Ôn tập Chương III. Nguyên hàm. Tích phân và ứng dụng

Baøi 2: Tính theå tích caùc hình troøn xoay taïo neân do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng (C): y = x 2 + 1, truïc tung vaø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm (1; 2) khi quay quanh [r]

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

1) Đạo hàm của các hàm số sơ cấp:

Đạo hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))

(C)' = 0

(x)' = x-1(  R, x > 0)

( √ x)'= 1

2 √ x (x > 0) ( 1

x ) '=−

1

x2 (x  0)

(u)' = u-1.u'(  R, u > 0) ( √ u)'= u '

2 √ u (u > 0) ( 1

u ) '=−

u '

u2 (u  0) (sinx)' = cosx

(cosx)' = -sinx

(tanx)' = 1

cos2x (x  π 2 + kπ , k  Z) (cotx)' = - 1

sin2x (x  k, k  Z).

(sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u' (tanu)' = u '

cos2u (u  π 2 + kπ , k  Z) (cotu)' = - u '

(ln | u | ) '= u '

u (u ≠ 0) (loga| u |) ' = u ln a u ' (u ≠ 0) 2) Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và có đạo hàm tại x  (a; b)

dy = f'(x)dx 3) Một số công thức lượng giác thường sử dụng:

 tanx = sin x cos x  cotx = cos x sin x  tanx.cotx = 1

 sin2a = 2sinacosa  cos2a= 1+cos 2 a

x  cosacosb = 1 2 [cos(a + b) + cos(a - b)]

 sinasinb = - 1 2 [cos(a + b) - cos(a - b)]  sinacosb = 1 2 [sin(a + b) + sin(a - b)]

§1 NGUYÊN HÀM

I- NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1 Nguyên hàm:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.

Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x  K.

3) Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F'(x)dx = f(x).

2 Các tính chất của nguyên hàm:

Tính chất 1:  f ' (x)dx=f (x)+C Ví dụ: Với x  (0; +),  1 x dx=  ( ln x )' dx = lnx.

Tính chất 2:  kf(x)dx=k  f (x)dx ; (k là hằng số khác 0)

Tính chất 3:  [ f (x )± g (x)]dx=  f (x)dx ±  g(x )dx

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx + 2 x trên khoảng (0; +).

3 Sự tồn tại nguyên hàm:

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ: Hàm số f(x) = x32 có nguyên hàm trên (0; +) và  x

II- PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số:

Định lí: Nếu  f (u)du=F (u)+C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

 f [u(x)]u '(x )dx=F [u(x )]+C

Ví dụ 1: Tìm a)  ln x dx b)  sin2x cos xdx c) 3 x dx

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

Hệ quả: Nếu  f (x)dx=F (x)+C thì  f (ax +b)dx= 1

xdx x

e dx x

2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:

Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

 u(x )v ' (x)dx=u( x) v (x)−  u '(x )v (x)dx

* Chú ý: Ta có v'(x)dx = dv, u'(x)dx = du nên  udv=uv −  vdu

Phương pháp: Tính  u(x )v ' (x)dx

Đặt u= dv= dx ⇒du= dx ⇒ v= . Khi đó ta có  u(x )v ' (x)dx = uv −  vdu

Ví dụ: Tính

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Lấy vi phân: lấy đạo hàm rồi

nhân thêm d của biến tương ứng

vi phân hai vế

nguyên hàm hai vế

1  x sin xdx 2  x cosxdx 3  ( x2+5)sin xdx 4  ( x2+2 x+ 3)cos xdx

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau:

Bài 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) y = (2tanx + cotx)2; b) y = cos2x

Bài 2: Tìm:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

§2 TÍCH PHÂN

I- KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN:

1 Diện tích hình thang cong:

Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.

b a

Diện tích hình thang cong aABb: S = F(b) - F(a), trong

đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x).

Với hình phẳng D giới hạn bởi một đường cong kín bất kì ta có thể chia nhỏ thành những hình thang cong bằng cách kẻ những đường song song với các trục tọa độ.

2 Định nghĩa tích phân:

Cho y = f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên

đoạn [a; b] Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của

hàm số f(x), kí hiệu là 

a

b

f (x)dx Dùng kí hiệu F(x ) ¿a b để chỉ hiệu số F(b) - F(a), ta có:

) ( ) ( ) ( )

f (x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục Ox và

hai đường thẳng x = a, x = b Vậy S = 

III- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:

1 Phương pháp đổi biến số:

Định lí: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn  a; b  Giả sử hàm số x =  (t ) có đạo hàm liên tục trên

đoạn   ;   sao cho  (  ) a  ,  () = b và a   ( t  ) b , t    ;   ta có:   

b

a

dt t t f dx x f







 ( )) ' ( ) (

) (

a) Đổi biến số dạng 1: Tính I = 

b

f (x)dx bằng cách đặt x =  (t )

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

Biến đổi f(x)dx = C.f[(x)].'(x)dx (với C là hằng số)

