NÕu ngêi thø nhÊt lµm mét m×nh mét nöa c«ng viÖc, sau ®ã ngêi thø hai lµm nét nöa c«ng viÖc cßn l¹i th× toµn bé c«ng viÖc sÏ hoµn thµnh trong 9 ngµy... Chøng minh tø gi¸c BKFC néi tiÕp[r]
Trang 1Đề thi tuyển sinh vào 10 Năm 1995-1996 (Buổi 1) (150 phút) Bài 1: Cho biểu thức: A= (1− x 1+x −
1− x 1+x −
4 x2
x2−1) 4 (x − 3)
x − x2
1) Rút gọn A (1.5 đ)
2) Tính giá trị của A khi x = 2 (0.5đ)
3) Tìm x nguyên dơng để A là số tự nhiên (0.5đ)
Bài 2 : Giải các phơng trình sau:
2) (x2 - 2x2) + 3(x2 - 2x) + 2 = 0 (1đ)
Bài 3: (2 điểm)
Ba thùng chứa tất cả 62 lít dầu Thùng thứ nhất chứa nhiều hơn thùng thứ hai 8 lít Nếu đổ 8 lít ở thùng thứ nhất sang thùng thứ ba thì số dầu ở thùng thứ hai và thứ ba bằng nhau Tìm số ban đầu chứa trong thùng thứ hai và thứ ba
Bài 4: (3.5 điểm)
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB C là điểm chạy trên nửa đờng tròn (không trùng với A,B) CH là đờng cao của tam giác ACB I và K lần lợt là chân các đờng vuông góc hạ từ H xuống AC và BC M,N lần lợt là trung điểm của AH và HB
1) Tứ giác CIHK là hình gì ? So sánh CH và IK
2) Chứng minh AIKB là tứ giác nội tiếp
3) Xác định vị trí của C để:
a) Chu vi tứ giác MIKN lớn nhất
b) Diện tích tứ giác MIKN lớn nhất
Bài 1:
Cho biểu thức:
B = (√√a −1 a+ 1 −
√a+1
√a −1) (√a − 1
√a)2
1) Rút gọn B (1.5 điểm)
Trang 22) Có giá trị nào của a để B = 0 không ? (0.5 điểm)
3) Tìm a để B > 0 (0.5 điểm)
Bài 2:
Giải các hệ phơng trình
1)
5 2
1 2
y x
y x
(1điểm) 2)
y=2∨x − 1+3
x=2 y −5
¿ {
¿
¿
(1điểm)
Bài 3:
Một ngời dự định đi xe đạp từ Bắc Giang đến Bắc Ninh đờng dài 20 km với vận tốc đều Do công việc gấp nên ngời ấy đi nhanh hơn
dự định 3 km/h và đến sớm hơn dự định 20 phút Tính vận tốc ngời ấy
dự định đi
Bài 4:
Cho đờng tròn tâm 0 bán kính R Hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau E là điểm chạy trên cung nhỏ CB Trên tia đối của tia EA lấy điểm M sao cho EM = EB
1) Tứ giác ABCD là hình gì ? (1 điểm)
2) Chứng minh ED là tia phân giác của góc AEB và đờng thẳng
CE vuông góc với BM (1 điểm)
3) Khi E thay đổi H y chứng minh M chạy trên một đãy chứng minh M chạy trên một đ ờng tròn Xác định tâm và bán kính theo R của đờng tròn ấy
Bài 1:
Cho biểu thức:
A= (√√x −1 x +1 −
√x − 1
√x+1) (√x+11 −
√x
1 −√x+
2
x − 1)
1) Rút gọn A (2 điểm)
2) Tìm x để A nhận giá trị âm (0.5 điểm)
Bài 2: Cho hệ phơng trình
Trang 3x − ay=1
ax + y=2
¿ {
¿
¿
1) Giải hệ khi a = 2 (0.5đ)
2) Chứng minh hệ đ cho luôn có nghiệm (1đ)ãy chứng minh M chạy trên một đ
3) Xác định a để hệ có nghiệm dơng (0.5đ)
Bài 3:
Một đội xe chở 168 tấn thóc Nếu có thêm 6 xe thì mỗi xe chở nhẹ đi 1 tấn và số thóc chở tăng đợc 12 tấn Tính số xe của đội lúc ban
đầu (1.5đ)
Bài 4:
Cho hình vuông ABCD E là điểm thuộc cạnh BC Đờng thẳng qua A vuông góc với AE cắt cạnh CD kéo dài ở F
1) Chứng minh FAD = EAB và AE = AF (1 điểm)
2) Vẽ trung tuyến AM của tam giác AEF kéo dài cắt CD ở K Đ-ờng thẳng qua E song song với AB cắt AM ở G Tứ giác FKEG là hình gì ? (1 điểm)
3) Chứng minh AF2 = KF CF (1 điểm)
Bài 5:
Tìm số nguyên x để số trị của tích x (x + 1) (x + 7) (x + 8) là số chính phơng (1điểm)
Bài 1:
Cho biểu thức:
A = (√1 −4 x x − 4 x −1) (1− 4 x 1+2 x −
2√x
2√x −1 −1)
1) Rút gọn biểu thức A (2 đ)
2) Tính x để A > 1
2 (0.5đ)
Bài 2:
Cho phơng trình: x2 + (2m - 5)x - 3n = 0
1) Giải phơng trình khi m = 3 và n = 2
3 (0.5 điểm)
Trang 42) Xác định m và n để phơng trình có 2 nghiệm là 3 và 2.
3) Khi m = 4 tìm n nguyên để phơng trình có nghiệm dơng (1đ)
Một hội trờng có 240 chỗ ngồi, các ghế đợc kê thành d y, các d yãy chứng minh M chạy trên một đ ãy chứng minh M chạy trên một đ
có chỗ ngồi bằng nhau Nếu thêm 4 chỗ ngồi vào mỗi d y và bớt đi 4ãy chứng minh M chạy trên một đ
d y ghế thì hội trãy chứng minh M chạy trên một đ ờng tăng thêm 16 chỗ ngồi Hỏi lúc đầu hội trờng có bao nhiêu d y ghế ?ãy chứng minh M chạy trên một đ
Bài 4:
Cho tam giác cân ABC (AB = AC > BC) nội tiếp trong đờng tròn
0 M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC của đờng tròn Tia Bx vuông góc với AM cắt đờng thẳng CM ở D
1) Chứng minh góc AMD = góc ABC = góc AMB và MB = MD (1đ)
2) Chứng minh khi M di động thì D chạy trên một đờng tròn cố
định Xác định tâm và bán kính của đờng tròn đó (1đ)
3) Xác định vị trí của M để tứ giác ABMD là hình thoi (1đ)
Bài 5:
Chứng minh qua (0;1) có duy nhất một d y của Parabon y = xãy chứng minh M chạy trên một đ 2
có độ dài bằng 2.(1đ)
Cho P = √a=x −√a − x
√a+ x −√a − x −
√a+x −√a − x
√a+x+√a− x
1) Rút gọn P
2) Tính giá trị P nếu a = √3; x = √2
Bài 2: (2đ)
Cho phơng trình x2 - 2(m -1)x + 2m - 3 = 0
1) Chứng minh với mọi m phơng trình luôn có nghiệm
2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng -1 và khi đó
h y tính nghiệm còn lại.ãy chứng minh M chạy trên một đ
Bài 3: (2đ)
Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 32 m Nếu ta bớt chiều rộng đi 3 m và tăng chiều dài thêm 2 m thì diện tích giảm đi 24 m2 Tính chiều dài và chiều rộng miếng đất đó
Cho tam giác ABC có A = 450 Hai góc B và C đều nhọn Đờng tròn tam 0 đờng kính BC cắt AB ở D và AC ở E BE cắt CD ở H
Trang 51) Tính các góc BDC, BEC, ACD và so sánh 2 đoạn thẳng AD và CD
2) Chứng minh AH vuông góc với BC
3) Chứng minh OE là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE
Trích phần bài tập
Bài 1: Cho biểu thức.
