Chủ đề:căn bậc hai – căn bậc ba DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.... Không phụ thuộc vào biến số x..[r]
Trang 1Chủ đề:căn bậc hai – căn bậc ba
DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.
Bài 1: Cho
P =
a) Rỳt P
b) Tỡm Min P
Bài 2: Cho x, y là hai !" khỏc nhau % món: x2 + y = y2 + x
Tớnh giỏ
Bài 3: Tớnh giỏ
./ x2 -2y2 = xy và x 2 0; x + y 2 0
Bài 4: Cho
P = a) Tỡm cỏc giỏ
b) minh P 6
Bài 5: Cho
P =
a) Rỳt P
b) Tỡm cỏc giỏ
Bài 6: Cho
P =
a) Rỳt P
b) Tỡm cỏc giỏ
Bài 7: Cho
P =
a) Rỳt P
b) Tớnh giỏ +, P khi a = 3 + 2
c) T ỡm cỏc giỏ
Bài 8: Cho
1 a3
2 2 a a 1 2
1 a
1 2
1
1
-xy
xy 2 y 2
y x
y
-x
3 x
3 x 2 x -1
2 x 3 3 x 2 x
11 x 15
2 1
3 2
a
2 a 2 a
1 a 2
a a
3 9a 3a
1
2 a
16 a
8 -1
4 -a 4 a 4 -a 4 a
2 1 a
1 : a a
1 1
a a
2
Trang 2P =
a) Rút P
b) Tính x 8 P = -1
c) T ìm m 8 1B giá +, x > 9 ta có m( - 3)P > x + 1
Bài 9: Cho
P =
a) Tìm x, y 8 P có D
b) Rút P
c) Tìm giá
Bài 10: Cho
P =
a) Tìm x 8 P xác 8,
b) Rút P
c) Tìm các giá
Bài 11: Rút P
P =
EB | a | >| b | > 0
Bài 12: Cho
P =
a) Rút P
b)
c) Tìm GTLN
Bài 13:
P =
Không
Bài 13:
P =
Không
Bài 15: Cho
P =
2 x 2 x
1 x : x 4
8x x
2
x 4
x
xy
y x x xy
y y
xy
x : y x
xy
-y x
3
x
2007 x
1 x
1 4x x
1 x
1 -x 1 x
1 x
2
2
2 2 4 2
2
2 2 2
2
2 2
b
b a a 4 : b a a
b a a b a a
b a
2
2
x 1 1 x 2 x
2 x 1
x
2 x
6 x 5 x
10 x 3
x 4 x
1 x 5 2 x 3 x
2x
x
x x
5 2
5 4 9
3 4 7 3 2
4
6 3
1 x 1 x x
x x
1 x x
x
Trang 3Rút P 1B 0 6 x 6 1
Bài 16: Cho
P =
a) Rút P
b) Tìm GTNN
c) Tìm x Q giá +, là !" nguyên
Bài 17: Cho
P =
a) Tìm x 8 P có D
b) Rút P
c)
Bài 18: Rút
P =
Bài 19: Rút
a) A =
b) B =
c) C =
Bài 20: Tính giá
P =
EB 6 x 6 5
Bài 21: minh +G'
P =
là O !" nguyên
Bài 22:
Bài 24: Cho E =
Tính giá
1 x
) 1 2(x x
x 2x
1 x x
x
x2
P
x 2
1 x 2
x 1
x 2x
1 x 1
x
x x 1
x x
x x x 2x
5 3 10
5 3 5
3 10
5 3
7 4 7
4
5 2 10 4
5 2 10
5 3 2 15 4
15
1 2 3 4 1
2 7
x
2 1
2 6
48 13
5 3 2
1 2
3 1 1
2
3 1 2
3 1 1
2
3 1
35 2 7
35 27
y x
xy 1 y x
xy 1
Trang 4x =
y =
Bài 25: Tính P =
Bài 26: Rút
Bài 27: Tính giá
P = x3 + y3- 3(x + y) + 2004 / +G
x =
y =
Bài 28: Cho
a) Rút A
b) Tính A 1B a = (4 + )( - )
Bài 29: Cho
A =
a) x = ? thì A có D
b) Rút A
Bài 30: Cho
P = a) Rút P
b) So sánh P 1B
Bài 31: Cho
P = a) Rút P
b) minh: 0 6 P 6 1
Bài 32: Cho
P = a) Rút P
b) a = ? thì P < 1
c)
2 2 2 2 2 2 8
45 27
2 18 3
20 12
2 8 3
2008
2007 2
2008
2 2007 2
2007
5 1
1
1
1
33 2 2
332 2
317 12 2
31712 2
a a a a
a a
4 1
1 1
1
1
1 1 1
4
1 4 1
4
x
x x
x x
x x
x
x x
x
x
1
1 1
1
1 1 1
1
1 1
2 2
1
2 1
3 1
1
x
a
a a
a a
a
a
3
1 2
2
3 6
5 9 2
Trang 5Bài 33: Cho
P =
a) Rút P
b) Tính P / 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0
Bài 34: Cho
P =
a) Rút P
b) Tính P / 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0
Bài 35: Cho
P =
a) Rút P
b) Cho xy = 16 Tìm Min P
x
x y
xy x
x
x y
xy
x
1 2
2
2 2
x
x y
xy x
x
x y
xy
x
1 2
2
2 2
y x xy
y y x x y x y x y x y
3 3
: 1 1 2
1 1
Trang 6DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.
Bài 1: Cho a > b > 0 % mãn: 3a2 +3b2 = 10ab
Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2 +2y2 = 5xy
Tính giá
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0 CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc
2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz
M = Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá
P = Bài 5: a) Phân tích thành nhân Z'
(x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3
Tính giá 2007+ y2007 + z2007
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá
P = a4 + b4 + c4
Bài 7: Cho a, b là các
a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102
Bài 9: Cho a + b + c = 0 Tính giá
P =
Bài 10: Cho ; x2 + y2 = 1 minh +G'
a) bx2 = ay2;
b)
Bài 11:
Bài 12: Cho a + b + c = 0 Tính giá
A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3
Bài 13: Cho a, b, c
P =
Bài 14:
b a
b a
y x
y x
2 2 2
z
xy y
xz x
yz
a
c c
b b
a
1 1
1
1
b
y a
x
2
ab
xy
3
3 3 3
b
y
a x
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
1
c b a b c a a c
b a b
y a
x
4
1004 1004
2008
1004
2008
) (
2
b a b
y a
x
xz z yz
y xy
1 1
1 1
1
) )(
( ) )(
( ) )(
(
2 2
2
a c b c
c a
b c b
b c
a b a
a
Trang 7Cho / (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Bài 15:
Bài 16: Cho / a + b + c = 2p
minh +G'
Bài 17: Cho a, b khác 0 % mãn a + b = 1 minh :
Tính giá
Bài 19: Cho a, b, c 8L O khác nhau và
Tính giá
Bài 20: Phân tích các
a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz
Bài 21: Cho ba
A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0
Bài 22: Cho
minh: c = d
Tính giá
Bài 24: Cho x, y là các !" khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy
Tính giá
Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c ^_` b mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007
Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008
Tính giá
P =
Bài 27: Cho
Tính giá 2007+ y2007+ z2007
a c c b b a b c a c
b a a
b c b
b c c
a b a
c b
) )(
( ) )(
( ) )(
(
) )(
)(
(
1 1 1
1
c p b p a p p
abc p
c p b p a
3
) 2 ( 2 1
ab a
b b
a
1
c
z b
y a
x
0
z
c y
b x a
2 2 2 2 2 2
c
z b
y a
x
0
c a c
b c b a
2 2
2
) ( ) ( )
c a
c
b c
b
a
y x
y x
2 2
6
2
y xy x
xy
2 2
2
2 2 2
) ( ) ( ) (y z ac x z ab x y bc
cz by ax
) )(
( ) )(
( ) )(
(
3 3
3
x z y z
z z
y x y
y z
x y x
x
1 1 1
3 3 3
2 2 2
z y x
z y x
z y x
Trang 8Bài 28: Cho a, b, c là
P = Bài 29: Cho 2 + c2 – a2)2 – 4b2c2
Bài 30: Cho các !" ^_` x, y ,z % mãn:
Tính giá
Bài 31: Cho các !" x, y, z % mãn \ M_` trình:
Tính giá
Bài 32: a) Thu
b) Tính giá
./ x2 – 2y2 = xy và y 2 0 , x + y 2 0 9c[ thi HSG e 2004-2005)
Bài 33:
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) 9c[ thi HSG e 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c là ba 2 = b2 + c2
a) So sánh a và b + c
b) So sánh a3 và b3 + c3 9c[ thi HSG e 2006-2007)
Bài 35: 1) Hb M_` trình: x3 -6x – 40 = 0
2 2
) ( ) (
) (
) (
b c a c b a
c b a c b a
15 8 3
z x zx
z y yz
z y xy
1
1
3 3 3
2 2 2
z y x
z y x
4 3 2
4 8 6 3 2
y x
y x
3 3
2 14 20 2 14
Trang 9DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Cho M_` trình f !" x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
a) Hb M_` trình khi m = 2
b) % +G M_` trình có \ !" 1B m
c) Tìm m sao cho \ !" x1, x2
Bài 2: Cho các
minh +G M_` trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có \
Bài 3: Cho a, b, c là các 2 + ab + ac < 0
minh +G M_` trình ax2 + bx + c = 0 có hai \ phân \
Bài 4: Cho M_` trình x2 + px + q = 0 Tìm p, q / +G M_` trình có hai
\ x1, x2 % mãn:
Bài 5: CMR
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có \
Bài 6: CMR M_` trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có \ / +G 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c là
\'
(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0
Bài 8: CMR M_` trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có
Bài 9: Cho M_` trình : 3x2 - 5x + m = 0 Xác 8, m 8 M_` trình có hai
\ % mãn: - =
Bài 10: Cho M_` trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0 Xác 8, m 8 M_` trình
có hai \ x1, x2 % mãn:
a) A = x1 + x2 -3x1x28R GTLN
b) B = x12 + x22 - 8R GTNN
Bài 11: Hb !Z x1,x2 là hai
3x2 - cx + 2c - 1 = 0 Tính theo c giá
S = Bài 12: Cho M_` trình : x2 - 2 x + 1 = 0 Có hai \ là x1,x2 Không b
A =
Bài 13: Cho M_` trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)
2 1
x x22
ac bc ab a
c
c
2
0
2
35
5
3 2 3 1
2 1
x x
x x
a
c a b
2 1
x x22
9 5
3 2 3 1
1 1
x
x
3
2 3 1 3 2 1
2 2 2 1 2 1
4 4
3 5
3
x x x x
x x x x
Trang 101) CMR
x1 + x2 = 6
x1 < 1 < x2 Bài 14: Cho M_` trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
a) CMR
b) H x1,x2 là hai
Tìm GTNN 12 + x22
Bài 15: Cho a, b là hai
CMR ít k O trong hai M_` trình sau Mb có \'
x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0
Bài 16: Cho M_` trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
a)
b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x1 + x2 8R GTNN Tìm GTNN 8C
Bài 17: minh +G 1B !" a, b, c khác 0, l R O trong các M_` trình
sau Mb có \'
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (2)
Bài 18: Cho M_` trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)
a) CMR
Bài 19: Cho M_` trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)
1) CMR
x1 + x2 10
#\'
E = x12 + x22 8R GTNN
Bài 20: 2 + ax + b + 1 = 0 có hai \ nguyên ^_`
CMR: a2 + b2 là O mM !"
2
1 1
1
b a
Trang 11DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.
Hb M_` trình:
Bài 1: x3 + 2x2 + 2 x + 2
Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1)
Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2
Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x
Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144
Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272
Bài 7: a) (x + )4 + (x + 1)4 = 33 + 12
b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0
b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0 c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0
Bài 9: a) x4 = 24x + 32
b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0 Bài 10:
Bài 11:
Bài 12: x2 +
Bài 13: 20
Bài 14: a)
b) c) Bài 15: a) x2 +
b) x2 + Bài 16: a)
b) c) x
Bài 17: x2 + = 8( c[ thi HSG V1 2004)
Bài 18:
Bài 19:
1 9
85 3
x
1 2 5 3
7 2
3
2
2
x x
x x
2 12
4
2
2
x x
0 1
4 48 1
2 5 1
2
2
2 2
2
x
x x
x x
x
4 1
7 1
3
3
2
x x
x x
15 12
4 15
6
15 10
2 2
2
x x
x x
x
x x
4
1 5 6
5 5 5
4
5 3
2 2 2
2
x x
x x x
x
x x
9 40
81
2
2
x x
12 15
2
x x
9
40 2
1
x
x x
x
0 1
4 2
5 1
2 1
2
2
2 2
2
x
x x
x x
x
15 1
8 1
8
x
x x
x x
2
1
x x
2 3 1 5
x
2 7
1 3
Trang 12Bài 20:
Bài 21: 3x2 + 21x + 18 + 2
Bài 22: a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1
b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 Bài 23: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( c[ thi HSG V1 2003)
Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 Bài 25: a) x3 - 6x + 4 = 0
b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 Bài 26: a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0
b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 Bài 27:
Bài 28: a) Phân tích thành nhân Z' 2(a2 + b2) -5ab
b) Hb M_` trình: 2(x2 + 2) = 5
( c[ thi HSG 1998) Bài 29:
Bài 30: x4 - 4 x -5 = 0 ( c[ thi HSG 2000)
Bài 32: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0
b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0 Bài 33: (x + 3 + 2)(x + 9 +18) = 168x 9c[ thi HSG 2005)
Bài 34: a) x2 + 4x + 5 = 2
b) 3 = 2x2 - 6x + 4 c)
Bài 35:
Bài 36: Cho M_` trình: x4 -4x3 +8x = m
a) Hb M_` trình khi m = 5
b) c, m 8 M_` trình có 4 \ phân \ Bài 37: Cho M_` trình (x + a)4 + (x + b)4 = c Tìm
M_` trình có \
Bài 38: Hb M_` trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0
Bài 40: x2 + 9x+ 20 = 2
Bài 41: x2 + 3x+ 1 = (x + 3)
Bài 42: x2 + =2006
DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC
2 1 2 1
x
2 7 7
2 x
x
0 4 3 10 48
2
x
x x
x
1
3
x
3 5 3
14
x
x x
3 0 5 2
4
2
4
x x
x
3
2x 8
3
x
2 3 2
4
x x
0 3 2
10
3x
1
2
x
2006
x
Trang 13Bài 1) EB a, b > 0 thì
Bài 2) CMR 1B 4 !" a, b, x, y k #o ta có:
(ax + by)2
Bài 3) Cho a, b, c, d > 0 Cm:
Bài 4) CM
Bài 5) Cho a, b, c là các
Bài 6) CM 1B n nguyên ^_` thì:
Bài 7) Cho a3 + b3 = 2 Cmr: a + b 2
Bài 8) Cho a, b, c % mãn: a + b + c = -2 (1)
a2 + b2 + c2 = 2 (2)
Bài 9) Cho a, b, c
CMR: 2a2 + 3b2 5
Bài 10) Cho a, b là hai
CM: a2 + 4b2
Bài 12) minh:
b)
Bài 13) Cho a, b, c > 0 Cm:
CMR: S không là !" ] nhiên
Bài 15) a) Cho x, y ^_` CMR:
b) Tam giác ABC có chu vi
Cm:
ab b a
2
(a2 b2 x2 y2
a cb d
cd
2 2 2
2 2 2
d b c a d
c b
2
2 2
2
c b a b a
c a c
b c b
2
1 2
1
2
1 1
1
n
0
; 3 4
5 1
3
1 2
2 2 2
2 2 2 2 2
(a2 b2 x2 y2
2 4
2
0 x x
2
3
c a c
b c b a
100
1
3
1 2
1
S
y x y
x
4 1 1
2
c b a
P
p
1 1 1 2 1 1
1
Trang 14Bài 16) a) CM x > 1 ta có:
b) Cho a > 1, b > 1 Tìm GTNN
Bài 17) Cho a, b, c là
CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 19) CMR
ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 20) Cho tam giác ABC có
CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( c[ thi HSG 2004-2005)
Bài 21) Cho a, b là 2 2 + ( b - 2)2 = 5 Cm: a + 2b 10
Bài 22) Cho a, b là các 2 + b2 = 4 + ab
Bài 23) CMR 1B a, b > 0 % mãn ab = 1 Ta có c'
Bài 24) CMR
Bài 25) Cho
Bài 26) a) Cho a, b, k là các !" ^_` và
b) CMR
< 2
Bài 27) Cho các
minh +G'
9c[ thi HSG V2 2003 - 2004) Bài 28)
khác 0:
( c[ thi HSG V2 2006 - 2007)
DẠNG 6: CỰC TRỊ
Tìm GTLN và GTNN
2
1
x x
1 1
2 2
a
b b
a P
9 1 1 1
c b a
8 3
a b
3 2 1 1
b a b a
5
1 a 3 a 1 4 5 a 10
2
; 0 1
;
1
4 1
1 1
3
2 3 4 5 3
4 3
x x x x x x
x x x
x x P
9
32
0 P x 1
k b
k a b
a Cmr b
a
1 :
b a
c a c
b c b
a
9
1 1
1
b a
x
y y
x x
y y
x
3 4
2 2 2 2
Trang 15Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1 Tìm GTNN
Bài 3) Cho P = Tìm GTNN, GTLN
Bài 4) Tìm GTLN và GTNN 4 + 1)(y4 + 1) / x,y 0, x + y =
Bài 6) Tìm GTLN và GTNN 2 + y2 ./ x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1
Bài 7) Tìm GTLN và GTNN
Bài 8) Tìm GTLN
Bài 9) Tìm GTLN 1B x, y, z > 0
Bài 10) Tìm GTLN
Bài 11) Cho M =
a) Tìm
b) Tìm GTNN
Bài 12) Cho ba !" ^_` x, y, z % mãn:
Tìm GTNN
Bài 13) Tìm GTNN
Bài 14) Cho x, y % mãn x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN và GTNN
P = x + 2y
Bài 15) Cho x, y là hai !" % mãn: x + 2y = 3
Tìm GTNN 2 + 2y2
Bài 16) Cho x > 0, y > 0
P = + + 4xy
Bài 17) Tìm GTLN và GTNN 1B x k #o
Bài 18) Cho x, y là hai
A =
Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1 Tìm GTNN
Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1 Tìm GTNN 4 + y4) +
Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1 Tìm GTNN
Bài 22) Cho x, y là hai !" ^_` % mãn: x2 + y2 = 4
2
2
1
x
10
2 2
1 1
2 x
y z x
(x 1990) (x 1991)
a a a a
2
1 x 1 y 1 z
1 x x
1
x y
2
xy
2 2
1 1
x
x y xy
2 2
1
4xy
... + b +c = 20 07Bài 26: Cho x, y, z khác x + y + z = 2008
Tính giá
P =
Bài 27: Cho
Tính giá 20 07< /small>+ y20 07< /small>+ z20 07< /small>
... Phân tích thành nhân Z''
(x + y + z)3 - x3 - y -z3
Tính giá 20 07< /small>+ y20 07< /small> + z20 07< /small>... class="text_page_counter">Trang 7< /span>
Cho / (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Bài 15:
Bài 16: Cho / a + b + c = 2p
minh +G''
Bài 17: