GIẢI THUẬT xấp xỉ (GIẢI THUẬT SLIDE) (chữ biến dạng do slide dùng font VNI times, tải về xem bình thường)

Tiếp cận một bài toán NP-đầy đủ° Nếu một bài toán là NP-đầy đủ thì không chắc rằng ta sẽ tìm được một giải thuật thời gian đa thức để giải nó một cách chính xác.. ° Tiếp cận một bài to

GIẢI THUẬT XẤP XỈ

Tiếp cận một bài toán NP-đầy đủ

° Nếu một bài toán là NP-đầy đủ

thì không chắc rằng ta sẽ tìm được một giải thuật thời gian đa thức

để giải nó một cách chính xác.

° Tiếp cận một bài toán NP-đầy đủ 1) Nếu các input có kích thước nhỏ thì một giải thuật chạy trong thời

gian số mũ vẫn có thể thoả mãn yêu cầu

2) Thay vì tìm các lời giải tối ưu, có

Chương 37 Approximation Algorithms

3

Giải thuật xấp xỉ

° Một giải thuật xấp xỉ là một

giải thuật trả về lời giải gần tối ưu.

° Giả sử: chi phí của lời giải > 0 Gọi

C∗ là chi phí của lời giải tối ưu.

Một giải thuật xấp xỉ cho một bài toán tối ưu được gọi là có tỉ số

xấp xỉ ρ(n) (approximation ratio, ratio bound) nếu với mọi input có kích

thước n thì chi phí của lời giải do

giải thuật xấp xỉ tìm được sẽ thoả

• max(C/C∗ , C∗ /C) ≤ ρ(n)

Giải thuật xấp xỉ

° Chi phí của lời giải do giải thuật xấp

xỉ tìm được thỏa, với tỉ số xấp xỉ ρ(n) ,

• max(C/C∗, C∗ /C) ≤ ρ(n) – Bài toán tối đa: 0 < C ≤ C∗ , vậy

Chương 37 Approximation Algorithms

Kích thước của một che phủ đỉnh là số phần tử của nó.

° Bài toán che phủ đỉnh là tìm một che phủ đỉnh có kích thước nhỏ nhất trong một đồ thị vô hướng đã cho.

Bài toán này là dạng bài toán tối ưu của ngôn

ngữ NP-đầy đủ

VERTEX-COVER = {〈G, k〉 : đồ thị G có một che phủ

Một giải thuật xấp xỉ cho bài toán che

Chương 37 Approximation Algorithms

7

Thực thi APPROX-VERTEX-COVER

c

e a

c

e a

c

e a

c

e a

c

e a

c

e a

Phân tích APPROX-VERTEX-COVER

Nhận xét: Thời gian chạy của A PPROX

-V ERTEX -C OVER là O(E).

Định lý 37.1

2-xấp xỉ trong thời gian đa thức.

Chương 37 Approximation Algorithms

9

Bài toán người bán hàng rong với bất

đẳng thức tam giác

° Cho một đồ thị đầy đủ vô hướng G

= (V, E) cùng với một hàm chi phí c :

E → Z + Tìm một chu trình hamilton

(một tour) của G với phí tổn nhỏ

nhất.

° Điều kiện: Hàm chi phí c: E → Z +

thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

c(u, w) ≤ c(u, v) + c(v, w), ∀u, v, w ∈ V

A PPROX -TSP-T OUR(G, c)

1 chọn một đỉnh r ∈ V[G] làm một đỉnh “gốc”

2 nuôi lớn một cây khung nhỏ

nhất T cho G từ gốc r dùng giải

thuật MST-P RIM(G, c, r)

3 gọi L là danh sách các đỉnh

được thăm viếng bởi phép duyệt cây theo kiểu tiền thứ tự

4 return chu trình hamilton H viếng

các đỉnh theo thứ tự L

Thực thi APPROX-TSP-TOUR lên một ví dụ

Chương 37 Approximation Algorithms

11

Thực thi APPROX-TSP-TOUR lên một ví dụ (tiếp)

a

b c

Duyệt cây T bắt đầu từ a

Thứ tự các đỉnh khi duyệt

kiểu hoàn toàn là: a, b, c, b, h,

b, a, d, e, f, e, g, e, d, a Thứ tự

các đỉnh khi duyệt kiểu tiền

thứ tự là: a, b, c, h, d, e, f, g.

Tua H có được từ kết

quả duyệt cây theo kiểu tiền thứ tự mà A PPROX - TSP-T OUR tìm được Chi phí

của tua H là khoảng

chừng 19,074.

Thực thi APPROX-TSP-TOUR lên một ví dụ (tiếp)

a

b c

Chương 37 Approximation Algorithms

13

Bài toán người bán hàng rong với bất

đẳng thức tam giác

• A PPROX -TSP-T OUR là một giải thuật 2-xấp xỉ

hàng rong với bất đẳng thức tam giác.

A PPROX -TSP-T OUR tìm được

° (*) Ta có c(T) ≤ c(H∗ − e) ≤ c(H∗ ) vì nếu xoá đi

khung, mà T lại là cây khung nhỏ nhất.

∑

∈

=

A v u

v u c A

c

) , (

) , ( )

(

Bài toán người bán hàng rong với bất

đẳng thức tam giác

Chứng minh (tiếp)

° c(W) = 2c(T) , với W là kết quả một duyệt hoàn toàn cây T từ đỉnh r, vì mỗi cạnh của T được đi qua hai lần.

° c(W) ≤ 2c(H∗) , từ trên và vì (*).

đỉnh được thăm hai lần, do đó

“tránh thăm mọi đỉnh lần thứ hai” (= duyệt cây theo kiểu tiền thứ tự) để có được tua H, chi phí không tăng

Chương 37 Approximation Algorithms

15

Bài toán người bán hàng rong tổng quát

• Nếu P ≠ NP và ρ ≥ 1, thì không tồn tại giải

thuật xấp xỉ thời gian đa thức với tỉ số xấp

quát.

Chứng minh bằng phản chứng.

người bán hàng rong tổng quát.

Hướng chứng minh: Sẽ dùng A để giải bài toán chu trình Hamilton HAM-CYCLE trong thời gian đa

thức Vì HAM-CYCLE là NP-đầy đủ và theo giả

thức, mâu thuẩn!

Bài toán người bán hàng rong tổng quát

của bài toán chu trình hamilton.

Từ G định nghĩa đồ thị G’ = (V, E’) là đồ thị đầy đủ trên V, với hàm chi phí

• = ρ| V| + 1 trong các

trường hợp khác.

được từ một biểu diễn của G trong

Chương 37 Approximation Algorithms

có chu trình hamilton.

• c(H ) < ρ|V| + 1 = chi phí của một cạnh bất kỳ ∉ E Do đó H chỉ chứa cạnh của G, từ đó suy ra H là một chu trình hamilton của G.

bài toán chu trình hamilton trong thời gian

Bài toán che phủ tập

che phủ tập gồm một tập hữu hạn

X và một họ F các tập con của X

Chương 37 Approximation Algorithms

19

Dạng quyết định của bài toán che phủ

tập

° Dạng bài toán quyết định cho bài

toán che phủ tập là tìm một che

phủ sao cho kích thước của nó ≤ k, với k là một tham số của một thực thể của bài toán quyết định.

° Bài toán quyết định cho bài toán

che phủ tập là NP-đầy đủ.

Một giải thuật xấp xỉ cho bài toán che

phủ tập

° Một giải thuật xấp xỉ cho bài

toán che phủ tập

– dùng phương pháp greedy.

Chương 37 Approximation Algorithms

21

Phân tích GREEDY-SET-COVER

Gọi số điều hòa thứ d là H d :

Tính chất: H d ≤ ln d + 1

Định lý 37.4

thời gian đa thức, với ρ(n) = H(max{| S | : S ∈ F }).

Nhận xét: max{| S | : S ∈ F } ≤ | X |

Hệ luận 37.5

1)-xấp xỉ thời gian đa thức.