Ứng dụng các phương pháp lý thuyết và mô phỏng vật lý thống kê để nghiên cứu tương tác tĩnh điện của hệ các phân tử adn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Viết Đức ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LÝ THUYẾT VÀ MÔ PHỎNG VẬT LÝ THỐNG KÊ ĐỂ NGHIÊN CỨU TƯƠNG TÁC TĨNH ĐIỆN CỦA HỆ CÁC PHÂ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Viết Đức

ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LÝ THUYẾT VÀ MÔ PHỎNG VẬT LÝ THỐNG KÊ ĐỂ NGHIÊN CỨU TƯƠNG TÁC TĨNH

ĐIỆN CỦA HỆ CÁC PHÂN TỬ ADN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 9440130.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

(ghi ngành của học vị được công nhận)

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 PGS TS Nguyễn Thế Toàn

2 PGS TS Nguyễn Vũ Nhân

Hà Nội – 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học của tôi, các kết quả trong luận án có nguồn gốc rõ ràng, đã được công bố trong các bài báo theo đúng quy định Các số liệu do tôi thực hiện với giáo viên hướng dẫn trong thời gian tôi làm nghiên cứu sinh tại Khoa Vật lý – Trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội

Tôi xin khẳng định các kết quả có trong luận án này là mới và không trùng lặp với các luận án và công trình trước đó

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Viết Đức

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Thế Toàn, PGS TS Nguyễn Vũ Nhân đã hết lòng hướng dẫn, và động viên em trong suốt thời gian thực hiện luận án

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô giáo trong bộ môn Vật lý

lý thuyết và vật lý toán – Khoa Vật lý – Trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã trang bị cho em các kiến thức chuyên ngành vô cùng cần thiết, cũng như đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để em hoàn thành luận án này

Xin cảm ơn các anh, chị, em cán bộ, học viên cao học, sinh viên tại Phòng thí nghiệm trọng điểm khoa học tính toán đa tỷ lệ cho hệ phức hợp về sự giúp

đỡ trong quá trình tính toán mô phỏng trên thiết bị của phòng thí nghiệm

Tôi xin cảm ơn sự quan tâm của Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Vật lý – Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội

Tôi cũng xin cảm ơn đề tài QG.16.01 đã hỗ trợ về mặt kinh phí

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, trợ giúp tôi trong thời gian nghiên cứu sinh và hoàn thành luận án

Hà Nội, ngày tháng năm 2020

Nguyễn Viết Đức

1

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ TỪ TIẾNG ANH

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

MỞ ĐẦU 8

1 TỔNG QUAN VỀ ADN VÀ LÝ THUYẾT TĨNH ĐIỆN CỦA HỆ VẬT LÝ SINH HỌC 18

1.1 Sơ lược về ADN 18

1.2 Cấu trúc không gian của phân tử ADN 20

1.3 Phương trình Poisson – Boltzmann và lý thuyết tĩnh điện Debye – Hückel 25

1.3.1 Phương trình Poisson – Boltzmann 25

1.3.2 Tuyến tính hóa phương trình Poisson – Boltzmann (PB) Phương trình Debye – Hückel (DH) 28

1.3.3 Phương trình Poisson – Boltzmann cho mặt phẳng tích điện 31

1.3.4 Phương trình Debye – Hückel tính toán thế năng của một hình trụ tích điện 35

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 41

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE – CARLO VÀ ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ 42

2.1 Phương pháp Monte – Carlo 42

2.2 Giới thiệu về phương pháp mô phỏng động học phân tử 47

2.2.1 Thuật toán MD 49

2.2.2 Ưu điểm và hạn chế của MD 51

2.2.3 Phần mềm GROMACS 51

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 52

2

3 KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ MÔ PHỎNG CỦA HỆ CÓ ADN VÀ

DUNG MÔI 53

3.1 Kết quả áp dụng phương trình Poisson – Boltzmann cho hệ ADN trong dung dịch muối 53

3.1.1 Hiện tượng đảo dấu điện tích của đại phân tử sinh học bởi phản ion đa hóa trị 53

3.1.2 Tương tác hút nhau của hai đại phân tử cùng dấu trong dung dịch chứa phản ion hóa trị cao 56

3.2 Mô phỏng Monte – Carlo với hệ chính tắc lớn 59

3.3 Hiệu ứng kích thước hữu hạn 64

3.4 Dung dịch một loại muối 67

3.5 Hỗn hợp hai muối 71

3.6 Hỗn hợp ba muối 73

3.7 Dung dịch gồm hỗn hợp muối và ADN 78

3.8 Ảnh hưởng của đồng ion hóa trị 2 83

3.9 Hiện tượng đảo dấu điện tích khi nồng độ phản ion hóa trị 2 cao 87

3.10 Tương tác hiệu dụng ADN–ADN bao quanh bởi các phản ion 90

3.11 Nghiên cứu trạng thái proton hóa của protein PSA ZF khi liên kết với ADN 93

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 103

KẾT LUẬN CHUNG 104

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 106

TÀI LIỆU THAM KHẢO 107

3

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ TỪ TIẾNG ANH

ADN Deoxyribonucleic acid

RMSF Root Mean Square Fluctuation

Độ thăng giáng bình phương trung bình

Thư viện dữ liệu protein

Cấu trúc ngón tay kẽm của protein

PSA Prostate-specific antigen

Kháng nguyên đặc hiệu tiền liệt tuyến

4

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1 Nồng độ muối và áp suất thẩm thấu thay đổi theo kích thước ô

mô phỏng Thế hóa được cố định với nồng độ các muối 2:1, 2:1

và 1:1 tương ứng là 200mM, 10mM và 50mM 65Bảng 3.2 Fugacity của muối 1:1 với các nồng độ khác nhau, cột 2 và cột

3 là số liệu mô phỏng của nồng độ và áp suất thẩm thấu của dung dịch 67Bảng 3.3 Fugacity của dung dịch muối 2:1 với các nồng độ khác nhau, cột

2 và 3 là số liệu nồng độ và áp suất thẩm thấu thu được từ mô phỏng 68Bảng 3.4 Fugacity của dung dịch muối 2:2 với các nồng độ khác nhau, cột 2

và 3 là số liệu nồng độ và áp suất thẩm thấu thu được từ mô phỏng 68Bảng 3.5 Fugacity của hệ hai muối 1:1 và 2:1, cột 3 và cột 4 là nồng độ

của muối sau khi mô phỏng, với nồng độ muối 1:1 được giữ ở mức 50mM Cột 5 là áp suất thẩm thấu của dung dịch 70Bảng 3.6 Fugacity của các muối 2:2, 2:1 và 1:1 trong hỗn hợp Cột 4, 5

và 6 là các nồng độ tương ứng Nồng độ muối 1:1 được giữ ở 50mM, nồng độ muối 2:1 giữ ở mức 10mM Cột 7 là áp suất thẩm thấu của dung dịch thu được từ mô phỏng 73Bảng 3.7 Các phân tử mô phỏng đối với mỗi hệ 96

5

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Bốn loại base cấu trúc trên ADN 19

Hình 1.2 Cấu trúc hóa học của ADN 20

Hình 1.3 Cấu trúc xoắn kép của ADN 21

Hình 1.4 Một số cấu trúc hình học của ADN 22

Hình 1.5 Sơ lược các bước xoắn của ADN trong nhân tế bào 23

Hình 1.6 Cấu trúc Nucleosome 24

Hình 1.7 Một mặt phẳng tích điện được nhúng trong dung dịch với dung môi nước, có chứa các phản ion 32

Hình 1.8 Hình trụ tích điện dài vô hạn, với mậ độ điện mặt 𝜎𝜎 được nhúng trong dung dịch chứa các phản ion Bán kính hình trụ là R 36

Hình 1.9 Phân bố của phản ion với trường hợp thanh tích điện Hình nhỏ: Đồ thị của thông số Manning hiệu dụng 𝜉𝜉eff [41] 38

Hình 2.1 Sơ đồ thuật toán Monte Carlo 43

Hình 3.1 Các phản ion hóa trị cao ngưng tụ trên bề mặt đại phân tử tích điện tạo thành mạng Wigner với hằng số mạng a Ô mạng Wigner – Seitz điển hình được thể hiện trên hình 54

Hình 3.2 Tương tác hút giữa hai đại phân tử hình cầu, mang điện tích cùng dấu,khi có mặt các phản ion hóa trị cao trong dung dịch 56

Hình 3.3 Năng lượng tương tác giữa hai đại phân tử hình cầu phụ thuộc vào bán kính hình cầu, đồ thị được vẽ tại các hóa trị khác nhau của phản ion, 𝜎𝜎 = 0.5𝑒𝑒/𝑛𝑛𝑛𝑛2(a), và theo mật độ điện tích tại các giá trị bán kính khác nhau (b) 58 Hình 3.4 Nồng độ của các muối khác nhau trong hỗn hợp 3 muối: Muối

2:2, 2:1 và 1:1 Thế hóa của các phân tử muối được giữ không

giữa hai phân tử ADN là d 78Hình 3.12 Áp suất thẩm thấu của bó ADN theo khoảng cách giữa các

ADN; tại những nồng độ phản ion hóa trị 2 khác nhau 80Hình 3.13 Đồ thị năng lượng tự do theo nồng độ phản ion hóa trị 2 82Hình 3.14 Fugacity của muối đơn hóa trị 1:1 theo nồng độ phản ion hóa

trị 2 Hình vuông là trường hợp có đồng ion hóa trị 2; hình thoi

là trường hợp không có 84Hình 3.15 Số lượng phân tử muối 1:1 trong bó ADN với d=40nm, thể tích

mô phỏng V≅ 1700nm3 Trục hoành của đồ thị là nồng độ phản ion hóa trị 2 Đường có điểm hình thoi là dung dịch A, đường

có điểm hình vuông là của dung dịch B 85

7

Hình 3.16 Số phản ion Mg2+ trong bó ADN với d=40nm, thể tích mô

phỏng V≅ 1700nm3 Trục hoành của đồ thị là nồng độ phản ion hóa trị 2 Đường có điểm hình thoi là dung dịch A, đường có điểm hình vuông là của dung dịch B 86Hình 3.17 Mật độ điện tích tổng cộng của các ion âm theo khoảng cách

tính từ trục ADN 87Hình 3.18 Mật độ điện tích xét trên một chuỗi đơn ADN, tính theo đơn vị

e 88Hình 3.19 Đồ thị của áp suất thẩm thấu theo khoảng cách giữa các ADN

với trường hợp nồng độ phản ion hóa trị 2 thấp – 30mM 90Hình 3.20 Đồ thị của áp suất thẩm thấu theo khoảng cách giữa các ADN

với trường hợp nồng độ phản ion hóa trị 2 cao – 507mM 91Hình 3.21 Đồ thị năng lượng tự do phụ thuộc nồng độ phản ion hóa trị 2 92Hình 3.22 Cấu trúc phức hợp: ADN (màu xanh), hai chuỗi protein (chuỗi

A – xanh lam và chuỗi B – đỏ), 4 quả cầu màu bạc là ion Zn 94Hình 3.23 RMSD của protein A với CYS-ZN và CYN-ZN 97Hình 3.24 RMSD của protein B với CYS-ZN và CYN-ZN 97Hình 3.25 RMSD của đoạn ADN và ADN bổ sung liên kết với CYN-ZN 97Hình 3.26 RMSD của đoạn ADN và ADN bổ sung liên kết với CYS-ZN 97Hình 3.27 RMSF của nguyên tử 𝐶𝐶𝐶𝐶 trên xương sống của phân tử protein

A 97Hình 3.28 RMSF của nguyên tử 𝐶𝐶𝐶𝐶 trên xương sống của phân tử protein

B 97Hình 3.29 RMSF của nguyên tử 𝐶𝐶𝐶𝐶 trên xương sống của chuỗi bổ sung

ADN với trường hợp CYN 97Hình 3.30 RMSF của nguyên tử 𝐶𝐶𝐶𝐶 trên xương sống của chuỗi bổ sung

ADN với trường hợp CYS 97

độ tuần hoàn cao Do đó, phân tử ADN cũng đã được nhiều nhóm nghiên cứu trong lĩnh vực công nghệ vật liệu, công nghệ nano chọn làm đối tượng để nghiên cứu vật liệu tự tổng hợp mới

Trong môi trường nước, ADN là một phân tử tích điện âm với mật độ điện tích rất cao Tương tác tĩnh điện giữa các phân tử ADN với nhau, hoặc với các phân tử tích điện khác hay protein đóng một vai trò quan trọng trong việc quyết định các thuộc tính cấu trúc, hay chức năng sinh học của các phân tử ADN và các hệ sinh học chứa ADN Mặc dù vậy, nhiều khía cạnh của tương tác tĩnh điện của ADN vẫn chưa được hiểu biết đầy đủ, nhất là các bài toán tĩnh điện của ADN khi có mặt các ion dương (gọi là phản ion vì có điện tích trái dấu với điện tích của ADN) đa hóa trị hay các phân tử tích điện mạnh khác Thông thường, khi nghiên cứu các bài toán tĩnh điện trong dung môi nước, người ta thường sử dụng phương trình Poisson – Boltzmann (PB) hoặc đơn giản hơn, phương trình Debye – Hückel (DH) (là phương trình PB tuyến tính hóa) Cả hai phương trình này đều dùng xấp xỉ trường trung bình Vì thế chúng chỉ có thể áp dụng để mô tả các hệ với tương tác tĩnh điện yếu Trong các hệ chứa các

9

phân tử tích điện cao như hệ chứa ADN hoặc/và với các ion đa hóa trị, phạm vi ứng dụng của các phương trình này rất hạn chế Nhiều khi, các phương trình này không những không thể giải thích một cách định lượng, mà còn thất bại khi

mô tả định tính các tính chất của các hệ này Một số hiệu ứng như hiện tượng đảo dấu điện tích, hiệu ứng hút nhau giữa các đại phân tử tích điện dấu không thể giải thích bằng các phương pháp lý thuyết trường trung bình, lý thuyết tĩnh điện thông thường

Đây là lý do tôi đề xuất tiến hành xây dựng các mô hình tính toán giải tích và mô phỏng lý thuyết thích hợp để giải quyết các bài toán tĩnh điện nói chung, và tương tác tĩnh điện mạnh nói riêng, trong các hệ có chứa ADN Tuy các nghiên cứu của đề tài đều mang tính thuần túy khoa học cơ bản, những kết quả của tôi cũng có thể góp phần cho các nghiên cứu ứng dụng y sinh học hoặc vật liệu mới mô phỏng sinh học, giúp tăng cường kiến thức và đẩy nhanh việc xây dựng các phương pháp chữa trị các bệnh di truyền như ung thư, trị liệu gene, hay các bệnh liên quan đến vi rút

Nội dung nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

Sự tăng trưởng một cách bùng nổ trên thế giới các chiến lược tầm cỡ quốc gia, các trung tâm, phòng thí nghiệm, tạp chí khoa học, công ty liên quan đến công nghệ nano, vật liệu mềm, và lý sinh là một bằng chứng cho thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu các bài toán lý sinh nói chung và các bài toán liên quan đến ADN nói riêng

