Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề chủ đề hệ thức vi ét cho học sinh lớp 9

Với kinh nghiệm giảng dạy của bản thân cũng như là xuất phát từ thực tế nơi công tác tôi nhận thấy đa số các em học sinh rất ngại học các bài toán có liên quan đến phương trình bậc hai m

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐỖ THỊ TÚ

VẬN DỤNG DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHỦ

ĐỀ HỆ THỨC VI-ÉT CHO HỌC SINH LỚP 9

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN HỌC

Mã số: 8.14.02.09.01

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN HỮU NAM

HÀ NỘI – 2021

LỜI CẢM ƠN

Với tất cả sự chân thành và tình cảm của mình, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo cô giáo trong khoa Sư phạm trường Đại Học Giáo Dục, Đại Học Quốc Gia đã giảng dạy tận tình, giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài này

Em xin trân trọng cảm ơn sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo TS Trần Hữu Nam, người đã trực tiếp hướng dẫn khoa học cho em trong suốt quá trình thực hiện đề tài này

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo trong trường Trung học cơ sở Minh Hà, Thạch Thất, Hà Nội đã tạo điều kiện để em hoàn thành nhiệm vụ học tập Tập thể các em học sinh khối 9A, 9I khóa 2016 – 2020 của trường Trung học

cơ sở Minh Hà, Thạch Thất, Hà Nội đã giúp đỡ cô trong quá trình thực nghiệm sư phạm, để có thể kiểm tra được tính khả thi và hiệu quả của đề tài này

Cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi, tiếp sức để tôi hoàn thành luận văn

Mặc dù đã cố gắng cố gắng nhiều nhưng do thời gian có hạn và kinh nghiệm của bản thân còn hạn hẹp nên luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót

Em rất mong có thể nhận được những sự chỉ dẫn, những góp ý của các nhà khoa học, của các Thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp

Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 8 năm 2020

Tác giả

Đỗ Thị Tú

P yx và d y:  2x 3……… 64 Hình 2.3 Lời giải của bạn Hải Yến ……… 77 Bảng 3.1 Thống kê và phân tích số liệu kết quả bài kiểm tra 45 phút ……… 87

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Danh mục các chữ viết tắt ii

Danh mục các hình, sơ đồ và bảng iii

Mục lục iv

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Câu hỏi nghiên cứu 2

5 Giả thuyết nghiên cứu 3

6 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu 3

8 Phương pháp nghiên cứu 3

9 Những đóng góp của đề tài 4

10 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 5

1.1.1 Vài nét về lịch sử của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 5

1.1.2 Cơ sở lý luận của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 6

1.1.3 Những khái niệm cơ bản 8

1.1.4 Những hình thức của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 10

1.1.5 Thực hiện phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 12

1.1.6 Những cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề 14

1.1.7 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn toán, định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở 16

1.2 Chương trình hệ thức Vi-ét ở lớp 9 17

1.2.1 Nội dung hệ thức Vi-ét trong chương trình toán học lớp 9……… 18

1.2.2 Thực trạng dạy học hệ thức Vi-ét ở trường THCS Minh Hà hiện nay… 20 1.3 Một số kiến thức bổ trợ 21

1.3.1 Hệ thức Vi –ét đối với phương trình bậc hai 21

1.3.2 Định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba 21

Kết luận chương 1 22

Chương 2 THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HỆ THỨC VI-ÉT 23

2.1 Dạng 1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm số Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng 23

2.2 Dạng 2 Tính giá trị của các biểu thức đối xứng chứa nghiệm của phương trình bậc hai

29 2.3 Dạng 3 Tìm tham số khi biết một hệ thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai 34

2.4 Dạng 4 So sánh các nghiệm với số 0, với số ……… 44

2.5 Dạng 5 Tìm tham số để đường thẳng tiếp xúc parabol, tìm tọa độ tiếp điểm 55

2.6 Dạng 6 Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt , A B thỏa mãn một biểu thức đối xứng đối với x và A x B……… 63

2.7 Dạng 7 Một số dạng toán khác……… 74

Kết luận chương 2 85

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 86

3.1 Mục đích và nội dung thực nghiệm sư phạm 86

3.2 Tổ chức thực nghiệm 86

3.2.1 Đối tượng thực nghiệm 86

3.2.2 Thời gian thực nghiệm 86

3.2.3 Nội dung thực nghiệm 87

Kết luận chương 3 88

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ……… 89

1 Kết luận ……… 89

2 Khuyến nghị ……… 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 91 PHỤ LỤC

Ngay từ trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV của Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (khóa IV năm 1993) cũng đã nêu rất rõ rằng mục tiêu giáo dục - đào tạo của nước Việt Nam ta phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ,có tư duy sáng tạo và có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước Việt Nam ta

Mới nhất là Nghị quyết 29 – NQ – TW – năm 2013 cũng đã chỉ ra mục tiêu của giáo dục phổ thông là cần phải tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho người học Cần nâng cao hơn nữa chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng hơn nữa về giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực

và kỹ năng thực hành của người học, giúp người học vận dụng được những kiến thức

đã học vào thực tiễn Qua đó giúp phát triển được tư duy sáng tạo của người học trong cuộc sống

Chương trình môn Toán trong chương trình giáo dục phổ thông mới 2018 đã khẳng định rằng muốn đưa đất nước đi lên, muốn xây dựng quốc gia khởi nghiệp thì phải có những con người sáng tạo và do đó giáo dục Toán học phổ thông cần khơi gợi sự sáng tạo ấy ở mỗi học sinh Như vậy giáo dục môn Toán trong chương trình mới phải dựa trên cách tiếp cận hình thành và phát triển phẩm chất, năng lực giải quyết vấn đề trong thực tiễn cuộc sống, nhằm phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh

Tác giả tài liệu số [8] cho rằng phương pháp dạy học PH&GQVĐ: “Học sinh tích cực tư duy do nảy sinh nhu cầu tư duy, do đứng trước khó khăn về nhận thức; học sinh tự kiến tạo hoặc tham gia vào việc kiến tạo tri thức cho mình dựa vào những tri

thức đã có, từ đó bổ sung và làm cho các tri thức cũ được hoàn thiện hơn Học sinh học tập một cách tự giác, tích cực hoạt động, vừa kiến tạo được tri thức, vừa học được cách thức giải quyết vấn đề, lại vừa rèn luyện được những đức tính như kiên trì, vượt khó ” Như vậy dạy học giải quyết vấn đề rất coi trọng vai trò tích cực và chủ động của người học trong quá trình học tập nhằm tạo nên tri thức cho chính bản thân

người học

Đối với học sinh THCS hiện nay trong bộ môn toán, môn đại số là môn học khó Với kinh nghiệm giảng dạy của bản thân cũng như là xuất phát từ thực tế nơi công tác tôi nhận thấy đa số các em học sinh rất ngại học các bài toán có liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn: 2 ( )

ax +bx+ =c a¹ đặc biệt là các bài toán liên quan đến phương trình có chứa tham số nói chung và các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nói riêng Trong chương trình đại số 9, phần nội dung này không được đề cập nhiều trong sách giáo khoa Toán 9 kì 2, nhưng bài tập liên quan đến hệ thức Vi-ét thì lại rất đa dạng và đặc biệt hơn là trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT những năm gần đây Xuất phát từ thực tế, cũng như lòng ham muốn học hỏi, nghiên cứu tôi quyết