Khi đó ta có: I = 

0 1

x dx

2 Phương pháp tính tích phân từng phần:

Định lí: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b  thì :

v x u dx x v x

Tích phân các hàm sớ dễ phát hiện u và dv

vi phân hai vế

nguyên hàm hai vế

Dạng 1

sin ( )

ax

ax

f x cosax dx e

( )

dx du

4 3

u x

x dx dv

01

dx x

ln

e

x dx x

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

x sin xdx cos x

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Tính các tích phân sau:

e)

1+x ¿

3 2

2 Baứi taọp naõng cao:

Baứi 1: Tớnh caực tớch phaõn sau:

IV MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:

Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: 

Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: 

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

1 Hình phẳng giới hạn giới hạn bởi một đường cong và trục hoành:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành (y = 0) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:

Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên đoạn [a; b] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b Khi đó diện tích hình phẳng D là:

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x2 - 3x + 4 và y = x + 1.

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x3 - x, y = x - x2, x = -1, x = 2.

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = sinx, y = cosx, x = 0, x = .

II- TÍNH THỂ TÍCH:

1 Thể tích của vật thể:

Cắt vật thể (T) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc trục Ox lần lượt tại x = a, x = b Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại x  [a; b] cắt (T) theo thiết diện có diện tích là S(x) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b] Khi đó thể tích vật thể (T) là:

V = 

a

b

S(x )dx

2 Thể tích khối chóp cụt:

Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và có chiều cao bằng

h Khi đó thể tích khối chóp cụt là V = 3 h ( B+ √ BB' +B ')

III- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY:

Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b)

quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay.

Thể tích khối tròn xoay là:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 - x2, y = 0 và đường thẳng y = -x.

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) x = -1, x = 3, y = 0, y = x4 + 2x2 + 3;

b) y = x2 - 2, y = -3x + 2;

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = 1 - x2, y = 0; b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = π 4 ; c) y = tanx, y = 0, x = 0, x =

π

4

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x2, x - y + 2 = 0, y = 0.

Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi y = 2x - x2, y = x, quanh trục Ox

* ÔÂN TẬP CHƯƠNG III *

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Xét hình phẳng D giới hạn bởi y = 2 √ 1− x2 và y = 2(1 - x).

a) Tính diện tích hình D;

b) Quay hình D xung quanh trục Ox Tính thể tích khối tròn xoay được tại thành.

Bài 2: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường (C): y = x2 + 1, trục tung và tiếp tuyến của (C) tại điểm (1; 2) khi quay quanh trục Ox.

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

CHƯƠNG IV SỐ PHỨC

oOo

§1 SỐ PHỨC 1 Số i: Phương trình x2 + 1 = 0 có một nghiệm là một số được kí hiệu là "i" với i2 = -1 2 Định nghĩa số phức:  Mỗi biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b  R, i2 = -1 được gọi là một số phức  Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z.  Tập hợp các số phức kí hiệu là C (Complex) * Chú ý:  Số thực a = a + 0i Mỗi số thực a cũng là một số phức và R  C  Số thuần ảo: bi = 0 + bi  i = 0 + 1i (số i được gọi là đơn vị ảo)  Số phức 1 + (-3)i có thể viết 1 - 3i, số phức 1 + √ 3 i còn có thể viết 1 + i √ 3 3 Số phức bằng nhau: Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau a + bi = c + di  a = c và b = d Ví dụ: Tìm x, y để hai số phức z = (2x+1) + (3y-2)i, z’ = (x – 2) +(4y -3)i bằng nhau Giải:

4 Biểu diễn hình học số phức: Điểm M(a; b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi. Ví dụ 1: Biểu diễn hình học của các số phức: 3 + 2i, 2 - i, -2 - 3i, 3i, 4 Giải:

Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện phần ảo bằng -5 và phần thực thuộc khoảng (-4; 4) Giải:

y

x

O 1 2 3 4 5 6

-1 -2 -3

-4 -5

-6 -5 -4 -3 -2 -1

5 4 3 2 1

5 Môđun của số phức:

z = a + bi

Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm

M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ Độ dài của vectơ ⃗ OM

được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z Vậy:

| z | = | a+bi | = | ⃗ OM | = √ a2

+ b2

M b

a x y

O

6 Số phức liên hợp:

Cho số phức z = a + bi Ta gọi a - bi là số phức liên hợp của z

và kí hiệu là ¯z = a - bi.

Ví dụ:

Số phức liên hợp của z = -3 + 2i là:

Số phức liên hợp của z = 4 - 3i là:

* Chú ý: Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và ¯z đối xứng nhau qua trục Ox, và ¯ ¯z=z , | ¯z | = | z |

z = a - bi z = a + bi -b M' M b a x y O  Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:

-7i.

Bài 2: Tìm các số thực x và y, biết:

a) (3x - 2) + (2y + 1)i = (x + 1) - (y - 5)i; b) (1 - 2x) - i √ 3 = √ 5 + (1 - 3y)i; c) (2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + 1)i.

Bài 3: Tính |z| với:

a) z = -2 + i √ 3 ; b) z = √ 2 - 3i; c) z = -5; d) z = i √ 3

Bài 4: Tìm ¯z , biết:

a) z = 1 - i √ 2 ; b) z = - √ 2 + i √ 3 ; c) z = 5; d) z = 7i.

Bài 5: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

c) Phần thực của z thuộc khoảng (-1; 2); d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];

e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2; 2].

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

a) |z| = 1; b) |z|  1; c) 1 < |z|  2; d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.

Bài 2: Trên mặt phẳng Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức z  3

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z i   2

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC

1 Phép cộng và phép trừ hai số phức:

Phép cộng và phép trừ số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i;

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i.

Ví dụ: Cho 2 số phức z1 = 2 + 5i; z2 = -2i Tính z1 + z2, z1- z2.

Giải:

2 Phép nhân hai số phức: Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i2 = -1 trong kết quả nhận được. (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad +bc)i * Chú ý: Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực Ví dụ: Cho các số phức z = 1 - 2i, z1 = -2 + 3i Thực hiện các phép tính: a) z.z1; b) z2; c) z3 - 3z1 Giải:

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:

a) (2 - 3i) + (-4 + i); b) 4i - (-7 + 3i); c) (2 - 3i)(5 + 7i);

d) (3 - 5i) + (2 + 4i); e) (-2 - 3i) + (-1 - 7i); f) (4 + 3i) - (5 - 7i).

Bài 2: Tính  + ,  -  với:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

Bài 4: Tính:

Bài 5: Tính i3, i4, i5 Nêu cách tính in với n là một số tự nhiên tùy ý.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức Q = (2 + √ 5 i)2 + (2 - √ 5 i)2.

Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

a) z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i); b) z = i(2 – i)(3 + i); c) z = (5 + 2i) + (3 – i) + (1 + 2i);

d) z = (1 + i)2 – (1 – i)2; e) z = 2 i 12 i13; f) z = (2 + i)3 – (3 – i)3

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC

1 Tổng và tích của hai số phức liên hợp:

Cho số phức z = a + bi thì z+ z = 2a và z z = a2+ b2= | z |2 .

 Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.

 Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó.

2 Phép chia hai số phức:

Cho số phức c + di và a + bi Ta có z= a+bi

c +di =

ac+bd

c2+ d2 +

ad − bc

c2+ d2 i

* Chú ý: Để tính c +di a+bi , ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu (a + bi).

Ví dụ 1: Thực hiện các phép chia sau:

Giải:

Ví dụ 2: Giải phương trình (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z Giải:

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Thực hiện các phép chia:

Bài 2: Tìm nghịch đảo 1 z của số phức z, biết:

i √ 3

Bài 3: Thực hiện các phép tính sau:

2i ¿3

¿

1+i ¿2¿

¿

;

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

c) 3 + 2i + (6 + i)(5 + i); d) 4 - 3i + 5+4 i 3+6 i

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) (3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) 4 −3 i z +(2 −3 i)=5− 2i

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :

i ; b) z = 7 - 2i - (3 - 2i)2; c) z = 7 − i 2− i + 5 - 4i; d) z = 7 +3 i 1+i − − 1+5 i

1+i − √

2 −i

Bài 2: Cho z   2 3 i Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức ¯z+7 i z+5

Bài 3: Giải phương trình 1 −i 2+i z= −1+3 i

2+i

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

1 Căn bậc hai của số thực âm:

Số thực a (a < 0) có hai căn bậc hai là  i √ | a |

Ví dụ: số -2 có hai căn bậc hai là  i √ 2

2 Phương trình bậc hai với hệ số thực:

Giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (*) (a, b, c  R, a  0)

Tính:  = b2 - 4ac (' = b'2 - ac)

Nếu  > 0 thì (*) có 2 nghiệm thực x1,2 = − b ± √ Δ

Nếu  = 0 thì (*) có 1 nghiệm thực x = − b

2 a

Nếu  < 0 thì (*) có 2 nghiệm phức x1,2 = − b ±i √ | Δ |

* Chú ý: Mọi phương trình bậc n (n  1) đều có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

Ví dụ 1: Giải phương trình x2 - x + 5 = 0 trên tập số phức.

Giải:

Ví dụ 2: Giải phương trình z4 + z2 - 6 = 0 trên tập số phức Giải:

3 Định lí Viète đối phương trình bậc hai nghiệm phức: a) Cho z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình az2 + bz + c = 0 (a, b, c  R, a  0) Hãy tính z1 + z2 và z1.z2 theo a, b, c b) Cho z = a + bi là một số phức Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và ¯z làm nghiệm c) Cho hai số phức z1, z2 Biết rằng z1 + z2 và z1.z2 là hai số thực Chứng tỏ rằng z1, z2 là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực Giải:

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN