Tính các cạnh BD, AD ; các góc B, D, A của tam giác ABD ; bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích của tam giác này. Bài 9 : Cho hình vuông ABCD có cạnh 6cm, E là trung điểm của CD.[r]
Trang 1TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
§1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ( TỪ 0 0 đến 180 0 ) 1/ Định nghĩa :
Trên nửa đường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM = và M(x0;y0) Khi đó ta định nghĩa:
sin của góc là y0; ký hiệu sin = y0
côsin của góc là x0; ký hiệu cos = x0
tan của góc là
0 0
y
x ( x0 0); ký hiệu tan =
0 0
y x
cot của góc là
0 0
x
y ( y0 0); ký hiệu cot =
0 0
x y
* Dấu của các tỉ số lượng giác:
00≤ ≤900 900< <1800
* Chú ý: + tan chỉ xác định khi 900
+ cot chỉ xác định khi 00 và 1800
2 Tính chất : Hai góc bù nhau (tổng hai góc bằng 1800)
sin( 1800 ) = sin
cos ( 1800) = cos
tan (1800) = tan ( 900)
cot ( 1800 ) = Cot ( 0 < < 1800)
3 Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Góc
0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0
0
6
4
3
2
3
4
6
2
2 2
3
3 2
2 2
1
2
2 2
1
1
2
3
–
1
1 3
4 Góc giữa hai vectơ
Trang 2A B O
b a
Cho hai véctơ
a,
bđều 0 Từ điểm O tuỳ ý dựng
OA=
a,
OB=
b Góc 00≤AOB ≤ 1800 được gọi là góc giữa hai véctơ a,b
Kí hiệu là: (a,b)
Nếu (a,b)= 900 thì ta nói a vuông góc b Kí hiệu: ab
* Chú ý: :
+ (a,b)= (b,a)
+ (a,b)= 00 acùng hướngb
+ (a,
b)= 1800 angược hướng
b
* Quy ước: Nếu ít nhất một trong hai véc tơ avà b là véctơ 0 thì ta có thể xem góc
bao nhiêu cũng được
Các hệ thức cơ bản:
a) Nếu cos 0 thì tan sin
cos
b) Nếu sin 0 thì
cos cot
sin
c) sin2 +cos2 = 1
d) tan cot = 1
e) 1 + tan2 = 2
1
cos f) 1 + cot2 = 2
1
sin
* Góc phụ nhau
Sin(900-) = Cos
Cos(900-) = Sin
tan(900-) = Cot
cot(900-) = tan
* Góc đối nhau
sin(-) = - sin
cos(-) = cos
Trang 3* Chú ý: sin2 = (sin)2 sin2
Dạng toán 1 : Sử dụng máy tính để tính giá trị lượng giác của một góc.
Bài 1: Tính các giá trị sau :
a) sin65049’35” b) cos92071’42” c) tan(63050’53”) d) cot(23012’) Bài 2: Tìm x biết :
a) sinx= 0,233 b) cosx = 0,235 c) tanx = 2 d) cotx = 1,43
Dạng toán 2: Tính giá trị lượng giác của góc
Bài 1 : Tính giá trị lượng giác của góc:
a.45 0 b.1200 c 1350
Bài 2: Cho hình vuông ABCD Tính :
cos ( AC , BA) ; sin ( AC , BD) ; cos ( AB , CD)
Bài 3: Cho hình vuông ABCD, tính giá trị lượng giác của góc giữa các cặp vectơ sau :
( AC , BC¿ ; ( CA , DC¿
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm, AD = 3cm Tính các góc :
( AC , AD¿ ; (CA , CB)
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(3;4) Tìm sin α , cos α , tan α , cot α
với α = ^xOM
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(x;4) Và ^xOM =1200 Tìm x
Bài 7 : Tính giá trị biểu thức:
a) A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600
b) B = Sin 1000 - sin 800 + cos 160 + cos 1640
c) C = cos 00 + cos100 + cos200 + + cos 1700
Bài 8: Biết cosx= 2
1
, tính P = 3sin 2x + 4cos2x
Bài 9: Cho biết 1 giá trị lượng giác của 1 góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:
a) sinα =1
4, α nh n ọ
b) tanβ=2√2
c) cosγ=−1
3
Bài 10: Cho biết giá trị lượng giác của 1 góc, tính giác trị của 1 biểu thức:
a) Biết sinx=1
3, 90
0
<x <1800 Tính A= tanx+3 cotx+1
tanx+cotx
b) Biết tanx=√2 , Tính B= 3 sinx−cosx
sinx+cosx
c) Biết tanx=√2 , TínhC= sinx−cosx
sin3x +3 cos3x+2 sinx
Bài 11: Cho sinx+cosx = 43 Tìm:
a) A = sinx + cosx
b) B = sin3x+cos3x
Trang 4c) C = cos2x −cot2x
sin 2x−tan2x
Dạng toán 3 : Chứng minh :
Bài 1 : Chứng minh ;
a) sin1150 = sin650 b) cos1450 = - cos350 c) tan1230 = - tan570 Bài 2 : Chứng minh :
a) (sinx +cosx)2=1+2 sinxcosx
b) tan 2x−sin2x=tan2x sin2x
Bài 3 : Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng:
a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC
b) cos(A + C) + cos B = 0
c) tan( A – C) + tan(B+2C) = 0
d) sinA = sin(B + C)
e) cosA = cos(B + C)
f) sin 2
B
A
= cos 2
C
g) sin 2
A
= cos 2
C
B
h) sin 2
C B
A
= cosC
Trang 5
§2 TÍCH VÔ HƯỚNG 2 VÉCTƠ
1 / Định nghĩa:
Tích vô hướng của hai véctơ a và b là một số, kí hiệu là a b , được xác định bởi:
a b=| a||b|cos (a , b)
Bình phương vô hướng : a2
= | a|2
* Chú ý: + a b=| a|.|b| a cùng hướng b
+ a b=−| a|.|b| a ngược hướng b
2 / Các tính chất : Cho a b c ; k R
+ a.b = b.a ( Tính giao hoán)
+ a.b = 0 <=> a b
+ (ka)b = k (a b)
+ a (bc) = a b a c (Tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ )
+ ( a
→
± b→ )2= | a
→
|2 ± 2 a
→
b
→
+ | b
→
|2
+ ( a
→
+ b
→
)( a
→
- b
→
) = | a
→
|2 - | b
→
|2
3/ Công thức hình chiếu
Tích vô hướng của hai véctơ a vàb bằng tích vố hướng của véctơ a với hình chiếub'
của véctơ b trên đường thẳng chứa véctơ a
a.b= a.b'
4/ Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Cho →a = (x, y) , →b= (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta có
→
a.→b= x.x' + y.y' |→a| = x2+ y2
Cos (→a,→b) = 2 + 2. '2+ '2
' + '
y x y x
yy xx
→
a→b xx' + yy' = 0
MN = |
→
MN| = (x M _x N)2+(y M _y N)2
5/ Phương tích của một điểm đối với một đường tròn
Cho đường tròn (O,R) và một điểm M cố định, Một đường thẳng thay đổi,
Trang 6luôn đi qua điểm M cắt đường tròn (O,R) tại A, B
Phương tích của điểm M, đối với đường tròn (O,R): kí hiệu: P M/(O)
P M/(O) = MO2 – R2 =MA MB .
Nếu M ở ngoài đường tròn (O,R), MT là tiếp tuyến thì P M/(O) = MT2
* Bất đẳng thức vectơ
| a
→
b
→
| ¿ | a
→
|.| b
→
| | a
→
+ b
→
| ¿ | a
→
| + | b
→
|
Bài tập : Tính tích vô hướng – Tính góc – Chứng minh thiết lập vuông góc
1 Tính tích vô hướng
Ta có thể lựa chọn 1 trong các hướng sau :
- Sử dụng định nghĩa bằng cách đưa 2 vectơ a , b về cùng gốc để xác định chính xác góc α=(a , b) Từ đó : a b=| a|.|b|.cosα
- Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của 2 vectơ.
- Nếu đề bài cho dạng tọa độ a =(x ;y), b =(x’ ;y’) => a b = xx’ +yy’
2 Tính góc
- cos(a , b)= a b
|a ||b|=
x x '+yy '
√x2+y2√x ' 2+y '2
3 Chứng minh vuông góc
Ta có thể lựa chọn các hướng sau :
- Nếu đề bài không cho tọa độ, ta sử dụng tính chất của tích vô hướng.
a b a b a b=0 |a |.|b| cosα=0 { b=0a=0
cos(a , b)=0
- Nếu đề bài cho tọa độ a =(x ;y), b =(x’ ;y’) thì a b a b=0 xx’ + yy’=0
Bài tập :
Bài 1 : Cho tam giác ABC đều cạnh 3a M,N là 2 điểm thuộc cạnh AB sao cho AM=MN=NB Tính các tích vô hướng sau :
AB AC ; AC CB ; CM CN
Bài 2 : Cho hình vuông ABCD cạnh a ; M,N lần lượt là trung điểm BC và CD Tính :
AB AM ; AM AN
Bài 3 : Cho tam giác vuông tại A, có AB=a, BC = 2a Tính các tích vô hướng :
a) AB AC b) AC CB
Bài 4 : Cho tam giác ABC, trọng tâm G, M là 1 điểm nằm trên đường thẳng (d) qua G và vuông góc với BC Chứng minh rằng : (MA + MB+ MC)BC=0
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = a, có đường cao AH Tính :
Trang 7Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB CB=4 và AC BC=9
a) Tính các cạnh của tam giác ABC
b) Gọi I, J là các điểm thỏa mãn : IA+2 IB=0 , 2JB− JC=0 Tính IJ theo BA , BC Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a √3 , M là trung điểm của BC Biết rằng : AM BC= a2
2 Tính AB và AC
Bài 8 : Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường trung tuyến AM Tính các tích vô hướng sau :
a) AC ( AC− AB) b) AM AB c) ( AB− AC¿ (AB+ AC)
Bài 9 :Cho tam giác ABC có A(1 ;2) ; B(-2 ;6) ; C(9 ;8)
a) Tính AB AC Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
c) Tìm tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC
e) Tìm tọa độ điểm M trên Oy để B,M,A thẳng hàng
f) Tìm tọa độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N
g) Tìm tọa độ D để ABDC là hình chữ nhật
h) Tìm tọa độ đỉnh K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO
i) Tìm tọa độ điểm E đối xứng với A qua B
Bài 10 : Xác định hình dạng tam giác ABC biết :
a) A(1;0) ; B(5;0) ; C(3 ;4)
b) A(1;2) ; B(-2;6) ; C(9;8)
Bài 11 : Trong mặt phẳng Oxy, cho a (1 ;3); b=(6 ;−2) ;c (x ;1)
a) Chứng minh a b
b) Tìm x để a c
c) Tìm tọa độ vectơ d sao cho a d và b d=20
Bài 12 : Cho tam giác ABC có A(4 ;3) ; B(0 ;-5) ; C(-6 ;-2)
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại B
b) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 13 : Cho 3 điểm A(7 ;4) ; B(0 ;3) ; C(4 ;0) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên BC Từ đó suy ra tọa độ điểm A1 là điểm đối xứng với A qua BC
Bài 14 : Cho A(0;2) ; B(6;9) ; C(4;1) ; D(2 ;10)
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật
c) Gọi C’ thỏa CC '= AB Tìm tọa độ C’ suy ra D đối xứng với C’ qua B
Bài 15 : Cho tam giác ABC, có AB = a, AC = 2a Gọi D là trung điểm cạnh AC, M là điểm thỏa mãn : BM =1
3BC Chứng minh BD vuông góc với AM
Trang 8§3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1 Các kí hiệu trong tam giác
BC = a; AC = b; AB = c
ha = AH1; hb = BH2; hc = CH3
ma = AM1; mb = BM2; mc= CM3
R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
p = 2
c b
nửa chu vi
* Các góc ở đỉnh A,B,C được kí hiệu là A, B, C
* ma là đường trung tuyến nối từ đỉnh A
2 Định lý cosin trong tam giác
Với mọi tam giác ABC ta có:
a2 = b2+ c2 - 2bcCosA ;
b2 = a2 + c2 - 2acCosB ;
c2 = a2 + b2 - 2abCosC
3 Định lý sin trong tam giác
Trong tam giác ABC ta có: a=2RsinA; b= 2RsinB;c= 2RsinC
c SinB
b SinA
a
2
4 Định lý trung tuyến
2 2
2
ma
2 2
2
2 2
2
mc
5 Các công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác ABC thì diện tíchS được tính theo một trong các công thức sau:
SABC = ah a
2
1
2
1 2
1
SABC = ab C 2acsinB
1 sin 2
1
= 2bc sin A 1
A
1
H2
H3
b
a
c
Trang 9SABC = R
abc
4
SABC = pr
SABC = p(p a)(p b)(p c)
6) Hệ thức trong tam giác vuông ( bổ sung).
A H2 = 1
A B2 + 1
A C2
Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho ∆ ABC vuông tại A, B=58^ 0 và cạnh a = 72cm Tính C^ , cạnh b, cạnh c
và đường cao ha
Bài 2 : Cho ∆ ABC biết các cạnh a = 5cm, b = 9cm và c = 6cm Tính các góc của
∆ ABC
Bài 3 : Tính diện tích của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7, 9 và 12
Bài 4 : Cho ∆ ABC có ^A=1200 Tính cạnh BC biết cạnh AC = m và AB = n
Bài 5 : Cho ∆ ABC biết cạnh a = 137,5cm ; B=83^ 0 và C=57^ 0 Tính góc A, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, cạnh b và c của tam giác
Bài 6 : Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n Chứng minh rằng m2 + n2 = 2(a2+b2)
Bài 7 : Cho ∆ ABC có BC = 40cm, CA = 13cm, AB = 37cm Tính góc nhỏ nhất của
∆ ABC
Bài 8 : Cho ∆ ABC vuông tại A, và AB = 3, AC = 4 Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD=CB Tính các cạnh BD, AD ; các góc B, D, A của tam giác ABD ; bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích của tam giác này
Bài 9 : Cho hình vuông ABCD có cạnh 6cm, E là trung điểm của CD Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ACE và các góc của tam giác này
Bài 10 : Cho tam giác ABC có AB = c = 45 ; AC = b = 32 ; BAC^ = 870 Tính các cạnh và các góc còn lại
Bài 11 : Chứng minh rằng trong mọi tam giác, ta có :
a) a=b cosC +c cosB
b) ha = 2RsinBsinC
c) sinA = sinBcosC + sinC.cosB
Bài 12 : Cho ∆ ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH
Chứng minh AH = a.sinB.cosB, BH = a cos2B, CH = a sin2B
Bài 13 : Giải tam giác, biết :
Trang 10a) c = 14, ^A=600 , B=40^ 0 c) b = 4,5, ^A=300 , C=75^ 0
b) c = 35, ^A=400 , C=120^ 0 d) a = 137, C=57^ 0 , B=83^ 0
Bài 14 : Giải tam giác, biết :
a) a = 6,3 ; b = 6,3 ; C=54^ 0 , c) a = 7, b = 23, C=130^ 0 , b) b = 32 ; c = 45 ; ^A=870 , d) b = 14, c = 10, ^A=1450 , Bài 15 : Giải tam giác, biết :
a) a= 14 ; b=18 ; c= 20 c) a= 6 ; b= 7,3 ; c= 4,8
b) a = 4 ; b = 5 ; c = 7 d) a = 2√3 ;b=2√2 ;c=√6−√2