Tất cả các tính chất đặc thù và ứng dụng tiềm năng của ADN nói trên có được là do cấu trúc đặc trưng của phân tử ADN Phân tử ADN bao gồm hai nhánh polyme kết hợp với nhau thành một cấu trúc xoắn kép [63] Mỗi nhánh polyme được tạo bởi một chuỗi các phân tử nucleotit Mỗi phân tử nucleotit có

2 phần, phần xương sống của polyme và phần base Phần xương sống bao gồm

10

nhóm phosphat và nhóm đường C5 Phần bazơ nitric của nucleotit của một nhánh ADN được kết nối bằng tương tác hydro với phần bazơ tương ứng ở nhánh bên kia theo nguyên tắc bổ sung Bazơ Adenine kết nối với Thymine, bazơ Guanine kết nối với bazơ Cytosine Chu kì của cấu trúc xoắn của ADN là khoảng 10 cặp nucleotit (bp), tương ứng với khoảng 34 nm Mặc dù từng nhánh của ADN rất mềm, với độ cứng chỉ 7Å, cấu trúc xoắn kép, và tương tác giữa các bazơ của các nhánh làm cho phân tử ADN rất bền vững về mặt cấu trức, với độ cứng khoảng 500Å hay 300bp

Trong môi trường nước, nhóm phosphat của ADN bị mất proton và tích điện âm Mật độ điện tích dọc theo trục ADN là −1e/1.7Å, trong đó e là điện tích nguyên tố bằng 1,6 × 10−19 C Mật độ điện tích bề mặt của ADN là –1e/nm2 Đây là những mật độ điện tích lớn nhất trong các phân tử sinh học Do vậy, tương tác tĩnh điện đóng một vai trò quan trọng trong việc quyết định các tích chất cấu trúc và chức năng sinh học của các hệ sinh học chứa ADN

Do nguồn gốc sinh học, các thí nghiệm in vivo và in vitro nghiên cứu các hệ

ADN luôn được tiến hành trong môi trường dung dịch muối với một hàm lượng nhất định các ion Na+, H+, Cl−, OH−, Các lý thuyết thông thường dùng để giải các bài toán tĩnh điện trong dung môi hay plasma chứa ion linh động đa số dựa trên phương trình trường trung bình PB, hoặc đơn giản hơn, phương trình

DH [35] Các phương trình này đã giúp chúng ta có được những hiểu biết quan trọng về các tính chất tĩnh điện của dung môi Cụ thể là nếu tương tác không quá lớn, entropy của các ion tự do đóng vai trò chính trong năng lượng tự do của hệ, các nghiệm của phương trình DH cho thấy, các ion tự do này sẽ “chắn” thế năng của một điện tích ở khoảng cách lớn hơn một khoảng cách đặc trưng,

rDH Nồng độ muối càng cao, thì hiệu ứng chắn này càng mạnh và khoảng cách chắn, rDH, càng nhỏ Khi áp dụng vào phân tử ADN, bởi vì thế năng của ADN rất lớn do mật độ điện tích của ADN rất cao, nghiệm của phương trình phi tuyến

11

PB cho thấy các phản ion của ADN sẽ cô đọng lên bề mặt ADN để giảm điện

tích hiệu dụng của phân tử này (lý thuyết Manning) [43] Phương trình DH vẫn

có thể được sử dụng để xem xét các bài toán tĩnh điện của ADN nếu chúng ta dùng điện tích hiệu dụng của ADN thay cho điện tích thực của ADN

Các lý thuyết nêu trên (hiệu ứng chắn DH và hiệu ứng cô đọng Manning) đều xuất phát từ phương trình trường trung bình PB Chúng đã khá thành công khi mô tả các tính chất tĩnh điện của hệ ADN trong dung môi muối đơn trị chẳng hạn như NaCl Tuy nhiên khi có mặt các muối với ion đa trị, chẳng hạn như Mg2+, Spermidine (Spd3+), hoặc Spermine (Spm4+) [20, 29, 54, 56], bức tranh vật lý về các tương tác tĩnh điện của hệ trở nên rất khác biệt Trong trường hợp này, tương quan giữa các phản ion cô đọng trên bề mặt ADN là rất mạnh

Do đó, xấp xỉ trường trung bình không còn thích hợp nữa Thực tế cho thấy có rất nhiều hiện tượng mới xuất hiện trong hệ ADN khi có mặt các ion đa hóa trị

Một ví dụ điển hình cho sự thất bại của lý thuyết trường trung bình trong việc mô tả hệ ADN tương tác mạnh là hiệu ứng đảo dấu điện tích [22] Thí nghiệm điện dung [6] cho thấy khi nồng độ muối đa trị vượt quá một giá trị đặc trưng, các phản ion có thể cô đọng lên bề mặt ADN nhiều đến mức điện tích

hiệu dụng của ADN chuyển thành điện tích dương Hiện tượng này hoàn toàn

nằm ngoài giới hạn của lý thuyết trường trung bình Một hiện tượng điển hình nữa cho thấy hạn chế của lý thuyết trường trung bình là tương tác hút giữa các phân tử ADN cùng tích điện âm, ngược với trực quan vật lý thông thường [33] Thực nghiệm cho thấy khi có mặt các phản ion đa hóa trị trong dung dịch, chẳng hạn như Spd3+ hay Spm4+, các tương tác giữa các phân tử ADN trở thành tương

tác hút Kết quả là các phân tử ADN dính vào nhau và tạo thành các cấu trúc vĩ

mô hình xuyến với kích thước cỡ hàng trăm nm

Hai ví dụ điển hình trên cho thấy bài toán tĩnh điện của các hệ ADN, đặc biệt là khi có mặt các phản ion đa hóa trị, là rất không tầm thường, và cho thấy

12

sự cần thiết để có một hiểu biết tốt hơn các tương tác tĩnh điện của hệ ADN trong môi trường này Đây là động lực và cũng là mục tiêu chính của đề tài nghiên cứu của tôi

Với một mục tiêu rộng như nêu trên, việc nghiên cứu của tôi sẽ cần có nhiều thời gian Cân bằng với khoảng thời gian của luận án nghiên cứu sinh, tôi đề tập trung vào một hệ ADN cụ thể, đó là tương tác tĩnh điện của hệ phân

tử ADN trong khuổn khổ các vi rút thực khuẩn Đây là các vi rút tấn công chủ yếu vào các vi khuẩn Phần lớn cấu trúc của các vi rút này bao gồm phân tử ADN cuộn tròn trong một vỏ bọc protein cứng để bảo vệ gene của vi rút khỏi các tác động bên ngoài Kích thước điển hình của các vỏ vi rút là khoảng 30𝑛𝑛𝑛𝑛 trong khi độ dài của phân tử ADN của vi rút là khoảng 10𝜇𝜇𝑛𝑛 Sự khác biệt lớn

về kích thước giữa ruột và vỏ vi rút cho thấy các phân tử ADN phải chịu một lực nén khá lớn bên trong vỏ vi rút Áp suất thẩm thấu của vi rút có thể lên tới

50 atm [9, 12, 52, 61] Có nhiều giả thuyết cho rằng áp lực này là nguyên nhân vật lý chính giúp cho việc giải phóng phân tử ADN vào trong tế bào vi khuẩn

khi vi rút bám vào tế bào và mở vỏ bọc Nhiều thí nghiệm in vivo và in vitro [7,

9, 12, 13, 14, 44, 53, 56] cũng ủng hộ giả thuyết này Có thể dễ dàng thấy được

là áp lực của phân tử ADN bên trong vỏ vi rút không chỉ do độ đàn hồi của phân tử ADN quyết đinh Một phần không nhỏ áp lực này là do tương tác tĩnh

điện giữa các phân tử ADN trong vỏ Thí nghiệm in vitro đã khẳng định điều

này: Khi môi trường tĩnh điện của dung môi thay đổi, số lượng phân tử ADN phóng vào trong tế bào cũng thay đổi theo Mặc dầu các muối đơn trị không ảnh hưởng mấy tới áp suất giải phóng ADN khỏi vi rút, các muối đa trị có hiệu ứng rất mạnh và phức tạp làm giảm áp lực của ADN Trong luận án nghiên cứu này, tôi đã tìm hiểu chi tiết về tương tác tĩnh điện mạnh của phân tử ADN khi

có mặt các phản ion đa hoặc đơn hóa trị

Phương pháp nghiên cứu và kết quả thu được

13

Tôi sử dụng lý thuyết trường trung bình, lý thuyết tương tác mạnh, và mô phỏng vật lý để nghiên cứu các bài toán tĩnh điện liên quan đến phân tử ADN Dưới đây tôi xin giới thiệu sơ lược về các phương pháp này:

Lý thuyết trường trung bình và phương trình Boltzmann

Một hệ tương tác tĩnh điện có chứa các phân tử tĩnh điện linh động (các ion trong dung môi) và các phân tử tích điện lớn hơn, không linh động (ADN,

hệ keo hay protein) có thể được mô tả bởi tổng thống kê của khí plasma cổ điển:

Trong xấp xỉ trường trung bình, bỏ qua các số hạng tương quan cấp cao giữa các ion, một hạt chuyển động được giả thiết chuyển động tự do trong một trường trung bình tạo bởi các hạt khác, tổng thống kê có thể được thay bởi tích phân phiếm hàm của mật độ hạt [28]:

14

Phân bố cân bằng 𝑛𝑛(𝒓𝒓) của các ion linh động là phân bố mà năng lượng

tự do, −𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇𝑇𝑇𝑛𝑛𝑍𝑍, của hệ là cực tiểu Giải phương trình cực trị của năng lượng

tự do, ta thu được phương trình trường trung bình Poisson–Boltzmann:

Phương trình PB là một phương trình phi tuyến, nghiệm của phương trình này rất khó tính giải tích, và thường phải dựa vào máy tính để giải

Trong trường hợp tương tác tĩnh điện là nhỏ so với entropy của các ion, chúng ta có thể tuyến tính hóa, exp[−𝛽𝛽𝑞𝑞𝛼𝛼𝜑𝜑] ≈ 1 − 𝛽𝛽𝑞𝑞𝛼𝛼𝜑𝜑, và thu được phương trình tuyến tính Debye – Hückel:

∇2𝜑𝜑(𝒓𝒓) = 𝜅𝜅2𝜑𝜑(𝒓𝒓), (0.5) trong đó, 𝜅𝜅 = �4𝜋𝜋 ∑ 𝑛𝑛𝛼𝛼 𝛼𝛼𝑞𝑞𝛼𝛼2⁄𝜀𝜀 được gọi là bán kính chắn nghịch đảo, tên gọi xuất phát từ việc nghiệm của phương trình DH cho thế năng của một điện tích điểm q là:

𝜑𝜑(𝒓𝒓) = 𝑞𝑞𝑟𝑟 𝑒𝑒−𝜅𝜅𝜅𝜅 (0.6) Đây là thế năng Yukawa của điện tích điểm trong một plasma cổ điển với thế năng Coulomb 𝑞𝑞𝜅𝜅 bị chắn lũy thừa ở khoảng cách cỡ 𝜅𝜅−1

Lý thuyết tương tác mạnh (strong coupling theory)

Các phương trình trường trung bình PB và DH có thể được giải để tính thế năng tĩnh điện trong một dung dịch khi tương quan giữa các ion là nhỏ so với entropy của hệ Chẳng hạn để tính thế năng tương tác giữa các phân tử ADN

hệ Các kết quả ban đầu cho nhiều hệ khác nhau cho thấy lý thuyết này có thể

mô tả khá chính xác hiện tượng tĩnh điện trong dung môi chứa các ion hóa trị cao

Mô phỏng vật lý Monte-Carlo và mô phỏng động học phân tử

Cùng với các phương pháp giải tích gần đúng trên, tôi cũng tiến hành mô phỏng vật lý Monte–Carlo cho hệ ADN trong dung dịch [3] Tôi dựa vào các

mô hình ion đơn giản với các cấu trúc xoắn kép của ADN cùng với tập hợp thống kê chính tắc lớn (grand canonical ensemble) để mô phỏng hệ Phương pháp tập hợp mở rộng được dùng để tính áp suất thẩm thấu của hệ Áp suất này

tỉ lệ với tương tác hiệu dụng của các phân tử ADN trong dung môi, do đó việc nghiên cứu áp suất này sẽ giúp nghiên cứu tương tác tĩnh điện của hệ ADN

Tôi sử dụng phương pháp mô phỏng động học phân tử để nghiên cứu tác dụng liên kết và sự ổn định của cấu trúc ngón tay kẽm (Zinc finger – ZF) với protein cystein khử proton hóa khi liên kết PSA với ADN ZF là một cấu trúc phổ biến trong sinh vật, nó tồn tại trong hầu hết các liên kết protein – protein cũng như protein – ADN

Do ion kẽm mang điện tích 2+, khi liên kết với ADN thì ion kẽm bị kéo

ra khỏi cấu trúc ZF dẫn đến phá hủy liên kết ZF Tuy nhiên với protein cystein

tử sinh học tích điện cùng dấu (ADN) trong một hình thức luận thống nhất Tôi cũng nghiên cứu các tính chất thống kê về phân bố của các ion trong hệ Áp dụng nghiên cứu hiện tượng đảo dấu điện tích của ion kẽm Zn2+ trong cấu trúc ngón tay kẽm của protein PSA của bệnh ung thư tiền liệt tuyến; cho thấy cấu trúc đảo dấu điện tích này là cấu trúc bền vững của ngón tay kẽm

Ý nghĩa khoa học của đề tài

Ngành vật lý sinh học và vật liệu mềm nói riêng, vật lý đa ngành nói chung đã bắt đầu thu hút được sự quan tâm của các nhà khoa học ở Việt nam Tuy nhiên, theo ý kiến chủ quan của tôi, các nghiên cứu khoa học cơ bản trong các lĩnh vực này, và cụ thể hơn là nghiên cứu vật lý các hệ phân tử ADN ở Việt Nam còn khá hạn chế và rời rạc Do đó đề tài nghiên cứu của tôi là các vấn đề rất mới mẻ, thời sự ở Việt Nam Tôi hy vọng sẽ đóng góp được nhiều cho các nghiên cứu lý thuyết cơ bản trong ngành khoa học lý sinh và vật liệu mềm của nước nhà, tạo đà để theo kịp các xu hướng nghiên cứu thế giới Đồng thời tôi cũng hy vọng đem các phướng pháp nghiên cứu tiên tiến áp dụng vào môi trường khoa học ở Việt Nam

17

Dù chỉ tập trung nghiên cứu tĩnh điện mạnh trong một hệ ADN trong vi rút thực khuẩn, các phương pháp nghiên cứu và kết quả của tôi hoàn toàn có thể mở rộng sang các hệ ADN tương tác mạnh khác, cho rất nhiều hệ sinh học khác nhau: các tính chất đàn hồi của ADN như độ cong, độ xoắn, độ giãn của ADN (trong các hệ như ADN siêu xoắn, ADN thắt nơ, hay ADN chịu lực) sẽ bị thay đổi khi có mặt các phản ion đa hóa trị trong dung môi; các tương tác hiệu dụng giữa các phân tử ADN và hiện tượng ngưng tụ của chúng trong dung môi, trong vi rút, hoặc trong các cấu trúc nucleosome, đều thay đổi khi có mặt các phản ion đa hóa trị; rất nhiều các hệ ADN – protein, cấu trúc và chức năng sinh học đều thay đổi khi có mặt các phản ion đa hóa trị

18

CHƯƠNG 1

1 TỔNG QUAN VỀ ADN VÀ LÝ THUYẾT TĨNH ĐIỆN CỦA

HỆ VẬT LÝ SINH HỌC 1.1 Sơ lược về ADN

Acid deoxyribonucleic (ADN) là một phân tử sinh học mang thông tin di truyền

mã hóa cho hoạt động sinh trưởng và phát triển của các dạng sống bao gồm cả một số virus Do vậy ADN có thể xem là phân tử quan trọng nhất của sự sống hay còn được gọi là “phân tử của sự sống” ADN nhận được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều các nhà khoa học hàng đầu trong nước và quốc tế, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy trên các tạp chí khoa học có chỉ số ảnh hưởng (IF) cao, các tạp chí hàng đầu như: Nature, Science… rất nhiều những công trình nghiên cứu về ADN Về thành phần hóa học, ADN là một loại axit hữu cơ

có chứa các nguyên tố chủ yếu là: cacbon (C), hiđro (H), oxi (O) và photpho (P) Về cấu trúc, ADN là đại phân tử có khối lượng phân tử lớn, chiều dài có thể đạt tới hàng trăm 𝜇𝜇𝑛𝑛, khối lượng phân tử có thể đạt từ 4 đến 8 triệu, một số

có thể đạt tới 16 triệu đơn vị cacbon ADN là hợp chất cao phân tử cấu tạo theo nguyên tắc đa phân, trong đó mỗi đơn phân là các nucleotít gọi tắt là là các Nu

Về thành phần hóa học, mỗi Nucleotít có 3 thành phần cơ bản: Một phân tử đường Deoxiribose, một gốc phosphat (H3PO4) và một trong bốn loại base (nucleobase) A – T – G – C Trong đó hai loại base Cytosine (C) và Thymine (T) có cấu trúc vòng đơn cacbon nitrogen, kích thước nhỏ (Pyrimidin), hai loại base Adenin (A) và Guanin (G) có cấu trúc vòng kép, kích thước lớn hơn

Liên kết photphodieste là liên kết bền, đảm bảo thông tin di truyền trên mỗi mạch đơn ổn định ngay cả khi ADN tái bản và phiên mã Chính liên kết hóa trị này làm nên tính ổn định của phân tử ADN Do đó chuỗi các liên kết giữa phân tử đường và gốc phosphate được xem là chuỗi “xương sống” của phân tử ADN, có ý nghĩa quan trọng trong hoạt động di truyển của các cơ thể

Hình 1.1 Bốn loại base cấu trúc trên ADN (Nguồn: http://faculty.ccbcmd.edu/)

20

sống Từ chuỗi xương sống này, các nucleobase trên nhánh đơn gắn vào nhóm phân tử đường của nhánh đó như “chân rết”, các nuleobase trên hai nhánh đơn liên kết với nhau thông qua các liên kết hiđro Hai liên kết này hình thành nên

độ cứng và cấu trúc không gian của phân tử ADN

1.2 Cấu trúc không gian của phân tử ADN

Cấu trúc sơ cấp của phân tử ADN được biết đến là cấu trúc chuỗi xoắn kép gồm hai sợi đơn - chuỗi polinucleotít Có nhiều dạng xoắn hai mạch đơn của phân tử ADN, tuy nhiên cấu trúc phổ biến nhất là cấu trúc xoắn dạng B – ADN theo mô hình của J Oat xơn và F Cric xây dựng năm 1953 [63] Theo

mô hình này, hai mạch đơn của phân tử ADN liên kết với nhau và xoắn đều quanh một trục tưởng tượng theo chiều từ trái sang phải tương tự như chiếc

Hình 1.2.Cấu trúc hóa học của ADN (Nguồn: https://commons.wikimedia.org )

21

thang dây xoắn với bán kính 1nm gồm nhiều vòng xoắn, các chu kỳ xoắn được lặp đi lặp lại đều đặn, chiều cao mỗi vòng xoắn là 3.4𝑛𝑛𝑛𝑛, trung bình khoảng 10.5 cặp base nu một chu kỳ với khoảng cách các cặp nu xấp xỉ 0.34𝑛𝑛𝑛𝑛 (Hình 1.3)

- Hai bên tay thang là các phân tử đường và axit phosphoric sắp xếp xen kẽ nhau, mỗi bậc thang là các cặp base liên kết với nhau bằng liên kết hidro theo nguyên tắc bổ sung nghĩa là một base lớn liên kết với một base có kích thước nhỏ hơn Do đặc điểm cấu trúc của các nucleobase mà liên kết hiđro chỉ hình thành giữa hai loại nucleobase nhất định là

A với T (qua 2 liên kết hiđro) và C với G (qua 3

liên kết hiđro) Đó thực chất là liên kết giữa một purine

và một pyrimidine nên khoảng cách tương đối giữa

hai chuỗi polynucleotít được giữ vững

- Trong môi trường nước, gốc phosphate mất đi proton

và trở nên tích điện âm Do vậy khi đặt ADN trong môi

trường nước mật độ điện tích tuyến tính của ADN

khoảng 1𝑒𝑒/1,7Å Nếu ta coi ADN là một hình trụ tích

điện với bán kính 1𝑛𝑛𝑛𝑛, thì mật độ bề mặt là 1𝑒𝑒/𝑛𝑛𝑛𝑛2

Đây là một trong những mật độ điện tích lớn nhất đã

quan sát được trong các hệ sinh học

Do vậy các hiệu ứng tĩnh điện đóng

vai trò rất quan trọng trong cấu trúc và

hoạt tính của các hệ ADN

- Ngoài mô hình cấu trúc chuỗi xoắn kép của J Oat xơn và F Cric (B – ADN), còn một số cấu trúc hình học của ADN được biết đến như cấu trúc dạng A, D, Z… (Hình 1.4) Các dạng cấu trúc này khác với cấu trúc xoắn kép (dạng B) ở hình dạng, kích thước và một số các chỉ số như: Số các nucleotít trong một chu

Hình 1.3 Cấu trúc xoắn kép của ADN (Nguồn: http://bio1151.nicerweb.com)

mã ADN diễn ra bình thường Những nghiên cứu về cấu trúc không gian của ADN cho thấy ADN thường bị bẻ cong, cuộn xoắn thành các cấu trúc đa cấp từ xoắn kép của 2 chuỗi polynucleotide(1) đến các cấu trúc nucleosome(2), 10nm(4), 30nm(5), 300nm(6), … chromosome(8), (Hình 1.5)

Hình 1.4 Một số cấu trúc hình học của ADN

(Nguồn: Wikipedia.org)

Hình 1.5 Sơ lược các bước xoắn của ADN trong nhân tế bào

(Nguồn: http://imgbuddy.com)

24

- Mỗi nucleosome liên kết với một protein histon H1 hình thành cấu trúc chromatosome và tiếp tục xoắn chặt hơn hình thành các sợi có kích thước 30nm, 300nm, 250nm…

- Khoảng 6 nucleosome cuộn lại thành một solenoid, các solenoid tiếp tục cuộn xoắn tạo thành các quai chromatin (chromatin loop) Các quai chromatin lại tiếp tục cuộn xoắn hình thành nên các sợi của nhiễm sắc thể

Như vậy bằng khả năng cuộn xoắn ADN có thể giảm kích thước xuống khoảng xấp xỉ 1 000 000 lần so với chiều dài của nó trước khi cuộn xoắn

ADN là một phân tử tích điện rất mạnh trong môi trường nước, do đó ADN có thể được coi là một polymer tích điện (polyelectrolyte hay viết tắt là PE) Trong các bài toán tĩnh điện trong dung môi, chúng ta thường chỉ quan tâm đế các bậc tự do của PE và bỏ qua bậc tự do của các ions linh động Điều này được thực hiện bằng cách cố định các bậc tự do của PE và lấy trung bình thống kê theo tất cả các cấu hình của các ions linh động Trong môi trường nước của cơ thể sống thường xuyên có mặt các muối khác nhau, tạo thành các ions

Na+, Mg2+, Cl- ,… do đó tương tác hiệu dụng giữa hai điện tích của PE không

là tương tác Coulomb thông thường, mà sẽ bị chắn ở khoảng cách chắn Debye – Hückel 𝑟𝑟s, theo công thức:

Hình 1.6 Cấu trúc Nucleosome (https://www.philpoteducation.com)

1.3 Phương trình Poisson – Boltzmann và lý thuyết tĩnh điện Debye –

1.3.1 Phương trình Poisson – Boltzmann

Phương trình Poisson – Boltzmann (PB) là một phương trình trường trung bình được sử dụng để giải quyết bài toán nhiều hạt cổ điển của các ion linh động trong dung dịch nước [2, 60] Phương trình này xuất phát từ phương trình Poisson của một hệ điện tích:

𝑬𝑬(𝒓𝒓) = −∇𝜑𝜑(𝒓𝒓) (1.1) Dưới tác dụng của điện trường, các ion linh động loại 𝑖𝑖 với điện tích 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑒𝑒 sẽ chuyển động và tạo nên dòng 𝐽𝐽𝑒𝑒𝑖𝑖 Theo lý thuyết phản ứng tuyến tính thì dòng

𝐽𝐽𝑒𝑒𝑖𝑖 phải tỷ lệ với ngoại lực:

𝐽𝐽𝑒𝑒𝑖𝑖 = −𝑍𝑍ς𝑖𝑖𝑒𝑒𝑐𝑐𝑖𝑖∇𝜑𝜑 (1.2) Trong đó 𝑐𝑐𝑖𝑖 là mật độ điện tích thứ 𝑖𝑖 và ς là hệ số ma sát Đây là biểu thức của định luật Ohm Thêm vào đó, sự khuếch tán của các điện tích khi nồng độ ion không thuần nhất được mô tả bởi định luật Fick theo biểu thức:

26

𝐽𝐽𝐷𝐷𝑖𝑖 = −𝐷𝐷∇𝑐𝑐𝑖𝑖 (1.3) Trong đó hệ số khuếch tán 𝐷𝐷 = 𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇/𝜍𝜍 gọi là hệ số tương tác Einstein, do đó ta

có dòng điện tổng cộng của các ion loại 𝑖𝑖 là:

𝐽𝐽𝑡𝑡𝑜𝑜𝑡𝑡𝑖𝑖 = −1𝜍𝜍(𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇∇𝑐𝑐𝑖𝑖 + 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑒𝑒𝑐𝑐𝑖𝑖∇𝜑𝜑) = −𝑐𝑐𝜍𝜍 ∇ �𝑘𝑘𝑖𝑖 𝐵𝐵𝑇𝑇𝑇𝑇𝑛𝑛 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖

𝑜𝑜𝑖𝑖� + 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑒𝑒𝜑𝜑� (1.4) Hằng số 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑖𝑖 được định nghĩa là nồng độ tại vị trí mà thế năng bằng 0 (thường tại ∞) Trong trạng thái cân bằng nhiệt dòng điện tổng cộng của tất cả các ion phải bằng 0, từ đó ta suy ra được biểu thức quen thuộc cho mật độ điện tích theo phân bố Boltzmann:

𝑐𝑐𝑖𝑖(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑖𝑖𝑒𝑒−𝑍𝑍𝑖𝑖𝑒𝑒𝑒𝑒/𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇 (1.5) Phương trình trên cho thấy mối liên hệ giữa mật độ dòng và thế năng trung bình, để giải phương trình này tìm được nồng độ và thế năng trung bình

ta có thể sử dụng phương trình Poisson làm phương trình thứ hai biểu thị mối liên hệ giữa 𝑐𝑐𝑖𝑖 và 𝜑𝜑:

27

tử “macroions” như ADN…chúng ta thường chỉ quan tâm đến bậc tự do của các “macroions” và thay thế các bậc tự do của các ions linh động bằng phân bố trung bình của chúng Các “macroions” được coi là các điện tích cố định và ta cần giải phương trình PB để tìm phân bố trung bình của các ion linh động đồng thời tìm tương tác hiệu dụng giữa các “macroions” Nghiệm của phương trình PB mô tả thế năng tĩnh điện và mật độ điện tích trong dung dịch với các điều kiện biên được cho bởi các điện tích cố định ngoài hoặc định luật bảo toàn điện tích:

� 𝒅𝒅𝒓𝒓𝜌𝜌(𝒓𝒓) = 0 (1.9)

Do thế năng 𝜑𝜑(𝑥𝑥) xuất hiện cả trên hàm e mũ nên phương trình PB (1.8) là phương trình phi tuyến mạnh, rất khó giải trong trường hợp tổng quát, chúng ta chỉ có thể giải được bằng giải tích trong một vài trường hợp đặc biệt cần đến tính toán số như khi điện tích ngoài là mặt phẳng, mặt cầu hoặc hình trụ…

Trong các tài liệu chuyên ngành lý sinh, khi nghiên cứu về phương trình

PB, phương trình này thường được viết dưới dạng không thứ nguyên, điều này được thực hiện bằng cách: Nhân cả 2 vế của phương trình (1.8) với 𝑒𝑒/𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇 và thay thế năng tĩnh điện 𝜑𝜑′ cho thế năng tĩnh điện không thứ nguyên 𝑒𝑒𝜑𝜑/𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇

Ta thu được phương trình:

∇2𝜑𝜑′(𝒓𝒓) + � 4𝜋𝜋𝑇𝑇𝐵𝐵𝑍𝑍𝑖𝑖𝑐𝑐𝑜𝑜𝑖𝑖𝑒𝑒−𝑍𝑍𝑖𝑖𝑒𝑒′(𝒓𝒓)

𝑖𝑖

= −4𝜋𝜋𝑇𝑇𝐵𝐵�𝜌𝜌𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡(𝒓𝒓)

𝑒𝑒 � (1.10)

Độ dài 𝑇𝑇𝐵𝐵 được xác định theo công thức: 𝑇𝑇𝐵𝐵 = 𝜀𝜀𝑘𝑘𝑒𝑒2

𝐵𝐵 𝑇𝑇 gọi là độ dài Bjerrum Đây

là khoảng cách mà năng lượng tương tác tĩnh điện của hai điện tích bằng năng lượng nhiệt 𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇 Nói cách khác, hai điện tích trái dấu với độ lớn 𝑒𝑒 cách nhau một khoảng cách 𝑟𝑟 sẽ tạo tương tác mạnh nếu khoảng cách 𝑟𝑟 đó thỏa mãn điều kiện 𝑟𝑟 < 𝑇𝑇𝐵𝐵, và sẽ ion hóa nếu 𝑟𝑟 > 𝑇𝑇𝐵𝐵 (do các thăng giáng nhiệt) Trong dung

Xét trong dung dịch điện ly của một muối đơn trị, chỉ có hai loại ion có

số lượng các ion dương bằng số lượng các ion âm 𝑐𝑐𝑜𝑜+ = 𝑐𝑐𝑜𝑜− = 𝑐𝑐𝑠𝑠 và có cùng hóa trị 𝑍𝑍 Khi không có điện tích ngoài 𝜌𝜌𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 = 0 và phương trình (1.10) có dạng:

Nếu ta cố định một điện tích dương tại vị trí có tọa độ 𝒓𝒓′ và xem xét thế năng tĩnh điện tại điểm 𝒓𝒓 thì phương trình PB (1.12) trở thành:

[−∇2+ 𝜅𝜅𝑠𝑠2]𝐺𝐺(𝑟𝑟, 𝑟𝑟′) = 4𝜋𝜋𝑍𝑍2𝑇𝑇𝐵𝐵𝛿𝛿(𝑟𝑟 − 𝑟𝑟′) (1.14) Phương trình (1.14) gọi là phương trình PB đã tuyến tính hóa hay phương trình Debye – Hückel (DH) [11] Hàm Green xuất hiện ở đây được giải thích là thế năng tĩnh điện tại điểm 𝒓𝒓 được gây ra bởi một điện tại điểm 𝒓𝒓′, cũng có thể hiểu

là tương tác tĩnh điện giữa hai điện tích 𝑍𝑍𝑒𝑒 tại các vị trí 𝒓𝒓, 𝒓𝒓′ khi các ion linh động thăng giáng xung quanh Khi 𝜑𝜑 → 0, hàm Green trở về tương tác Coulomb thông thường Khi 𝑟𝑟 → ∞, 𝜑𝜑 → 0, nghiệm của phương trình (1.14) được cho bởi thế năng Yukawa:

29

𝐺𝐺(𝑟𝑟, 𝑟𝑟′) = 4𝜋𝜋𝑍𝑍|𝑟𝑟 − 𝑟𝑟2𝑇𝑇′𝐵𝐵| 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑠𝑠|𝜅𝜅−𝜅𝜅′| (1.15) Vậy, điện tích thử sẽ bị chắn bởi các điện tích linh động xung quanh nó Bán kính chắn 1

𝑘𝑘𝑠𝑠 = 𝑟𝑟𝑠𝑠 được gọi là bán kính chắn Debye – Hückel

𝑟𝑟𝑠𝑠 =𝑘𝑘1

𝑠𝑠 = �8𝜋𝜋𝑇𝑇1

𝐵𝐵𝑍𝑍2𝑐𝑐𝑠𝑠 (1.16) Đây là kết quả quan trọng của lý thuyết Debye – Hückel, do sự tích tụ các điện tích trái dấu xung quanh một điện tích tạo thành đám mây ion, tương tác tĩnh điện giữa các ion trong dung dịch điện phân bị chắn ở khoảng cách bằng khoảng chắn Debye, 𝑟𝑟𝑠𝑠 tỷ lệ với luỹ thừa bậc −1/2 của nồng độ ion 𝑐𝑐𝑠𝑠, vậy thế năng tĩnh điện giảm nhanh theo khoảng cách Nếu trong dung dịch gồm có nhiều loại ion khác nhau hóa trị 𝑍𝑍𝑖𝑖, nồng độ 𝑐𝑐𝑖𝑖 thì bán kính chắn được tính theo:

𝑟𝑟𝑠𝑠 = �4𝜋𝜋𝑇𝑇𝑒𝑒2

Trong đó 𝐼𝐼 = ∑ 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑖𝑖�𝑒𝑒𝑍𝑍𝑖𝑖2� gọi là cường độ ion của dung dịch Khi nồng độ ion càng cao thì hiệu ứng chắn càng lớn và do vậy bán kính chắn 𝑟𝑟𝑠𝑠 càng nhỏ Với dung dịch muối NaCl nồng độ 1mM, ở nhiệt độ phòng 𝑟𝑟𝑠𝑠 ≈ 100Å Năng lượng của một điện tích 𝑒𝑒 trong dung dịch điện phân (để đơn giản, tôi giả sử dung dịch chỉ có ion đơn hóa trị), bằng một nửa hiệu giữa thế Yukawa và thế Coulomb, khi cho 𝑟𝑟 tiến tới không

𝛽𝛽𝛽𝛽𝑠𝑠 = 𝑇𝑇2 lim𝐵𝐵

𝜅𝜅→0�𝑒𝑒−𝜅𝜅𝑟𝑟 −𝑠𝑠𝜅𝜅 1𝑟𝑟� = −𝑇𝑇𝐵𝐵2 𝜅𝜅𝑠𝑠 (1.18) Mỗi ion trong dung dịch điện phân sẽ một góp phần bổ chính trên vào nội năng của hệ, và nội năng trên một đơn vị thể tích của hệ sẽ thay đổi một lượng là Δ𝑢𝑢

𝛽𝛽Δ𝑢𝑢 = −2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑇𝑇𝐵𝐵2 = −𝜅𝜅𝑠𝑠 8𝜋𝜋.𝜅𝜅𝑠𝑠3 (1.19)

30

Sử dụng đẳng thức nhiệt động lực học:

Δ𝑢𝑢 =𝜕𝜕𝛽𝛽 𝜕𝜕 [𝛽𝛽Δ𝛽𝛽𝑠𝑠] (1.20) Với điều kiện Δ𝛽𝛽𝑠𝑠 → 0 khi 𝑇𝑇 → ∞, tôi thu được đóng góp của tương tác tĩnh điện vào năng lượng tự do:

Δ𝛽𝛽𝑠𝑠 = −𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇12𝜋𝜋.𝜅𝜅𝑠𝑠3 (1.21) Đây là kết quả nổi tiếng được Debye – Hückel tìm ra, năng lượng tự do tỷ lệ với nồng độ 𝛽𝛽~𝑐𝑐𝑠𝑠3/2, khác với trường hợp thông thường 𝛽𝛽~𝑐𝑐2 với khoảng tương tác tầm ngắn Tương tự như khai triển virial, lý thuyết Debye – Hückel vẫn đúng miễn là động năng lớn hơn nhiều so với thế năng tương tác giữa các ion Ta có thể định lượng hóa phạm vi ứng dụng của lý thuyết DH bằng việc xem xét, định nghĩa một tham số không thứ nguyên Γ phụ thuộc vào tỉ số giữa thế năng và động năng theo biểu thức:

sử dụng lý thuyết PB thay cho lý thuyết DH Tại gần bề mặt tích điện với mật

độ điện tích σ, các ion đơn trị của bề mặt chịu một lực tĩnh điện có độ lớn

31

2𝜋𝜋𝑇𝑇𝐵𝐵(𝜎𝜎/𝑒𝑒)𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇 Ngoài bán kính chắn 𝑟𝑟𝑠𝑠 của dung dịch, tại gần bề mặt macroion (các ion rất lớn: như các hạt keo…), còn có một độ dài khác có vai trò khá quan trọng là độ dài Gouy – Chapman (𝜆𝜆), được định nghĩa là độ dài mà tại đó năng lượng tĩnh điện cân bằng với năng lượng nhiệt [24, 34]

𝜆𝜆 =𝜋𝜋𝑇𝑇𝑒𝑒

Ý nghĩa vật lý của độ dài này là độ dày của lớp mà tại đó có các phản ion của

bề mặt phân bố Với mật độ điện tích khoảng 𝜎𝜎/𝑒𝑒~1/100Å−2, 𝜆𝜆 cỡ vài Å Để đánh giá sự phù hợp giữa lý thuyết của PB cho điện tích bề mặt ta giả thiết các phản ion tạo thành khí lý tưởng với nồng độ 𝑛𝑛~𝜎𝜎/(𝑒𝑒𝜆𝜆) khi đó bình phương nghịch đảo của bán kính chắn tỉ lệ với độ dài quán tính 𝜅𝜅𝑠𝑠~𝑛𝑛𝑇𝑇𝐵𝐵~1/𝜆𝜆2 do đó tham số 𝑔𝑔~𝑇𝑇𝐵𝐵/𝜆𝜆 Lý thuyết PB sẽ cho kết quả khả quan khi 𝑇𝑇𝐵𝐵 ≪ 𝜆𝜆, tuy nhiên điều kiện này không phù hợp cho những bề mặt tích điện cao

1.3.3 Phương trình Poisson – Boltzmann cho mặt phẳng tích điện

Xét một dãy các mặt phẳng tích điện đều vô hạn nằm song song nhúng trong dung dịch với dung môi nước, chỉ có phản ion [36] Do phương trình bất biến đối với phép tịnh tiến trong mặt phẳng, nghiệm của phương trình chỉ phụ thuộc vào một biến số 𝑧𝑧, theo trục vuông góc với mặt phẳng, vậy thế năng và

32

nồng độ điện tích ion tương ứng là 𝜑𝜑(𝑧𝑧) và 𝑐𝑐(𝑧𝑧) Phương trình Poisson – Boltzmann có thể viết dưới dạng:

𝑑𝑑2𝜑𝜑(𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑧𝑧2 + 𝜅𝜅2𝑒𝑒−𝑒𝑒(𝑧𝑧) =𝑇𝑇𝑍𝑍 𝑛𝑛𝐵𝐵 (𝑧𝑧) (1.25) Tại những điểm mà mật độ điện tích 𝑛𝑛(𝑧𝑧) bằng không, phương trình PB trở thành phương trình vi phân bậc hai thuần nhất:

𝑑𝑑2𝜑𝜑(𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑧𝑧2 + 𝜅𝜅2𝑒𝑒−𝑒𝑒(𝑧𝑧) = 0 (1.26)

Phương trình thuần nhất có thể giải chính xác nghiệm bằng giải tích, nhân hai

vế của (1.26) với 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑𝑧𝑧 và tích phân ta thu được hằng số 𝐸𝐸

Hình 1.7 Một mặt phẳng tích điện được nhúng trong dung dịch với

dung môi nước, có chứa các phản ion

33

𝐸𝐸 = 12 �𝑑𝑑𝑑𝑑𝑧𝑧 � − 𝜅𝜅2𝜑𝜑 2𝑒𝑒−𝑒𝑒(𝑧𝑧) (1.27) Nghiệm của bài toán thu được bằng cách giải tích phân sau:

𝑑𝑑𝜑𝜑(𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑧𝑧 �𝑧𝑧=0 =

𝜎𝜎𝑇𝑇𝐵𝐵

Vì nồng độ phản ion bằng không tại vô cùng, suy ra 𝜌𝜌(𝑧𝑧) → 0 khi |𝑧𝑧| → 0, ta chọn nghiệm 𝐸𝐸 = 0 trong (1.29), sau khi chuẩn hóa 𝜑𝜑 = 0, thế tĩnh điện có dạng sau:

𝜑𝜑(𝑧𝑧) = 2 ln �1 +𝜅𝜅|𝑧𝑧|

√2 � (1.32)

34

Sử dụng điều kiện biên (1.31), ta tính được 𝜅𝜅:

𝜅𝜅 = 𝜎𝜎𝑇𝑇𝐵𝐵2√2𝑍𝑍𝑒𝑒 (1.33)

Do hiệu ứng màn chắn, thế 𝜑𝜑(𝑧𝑧) giảm theo hàm mũ khi |𝑧𝑧| → ∞, khác với khi không có phản ion, thế 𝜑𝜑(𝑧𝑧) giảm tuyến tính theo 𝑧𝑧 Hơn nữa, nồng độ của phản ion:

độ dài Gouy–Chapman xác định một khoảng không gian bao quanh mặt tích điện mà ở đó gần như tất cả phản ion đều nhưng tụ trong đó Điển hình là mặt

có mật độ điện tích 𝜎𝜎~100𝑒𝑒 Å−2, và phản ion hóa trị 1, độ dài Gouy–Chapman

cỡ vài Å Vì độ dài đặc trưng 𝜆𝜆 tỷ lệ nghịch với mật độ điện tích 𝜎𝜎 và tuyến tính với 𝑇𝑇, tại mật độ đủ cao và nhiệt độ đủ thấp, phân bố phản ion có thể coi

là theo 2 chiều không gian, tức là nằm trong một mặt phẳng Mật độ năng lượng

tự do (năng lượng tự do trên một đơn vị thể tích) của phản ion có thể ước lượng nếu coi các phản ion tạo thành khí lý tưởng với nồng độ 𝑐𝑐~𝑛𝑛0/(𝑍𝑍𝜆𝜆), bị giam giữ trong một dải độ dày 𝜆𝜆:

35

𝑒𝑒𝜇𝜇+𝑉𝑉0

𝑎𝑎3 = 𝜅𝜅𝑇𝑇2

𝐵𝐵 → 𝜇𝜇 = −𝛽𝛽0 + ln �𝑛𝑛2𝑍𝑍𝜆𝜆 �.0𝑎𝑎3 (1.38) Trong đó 𝛽𝛽0 là năng lượng riêng, mật độ năng lượng tự do là:

Tích phân trong dấu ngoặc vuông phân kỳ, và có thể bị triệt tiêu bởi hằng số

𝑈𝑈0 bất kỳ Thay kết quả từ (1.41) vào (1.39), mật độ năng lượng tự do bằng:

𝛽𝛽𝛽𝛽0 = −𝑛𝑛𝑍𝑍 𝛽𝛽0 0+𝑛𝑛𝑍𝑍 ln �0 𝑛𝑛2𝑍𝑍𝜆𝜆 � −0𝑎𝑎3 𝑛𝑛𝑍𝑍 0 (1.42) Phương trình (1.42) có dạng của năng lượng tự do của khí lý tưởng, 𝜆𝜆 trong phương trình trên liên quan tới hiệu ứng tương tác lẫn nhau giữa các phản ion 1.3.4 Phương trình Debye – Hückel tính toán thế năng của một hình trụ tích

Với 𝜉𝜉𝑚𝑚 ≡ 𝑇𝑇𝑏𝑏/𝑏𝑏, được định nghĩa là tham số Manning Khi 𝑅𝑅𝑜𝑜 → ∞, nếu 𝜉𝜉𝑚𝑚 <

1, 𝑄𝑄(𝑅𝑅𝑜𝑜) sẽ tăng vô hạn và các phản ion có thể thoát ra khỏi hình trụ, ngược lại, nếu 𝜉𝜉𝑚𝑚 > 1, 𝑄𝑄(𝑅𝑅𝑜𝑜) không còn phụ thuộc vào 𝑅𝑅𝑜𝑜 khi 𝑅𝑅𝑜𝑜 → ∞, vậy các phản

ion sẽ bị giữ lại trong hình trụ Hiện tượng này được gọi là hiện tượng cô đọng Manning Xét phương trình PB trong hệ tọa độ trụ:

𝑑𝑑2𝜑𝜑(𝑟𝑟)𝑑𝑑𝑟𝑟2 +1𝑟𝑟𝑑𝑑𝜑𝜑(𝑟𝑟)𝑑𝑑𝑟𝑟 + 𝜅𝜅2𝑒𝑒−𝑒𝑒(𝜅𝜅) = 𝜎𝜎𝑇𝑇𝑍𝑍𝑒𝑒 𝛿𝛿𝐵𝐵 (𝑟𝑟 − 𝑅𝑅) (1.46)

Hình 1.8 Hình trụ tích điện dài vô hạn, với mậ độ điện mặt 𝜎𝜎 được

nhúng trong dung dịch chứa các phản ion Bán kính hình trụ là R