Chương I. §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị (C) có phương song song hoặc trùng với trục hoành.. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.[r]

CHỦ ĐỀ 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

I, SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Bài toán 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số:

Cho hàm số y f x  

+) f ' x   ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.0

+) f ' x   ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.0

Bài toán 2: Tìm m để hàm số y f x, m  

đơn điệu trên khoảng (a,b)

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng a, b thì f ' x   0 x a, b

.+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng a, b thì f ' x   0 x a, b

*) Riêng hàm số:

ax by

xc

xc

*) Tìm m để hàm số bậc 3 y ax 3bx2cx d đơn điệu trên R

+) Tính y ' 3ax 22bx c là tam thức bậc 2 có biệt thức 

+) Để hàm số đồng biến trên R

a 00

1 2

x , x

sao cho x1 x2 k

+) Khi a 0 để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k  y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt x , x1 2

+) tìm các điểm tới hạn của hàm số (tại đó y ' 0 hoặc y' không xác định)

+) lập bảng xét dấu y ' dựa vào bảng xét dấu và kết luận

+) thay nghiệm vừa tìm vào f " x 

và kiểm tra từ đó suy kết luận

Bài toán 2: Cực trị của hàm bậc 3

Cho hàm số: y ax 3bx2cx d có đạo hàm y ' 3ax 22bx c

1 Để hàm số có cực đại, cực tiểu  y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt   0

2 Để hàm số có không cực đại, cực tiểu  y ' 0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép    0

3 Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu

+) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B Viết phương trình đường thẳng qua A, B.+) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: ymx n y ' Ax B    

Phần dư trong phép chia này là y Ax B chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu

Bài toán 3: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương

Cho hàm số: y ax 4bx2 có đạo hàm c y ' 4ax 32bx 2x 2ax  2b

 hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu

2 hàm số có 3 cực trị khi ab 0 (a và b trái dấu)

Trang 2

3 Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số và A Oy , A 0;c , B x , y ,C x , y , H 0; y   B B  C C  B.

+) Tam giác ABC luôn cân tại A

+) B, C đối xứng nhau qua Oy và xB x , yC ByCyH

+) Để tam giác ABC vuông tại A: AB.AC 0  

+) Tam giác ABC đều: AB BC

+) Tam giác ABC có diện tích S: B C A B

+) Tam giác ABC vuông tại A khi b 1

+) Tam giác ABC đều khi b33

+) Tam giác ABC có A 120  0 khi 3

1b3

b 12R

*) Quy tắc chung: (Thường dung cho D là một khoảng)

- Tính f ' x , giải phương trình f ' x  tìm nghiệm trên D.0

b 2

C

H A

O

*) Quy tắc riêng: (Dùng cho a; b ) Cho hàm số y f x  

xác định và liên tục trên a; b .

- Tính f ' x , giải phương trình f ' x   tìm nghiệm trên 0 a, b

- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x , x1 2a, b

- Tính 4 giá trị f a ,f b , f x , f x      1 2 So sánh chúng và kết luận.

3 Chú ý:

1 GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn

2 Hàm số liên tục trên đoạn a, b thì luôn đạt GTLN, NN trên đoạn này.

3 Nếu hàm sồ f x  đồng biến trên a, b thì max f x f b , min f x   f a 

4 Nếu hàm sồ f x  nghịch biến trên a, b thì max f x f a , min f x   f b 

+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng

+) Hàm phân thức mà bậc của tử  bậc của mẫu có TCN

x O

y

x O

y

x O

x O

y

x O

3 Định hình hàm số

ax by

cx d







- Nếu ad bc 0  hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4

- Nếu ad bc 0  hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3.+) Đồ thị hàm số có: TCĐ:

dxc



và TCN:

ayc

VI, SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Phương pháp:

Cho 2 hàm số y f x , y g x     

có đồ thị lần lượt là (C) và (C’)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x g x 

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm

+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’)

BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)

Trang 6

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x, m  (phương trình ẩn x tham số m)0

+) Cô lập m đưa phương trình về dạng m f x  

+) Lập BBT cho hàm số y f x  

.+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m

*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x, m  0

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử x x 0 là 1 nghiệm của phương trình

+) Phân tích:

 

0 0

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2 g x  0

- Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R  hàm

số không có cực trị  y ' 0 hoặc vô nghiệm

Bài toán: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng:

a



là 1 nghiệm của phương trình Từ đó thay vào phương trình để tìm m

+) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra

BÀI TOÁN 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC

*) Các câu hỏi thường gặp:

1 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  1

có 2 nghiệm phân biệt khác

dc



2 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C)   1

có 2 nghiệm phân biệt

3 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C)  1

có 2 nghiệm phân biệt

4 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C)   1

có 2 nghiệm phân biệt x , x và1 2thỏa mãn 1 2

+) Tam giác ABC vuông

+) Tam giác ABC có diện tích S0

A x ; y , B x ; y : AB x  x  y  y

Trang 8

BÀI TOÁN 4: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4

NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: ax4bx2  (1)c 0

- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t thỏa mãn: 1 2 0 t 1 t2

- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t thỏa mãn: 1 2 0 t 1t2

VII, TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M x ; y 0 0

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f ' x 0

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y f ' x x x     0y0

Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

- Gọi   là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

- Giả sử M x ; y 0 0 là tiếp điểm Khi đó x thỏa mãn: 0 f ' x 0  (*) k

- Giải (*) tìm x Suy ra 0 y0 f x 0

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y k x x   0y0

Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho hàm số  C : y f x  

và điểm A a;b  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua

A

- Gọi   là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Khi đó   : y k x a    (*)b

- Để   là tiếp tuyến của (C)

+) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

+) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I, SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Câu 1 Hàm số yx33x2 đồng biến trên các khoảng:1

x y x

Câu 23 Hàm số y x 3 đồng biến trên các khoảng:3

Câu 7 Điểm cực đại của đồ thị hàm số y x 3 x2 là: 2

x 

B

12

x 

12

x 

Câu 23 Điểm cực đại của hàm số y4x33x là:

12

x 

Câu 24 Điểm cực tiểu của hàm số y4x33x là:

A

12

x 

B

12

x 

12

III, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ:

Câu 1 Cho hàm số y x 3 3x , chọn phương án đúng trong các phương án sau:2

x y x

Câu 10 Giá trị lớn nhất của hàm số y x24x là

y 

Câu 23 Cho hàm số

3 21

43

y x x 

Chọn phương án đúng trong các phương án sau

A  0;2 

7max

 



 , chọn phương án đúng trong các phương án sauTrang 16

Câu 35: Cho hàm số y=3cosx-4cos3x Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng0; bằng

A 1 B -1 C -2 D

32

2x 4x 5y

x 1



 , chọn phương án đúng trong cácphương án sau:

x m y



 Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng:

Câu 4: Cho hàm số y x 3 3x2 Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y m1  tại 3 điểm phân biệt khi

Câu 20.

Câu 21.

Câu 22.

Câu 28.

Câu 29.

Câu 30.

Câu 31.

CÂU HỎI TỔNG HỢP CHƯƠNG 1

Câu 1: Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 3x + 1, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số luôn nghịch biến; B Hàm số luôn đồng biến;

C Hàm số đạt cực đại tại x = 1; D Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Câu 2: Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–; –1) và (–1; +);

D Hàm số đồng biến trên các khoảng (–; –1) và (–1; +)

Câu 3: Trong các khẳng định sau về hàm số

x , hãy tìm khẳng định đúng?

A Hàm số có một điểm cực trị;

B Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu;

C Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định;

D Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

Câu 4: Trong các khẳng định sau về hàm số

A Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; B Hàm số đạt cực đại tại x = 1;

C Hàm số đạt cực đại tại x = -1; D Cả 3 câu trên đều đúng

D Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

Câu 6: Kết luận nào là đúng về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x x 2 ?

A Có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất;

B Có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất;

C Có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất;

D Không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

A Một cực đại và hai cực tiểu B Một cực tiểu và hai cực đại

C Một cực đại và không có cực tiểu D Một cực tiểu và một cực đại

Câu 20: Cho hàm số

3 22

x y





 Khi đó hoành độtrung điểm I của đoạn thẳng MN bằng

Câu 27: Cho hàm số

x y x





 Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 26

A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

32

y 

B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

32

x 

C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x= 1

D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

12

y 

Câu 28: Cho hàm số y = f(x)= ax3+bx2+cx+d,a 0 Khẳng định nào sau đây sai ?

A Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành B Hàm số luôn có cực trị

y x

C

113

y x 

D

13

11

Câu 35: Đồ thị hàm số nào sau đây có hình dạng như hình vẽ bên

Câu 36: Cho hàm số yx33x2 3x Mệnh đề nào sau đây là đúng?1

A Hàm số luôn nghịch biến; B Hàm số luôn đồng biến;

C Hàm số đạt cực đại tại x = 1; D Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1;

Câu 37: Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình bên:

Câu 38: Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị:

Câu 44: Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số y x 44x22 :

A Đạt cực tiểu tại x = 0 B Có cực đại và cực tiểu

C Có cực đại và không có cực tiểu D Không có cực trị

Câu 50: Cho đồ thị hàm số y x 3 2x22x ( C ) Gọi x x là hoành độ các điểm M, N 1, 2

trên ( C ), mà tại đó tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng y = - x + 2007 Khi đóx1x2 



C

1

3 D -1 Trang 28

Câu 51: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

x y x

y x







xy

x là:

A Hàm số đồng biến trên các khoảng (–;3) và (3; +)

B Hàm số luôn luôn đồng biến trên \ 3

;

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–; 3) và (3; +);

D Hàm số luôn luôn nghịch biến trên \ 3

y 

B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

32

y x

A Hs Nghịch biến trên   ; 2  4; B Điểm cực đại là I4;11

C Hs Nghịch biến trên 2;1  1;4 D Hs Nghịch biến trên 2;4

Câu 77 Hàm số y x lnx nghịch biến trên:

Trang 30

 (C) Chọn phát biểu đúng :

A Hs luôn nghịch biến trên miền xác định B Hs luôn đồng biến trên R

C Đồ thị hs có tập xác định D R \ 1  D Hs luôn đồng biến trên miền xác định

x (C) Chọn phát biểu đúng?

A Hàm số nghịch biến trên \  1 ; B Hàm số đồng biến trên \  1 ;

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–; 1) và (1; +);

D Hàm số đồng biến trên các khoảng (–; 1) và (1; +)

Câu 80: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị như hình vẽ Với giá trị nào của m phương trình |

x3 - 3x2 +2| - m = 0 có 6 nghiệm phân biệt

A m < 2

A -2 < m < 2

B 0 < m  2

C 0 < m < 2