định chọn đề tài: “Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề chủ đề hệ thức

Vi-ét cho học sinh lớp 9 ” để góp phần giải quyết và khắc phục những bất cập trong

dạy học chủ đề hệ thức Vi-ét ở trường THCS

2 Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống hóa cơ sở lý luận về phương pháp dạy học PH&GQVĐ

- Nghiên cứu nội dung về chương trình toán THCS mà cụ thể là chủ đề hệ thức Vi-ét

- Nghiên cứu thực trạng dạy và học chủ đề hệ thức Vi-ét lớp 9 ở trường THCS

- Vận dụng phương pháp dạy học PH&GQVĐ để thiết kế một số tình huống dạy học trong dạy học hệ thức Vi-ét nhằm phát huy tính tích cực chủ động của học sinh, góp phần nâng cao hiệu quả của các hoạt động

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra hiệu quả của việc dạy học theo phương pháp

đã đề xuất

3 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy và học phần hệ thức Vi-ét ở trường THCS

4 Câu hỏi nghiên cứu

- Thực trạng dạy và học chủ đề hệ thức Vi-ét lớp 9 như thế nào?

- Dạy học chủ đề hệ thức Vi-ét lớp 9, theo hướng PH&GQVĐ có thể nâng cao hiệu quả của việc dạy và học Toán hay không?

5 Giả thuyết nghiên cứu

- Việc dạy và học chủ đề hệ thức Vi-ét lớp 9 hiện nay còn nhiều bất cập, hiệu quả chưa cao

- Dạy học hệ thức Vi-ét theo hướng PH&GQVĐ có thể phát huy được tinh thần tích cực hóa học tập của học sinh, nhằm nâng cao hiệu quả của quá trình dạy và học Toán

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm rõ các cơ sở lý luận của phương pháp dạy học PH&GQVĐ

- Xây dựng một số tình huống trong dạy học phần hệ thức Vi-ét theo hướng vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả khi thực hiện đề tài này

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

- Giới hạn nghiên cứu: Chương trình Toán học trung học cơ sở

- Địa bàn thực nghiệm: Lớp 9A, 9I Trường trung học cơ sở Minh Hà, huyện Thạch Thất, Hà Nội

8 Phương pháp nghiên cứu

* Phương pháp nghiên cứu lí luận:

- Nghiên cứu một số tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý luận và các tài liệu về phương pháp dạy học bộ môn Toán)

- Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên và một số tài liệu nâng cao có liên quan đến nội dung dạy học hệ thức Vi-ét và ứng dụng

* Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

- Điều tra, quan sát thông qua tiến hành dự giờ, trao đổi, tham khảo ý kiến một số

đồng nghiệp dạy giỏi toán, có kinh nghiệm: tìm hiểu thực tiễn giảng dạy các dạng toán liên quan đến hệ thức Vi-ét

- Sử dụng phiếu hỏi, trò chuyện với học sinh nhằm đánh giá thực trạng và hiệu quả của việc sử dụng phương pháp dạy học tích cực với việc phát triển tư duy sáng tạo của học sinh trung học cơ sở

* Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

- Thực nghiệm giảng dạy hai giáo án soạn theo hướng của đề tài ở lớp thực nghiệm và đối chứng nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài này

* Phương pháp thống kê toán học: Sử dụng một số phần mềm thống kê toán học để xử

lí số liệu điều tra khảo sát được

9 Những đóng góp của đề tài

Ngoài việc nghiên cứu cơ sở lý luận của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thực trạng dạy và học phần hệ thức Vi-ét ở trường trung học cơ sở, đề tài đã đề xuất được một số tình huống dạy học điển hình vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong việc chinh phục tri thức nội dung hệ thức Vi-ét , góp phần tạo hứng thú, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn này được trình bày trong

ba chương như sau:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Thiết kế một số tình huống phát hiện và giải quyết vấn đề trong

dạy học hệ thức Vi-ét Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Thuật ngữ “Dạy học nêu vấn đề” được xuất phát từ thuật ngữ “Orixtic” được gọi

là phương pháp phát kiến, tìm tòi Điều này đã được nghiên cứu bởi các nhà khoa học như A.Ja Ghecđơ, B.E Raicop, N.A Rôgiơcôp vào thế kỉ XIX Các nhà khoa học này đã đưa ra các phương án tìm tòi, phát kiến trong dạy học nhằm hình thành năng lực nhận thức của người học bằng cách đưa người học vào hoạt động tìm kiếm ra tri thức, người học là chủ thể của hoạt động học đồng thời cũng là người sáng tạo ra hoạt động học

Vào những năm 50 của thế kỉ XX, khi xã hội bắt đầu phát triển mạnh, xuất hiện các mâu thuẫn trong giáo dục cụ thể là mâu thuẫn giữa yêu cầu giáo dục ngày càng cao, khả năng sáng tạo của học sinh ngày càng tăng mà tổ chức dạy học thì chưa đáp ứng được vẫn còn lạc hậu, Tác giả tài liệu [15] đã làm sáng tỏ phương pháp PH&GQVĐ thực sự là một phương pháp dạy học tích cực, có tác dụng phát huy được năng lực nhận thức của học sinh, kích thích học sinh tích cực suy nghĩ, chủ động tìm tòi, sáng tạo để giải quyết vấn đề đạt tới kiến thức mới một cách sâu sắc, xây dựng cho học sinh ý thức liên hệ, bồi dưỡng hứng thú thực hành và xu hướng vận dụng kiến thức vào thực tiễn Tuy nhiên những nghiên cứu này lại chỉ dừng lại ở việc ghi lại thực nghiệm thu được khi sử dụng phương pháp này chứ chưa đưa ra được đầy đủ những cơ

sở lí luận cho phương pháp dạy học này

Đến những năm 70 của thế kỉ XX, nhà lý luận học người Nga – M.I Mackmutov

đã chính thức ra cơ sở lí luận của phương pháp PH&GQVĐ được kế thừa từ Algorit hóa và Ơrixtic, đưa phương pháp này trở thành phương pháp dạy học tích cực Ngoài M.I Mackmutov, trên thế giới còn rất nhiều nhà khoa học, nhà giáo dục học nghiên cứu về phương pháp DH PH&GQVĐ như: M.N Xcatlin, Lecne, A.M Machiuskin, Tuy nhiên , những nghiên cứu này đều chỉ dừng lại ở những kết quả thực nghiệm thu

được từ việc sử dụng phương pháp này, chưa xây dựng được đầy đủ cơ sở lí luận cho phương pháp dạy học này

Theo tài liệu [14] với sự ra đời của lí thuyết vùng phát triển của Vygotsky (1886 – 1938) và các lí thuyết học tập đã tạo nên cơ sở lí luận cho việc nghiên cứu về phương pháp dạy học PH&GQVĐ và phát triển năng lực của học sinh, các lí thuyết được quan tâm và vận dụng nhiều như: Thuyết hành vi – Học là sự thay đổi hành vi Thuyết kiến tạo - Học là tự kiến tạo tri thức, từ các lý thuyết học tập này, các chiến lược học tập, quan điểm dạy học ra đời tạo nên cơ sở lí luận cho việc phát triển năng lực học sinh và các PPDH tích cực được hoàn thiện hơn, trong đó có PPDH PH&GQVĐ trong dạy học

bộ môn Toán

1.1.1.2 Ở Việt Nam

Ở Việt Nam, dịch giả Phan Tất Đắc - người đầu tiên đưa phương pháp dạy học PH&GQVĐ vào Việt Nam đã dịch cuốn sách “Dạy học nêu vấn đề” của tác giả tài liệu [10] Về sau có rất nhiều nhà khoa học cũng nghiên cứu về phương pháp này như : Lê Khánh Bằng, Bùi Văn Nghị, Nguyễn Bá Kim, Với môn Toán , phương pháp dạy học PH&GQVĐ được các tác giả Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Tôn Thân và các tác giả khác đề cập trong tài liệu [9], [11], [12]

Trong những năm gần đây có nhiều luận văn thạc sĩ và bài báo nghiên cứu ứng dụng PPDH này trong dạy học môn Toán ở THPT như các tài liệu [2], [14],

Như vậy, đã có nhiều tác giả quan tâm đến việc sử dụng PPDH PH&GQVĐ trong môn Toán nhằm nâng cao chất lượng dạy học, góp phần phát triển tư duy cho học sinh THPT Nhưng việc vận dụng PPDH PH&GQVĐ trong chủ đề hệ thức Vi-ét lại chưa được đề cập đến

1.1.2 Cơ sở lý luận của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Theo tác giả tài liệu [8], phương pháp dạy học PH&GQVĐ dựa trên các cơ sở sau:

1.1.2.1 Cở sở triết học

Theo quan điểm của triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn chính là động lực quan trọng để thúc đẩy quá trình phát triển Vấn đề mà học sinh được gợi ra trong học tập là một mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức tri thức mới và kinh nghiệm sẵn có Khi đó, tình huống này sẽ phản ánh một cách logic và biện chứng mối quan hệ

bên trong giữa tri thức cũ, kỹ năng cũ, kinh nghiệm cũ đối với yêu cầu nhiệm vụ giải quyết sự kiện mới hoặc đổi mới tình thế Nhờ vậy, học sinh mới được phát triển thêm một bước trên con đường tự hoàn thiện mình cũng như sẵn sàng tiếp nhận những mâu thuẫn khác ở mức độ cao hơn

Ví dụ: Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc là như thế nào?

Đây là một vấn đề đối với học sinh lớp 11, có gì giống và khác nhau với khái niệm hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng đã học Mâu thuẫn ở đây chính là yêu cầu nhận thức mới so với những kiến thức đã được học ở hình phẳng

1.1.2.2 Cơ sở tâm lý

Các nhà tâm lý học đã cho rằng: con người chỉ bắt đầu tư duy một cách tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy “Tư duy sáng tạo thường bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề”

Như vậy, bản chất của phương pháp dạy học PH&GQVĐ là dựa trên cơ sở lý luận của tâm lý học về quá trình tư duy và về đặc điểm tâm lý lứa tuổi của người học

Có thể mô tả toàn bộ quá trình dạy học này như sau: Giáo viên là người đưa học sinh đến một trở ngại T (tình huống có vấn đề), ở đó trở ngại T phải thỏa mãn các điều kiện gây cảm xúc (ngạc nhiên, háo hức, hứng thú, chờ đợi) và trên sức một chút ( nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ vượt qua T) Học sinh sẽ tích cực hoạt động nhận thức dưới sự gợi

mở, dẫn dắt của giáo viên có thể là toàn bộ hoặc theo từng phần, cũng có thể là học sinh độc lập suy nghĩ để tìm ra con đường vượt qua trở ngại T, đi đến kết luận nào đó Quá trình nhận thức của con người luôn được thực hiện nhờ tư duy, mà tư duy chính là sự nhận thức dẫn đến chỗ PH&GQVĐ nhiệm vụ đặt ra cho mỗi người Vì vậy tâm lý học dạy học cần phải dựa vào nguyên tắc: tính có vấn đề cao bởi vì sẽ không có

sự tồn tại của tư duy nếu không có vấn đề

Theo quan điểm của tâm lý học kiến tạo, học tập là một quá trình mà ở đó người học được xây dựng tri thức cho mình bằng cách liên hệ những trải nghiệm mới với những tri thức đã sẵn có Dạy học PH&GQVĐ là một phương pháp phù hợp với quan điểm này

1.1.2.3 Cơ sở giáo dục học

- Dạy học PH&GQVĐ là phương pháp phù hợp với nguyên tắc về tính tích cực và

tự giác Phương pháp này khêu gợi được các hoạt động học tập tích cực của học sinh, hướng đích và gợi động cơ trong quá trình học tập của học sinh

- Dạy học PH&GQVĐ cũng là một phương pháp tạo ra sự thống nhất giữa kiến tạo tri thức, phát triển năng lực trí tuệ cho người học đồng thời bồi dưỡng phẩm chất cho người học

1.1.3 Những khái niệm cơ bản

Một bài toán được coi là có vấn đề nếu chủ thể của bài toán chưa có bất cứ một thuật giải nào để tìm ra phần tử chưa biết của nó

1.1.3.2 Tình huống gợi vấn đề

- Tình huống gợi vấn đề là tình huống mà ở đó học sinh được gợi ra những khó khăn về lý luận hay là thực tiễn mà họ thấy cần thiết cho bản thân mình đồng thời bản thân học có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay lập tức nhờ một thuật giải nào

đó, mà họ phải trải qua một quá trình tích cực hoạt động suy nghĩ để biến đổi đối tượng hoặc điều chỉnh các kiến thức đã có

Tóm lại, tình huống gợi vấn đề phải có đủ:

 Tồn tại một vấn đề

Đây chính là yếu tố chính của tình huống Tình huống được đưa ra cần bộc lộ rõ được mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức của chủ thể và chủ thể phải ý thức được một số khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà với trình độ nhận thức hiện tại của bản thân chưa đủ để vượt qua vấn đề Hay, phải có một vấn đề, tức là phải có ít nhất một phần tử của khách thể mà người học chưa biết

và cũng chưa có trong tay bất cứ một thuật giải nào để đi tìm phần tử đó Trong quá trình học tập, vấn đề có thể là tri thức mới hay cách thức hành động mới hoặc cũng có thể là kĩ năng mới mà học sinh cần phải phát hiện ra và chiếm lĩnh

 Gợi nhu cầu nhận thức

Nếu tình huống có một vấn đề nhưng có một lý do khiến học sinh nhận thấy bản thân mình không có nhu cầu tìm hiểu, giải quyết, chẳng hạn họ thấy vấn đề xa

lạ, không liên quan gì đến bản thân mình thì đó cũng chưa phải là một tình huống gợi vấn đề Điều quan trọng là tình huống phải gợi được nhu cầu nhận thức và kỹ năng của người học để họ cảm thấy cần thiết phải bổ sung, điều chỉnh,cần phải hoàn thiện tri thức kỹ năng bằng cách tham gia giải quyết những vấn đề nảy sinh Một tình huống tốt là phải gây được cảm xúc: ngạc nhiên, hứng thú và mong muốn giải quyết cho người học

 Khơi dậy niềm tin ở khả năng của bản thân

Nếu một tình huống có vấn đề và người học có nhu cầu giải quyết vấn đề đó nhưng họ lại cảm thấy vấn đề đó lại vượt quá xa so với khả năng của bản thân thì họ cũng không sẵn sàng tham gia giải quyết vấn đề đó Tình huống đưa ra cần phải khơi dậy ở người học cảm nghĩ rằng tuy họ chưa có ngay lời giải nhưng đã có một số tri thức, kỹ năng có liên quan đến vấn đề đưa ra và nếu họ tích cực suy nghĩ, hoạt động thì có hy vọng giải quyết được vấn đề đó Khi đó người học có được niềm tin ở bản thân và sẽ huy động tri thức và kỹ năng sẵn

có để giải quyết hoặc tham gia giải quyết vấn đề đó một cách tích cực

1.1.3.3 Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, người giáo viên là người đóng vai trò tạo ra những tình huống gợi vấn đề và điều khiển học sinh phát hiện vấn đề Để học

sinh hoạt động một cách tự giác, tích cực chủ động và tạo tri thức, đồng thời giúp học sinh rèn luyện kỹ năng và đạt được những mục đích học tập khác

Quá trình dạy học này bao gồm các hoạt động: tổ chức các tình huống có vấn đề, biểu đạt vấn đề, giúp đỡ người học giải quyết các vấn đề đặt ra, kiểm tra cách giải quyết đó và cuối cùng là hệ thống hóa và củng cố kiến thức đã tiếp thu Hành động học tập tương ứng của học sinh, phát hiện được vấn đề nảy sinh trong tình huống có vấn

đề, học sinh độc lập giải quyết dưới sự điều khiển của thầy cô giáo Kết quả: Học sinh nắm vững được tri thức và cách thức hành động mới

Dạy học PH&GQVĐ là phương pháp có những đặc điểm sau đây:

- Học sinh được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là giáo viên thông báo tri thức dưới dạng có sẵn cho học sinh

- Học sinh hoạt động một cách tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận lực huy động các tri thức sẵn có và khả năng của bản thân để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không chỉ là nghe giáo viên giảng bài thụ động

- Mục đích của việc dạy học là làm cho học sinh phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy Từ đó, học sinh được học bản thân việc học Chứ không phải học

sinh chỉ lĩnh hội được các kết quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề

1.1.4 Những hình thức của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Tùy theo mức độ độc lập của học sinh trong quá trình PH&GQVĐ mà có các cấp

độ khác nhau của phương pháp dạy học PH&GQVĐ

ii Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề

Trong vấn đáp PH&GQVĐ, học sinh làm việc không hoàn toàn độc lập như hình thức tự nghiên cứu vấn đề mà ở đây có sự gợi ý, hướng dẫn của giáo viên khi cần thiết Phương tiện để thực hiện hình thức này là những câu hỏi của thầy và những câu hỏi, trả lời hoặc hành động đáp lại học sinh Như vậy, trong hình thức này có sự đan xen, thay đổi trong hoạt động của giáo viên và học sinh dưới hình thức vấn đáp

Với hình thức này, ta thấy phương pháp dạy học PH&GQVĐ có vẻ giống với phương pháp vấn đáp Tuy nhiên,không vì vậy mà ta đồng nhất hai cách dạy học này với nhau Điều quan trọng của phương pháp dạy học PH&GQVĐ không phải là những câu hỏi mà là ở tình huống gợi vấn đề Trong một giờ học nào đó, giáo viên có thể đưa

ra nhiều câu hỏi, nhưng nếu các câu hỏi đưa ra này chỉ đòi hỏi học sinh tái hiện tri thức

đã học thì giờ học đó vẫn không phải là dạy học giải quyết vấn đề Ngược lại, trong một số trường hợp, việc PH&GQVĐ của người học có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình huống gợi vấn đề chứ không phải là nhờ các câu hỏi được đặt ra trong quá trình học

iii Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề

Ở hình thức này, mức độ độc lập của người học thấp hơn hai hình thức tự nghiên cứu vấn đề và vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề

Giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau đó chính giáo viên lại là người phát hiện vấn đề và đưa ra quá trình suy nghĩ giải quyết (chứ không phải là chỉ nêu lời giải) Trong quá trình đó có việc tìm tòi, dự đoán có lúc thành công cũng có lúc thất bại và phải điều chỉnh phương hướng mới để đi đến được kết quả đúng Như vậy, tri thức được người học khám phá ra chúng trong quá trình học, chứ không phải chúng được trình bày dưới dạng có sẵn; quá trình này là sự mô phỏng và rút gọn quá trình khám phá sự thật Cấp độ này được dùng nhiều hơn ở bậc THPT, Đại học

1.1.4.2 Cách phân loại thứ hai

Theo tác giả tài liệu [10] dạy học PH&GQVĐ có ba dạng như sau:

* Dạng 1: Phương pháp nghiên cứu

Giáo viên tổ chức hoạt động tìm tòi sáng tạo cho người học bằng cách đưa ra chương trình hoạt động, kiểm tra và uốn nắn quá trình đó Học sinh sẽ đọc lập trải qua các giai đoạn sau:

- Quan sát và nghiên cứu các sự kiện, hiện tượng

- Đặt vấn đề

- Đưa ra giả thuyết

- Xây dựng kế hoạch nghiên cứu

- Thực hiện kế hoạch, tìm hiểu mối liên hệ giữa các hiện tượng đang nghiên cứu với các hiện tượng khác

- Trình bày cách giải quyết vấn đề

- Kiểm tra cách giải quyết

- Rút ra kết luận thực tiễn về việc vận dụng kiến thức đã được tiếp thu

* Dạng 2: Phương pháp tìm tòi từng phần

Học sinh tự mình giải quyết từng giai đoạn, từng phần trong quá trình nghiên cứu dưới sự giúp đỡ của giáo viên

* Dạng 3: Phương pháp trình bày nêu vấn đề

Người học được giáo viên giới thiệu cho cách giải quyết vấn đề, giúp cho họ hiểu logic các vấn đề và cách giải quyết vấn đề đó Theo hai hình thức:

- Hình thức thứ nhất: Giáo viên trình bày hoặc dùng phương tiện dạy học thay thế

để trình bày logic của việc tìm kiếm cách giải quyết vấn đề đã đặt ra cho học sinh

- Hình thức thứ hai: Giáo viên là người vạch ra cách giải quyết sau cùng của vấn

đề đang giải quyết

Mỗi hình thức nói trên đều đòi hỏi người học phải bộc lộ tính tích cực ở các mức

độ khác nhau: sáng tạo, tìm tòi và tái hiện, vì vậy chủ thể học tập (là học sinh) sẽ bộc

lộ tính độc lập cao nhất ở dạng phương pháp nghiên cứu và thấp nhất ở dạng phương pháp tìm tòi từng phần

Trong dạy học ở trường phổ thông, phương tiện quan trọng nhất đó là hệ thống các câu hỏi, là lời gợi ý của giáo viên và các câu hỏi, hành động đáp lại của học sinh

1.1.5 Thực hiện phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Nội dung trình bày ở mục này dựa theo giáo trình phương pháp dạy học đại cương môn toán của tác giả tài liệu [8]

1.1.5.1 Các bước của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Theo quan điểm của tác giả tài liệu [8] có thể phân chia quá trình dạy học PH&GQVĐ thành các bước sau:

* Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do người giáo viên tạo ra

Có thể liên tưởng tới cách suy nghĩ tìm tòi và dự đoán

- Giải thích chính xác hóa tình huống để hiểu đúng vấn đề đã được đặt ra

- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó đang nghiên cứu

* Bước 2: Tìm giải pháp

- Tìm ra một giải pháp để giải quyết vấn đề Việc này thường được thực hiện như sau:

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ tìm giải pháp

* Bước 3: Trình bày giải pháp

Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học cần phải trình bày lại tất cả toàn

bộ quá trình từ việc phát biểu vấn đề cho tới giải pháp Nếu vấn đề đặt ra là một đề bài

cho sẵn thì người học có thể không cần phát biểu lại vấn đề này Trong khi trình bày cần phải tuân thủ các chuẩn mực đã được đề ra trong nhà trường

* Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Tìm hiểu những khả năng có thể ứng dụng kết quả

- Đề xuất thêm những vấn đề mới có liên quan nhờ sự xét tương tự, khái niệm hóa, lật ngược vấn đề và giải quyết nếu có thể thực hiện

- Sau khi tìm ra một giải pháp,người học có thể tiếp tục tìm thêm nhiều giải pháp khác (theo như sơ đồ 1.1) và so sánh chúng với nhau rồi tìm ra giải pháp hợp lý nhất

1.1.5.2 Những điểm cần lưu ý khi vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

- Dạy học PH&GQVĐ là điều kiện và là một phương tiện tốt để có thể đạt được mục đích quan trọng của nhà trường trong quá trình đào tạo lớp người lao động trẻ cho

xã hội Nhưng không thể vì vậy mà cho rằng tất cả các phương pháp dạy học đều phải trở thành phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là không đúng

- Một điều rất rõ ràng là không có bất cứ một phương pháp dạy học nào là vạn năng Phương pháp dạy học PH&GQVĐ hiện nay là một trong những phương pháp dạy học hiện đại, phương pháp này đòi hỏi cần phải có sự vận dụng thật sáng tạo trong những điều kiện dạy học, trong nội dung dạy học, trong đối tượng và môi trường sư phạm cụ thể

- Khi thực hiện phương pháp PH&GQVĐ trong dạy học yêu cầu người giáo viên phải có sự chuẩn bị bài giảng hết sức chu đáo (bởi vì, để đạt được kết quả cao trong phương pháp PH&GQVĐ, giáo viên phải chuẩn bị nhiều tình huống gợi vấn đề, nhiều bài toán, nhiều câu hỏi, nhiều tình huống có vấn đề, cho nhiều đối tượng học sinh)

- Khi tiến hành dạy học ở những lớp có đông học sinh (tình trạng này còn phổ biến ở nước ta) giáo viên cần phải tạo tình huống có vấn đề một cách thật khéo léo, linh hoạt; nếu không sẽ có nguy cơ bỏ rơi số lượng lớn học sinh của lớp

1.1.6 Những cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề

Mục này có nội dung được trình bày dựa theo giáo trình phương pháp dạy học đại cương môn toán của tác giả tài liệu [8]

Tác giả tài liệu [8], để thực hiện dạy học PH&GQVĐ, điểm xuất phát là tạo tình huống gợi vấn đề Một số giáo viên cho rằng dạy học PH&GQVĐ là phương pháp dạy học tuy hay nhưng có vẻ ít cơ hội thực hiện do khó tạo ra nhiều tình huống gợi vấn đề

Có thể xóa bỏ quan niệm không đúng này bằng cách đưa ra một số tình huống có vấn

đề phổ biến và dễ xây dựng Chẳng hạn có thể tạo những tình huống đó như sau:

i Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (tính toán, đo đạc)

Ví dụ 1.1: Trong dạy học hệ thức Vi-ét, giáo viên có thể cho học sinh dự đoán nhờ tính toán bằng cách cho học sinh làm ?1 SGK toán 9 Trước khi thực hiện ?1 này, SGK toán 9 đã nhắc lại một kiến thức đã học ở bài trước như sau :

“Trước hết cần chú ý rằng, nếu phương trình bậc hai 2

0

ax + bx+ c= có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay là nghiệm kép, ta đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng

x x a

íïï + = ïïï

Trước hết, giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại hệ thức Vi-ét đã học Từ hệ thức Vi-ét ta đã biết cách tính tổng và tích hai nghiệm x x1, 2 của phương trình bậc hai Ngược lại khi có tổng của hai số nào đó bằng S và tích của chúng bằng P thì có thể suy ra hai số đó là nghiệm của một phương trình bậc hai nào chăng?

iii Xem xét tương tự

iv Khái quát hóa

v Giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải nào

vi Tìm sai lầm trong một lời giải cho trước

vii Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm đó

1.1.7 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn toán, định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở

1.1.7.1 Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn toán

Việc vận dụng phương pháp dạy học PH&GQVĐ trong bộ môn toán, theo tài liệu [7] có nghĩa là giáo viên phải tổ chức việc dạy học toán sao cho đặt học sinh của mình vào tình huống luôn luôn phải tìm tòi để phát hiện ra vấn đề, sáng tạo ra những con đường để giải quyết những vấn đề đó (học sinh tự rút ra công thức, tự chứng minh định lí, tìm cách ghi nhớ một cách tích cực các kiến thức cần lĩnh hội; tự tìm ra thuật giải các bài toán điển hình, tự tìm ra cách giải hay và gọn những bài toán lý thuyết hay thực hành ) Kết quả là học sinh lĩnh hội được các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mới đồng thời học sinh học được cách tự khám phá vấn đề

* Khi vận dụng phương pháp dạy học PH&GQVĐ trong môn toán cần chú ý khai thác

sử dụng những khía cạnh sau:

- Khi dạy khái niệm cần phải chú ý đến hai con đường chính hình thành khái niệm

đó là con đường quy nạp và con đường suy diễn Tóm lại, người ta thường phối hợp cả hai con đường này trong quá trình dạy học khái niệm cho học sinh

- Khi dạy định lí cần phải chú ý có hai con đường tiếp cận định lí đó là con đường suy diễn và con đường suy đoán

- Khi dạy giải bài tập toán,giáo viên phải chú ý đến hai mặt suy diễn và suy lý Nói cách khác là cần phải chú ý thực hiện cả hai mặt đó là :

+ Dạy chứng minh

+ Dạy tìm tòi

Khi thực hiện giảng dạy điều này giáo viên cần chú ý hình thành và rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy cơ bản, đặc biệt là các thao tác: tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa và tổng quát hóa

* Khi dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề giáo viên cần hết sức lưu ý vận dụng quan điểm “dạy học toán là dạy học các hoạt động học”

1.1.7.2 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học

Như đã nêu ở trên, với tư tưởng chủ đạo và cũng là mục đích chính của quá trình dạy học đó là tích cực hóa hoạt động của học sinh trong học tập, khi tổ chức hướng dẫn cho học sinh tự nghiên cứu, tìm hiểu, tự phát hiện và giải quyết vấn đề phải trên

cơ sở là học sinh tự giác và được tự do, được tạo khả năng và được tạo điều kiện chủ động trong các hoạt động đó

Đồng thời khi thực hiện đổi mới phương pháp dạy học, cần phải tham khảo có chọn lọc kinh nghiệm của thế giới, đặc biệt là phải bám sát các hướng đổi mới tích cực của họ; chẳng hạn như thực hiện các phương pháp dạy học sau:

- Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

- Áp dụng lý thuyết tình huống

- Dạy học chương trình hóa

- Dạy học phân hóa

- Phát triển và sử dụng công nghệ trong quá trình dạy học

Phương pháp dạy học PH&GQVĐ là phương pháp có khả năng góp phần tích cực thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng đổi mới nêu trên Sử dụng phương pháp dạy học này cũng không cần đòi hỏi phải có sự thay đổi quá lớn về cơ chế trường lớp, bài học, cở sở vật chất hay cả về trình độ giáo viên hiện nay Phương pháp dạy học PH&GQVĐ tỏ ra là phù hợp khi vận dụng vào những tình huống cụ thể trong dạy học bộ môn toán Vì vậy, có thể coi dạy học PH&GQVĐ là một trong số các hướng quan trọng để đổi mới phương pháp dạy học ở nước Việt Nam ta hiện nay

1.2 Chương trình hệ thức Vi-ét ở lớp 9

1.2.1 Nội dung hệ thức Vi-ét trong chương trình toán học lớp 9

1.2.1.1 Những đặc trưng của hệ thức Vi-ét

Tài liệu phân tích là tài liệu [4], [5]

Trong SGK toán 9, hệ thức Vi-ét được đưa vào ở chương IV “Hàm số

2

0

y= ax ¹ - Phương trình bậc hai một ẩn” Cụ thể là sau khi học sinh đã học xong

bài “Công thức nghiệm của phương trình bậc hai” và bài “Công thức nghiệm thu gọn”

“ Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” là tiêu đề bài 6 trong chương IV Trước khi vào nội dung bài học, SGK toán 9 đã gợi ý phần nào về nguồn gốc của hệ thức này bởi một

nhận xét bên dưới tựa đề là “Nghiệm và hệ số của phương trình có mối liên quan kì diệu”

Trong bài 6 này, hệ thức Vi-ét được rút ra một cách gián tiếp thông qua một hoạt động nhỏ của học sinh:

x x a

íïï + = ïïï

-ìï

”

Như vậy, hệ thức Vi-ét đã được học sinh rút ra từ một công thức nghiệm mà học

sinh đã học ở bài trước, đó là sử dụng biệt thức D (delta) để biểu diễn nghiệm của một

phương trình bậc hai

Hệ thức Vi-ét có mặt trong một định lí mà điều kiện đi kèm là phương trình bậc có

hai nghiệm phân biệt hoặc nghiệm kép Điều kiện này đã được nhắc tới trong hoạt

động ?1 của học sinh

1.2.1.2 Ứng dụng của hệ thức Vi-ét

Trong SGK toán 9 đã giới thiệu hai kí hiệu đặc biệt cho tổng và tích hai nghiệm

đó, là S và P SGK toán 9 đã trình bày các kí hiệu này ở phần “2 Tìm hai số biết tổng

- Tìm một nghiệm khi đã biết nghiệm còn lại

- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Ngoài hai ứng dụng nêu trên, một ứng dụng nữa cũng không kém phần quan trọng

đã được sách giáo viên lớp 9 đề cập đó là “ nhẩm nghiệm” Đây chính là mục tiêu

quan trọng ở bài 6 mà sách giáo viên đã lưu ý “cần yêu cầu học sinh vận dụng triệt để

hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình” Ứng dụng này được giới thiệu

đến học sinh thông qua 2 hoạt động nhỏ là ?2 và ?3

“?2 Cho phương trình 2

2x - 5x+ 3 = 0 a) Hãy chỉ rõ các hệ số a b c, , rồi tính a+ b+ c

b) Chứng tỏ rằng x =1 1 là một nghiệm của phương trình

c) Hãy áp dụng định lí Vi-ét để tìm x2

?3 Cho phương trình 2

3x + 7x+ 4 = 0 a) Hãy tìm các hệ số a b c, , của phương trình rồi tính a- b+ c

b) Chứng tỏ rằng phương trình đã cho có một nghiệm là x = -1 1

c) Từ đó tìm nghiệm x2.”

Kết thúc từng hoạt động ?2 và ?3 là một nhận xét được SGK toán 9 đưa ra nhằm

cung cấp cho học sinh một công thức tổng quát khi cần tìm nghiệm trong trường hợp

hệ số của phương trình bậc hai thỏa mãn a+ +b c= 0 haya b- + =c 0

Sách giáo viên lớp 9 tập 2 có lưu ý: “Thực tế cho thấy nhiều học sinh sau khi tốt nghiệp trung học cơ sở không biết sử dụng hoặc sử dụng kém công thức nghiệm trong trường hợp có thể dùng ∆', không biết dùng hệ thức Vi-ét, thậm chí, không nhẩm được nghiệm trong trường hợp a+ +b c= 0hoặc a b- + =c 0 Đó là những điều rất đáng khắc phục.” Nhận xét trên đã giải thích được ý đồ trình bày hệ thức Vi-ét và ứng dụng

của nó trong SGK

1.2.2 Thực trạng dạy học hệ thức Vi-ét ở trường THCS Minh Hà hiện nay

Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán tại trường THCS Minh Hà em nhận thấy rằng còn nhiều học sinh học yếu môn này Một số học sinh còn coi nhẹ việc giải các bài toán, trong giờ học ít chịu suy nghĩ, tìm tòi lời giải Các bài toán về những ứng dụng của hệ thức Vi-ét rất phong phú và đa dạng, chúng đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo Điều này yêu cầu bản thân học sinh phải có

óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư duy

Học sinh vận dụng những ứng dụng của hệ thức Vi-ét như: Nhẩm nghiệm của phương trình sau 2

với giá trị tuyệt đối của chúng không quá lớn Tìm được hai số khi có tổng và tích của chúng Biểu diễn tổng các bình phương, các lập phương của hai nghiệm thông qua các

hệ số của phương trình còn chưa được thành thạo, gặp nhiều khó khăn trong quá trình vận dụng vào giải các bài toán có liên quan

Những ứng dụng của hệ thức Vi-ét đối với học sinh THCS khá là khó và mới Khi

đi tìm lời giải của những bài toán này các em thường gặp nhiều khó khăn, có những bài các em không biết bắt đầu từ đâu? Cần vận dụng những kiến thức đã học nào? Làm thế nào để có thể tìm được giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện của bài toán đưa ra?

Một số giáo viên còn chưa thực sự chủ động về kiến thức, khả năng phân tích bài toán, khai thác bài toán còn hạn chế chưa khai thác được bài toán theo nhiều hướng khác nhau Hoặc giáo viên còn thiếu những điều kiện thuận lợi, thiếu thời gian để phân tích, tìm tòi lời giải, khai thác, hệ thống các bài toán

Trình độ nhận thức của một số em học sinh còn chậm, không đồng đều và điều kiện học tập chưa được tốt cũng ảnh hưởng nhiều đến hoạt động dạy – học

1.3 Một số kiến thức bổ trợ

1.3.1 Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai

a) Nếu x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình sau 2 ( )

-a

= b) Muốn tìm hai số uvà v, biết u+ v= S uv, = P, ta giải phương trình:

a) Định lí Vi-ét thuận: Nếu phương trình (1) có ba nghiệm x x x1, 2, 3 thì ta có:

a d

x x x

a

íïï + + = ïï

-ïï

ìï ïï

ïï = ïï

-ïîb) Định lí đảo của định lí Vi-ét

Nếu ba số x y z, , thỏa mãn

x y z a

xy yz zx b xyz c

í + + =ïï

ïï + + =ìï

ï =ïïî

thì x y z, , là ba nghiệm của phương trình: 3 2

Cụ thể là: Sơ lược về lịch sử nghiên cứu phương pháp dạy học PH&GQVĐ, một

số khái niệm cơ bản, những hình thức, cách thực hiện dạy học PH&GQVĐ

Dựa trên mục đích dạy học hệ thức Vi-ét, đặc điểm vai trò của hệ thức Vi-ét, cho thấy việc vận dụng phương pháp dạy học PH&GQVĐ trong môn học này sẽ mang lại nhiều ý nghĩa Đây là phương pháp dạy học khả thi, góp phần đổi mới cách dạy – hệ thức Vi-ét ở trường THCS Minh Hà hiện nay Nội dung chương này là tiền đề cho việc xây dựng một số tình huống phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề hệ thức Vi-ét ở chương sau

CHƯƠNG 2 THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN

ĐỀ TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HỆ THỨC VI-ÉT Trong phần này tôi xây dựng một số tình huống dạy học PH&GQVĐ chủ đề hệ

thức Vi-ét tập trung vào một số dạng toán thường gặp

Ở mỗi dạng toán, tình huống dạy học PH&GQVĐ được chúng tôi tập trung vào ba hướng chính: Tình huống học sinh tự thử nghiệm và rút ra kết luận; tình huống để học sinh đào sâu bài toán, tổng quát bài toán; tình huống tìm sai lầm trong lời giải bài toán cho trước và đưa ra lời giải đúng

2.1 Dạng 1: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm số Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

2.1.1 Xây dựng tình huống dẫn dắt học sinh tự thử nghiệm và rút ra kết luận

Khi dạy bài “Hệ thức Vi-ét”, để dẫn dắt học sinh đến kết luận: Nếu hai số có tổng là S

và tích là P thì hai số đó là nghiệm của phương trình:

x2 – Sx + P = 0,

điều kiện để tồn tại hai số đó là S2  4P ≥ 0 hay S2 ≥ 4P

giáo viên có thể xây dựng tình huống để học sinh tự thử nghiệm và rút ra kết luận trên như sau:

 Giáo viên cho học sinh làm ví dụ:

Ví dụ 2.1 Cho hai số x 1 và x 2 có các giá trị như bảng dưới, lập phương trình bậc hai

nhận x 1 và x 2 làm hai nghiệm

- Giáo viên có thể hướng học sinh lập luận như sau:

x1 = 4 là một nghiệm của phương trình bậc hai cần tìm nhưng x1 = 4 có là nghiệm của

phương trình bậc nhất x  4 = 0 không? Vì sao?

(vì thay giá trị x1 = 4 vào thì được đẳng thức đúng)

Tương tự, x2 = 2 là một nghiệm của phương trình bậc hai cần tìm nhưng x2 = 2 còn

là nghiệm của phương trình bậc nhất nào? (x + 2 = 0)

x1 3 5 3 1

x2 2 6 4 4

Vậy x1 ,x2 là nghiệm của phương trình nào?

(phương trình: (x  4)(x + 2) = 0 hay x2  2x  8 = 0)

- Các em hãy suy luận tương tự cho các cặp số x1 và x2 còn lại

- Lập bảng so sánh các hệ số của phương trình nhận x1, x2 là nghiệm tìm được với tổng

S và tích P của hai số x1, x2

Từ đó học sinh sẽ rút ra kết luận: x1 và x2 là nghiệm phương trình: x2 Sx + P = 0

Đến đây, giáo viên có thể cho học sinh chứng minh tổng quát kết luận trên như sau:

Rõ ràng x1 và x2 là nghiệm của phương trình: (x  x1)(x  x2) = 0

 x2 x1x - x2x + x1x2 = 0  x2 Sx + P = 0

với x1+ x2 = S, x1 x2 = P

Như vậy giáo viên có thể cho hướng dẫn học sinh cách làm bài toán lập phương trình

bậc hai nhận hai số a, b cho trước là nghiệm Đó là:

- Tính tổng và tích hai số: a + b = S; a.b = P

- Khi đó phương trình bậc hai nhận a và b là nghiệm là: x2 Sx + P = 0

Hoặc như trên: a, b là nghiệm phương trình bậc hai: (x  a)(x  b) = 0

 x2 (a + b)x + ab = 0

 Qua bài toán trên giáo viên có thể gợi ý cho học sinh: Bây giờ nếu không biết hai số

x1 và x2 nhưng biết tổng S và tích P của chúng thì ta có tìm được hai số đó không? (Học sinh sẽ trả lời được ngay: tìm được, hai số x1 và x2 là nghiệm phương trình:

x2  Sx + P = 0 và chứng minh như ngay ở trên)

Tuy nhiên đến đây, giáo viên có thể giới thiệu cho học sinh chứng minh như ở SGK

(trang 52): Gọi tổng của hai số cần tìm là S và tích của chúng là P Gọi một số là x thì

Khi đó: x(S  x) = P  x2  Sx + P = 0 (1) Nếu  = S2 4P ≥ 0 thì phương trình có

nghiệm Các nghiệm tìm được này chính là hai số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy nếu hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó sẽ là nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn sau:

x2 – Sx + P = 0, điều kiện để tồn tại hai số đó là S2  4P ≥ 0 hay S2 ≥ 4P

2.1.2 Xây dựng tình huống để dẫn dắt học sinh đào sâu bài toán, tổng quát bài toán

 Một cách tự nhiên, giáo viên có thể gợi ý cho học sinh: Sử dụng phương pháp lập luận ở trên, liệu có thể lập phương trình nhận ba số x1, x2 và x3 cho trước là 3 nghiệm không?

Cụ thể, giáo viên cho học sinh làm ví dụ 2.2

Ví dụ 2.2 Lập phương trình nhận 3 số x 1 , x 2 và x 3 sau là ba nghiệm:

Cũng như trên, giáo viên cho học sinh so sánh hệ số của phương trình tìm được với

tổng các nghiệm M, tổng của tích từng cặp nghiệm N, tích các nghiệm P:

Từ đó học sinh sẽ rút ra kết luận: x1, x2 và x3 là nghiệm phương trình

x3 Mx2 + Nx  P = 0

với M = x1 + x2 + x3, N = x1x2 + x2x3 + x3x1, P = x1x2x3

Tiếp tục khai thác sâu hơn, giáo viên đặt vấn đề: Nếu chưa biết 3 số x1, x2, x3 nhưng biết tổng của chúng là M, tổng của tích các cặp là N, tích của chúng là P thì có tìm được 3 số đó không?

Học sinh, giống như ở trường hợp của 2.2.1.1, sẽ tìm ra được ba số đó là nghiệm của

phương trình bậc ba x3 Mx2 + Nx  P = 0

Đây chính là một cách chứng minh định lý Vi-ét đảo cho phương trình bậc 3

Chú ý: Giáo viên không đi quá sâu vào việc giải phương trình bậc ba vì để giải phương

trình bậc 3 tổng quát cần dùng kiến thức ở bậc lớn hơn THCS

 Đối với những học sinh khá giỏi, giáo viên có thể gợi ý, hướng dẫn các em mở rộng dạng toán này cho 4 số (Bài toán lập phương trình bậc 4 biết 4 số cho trước là nghiệm

và bài toán tìm bốn số biết một số điều kiện liên quan đến tổng, tích, … của 4 số đó)

 Giáo viên có thể giúp học sinh hiểu sâu, vận dụng tốt hơn hệ thức Vi-ét qua những bài toán có tham số của dạng toán này

Chẳng hạn: 1) Tìm những giá trị của m để phương trình 2 2

Ví dụ 2.3 Tìm hai số a, b biết tổng của chúng là 5 và tích của chúng là 6

Lời giải sai Ta có 5

6

a b ab

í + =ïï

ìï =ïî

nên a và b là nghiệm của phương trình 2

x - x+ = (1)

Giải phương trình này ta được các nghiệm x1 = 2 và x2 = 3

Vậy a = 2 và b = 3

Phân tích sai lầm Lập luận trong lời giải là đúng cho đến khi tìm được hai nghiệm x1

và x2 Tuy nhiên lời giải phạm sai lầm ở bước cuối kết luận a = 2 và b = 3 Điều này

là chưa chính xác vì hai số a, b là nghiệm của phương trình (1), mà (1) có hai nghiệm

là 2 và 3, vậy thì có thể là a = 2, b = 3 hoặc cũng có thể là a = 3, b = 2 Điều này phù hợp với vai trò bình đẳng của a và b trong bài toán

Đây là sai lầm về trình bày lời giải mà học sinh hay mắc phải, giáo viên cần lưu ý học

sinh khi làm dạng toán này

Lời giải đúng Ta có 5

6

a b ab

í + =ïï

ìï =ïî

nên a và b là nghiệm của phương trình: x2 - 5x+ 6 = 0 (1)

Giải phương trình này ta được các nghiệm x1 = 2 và x2 = 3

Vậy a = 2, b = 3 hoặc a = 3, b = 2

Ví dụ 2.4 Tìm hai số a, b biết tổng của chúng là 3 và tích của chúng là 4

Lời giải sai Ta có 3

4

a b ab

í + = ïï

-ìï =ïî

nên a và b là nghiệm của phương trình 2

Vậy hai số cần tìm là: a = 1, b = 4 hoặc a = 4 , b = 1.

Phân tích sai lầm Lời giải trên đã áp dụng công thức x2 – Sx + P = 0 sai nên dẫn đến

kết quả sai

Lời giải đúng Ta có 3

4

a b ab

í + = ïï

-ìï =ïî

nên x và y là nghiệm của phương trình 2

t + x+ = (2)

Lại có 2

3 4.4 7 0.

D = - = - < Vậy phương trình (2) vô nghiệm, do đó không tồn tại hai

số a, b thỏa mãn bài toán

Ví dụ 2.5 Tìm hai cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi là 94, 4m và diện tích là 2

494, 55m

Lời giải sai 1 Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là x và y, ta có

x y

í =ïï

Û ì

ï =ïî

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 15, 7m chiều rộng là 31, 5m

Phân tích sai lầm Lời giải trên đúng đến khi tìm được hai nghiệm x, y Nhưng đến khi

kết luận bài toán sai do thiếu điều kiện của hai cạnh hình chữ nhật: chiều dài lớn hơn chiều rộng nên dẫn đến kết quả sai

Lời giải sai 2 Gọi x và y là hai kích thước của hình chữ nhật (x y >, 0)

94, 4

494,55

x y xy

í + =ïï

ìï =ïî

Suy ra x và y là hai nghiệm của phương trình X2 - 94, 4X+ 494, 55 = 0

5,5788,83

x y

í =ïï

Û ì

ï =ïî

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 88,83m chiều rộng là 5,57m

Phân tích sai lầm Lời giải trên sai công thức tính chu vi của hình chữ nhật

Lời giải đúng Gọi x và y là hai kích thước của hình chữ nhật (x y >, 0)

x y

í =ïï

Û ìï =ïî

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 31, 5m chiều rộng là 15, 7m

Ví dụ 2.6 Tìm hai cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật biết hiệu của hai cạnh là

12,1m và diện tích là 2

1089m

Lời giải sai Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là x và y, ta có :

D < => phương trình X2- 12,1X+1089= 0 vô nghiệm

Phân tích sai lầm Sai lầm ở lời giải này là đổi hiệu x- y= 12,1 thành x+ -( y)= 12,1nhưng chưa đổi tích xy =1089 thành x(- y)= - 1089

Lời giải đúng Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là x và y, x> y> 0

( )

12,1 12,1

2.2 Tính giá trị của các biểu thức đối xứng chứa nghiệm của phương trình bậc hai

2.2.1 Xây dựng tình huống dẫn dắt học sinh tự thử nghiệm và rút ra kết luận

Khi dạy bài “Hệ thức Vi-ét”, có thể dẫn dắt học sinh đến kết luận: “Nếu x x1, 2 là các nghiệm của phương trình 2

x x a

íïï + = ïïï

 Qua bài toán trên giáo viên có thể gợi ý cho học sinh: Nếu không giải phương trình

ta có thể tìm được tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai không ?

Khi đó, học sinh dễ dàng trả lời dựa vào kết quả của bài tập trên

Vậy nếu x x1, 2 là các nghiệm của phương trình bậc hai 2

x x a

íïï + = ïïï

Cụ thể, giáo viên cho học sinh tiếp tục làm bài tập sau :

Trước hết, giáo viên cho học sinh nhận xét về vai trò của x x1, 2trong biểu thức K

Học sinh sẽ dễ dàng nêu được vai trò của x x1, 2 trong biểu thức là như nhau

Khi đó, giáo viên giới thiệu đa thức đối xứng cho học sinh và hướng dẫn học sinh biến đổi biểu thức K

2 1 2 2 1 2

K= x + x = x + x - x x Lúc này, học sinh sẽ phát hiện ra trong biểu thức có chứa tổng, tích của x x1, 2 và sẽ nghĩ đến sử dụng hệ thức Vi-ét để tính giá trị của biểu thức đã cho