Hai tiÕp tuyÕn Cx, Dy cña ®êng trßn c¾t nhau t¹i M.. a, Chøng minh PN vu«ng gãc víi AB.[r]
Trang 1Phòng giáo dục và đào tạo
yên định kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2008 - 2009
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Cõu 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức : P = 2x
x - 2 +
4
x2 - 5x + 6 −
1
x - 3 a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn biểu thức P.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để P nguyên.
Cõu 2: (5,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ cho các đờng thẳng (d):
3x 3
y
2 và (d') : y = 9 - 3x
2 cắt nhau tại C và lần lợt cắt trục Ox tại A, B
a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C
b) Tìm diện tích và chu vi của tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trên các trục
là cm
Cõu 3: (4,0 điểm)
a, Cho 3 số dơng a,b,c thoả mãn
2 2 2 5
3
a b c
Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 1 1
a b c abc
b, Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x2 25y y( 6)
Cõu 4: (5,0 điểm)
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB; Từ A và B ta vẽ hai dây cung AC và BD cắt nhau tại N Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đờng tròn cắt nhau tại M Gọi P là giao điểm của hai đờng thẳng AD và BC
a, Chứng minh PN vuông góc với AB.
b, Chứng minh P,M,N thẳng hàng.
Câu 5: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng: 2 3 4 5 2000 3
-Hết - Học sinh không đợc sử dụng tài liệu gì.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng giáo dục và
đào tạo yên định kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCSnăm học 2008 - 2009
Đáp án và hớng dẫn chấm
Môn: Toán
Hớng dẫn chấm này có 3 trang
đề thi chính thức
Trang 2Câu ý Nội dung cơ bản Điểm
1
a)
Điều kiện :
¿
x ≠ 2 ; x ≠ 3
x2 - 5x + 6 ≠ 0
¿{
¿
x 2 và x 3
P = 2x
x - 2 +
4
x2 - 5x + 6 −
1
x - 3 = 2x (x - 3)+ 4 −(x - 2)
(x - 2)(x -3) =
2x2 - 7x + 6 (x - 2)(x −3)
= (2x - 3)(x - 2 )
(x - 2)(x −3) =
2x - 3
x −3
Vậy : P = 2x - 3
x −3 với x 2 , x 3
0,5
0,5
1,0
b)
Ta có P = 2x - 3
x −3 =
(2x - 6)+ 3
x −3 = 2 +
3
x −3
nên P nguyên 3
x −3 nguyên x - 3 là ớc của 3
x - 3 = 3
¿
x - 3 = 1
¿
x - 3 = -3
¿
x - 3 = -1
¿
¿
¿
¿
x = 6
¿
x = 4
¿
x = 0
¿
x = 2 ( loại )
¿
¿
¿
¿
Vậy các giá trị cần tìm là x = 6 ; x = 4 ; x = 0
0,5 0,5
1,0
a)
b)
C là giao điểm của d và d/ nên tọa độ của C thỏa mãn hệ :
¿
2y = 3x + 3 2y = 9 - 3x
¿{
¿
¿
2y = 3x + 3 4y = 12
¿{
¿
¿
x = 1
y = 3
¿{
¿
Vậy C(1 ; 3)
Phơng trình trục Ox là y = 0 nên tọa độ A thỏa mãn hệ :
¿
2y = 3x + 3
y = 0
¿{
¿
¿
x = - 1
y = 0
¿{
¿
Vậy A(- 1; 0)
1,0
0,5 0,5
Trang 3tọa độ B thỏa mãn hệ :
¿
2y = 9 - 3x
y = 0
¿{
¿
¿
x = 3
y = 0
¿{
¿
Vậy B(3 ; 0)
Gọi H là hình chiếu của C trên trục Ox thì CH là đờng cao của tam giác
CAB và CH = 3 cm ( tung độ của điểm C) ; cạnh đáy AB = AO + OB = 1 + 3
= 4 (cm)
dt(ABC) = 1
2 AB.CH =
1
2 .4.3 = 6 (cm2)
HA = HO + OA = 1 + 1 = 2 (cm) HB = AB - AH = 2 (cm)
HA = HB = 2(cm) tam giác CAB cân tại C (CH vừa là đờng cao vừa là
trung tuyến) ; tam giác vuông HCA có :
CA =√AH2+ HC2= √22+ 32= √13 (cm)
chu vi ABC là : AB + BC + CA = 4 2 13 (cm)
1,5
1,5
Câu
b
Ta có
2 2 2
2 2 2
0
1 (do a, b,c > 0)
1 1 1 1 a
a b c
ac bc ab
b c abc
Từ
2 25 ( 6)
x y y
Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16
Để ý trong phơng trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó ta có thể
hạn chế giải với x là số tự nhiên
Khi đó: y+3+x y+3-x
Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn
Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ Ta lại có tích của chúng là
số chẵn , vậy 2 số 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn
Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây
- 16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong đó thừa số đầu bằng giá trị (y+3+x)
Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta có x= 5 , y= 0
Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta có x= 4 , y= -3
Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta có x= 5 , y= -6
Vì thế phơng trình đã cho có các nghiệm ( x,y) = (5, 0 ; 5, 6 ; 4, 3
0.5 0.5 0.5 0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu
4
y
x
O H 1 3
3 -1
C
B A
y = 9-3x 2
y = 3x+3 2
Trang 4b
Trong tam giác PAB ta có AC và BD là các đờng cao nên N là trực tâm tam
giác Do đó PN là đờng cao còn lại nên vuông góc với cạnh AB
Gọi I là trung điểm của PN thì IC là trung tuyến của tam giác vuông PAC nên
IPC cân tại I Do đó : IPCICP.
Tam giác OAC cân tại O nên : CAOACO.
Mặt khác CAOIPC (do có các cạnh tơng ứng vuông góc)
nên ACOICP.
Ta có AC PC nên OC IC Do đó IC là tiếp tuyến tại C của đờng tròn
Tơng tự , ID là tiếp tuyến tại D của đờng tròn
Chứng tỏ I trùng với M nên P,M,A thẳng hàng
2 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5
Câu
2
2 3 1999.2001 2 3 1998 2000 1
2 3 1998.2000 2 3 1997 1999 1
2 3 1997.1999 2.4 3
2 3 4 5 2000
1,0 1,0
Hết