + 1 thì q + 14 = (3k + 1) + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) ⋮ 3

mà q + 14 > 3

Do đó q + 14 là hợp số

Vậy q = 3k + 1 loại

Nếu q = 3k + 2 thì 2q + 11 = 2(3k + 2) + 11 = 6k + 15 = 3(2k + 5) ⋮ 3

mà 2q + 11 > 3

Do đó 2q + 11 là hợp số

Vậy q = 3k + 2 loại

Tóm lại: các số nguyên tố cần tìm là (p = 2, q = 3) hoặc (p = 3; q = 2)

Bài tập tương tự

Bài 3: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là các số nguyên tố

1/ p + 2 và p + 10

4/ p + 8 và p + 10

7/ p + 14 và p + 16

10/ 2p + 1 và 4p + 1

2/ p + 2 và p + 4 5/ p + 10 và p + 14 8/ p + 4 và p + 14

3/ p + 4 và p + 20 6/ p + 10 và p + 20 9/ p + 94 và p + 1994

11/ p + 2 , p + 6, p + 8 và p + 14

13/ p + 2 , p + 8, p + 14 và p + 26

12/ p + 2 , p + 6, p + 8, p + 12 và p + 14 14/ p + 6 , p + 8, p + 14 và p + 32

15/ p2 + 2

18/ p2 + 5

16/ p2 + 8 19/ 2p2 + 1

17/ p2 + 14 20/ 8p2 + 1

Dạng 3: Vận dụng tính chất của số nguyên tố trong bài toán chứng minh chia hết

Bài 1: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng (p - 1).(p + 4) ⋮ 6

Giải

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ lớn hơn 3

Do đó: p – 1 là số tự nhiên chẵn

⇒ p−1⋮2

⇒( p−1).( p+4)⋮2 (1)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3

Do đó: p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 ( k ∈ N )

+/ Nếu p = 3k + 1 thì p – 1 = (3k + 1) – 1 = 3k ⋮ 3

⇒( p−1).( p+4)⋮3

+/ Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = (3k + 2) + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) ⋮ 3

⇒( p−1).( p+4)⋮3

Tóm lại: p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p - 1).(p + 4) ⋮ 3 (2)

mà ƯCLN(2, 3) = 1 (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒( p−1).( p+4)⋮ (2.3)

⇒( p−1).( p+4)⋮ 6 (đpcm)

Giải

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ lớn hơn 3

Vì p là số lẻ lớn hơn 3 nên p + 5 và p + 7 là hai số chẵn liên tiếp

Mà trong hai số chẵn liên tiếp có một số chia hết cho 2, số còn lại chia hết cho 4

Do đó: (p + 5).(p + 7) ⋮ 8 (1)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3

Do đó: p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 ( k ∈ N )

+/ Nếu p = 3k + 1 thì p + 5 = (3k + 1) + 5 = 3k + 6 = 3(k + 2) ⋮ 3

⇒( p+5).( p+7)⋮3

+/ Nếu p = 3k + 2 thì p + 7 = (3k + 2) + 7 = 3k + 9 = 3(k + 3) ⋮ 3

⇒( p+5).( p+7)⋮3

Tóm lại: p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p + 5).(p + 7) ⋮ 3 (2)

mà ƯCLN(3, 8) = 1 (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒( p+5).( p+7)⋮ (3.8)

⇒( p+5).( p+7)⋮ 24 (đpcm)

Giải

Vì p – 1, p, p + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên (p - 1).p.(p + 1) ⋮ 3 (1)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên ƯCLN(p, 3) = 1 (2)

Từ (1) và (2) ⟹ (p - 1).(p + 1) ⋮ 3 (3)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ lớn hơn 3

Do đó p - 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp

Mà trong hai số chẵn liên tiếp có một số chia hết cho 2, số còn lại chia hết cho 4

Do đó: (p - 1).(p + 1) ⋮ 8 (4)

mà ƯCLN(3, 8) = 1 (5)

Từ (3), (4), (5) ⇒( p−1).( p+1)⋮ (3.8)

⇒( p−1).( p+1)⋮ 24

⇒( p−1) p ( p+1)⋮ 24 (đpcm)

Bài 4: Cho p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn p = q + 2 Tìm số dư khi chia p+ q cho 12.

Giải

Vì q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q là số nguyên tố lẻ

Do đó q chia cho 2 dư 1

q = 2k + 1 ( k ∈ N , k > 1)

Khi đó: p = q + 2 = (2k + 1) + 2 = 2k + 3

Do đó: p + q = (2k + 1) + (2k + 3) = 4k + 4 = 4(k + 1) ⋮ 4

Vậy p + q ⋮ 4 (1)

Vì q là số nguyên tố lơn hơn 3 nên q = 3n + 1 hoặc q = 3n + 2 ( n ∈ N )

+/ Với q = 3n + 1 thì p = q + 2 = (3n + 1) + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1) ⋮ 3

mà p > 3

⇒ p là hợp số (trái với đề bài)

Vậy q ≠ 3n + 1 mà q = 3n + 2

Khi đó: p = q + 2 = (3n + 2) + 2 = 3n + 4

Do đó: p + q = (3n + 2) + (3n + 4) = 6n + 6 = 3(2n + 2) ⋮ 3

Vậy p + q ⋮ 3 (2)

Mà ƯCLN(3, 4) = 1 (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ p + q ⋮ 12

Vậy số dư khi chia p+ q cho 12 là 0

Một số dạng toán khác về số nguyên tố và hợp số

Bài 1: Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số Tìm số dư r.

Giải

Vì p chia cho 42 có số dư là r nên p = 42k + r ( k , r ∈ N¿ ; 0 < r < 42, r là hợp số)

⇒ p = 2.3.7.k + r ( k , r ∈ N¿ ; 0 < r < 42, r là hợp số)

Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 3; 7

Tập hợp các số r mà 0 < r < 42; r không chia hết cho 2; r là hợp số :

9; 15; 21; 25; 27; 33; 35; 39

Ta tiếp tục loại đi các số chia hết cho 3 và 7, ta được r = 25

Vậy r = 25.

Giải Gọi p là số nguyên tố cần tìm (p ∈ N, p < 200)

Vì p chia cho 42 có số dư là r nên p = 42k + r ( k , r ∈ N¿ ; 0 < r < 42, r là hợp số)

⇒ p = 2.3.7.k + r ( k , r ∈ N¿ ; 0 < r < 42, r là hợp số)

Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 3; 7

Tập hợp các số r mà 0 < r < 42; r không chia hết cho 2; r là hợp số :

9; 15; 21; 25; 27; 33; 35; 39

Ta tiếp tục loại đi các số chia hết cho 3 và 7, ta được r = 25

Với r = 25, ta có p = 42k + r = 42k + 25 (k ∈ N¿

)

+/ Với k = 1 thì p = 42.1 + 25 = 67 là số nguyên tố

+/ Với k = 2 thì p = 42.2 + 25 = 109 là số nguyên tố

+/ Với k = 3 thì p = 42.3 + 25 = 151 là số nguyên tố

+/ Với k = 4 thì p = 42.4 + 25 = 193 là số nguyên tố

+/ Với k = 5 thì p = 42.5 + 25 = 235 không là số nguyên tố

Vậy các số nguyên tố nhỏ hơn 200 thỏa mãn là: 67; 109; 151; 193

Bài 3: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là r Tìm r, biết rằng r không là số nguyên tố.

Giải Gọi p là số nguyên tố chia cho 30 có số dư là r

⇒ p = 30k + r ( k , r ∈ N¿ ; 0 < r < 30, r không là số nguyên tố)

⇒ p = 2.3.5.k + r ( k , r ∈ N¿ ; 0 < r < 30, r không là số nguyên tố)

Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 3; 5

Tập hợp các số r mà r ∈ N¿ , 0 < r < 30; r không chia hết cho 2; r không là số nguyên tố: 1; 9; 15; 21; 25; 27

Ta tiếp tục loại đi các số chia hết cho 3 và 5, ta được r = 1

Vậy r = 1

Bài 4: Tìm hai số tự nhiên, sao cho tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố

Giải

Vì tích của hai số tự nhiên là số nguyên tố nên một số là 1, số còn lại là số nguyên tố (ta gọi số nguyên tố đó là p)

Theo đề bài, ta có: 1 + p cũng là số nguyên tố

Trường hợp 1: 1 + p là số nguyên tố lẻ

⇒ p là số chẵn, mà p là số nguyên tố

⇒ p = 2

Trường hợp 2: 1 + p là số nguyên tố chẵn

⇒ 1 + p = 2

⇒ p = 1 không là số nguyên tố (loại)

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 1 và 2

Bài 5: Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012 Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó.

Giải Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012 là một số chẵn

Giả sử cả ba số nguyên tố đều là số nguyên tố lẻ

⇒ Tổng của ba số nguyên tố lẻ là một số lẻ (trái với đề bài)

Do đó, trong ba số nguyên tố phải có một số nguyên tố chẵn

⇒ Số nguyên tố chẵn đó là số 2

Vậy 2 là số nguyên tố nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó

Bài 6: Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không?

Giải Nếu tổng của hai số nguyên tố bằng 2003 (2003 là số lẻ) thì trong hai số nguyên tố đó có một số là số nguyên tố chẵn

Số nguyên tố chẵn đó là 2

Do đó, số còn lại là: 2003 – 2 = 2001 ⋮ 3, mà 2001 > 3

Vậy 2001 là hợp số

Do đó không tồn tại hai số nguyên tố có tổng bằng 2003

Bài tập tương tự

Bài 7: Tổng của ba số nguyên tố bằng 170 Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó Bài 8: Tổng của ba số nguyên tố bằng 356 Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó Bài 9: Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 1988 hay không?

Bài 10: Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2021 hay không?