TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN (lý THUYẾT TÍNH HIỆU SLIDE)

TÍN HIỆU NGẪU NHIÊNTín hiệu không đóan được trước khi nó xuất hiện Không thể mô tả bởi biểu thức tóan học Được mô tả bằng lý thuyết xác xuất Được gọi là “quá trình ngẫu nhiên” ● Qu

TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN

Tín hiệu không đóan được trước khi nó xuất hiện

Không thể mô tả bởi biểu thức tóan học

Được mô tả bằng lý thuyết xác xuất

Được gọi là “quá trình ngẫu nhiên”

● Quá trình ngẫu nhiên gồm một số hữu hạn các biến ngẫu nhiên

Ví dụ:

( ) 5cos(2 c ), where is random

x t = π f t + θ θ

1.5 Random Signals

 1.5.1 Biến ngẫu nhiên X(A)

 Biến ngẫu nhiên là một đại lượng thực mà trị của nó phụ thuộc vào biến cố ngẫu nhiên (để biến cố NN có thể được

mô tả một cách định lượng)

Ví du độ lệch của viên đạn so với mục tiêu là một đại

lượng phụ thuộc vào kết qủa của lần bắn.

Sự phụ thuộc này được được biểu diễn bởi quy luật xác suất gọi chung là phân bố

 Sự phân bố của biến NN được mô tả bởi hàm mật độ xác suất P X (x)

2 1

non-negative: ( ) 0 normalized: ( ) 1 event probability: ( )= (

2

)

1

3

X X

x X x

p x

p x dx

∞

∞

≥

=

≤ <

∫

∫

Discrete pdf

● has the same properties (change integration to

summation)

p X = x

(

Uniform random variable

1 continuous ( ) , for

1 discrete: ( ) , for { , , }

Gaussian (normal) random

1

1 ( )

2

X

x m

X

X

b a

M

πσ

−

−

−

−

=

L

2 2

) 2

X X

σ

 Các thông số

 Example:

● Data bits are modeled as uniform random variable with two values

● Symbols are modeled as uniform random variable with M

values

● Noise is modeled as Gaussian random variable with zero mean and non-zero variance

(variance = mean sq

1

2

uare value - mean value square)

m E X xp x dx

σ

∞

−∞

∫

1.5 Random Signals

 Là một hàm hai biến A, t time-domain signal waveform

with some random event

 Usually written as X(t) by embedding A

 Stationary random process

● Average parameters do not depend on time

● We consider stationary random process (signal) only

 Can usually be described conveniently only by average

parameters



event time

Stationary mean: ( ) { ( )} constant autocorrelation (stationary case):

1

X

R τ E X t X t τ

● Example (Note: expectation/integration is conducted with random variable, not t )

2 0

Find the mean and autocorrelation of the random process ( ) 5cos(2 ), where [0, 2 ) is uniform random.

:

1

2 ( ) { ( ) ( )}

Solut

ion

c

X

x t f t

m E x t x t f d f t d

R E x t x t

π θ

π

2 0

= ( ) ( ) ( )

1 = 5cos(2 )5cos(2 2 )

2 25

= cos(2 )

2

c

x t x t f d

f t f t f d f

θ π

τ θ θ

π

π τ

+

∫

∫

1.5.2.3 Autocorrelation

● Defined by matching of a signal with a delayed version of itself

● Measure how closely a signal

matches a shifted copy of itself

● Is a function of delay , not

Note for figure:

Random process cos(2πfct+θ) does not look like noise.

 1.5.4 Power Spectral

Density (PSD)

description of random signal (since

FT{x(t)} does not exist)

FT

G f ¬ → R τ

25 Example: For ( ) cos(2 ), the PSD is

2 25 ( ) { ( )} [ ( ) ( )]

4

G f FT R f f f f

=

PSD of random process 5cos(2πfct+θ)

 1.5.3 Parameters and their physical meaning

-2

2

2

1 : dc level of the signal

2 { ( )}, (0), ( ) : average signal power

3 : averag

4 For signals without dc zero-mean

e power of AC component

signals

X

X

m

E

f

m

f d

σ

σ

∞

∞

⇔

∫

2 (t)} equals average signal power

X

 1.5.5 Noise in

communication systems

 AWGN: additive white Gaussian

noise

● Additive: Noise is added (not multiplied) to the signal

● White: has constant PSD (equal power for all frequency)

● Gaussian: in every time-instant (sampling instant), the noise is Gaussian random variable

 Noise is usually assumed

2

0

0

2

2 Autocorrelation:

zero-mean AWGN ( ) properties

2 1

pdf: ( )

: i)

ii)

iii)

2

n

n

n

N

G f

N R

t

p

n

πσ

−

= +

=

=

=

AWGN is a useful abstract noise model, although it

is not practical due to infinite power

δ(0)=1, we still have

● Discrete zero-mean AWGN: power & variance are both N 0 /2

AWGN PSD

& Auto-correlation

2

N

E X

1.6 Signal transmission

through linear systems

 1.6.1 Deterministic signals

) ( ) ( )

(

) (

) ( )

(

* ) ( )

(

f H f X f

Y

d t

h x

t h t

x t

y

=

−

=

 No Y(f), X(f) exist! But can use PSD.

2

( ) ( ) * ( ) ( ) ( )

y t h t x t x h t d

G f G f H f

∞

−∞

=

∫

 1.6.3 Distortionless transmission & ideal filter

 Distortionless transmission

● Time-domain: only constant magnitude change & a delay

● Frequency domain: constant magnitude response and linear phase response

 Ideal filter: distortionless in passbandH(f ) = H( f)e−jθ(f) where

0

passband ( )

0 stopband ( ) 2

K

H f

f ft

θ π

=

 =



 Example Input: AWGN with PSD

System: ideal lowpass filter with unit magnitude

response in passband fu. Then the output PSD is

0

( ) / 2

n

G f = N

0

2 0

0 / 2, for ( )

0, Otherwise

y

= 



Review: Analog Communications

 Amplitude modulation

 4 main types, share similar modulator/demodulator

AM: amplitude modulation

DSB: double-sideband

modulation

SSB: single-sideband modulation

VSB: vestigial sideband

modulation

(FM,PM)

 1.7.1 DSB (Page

45-47, Page 1022)

DSB signal:

( ) ( ) cos(2 )

DSB spectrum:

1 ( ) [ ( ) ( )]

2 ( ), ( ) : message signal and spectrum DSB signal bandwith=2*message bandwidth

x t x t f t

X f X f f X f f

x t X f

π

•

=

•

•

( )

W DSB = 2W x t

 DSB demodulation

technique

lowpass

lowpass

lowpass

( ) ( ) : received signal

Demodulation output is:

ˆ

( ) ( ) cos(2 )

= ( ) cos(2 ) cos(2 )

1 = ( ) [1 cos(4 )]

2 ( ) =

2

c

c

c

y t x t

x t

π

π

=

=

+

Tín hiệu dừng

ξ(t) là tín hiệu dừng chặt nếu:

[ f ξ ( t1), ξ ( t2), ξ ( tn) ] = E [ f { ξ ( t1 + ε ), ξ ( t2 + ε ), ξ ( tn + ε ) } ]

E

ξ(t) là tín hiệu dừng rộng nếu: E [ ] ξ ( ) t = const

( t1, t2) R ( ) ; t1 t2

R = τ τ = −

−

∞

T

2 1 lim