Chuyên đề bài tập tích phân - Phân dạng tích phân - Luyện thi đại học tích phân

Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục O x. 11.[r]

Trang 1

Chuyên đề

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN

CÔNG THỨC

Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm của những

hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số

thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số hợp

∫dx=x +C

∫x αdx=x

α+1 α+1+C (α ≠ 1)

∫dxx =ln|x|+C ( x ≠ 0 )

∫e x dx=e x

+C

∫a xdx= a

x

ln a+C (0< a≠ 1)

∫cos xdx=sin x +C

∫sin xdx=−cos x +C

∫cos12

x dx=tan x +C

∫sin12

x dx=−cot x +C

∫d (ax +b )=1

a (ax +b )+C

∫( ax+b ) αdx=1

a

(ax +b ) α+1

α +1 +C (α ≠ 1)

∫dxax+b=1

aln|ax +b|+C ( x ≠ 0)

∫e ax+bdx=1

a e

ax+b

+C

∫cos (ax+b) dx=1

a sin (ax +b )+C

∫sin (ax +b )dx=−1

a cos (ax+b )+C

∫cos2(ax+b )1 dx=

1

a tan (ax+b )+C

∫sin2(ax +b )1 dx=−

1

a cot (ax +b )+C

∫du=u+C

∫u αdu=u

α+1 α+1+C ( α ≠1)

∫duu =ln|u|+C (u≠ 0 )

∫e u du=e u

+C

∫a udx= a

u

ln a+C (0<a ≠ 1)

∫cos udu=sin u+C

∫sin udu=−cosu+ C

∫cos12

u du=tan u+C

∫sin12

u du=− cot u+C

I ĐỔI BIẾN SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1 Đổi biến số dạng 2

Để tính tích phân

b

/ a

f[u(x)]u (x)dx ò

ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Đặt t = u(x) và tính dt =u (x)dx/ .

Bước 2 Đổi cận: x= Þa t =u(a)= a, x=bÞ t =u(b) = b

Bước 3

b

/ a

f[u(x)]u (x)dx f(t)dt

b

a

=

Ví dụ 7 Tính tích phân

2 e

e

dx I

x ln x

=ò

Giải

Đặt

dx

x

2

x= Þe t =1, x=e Þ t =2

2

2 1 1

dt

t

Vậy I =ln2.

Trang 2

4

3 0

cosx

(sin x cosx)

p

=

+

ò

Hướng dẫn:

Đặt t = tan x+1 ĐS:

3

I

8

=

3

1 2

dx I

=

ò

Hướng dẫn:

Đặt t = 2x+3

ĐS:

3

I ln

2

=

1

0

3 x

-=

+

ò

Hướng dẫn:

Đặt

3 2

2 2 1

; đặt t= tanuL

3

p

Chú ý:

Phân tích

1

0

3 x

-=

+

ò

, rồi đặt t= 1+ sẽ tính nhanh hơn.x

2 Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính

( )

b

a

f x dx

∫

ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Đặt x = u(t) và tính dx u t dt/( )

Bước 2 Đổi cận: x  a t , x  b t  

Bước 3

/

b

a

1 2

2 0

1

1 x

=

-ò

Giải

2 2

p p

1

p

Trang 3

6 6

2

cost

1 sin t

0

p

Vậy I

6

p

=

2

2 0

I =ò 4- x dx

Hướng dẫn:

Đặt x=2sin t

ĐS: I = p

1

2 0

dx I

=

+

ò

Giải

Đặt

2

2 2

æ p p÷ö ç

4

p

2

tan t 1

4

1 tan t

+

Vậy I

4

p

=

3 1 2 0

dx I

-=

ò

Hướng dẫn:

I

Đặt x+ =1 tan t

ĐS: I

12

p

=

2

2 0

dx I

=

-ò

ĐS: I

2

p

=

3 1 2 0

dx I

-=

ò

ĐS: I

12

p

=

3 Các dạng đặc biệt

3.1 Dạng lượng giác

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ) Tính tích phân

2

0

I cos x sin xdx

p

Trang 4

Hướng dẫn:

Đặt t =cosx

ĐS:

2

I

15

=

Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân

2 5 0

p

Hướng dẫn:

Đặt t =sin x

ĐS:

8

I

15

=

Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn) Tính tích phân

2

0

I cos x sin xdx

p

Giải

1

4

1 (1 cos4x)dx 1 cos2x sin 2xdx

2

1 (1 cos4x)dx 1 sin 2xd(sin2x)

0

x 1 sin 4x sin 2x

p

ç

Vậy I

32

p

=

2

0

dx I

cosx sin x 1

p

=

ò

Hướng dẫn:

Đặt

x

2

=

ĐS: I =ln2.

Biểu diễn các hàm số LG theo tan2

a

t 

:

2



3.2 Dạng liên kết

Ví dụ 15 Tính tích phân 0

xdx I

sin x 1

p

=

+

ò

Giải

Đặt x= p - t Þ dx= - dt

x= Þ0 t= p, x= p Þ t =0

0

p

Trang 5

( )2 ( )

2

t

-+

t d

æ p÷ö

p÷

ò

Vậy I = p

Tổng quát:

xf(sin x)dx f(sin x)dx

2

p

=

2 2007

2007 2007 0

p

=

+

ò

Giải

2

p

( )

2007 0

2

p

2007 2007 0

p

+

ò

(1)

Mặt khác

2 0

2

p

(2) Từ (1) và (2) suy ra I

4

p

=

Tổng quát:

+ p

0

sin x

p

=

+

ò

và

0

cos x

p

=

+

ò

Giải

I - 3J = -1 3 (1).

( )

2

3

p



1

4

+ =

(2)

Từ (1) và (2)

-

1

2 0

ln(1 x)

+

=

+

ò

Giải

Đặt x=tan t Þ dx=(1+tan t)dt2

Trang 6

x 0 t 0, x 1 t

4

p

2 2

ln(1 tan t)

1 tan t

+

4

p

0 4

0

4

4 p

p

4

p

- Vậy I ln2

8

p

=

4

x 4

cosx

p

-=

+

ò

Hướng dẫn:

Đặt x= - t

ĐS:

2

I

2

=

Tổng quát:

Với a > 0, a > , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn 0 [- a a thì; ]

x

0

f(x)

- a

= +

Ví dụ 20 Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và thỏa f( x)- +2f(x)=cosx.

Tính tích phân

2

p

Giải

Đặt

2

p

-, x = - Þt dx = - dt

Trang 7

-[ ]

0 2

p

Vậy

2 I 3

=

3.3 Các kết quả cần nhớ

i/ Với a > 0, hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

a

f(x)dx 0

-= ò

ii/ Với a > 0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

f(x)dx 2 f(x)dx

-=

iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)

(n 1)!!, n!!

(n 1)!!

,

-ïïï

ïï ïïî

neáu n chaün

Trong đó

n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn:

0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = = 6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = = .

Ví dụ 21

2

11 0

10!! 2.4.6.8.10 256 cos xdx

11!! 1.3.5.7.9.11 693

p

ò

Ví dụ 22

2

10 0

10!! 2 2.4.6.8.10 2 512

p

ò

II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1 Công thức

Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b] Ta có

(uv)/ =u v/ +uv/ Þ (uv dx)/ = u vdx/ +uv dx/

( )

Công thức:

b a

(1)

Công thức (1) còn được viết dưới dạng:

Trang 8

b b

b

a

f(x)g (x)dx =f(x)g(x) - f (x)g(x)dx

(2)

2 Phương pháp giải toán

Giả sử cần tính tích phân

b

a f(x)g(x)dx ò

ta thực hiện

Cách 1.

Bước 1 Đặt u=f(x), dv=g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân

/

du =u (x)dx không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân

b

a vdu ò

phải tính được

Bước 2 Thay vào công thức (1) để tính kết quả.

Đặc biệt:

i/ Nếu gặp

ax

P(x) sinaxdx, P(x) cosaxdx, e P(x)dx

với P(x) là đa thức thì đặt u=P(x). ii/ Nếu gặp

b

a

P(x) ln xdx ò

thì đặt u=ln x.

Cách 2.

Viết lại tích phân

/

f(x)g(x)dx= f(x)G (x)dx

và sử dụng trực tiếp công thức (2)

1 x 0

I = òxe dx

Giải

Đặt

1 1

e

1

I = òx ln xdx

Giải

Đặt

2

dx du

2

ï

=

1

+

2 x 0

p

Giải

Trang 9

Đặt

0

- Đặt

0

p

2

p

Chú ý:

Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần

2 4 0

p

=ò

Hướng dẫn:

Đặt t = x

2

0

p

e

1

I = òsin(ln x)dx

ĐS:

(sin1 cos1)e 1

I

2

=

III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1

b

a

I = ò f(x) dx

, ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a x 1 x b2 f(x) + 0 - 0 +

Bước 2 Tính

I =ò f(x) dx= òf(x)dx- òf(x)dx+òf(x)dx

2 2 3

Giải

B ng xét d uảng xét dấu ấu

x - 1 2 3

Trang 10

x - 3x+2 + 0 - 0

59

2

Vậy

59 I 2

=

2

2 0

p

- ĐS: I 2 3 2

6

p

-

2 Dạng 2

b

a

I = ò f(x) ± g(x) dx

, ta thực hiện

Cách 1.

Tách

I =ò f(x) ± g(x) dx = ò f(x) dx±ò g(x) dx

rồi sử dụng dạng 1 ở trên

Cách 2.

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

2

1

-

Giải Cách 1.

Cách 2.

Bảng xét dấu

x –1 0 1 2

x – 0 +  +

x – 1 – – 0 +

( 2 ) 1

Vậy I = 0

3 Dạng 3

Để tính các tích phân

b

a

I =òmax f(x), g(x) dx

và

b

a

J = òmin f(x), g(x) dx

, ta thực hiện các bước sau:

Trang 11

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số h(x)=f(x)- g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2

+ Nếu h(x)> thì 0 max f(x), g(x){ } =f(x) và min f(x), g(x){ } =g(x).

+ Nếu h(x)< thì 0 max f(x), g(x){ } =g(x) và min f(x), g(x){ } =f(x).

4

2 0

I = òmax x +1, 4x- 2 dx

Giải

Đặt h(x)=(x2 +1) - (4x- 2) = x2- 4x+ 3 Bảng xét dấu

x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 +

80

3

Vậy

80 I 3

=

2

x 0

I =òmin 3 , 4- x dx

Giải

Đặt h(x)=3x - (4- x) =3x + -x 4. Bảng xét dấu

x 0 1 2 h(x) – 0 +

x

ç

Vậy

I

IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

1 Dạng 1

Để chứng minh

b

a f(x)dx³ 0 ò

(hoặc

b

a f(x)dx£ 0 ò

) ta chứng minh f(x)³ 0 (hoặc f(x) £ ) với0

" Î .

Ví dụ 14 Chứng minh

1

0

1 x dx- ³ 0 ò

Giải

Với

1

0

2 Dạng 2

Để chứng minh

f(x)dx³ g(x)dx

ta chứng minh f(x)³ g(x) với " Îx [a; b].

Trang 12

£

Giải

Với

2

p

Vậy

£

3 Dạng 3

Để chứng minh

b

a

A £ òf(x)dx£ B

ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m£ f(x)£ M.

Bước 2 Lấy tích phân

b

a

A =m(b- a)£ òf(x)dx£ M(b- a) =B

1

2 0

2£ ò 4+x dx£ 5

Giải

Với " Îx [0; 1 : 4] £ 4+x2 £ 5Þ 2£ 4+x2 £ 5.

Vậy

1

2 0

2£ ò 4+x dx£ 5

3 4

2 4

dx

p

-ò

Giải

Với

2

3 4

2 4

p

-ò

Vậy

3 4

2 4

dx

p

-ò

3

4

p

Giải

Trang 13

Xét hàm số

cotx

ép pù

ë û ta có

2 /

2

x cotx sin x

4 3 x

( ) ( )

ép pù

3

4

p

Vậy

3

4

p

4 Dạng 4 (tham khảo)

Để chứng minh

b

a

A £ òf(x)dx£ B

(mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện

Bước 1 Tìm hàm số g(x) sao cho

b b

a a

f(x) g(x) x a; b

f(x)dx B g(x)dx B

ïï

ïï ïî

ò ò

Bước 2 Tìm hàm số h(x) sao cho

b b

a a

h(x) f(x) x a; b

h(x)dx A

ïï

ïï ïî

ò ò

2 2

2007 0

p

-ò

Giải

Với

2007 2

2 2007

dx

Đặt x= sin tÞ dx =costdt

2

p

Trang 14

2

1 x

p

Vậy

2 2

2007 0

p

-ò

1 2 0

+

-ò

Giải

Với " Îx [0; 1 : 2 1] - £ x2 + -2 1£ 3 1

-2

2

Vậy

1 2 0

+

-ò

V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường

y=f(x), x =a, x = và trục hoành là b

b

a

S= ò f(x) dx

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a f(x) dx ò

Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=ln x, x=1, x = và Ox.e

Giải

Do ln x ³ 0 x" Î [1; e] nên

e 1

S=ò ln x dx =òln xdx =x ln x- 1 =1

Vậy S= (đvdt).1

Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= - x2 +4x- 3, x=0, x= và Ox.3

Giải

Bảng xét dấu

x 0 1 3

y – 0 + 0

S= - ò - x +4x- 3 dx+ò - x +4x- 3 dx

Trang 15

1 3

Vậy

8 S 3

= (đvdt)

2 Diện tích hình phẳng

2.1 Trường hợp 1.

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y=f(x), y=g(x), x =a, x = là b

b

a

S= ò f(x)- g(x) dx

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) trên đoạn [a; b].

b

a f(x)- g(x) dx ò

2.2 Trường hợp 2.

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y=f(x), y= g(x) là S f(x) g(x) dx

b

a

- Trong đó , a b là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x)=g(x) (a£ a < b £ b) .

Bước 1 Giải phương trình f(x)=g(x).

Bước 2 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) trên đoạn [a b ; ]

f(x) g(x) dx b

a

-ò

Ví dụ 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x3 +11x- 6, y=6x2,

x= 0, x = 2

Giải

Đặt h(x)=(x3 +11x- 6)- 6x2 = x3 - 6x2 +11x- 6

h(x)= Û0 x= Ú = Ú = (loại).1 x 2 x 3 Bảng xét dấu

x 0 1 2 h(x) – 0 + 0

S= - ò x - 6x +11x- 6 dx+ò x - 6x +11x- 6 dx

Vậy

5 S 2

= (đvdt)

Ví dụ 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x3 +11x- 6, y=6x2.

Giải

Đặt h(x)=(x3 +11x- 6)- 6x2 = x3 - 6x2 +11x- 6

Trang 16

h(x)= Û0 x = Ú = Ú = 1 x 2 x 3 Bảng xét dấu

x 1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0

S=ò x - 6x +11x- 6 dx- ò x - 6x +11x- 6 dx

Vậy

1 S 2

= (đvdt)

Chú ý:

Nếu trong đoạn [a b phương trình f(x) g(x); ] = không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công thức

f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx

Ví dụ 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x , y3 = 4x.

Giải

Ta có x3 =4x Û x= - 2 xÚ = Ú =0 x 2

Vậy S= (đvdt).8

Ví dụ 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x2- 4 x + và trục hoành.3

Giải

Ta có x2- 4 x + = Û3 0 t2- 4t+ =3 0, t= x ³ 0

Vậy

16 S 3

= (đvdt)

Ví dụ 7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x2 - 4x+3 và y = + x 3

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm 2

x - 4x+3 = +x 3

Trang 17

2 2

+ ³

Û í êïïï ê - + = - - Û ê =ë ê

Bảng xét dấu

x 0 1 3 5 2

x - 4x+3 + 0 – 0 +

Vậy

109 S

6

=

(đvdt)

Ví dụ 8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x2- 1 , y = x + 5

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm

x - 1 = x + Û5 t - 1 = +t 5, t= x ³ 0 2

2

=

ï ê - =

-ïî ë

Bảng xét dấu

x 0 1 3 2

x - 1 – 0 +

Vậy

73 S 3

= (đvdt)

Chú ý:

Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có)

B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

1 Trường hợp 1.

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f(x)³ 0 x" Î [a;b], y= ,0

x= và xa = b (a<b) quay quanh trục Ox là

b 2 a

V = pòf (x)dx

Ví dụ 9 Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x2 +y2 =R2 quay quanh Ox.

Giải

Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x2 =R2 Û x= ± R

Trang 18

Phương trình (C) : x2 +y2 =R2 Û y2 =R2- x2

-R

2

0

2 R x

ç

Vậy

3

4 R V

3

p

=

(đvtt)

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x =g(y) ³ 0 y" Î [c;d], x = ,0

y= và y d (c d)c = < quay quanh trục Oy là

d 2 c

V = pòg (y)dy

Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối do ellipse

2 2

a +b = quay quanh Oy.

Giải

Tung độ giao điểm của (E) và Oy là

2 2

Phương trình

2 2

R

2

2 0

2 a y

3 3b

ç

Vậy

2

4 a b V

3

p

=

(đvtt)

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x), x= vàa

x =b (a<b, f(x)³ 0,g(x)³ 0 x" Î a; b ) quay quanh trục Ox là

b

a

V = pò f (x)- g (x) dx

Ví dụ 11 Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2, y2 = quay quanhx Ox

Giải

Hoành độ giao điểm

4

0

p

Vậy

3 V 10

p

= (đvtt)

Trang 19

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x=f(y), x= g(y), y= vàc

y =d (c<d, f(y)³ 0,g(y) ³ 0 y" Î c; d ) quay quanh trục Oy là

d

c

V = pò f (y)- g (y) dy

Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x= - y2+ , x 3 y5 = -quay quanh Oy

Giải

Tung độ giao điểm

= -é ê

2

2 1

2

1

2

1

ç

Vậy

153 V

5

p

=

(đvtt)

VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP

1. Tính I=

1

10 0

1 

Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:

10 10 10

2. Tính:

1

19 0

1

I ∫x  x dx

Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:

S C  C  C   C  C

3. Chứng minh rằng:

1

1 2

n n





BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=

sin cos sin cos

x x



 , biết rằng F 4 ln 2



 

 

 

2. Tính các tích phân sau:

A=

2

1

2 5 - 7

dx x



∫

B=

2 2 -2

-1

x dx

∫

C=

2 0

2 ln 2x dx

∫

A=

3

3 cos

0

sin

x

e xdx



∫

B=

4 1

ln

dx x

∫

C*=

2 3 2

dx

x x 

∫

D*=

2

11 -1

x



∫

I=1

sin(ln )

dx x

∫

J=

4 2 6

sin cot

dx

x x



∫

K=

10

1

lg xdx

∫

Trang 20

ln 5

ln 3 x 2 x 3

dx

e e

∫

M=

2

0

sin 2 cos 4 sin

xdx

∫

N=

2 2

1 - 9

dx x

∫

C=

2

2 2 0

sin 2 (1 cos )

x





∫

A=

1

2

0 4

-dx

x

∫

B=

3 2

dx

x 

∫

C=

4

2 0

16 -x dx

∫

D=

ln 2

0

1-1

x x

e

dx e



∫

E=

3 2 2

2

1dx

x 

∫

A=

2

1

ln

e x dx

x

∫

B*=0 2

sin

1 cos

x x dx x





∫

C*=

2 2 1

ln x dx

x

∫

D*=1

cos(ln )

e

x dx



∫

E=

2 4 3 1

3x 2x

dx x



∫

1 2

*

4 1

1 1

x







∫

7. Tính:

A=

4

2

0

cos xdx



∫

B=

2 3 0

cos xdx



∫

C=

1

0

x

xe dx

∫

D=

4

1

x

e dx x

∫

E=

2

1

ln

x xdx

∫

F=1

ln 1

e x

dx x



∫

G=

2

2 0

1 2

x  x dx

∫

H=

4

0

1 2

x  xdx

∫

I=

2

1 1

x dx

x 

∫

J=

1 2

0 1

x dx x



∫

8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a x=1; x=e; y=0 và y=

1 ln x

x



b y=2 x ; y=3 x và x=0

c y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=3



9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x3 2x 2+4x3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

10.Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0.

a Tính diện tích hình phẳng D.

b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.

11.Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1

khi nó quay quanh:

a) Trục Ox.

b) Trục Oy.

Hết

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	2,63 MB