P = 1
2+√x+
2
2 −√x −
4√x
4 − x
1) Rút gọn P
2) Chứng minh P > 0 với mọi x thuộc tập xác định
Bài 2 : Cho hệ phơng trình.
x +(m−1) y =5
mx − y=4
¿ {
¿
¿
a) Giải hệ phơng trình khi m = 2
b) Tìm giá trị m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x0, y0) sao cho
x = 2y
Bài 3:
Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B dài 120 km Lúc về ô tô tăng thêm 10 km/h do đó thời gian về ít hơn thời gian đi 36 phút Tính vận tốc ôtô lúc đi
Bài 4:
Cho tam giác ABC nội tiếp (0;R) có góc BAC nhọn Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ B,C tiếp tuyến với đờng tròn (0) tại C cắt đờng thẳng AD ở P Hai đờng thẳng AB và CD cắt nhau ở Q
Trang 6a) Chứng minh: góc BAD = góc CAD.
b) Chứng minh tứ giác ACPQ nội tiếp đợc một đờng tròn
c) Chứng minh BC // PQ
d) Tam giác ABC phải thoả m n điều kiện gì để tứ giác BCPQ làãy chứng minh M chạy trên một đ
hình thoi Khi đó h y tính diện tích của hình thoi BCPQ nếu biết R =ãy chứng minh M chạy trên một đ
5cm; AB = 8 cm
Bài 1 : (1đ)
a) Trục căn thức ở mẫu số: 1
√3
b) Giải bất phơng trình sau: 5(x - 2) > 1 - 2(x -1)
Bài 2 : (2.5đ)
Cho phơng trình: x2 - 8x + m = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = 12
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép ?
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có 2 ngiệm x1, x2 thoả
m n ãy chứng minh M chạy trên một đ
x1 - x2 = 2
Bài 3: Rút gọn biểu thức sau:
A =( √m3
+√p3
√m+√p −√mp) (m − p) + 2√p
√m+√p
Một ôtô tải khởi hành từ A đến B đờng dài 200m Sau đó 30 phút một ôtô tắc xi khởi hành từ B về A và hai ôtô gặp nhau tại địa
điểm C là chính giữa qu ng đãy chứng minh M chạy trên một đ ờng AB Tính vận tốc của mỗi ôtô Biết mỗi giờ ôtô tải chạy chậm hơn ôtô tắc xi là 10 km
Bài 5: (3.5đ)
Cho tam giác ABC (Â< 900) nội tiếp đờng tròn tâm 0 Các tiếp tuyến với đờng tròn (0) ở B và C cắt nhau tại N
a) Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp
b) Gọi I là điểm chính giữa cung BC Chứng minh I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NBC
Trang 7c) Gọi H là trực tâm tam giác NBC Chứng minh O và H là 2
điểm đối xứng với nhau qua BC
d) Qua A dựng đờng thẳng song song với BC cắt đờng tròn (0) tại
M Gọi P là trung điểm của BC đờng thẳng AD cắt đờng tròn (0) tại
điểm thứ hai là K Chứng minh BM
BK =
CM CK
Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:
1) 2 x −100
3 x −800
4
2)
5 x − 4 y =1
x + y=11
¿ {
¿
¿
3) 2x2 - 5x - 3 = 0
Bài 2 : (2 đ)
Cho biểu thức: A = (x+2√x +2√x+1 −
√x −2
x −1 ) √x +1
√x
1) Rút gọn A
2) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là số nguyên
Bài 3 : (2 đ)
Một đội xe dự định chở 200 tấn thóc Nếu tăng thêm 5 xe và giảm số thóc chở 20 tấn thì mỗi xe chở nhẹ hơn dự định 1 tấn Hỏi lúc
đầu đội xe có bao nhiêu chiếc
Bài 4 : (3 đ)
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB C là điểm chạy trên nửa đờng tròn (không trùng với AB) CH là đờng cao của tam giác ACB I và K lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ H xuống AC và BC M,N lần lợt
là trung điểm của AH và HB
1) Tứ giác CIHK là hình gì ? So sánh CH và IK
2) Chứng minh tứ giác AIKB là tứ giác nội tiếp
3) Xác định vị trí của C để:
a) Chu vi tứ giác MIKN lớn nhất
b) Diện tích tứ giác MIKN lớn nhất
Bài 5: (1 đ)
Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x2 + 2x + m = 0 (1)
Trang 8x2 + mx + 2 = 0 (2)
Bài 1: (2 đ)
Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:
a) 4 x −1
5 −
5 x+ 3
6 =0
b) x2 - 6x + 8 = 0
c)
x − y=1
3 x+4 y =5
¿ {
¿
¿
Bài 2: (2 đ)
Cho biểu thức: P = (√2a −
1
2√a)2 (√a −1
√a+1 −
√a+1
√a −1)
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P > 0
Bài 3 : ( 2đ)
Một ngời đi xe đạp từ A và dự định đến B vào một giờ đ định.ãy chứng minh M chạy trên một đ
Khi còn cách B 30 km, ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B muộn nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi; Do đó ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h và đến B sớm nửa giờ so với giờ dự định Tính vận tốc lúc đầu của ngời đi xe đạp
Bài 4 : (3 đ)
Cho tam giác vuông ABC (Ĉ = 900; CA > CB) I là điểm bất kỳ thuộc cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C Vẽ các tia
Ax, By vuông góc với AB Đờng thẳng vuông góc với IC vẽ qua C cắt
Ax, By lần lợt tại M và N
a) Chứng minh tứ giác BNCI nội tiếp; góc MIN = 900
b) Chứng minh ∆ CAI ~ ∆ CBN ; ∆ ABC ~ ∆ MNI
c) Tìm vị trí của điểm I sao cho diện tích ∆ MIN gấp đôi diện tích ∆ ABC
Bài 5 : (1 đ)
Chứng minh rằng phơng trình:
ax2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm nếu 2b
a ≥ c
a+4
Trang 9Năm học: 2003 - 2004 (Buổi 1) (150phút) Bài 1: (2 điểm)
a) Tính: (√2+1)ì(√2− 1)
b) Giải hệ phơng trình:
x − y=1
x + y=5
¿ {
¿
¿
Bài 2: (2 điểm)
Cho biểu thức A = (x x −√x − 1√x −
x√x+1
x +√x )ữ2(x −2√x +1)
x − 1
a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
Bài 3: (2điểm)
Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km; cùng lúc đó,cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc là
4 km/h Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km Tính vận tốc thực của ca nô
Bài 4: (3 điểm)
Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD Kẻ đờng kính BA; Trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H
a) Chứng minh: HK // CD
b) Chứng minh: OK OS = R2
Bài 5: (1điểm)
Cho hai số a và b khác 0 thoả m n: ãy chứng minh M chạy trên một đ 1
a+
1
b=
1 2
Chứng minh phơng trình ẩn x sau luôn có nghiệm:
(x2 + ax + b) (x2 + bx + a) = 0
Trang 10Năm học: 2003 - 2004 (Buổi 1) (150phút) Bài 1: (2 điểm)
a) Tính: 5√2−√18
b) Giải hệ phơng trình:
4 x + y =6
3 x − y=1
¿ {
¿
¿
Bài 2: (2 điểm)
Cho phơng trình: x2 + (m + 1)x + m - 1 = 0 (1)
a) Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm m để biểu thức
A = x1 x2 + x1x2 + 4 x1x2 đạt giá trị lớn nhất
Bài 3: ( 3 điểm)
Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 165 km trong một thời gian xác định Sau khi đi đợc 1 giờ ôtô phải dừng lại 10 phút
để mua xăng, do vậy để đến đúng hẹn, ôtô phải tăng vận tốc thêm 5 km/h Tính vận tốc ban đầu và thời gian dự định của ôtô
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn (O) Các đờng cao BD, CE của tam giác cắt nhau tại H
a) Chứng minh: Tứ giác BCDE nội tiếp
b) Chứng minh: AB ED = AD BC
c) Dựng đờng tròn (H,HA) cắt các đờng thẳng AB, AC lần lợt ở
M và N Chứng minh AO vuông góc với MN
Bài 5: (1 điểm)
Cho a,b,c là ba số dơng Chứng minh: √b+c a +√c +a b +√a+b c >2
Một số đề tự luyện
Đề số 1:
Trang 11Bài 1: Cho biểu thức: Q = (a −1√a+
1
√a −1) √a+1
a −2√a+1
a) Rút gọn Q
b) So sánh Q với 1
Bài 2: Cho phơng trình:
x2 - 4x + m = 0 (1) a) Giải phơng trình khi m = -2
b) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm
c) Gọi x1, x2 là nghiệm của pt (1) H y tìm m để pt có nghiệm xãy chứng minh M chạy trên một đ 1, x2 thoả m n: xãy chứng minh M chạy trên một đ 1 + x2 = 16
Bài 3:
Hai ngời cùng làm chung một công việc thì sẽ hoàn thành trong
4 ngày Nếu ngời thứ nhất làm một mình một nửa công việc, sau đó ngời thứ hai làm nột nửa công việc còn lại thì toàn bộ công việc sẽ hoàn thành trong 9 ngày Hỏi nếu mỗi ngời làm việc riêng thì sẽ hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày ?
Bài 4 :
Cho đờng tròn (O;R) Hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau, E là điểm chính giữa cung nhỏ BC; AE cắt CO ở F; DE cắt A ở M
a) Tam giác CEF là tam giác gì ? Từ đó chứng minh EC = EM b) Chứng minh tứ giác BCFM nội tiếp đợc một đờng tròn có tâm E
c) Chứng minh IB IF = IC IM (I là giao điểm của CM và BF) d) Chứng minh các đờng thẳng OE, BF, CM đồng quy
Bài 5: Tìm bộ ba số nguyên dơng x, y, z thoả m n ph ãy chứng minh M chạy trên một đ ơng trình:
1
x+
1
y+
1
z=2
Đề số 2:
Bài 1: Cho biểu thức: H = (√a −1 a −2 −
√a+2 a+2√a+1)ì (1 − a)
2 2
a) Rút gọn H
b) Chứng minh H > O với O < a < 1
Trang 12c) Tìm giá trị lớn nhất của H.
Bài 2: Cho phơng trình: 3x2 + kx + 12 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) với k = -6
b) Tìm k để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
c) Tìm k để phơng trình (1) có 1 nghiệm bằng -1, tìm nghiệm kia (ngời)
Bài 3:
Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14 km/h thì đến sớm 2 giờ Nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì đến muộn 1 giờ H y tính vận tốc dự định và thời gian dự định củaãy chứng minh M chạy trên một đ
ngời đi xe máy
Bài 4:
Cho đờng tròn tâm O và tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn
đó M là 1 điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC
a) Chứng minh MA = MB + MC
b) Qua M kẻ các đờng thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC: Đờng thẳng song song với BC cắt AB ở D; Đờng thẳng song song với AC cắt Bc ở E; Đờng thẳng song song với AB cắt AC ở F Chứng minh các tứ giác MCFE; BDME là các tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh 3 điểm D,E,F thẳng hàng
d) Gọi P là giao điểm của MA với BC Chứng minh hệ thức:
1
MP=
1
MB+
1 MC
Đề số 3:
Bài 1: Cho biểu thức:
B = ( √a b −√b a)ữ( √a b+√b a − 2)ữ(1+√b a)
a) Rút gọn B với điều kiện a > 0; b > 0
b) Tìm các giá trị của a,b sao cho B = 2 đồng thời 2a - b = 1
Bài 2:
Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 50 km/h Sau khi đi đợc 2/3 qu ng đãy chứng minh M chạy trên một đ ờng với vận tốc đó Vì đờng khó nên ngời lái
xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên qu ng đãy chứng minh M chạy trên một đ ờng còn lại Do đó ôtô
đến tỉnh B chậm 30 phút so với dự định Tính qu ng đãy chứng minh M chạy trên một đ ờng AB
Trang 13Bài 3 : Cho phơng trình: x2 - ax + a - 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi a = -2
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi a
c) Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = x1 + x2
Bài 4:
Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A,B Ngời ta kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax, Bx vuông góc với AB và trên tia Ax lấy 1 điểm I Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K Đờng tròn đ-ờng kính IC cắt IK tại P
a) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đợc
b) Chứng minh AI BK = AC CB
c) Chứng minh tam giác APB vuông
d) Giả sử A, B, I cố định H y xác định vị trí của điểm C sao choãy chứng minh M chạy trên một đ
hình thang vuông ABKI lớn nhất
Đề số 4:
Bài 1: Cho biểu thức:
P =3 x +√9 x − 3
x+√x − 2 −
√x+1
√x+2+
√x −2
1−√x Với x 0 và x 1
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P > 0 với x > 1
Bài 2: Cho phơng trình: x2 - 2(m+1)x + m - 4 = 0 (1)
a) Giải phơng trình khi m = -1
b) H y tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiêm của phãy chứng minh M chạy trên một đ ơng trình (1) không phụ thuộc vào tham số m
Bài 3:
Một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Nếu tăng chiều dài thêm 4m và tăng chiều rộng thêm 5m thì diện tích của nó sẽ tăng thêm 111m2 Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó
Bài 4: