ĐỘNG HỌC I./ Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất II./ Các khái niệm III./ Phân loại chuyển động IV./ Gia tốc toàn phần của phần tử lưu chất V./ Phương trình liên tục VI./ Phâ
Trang 1CHƯƠNG III
ĐỘNG HỌC
Trang 2ĐỘNG HỌC
I./ Hai phương pháp mô tả chuyển
động của lưu chất
II./ Các khái niệm
III./ Phân loại chuyển động
IV./ Gia tốc toàn phần của phần tử lưu chất
V./ Phương trình liên tục
VI./ Phân tích chuyển động của lưu
chất
Trang 3I./ Hai phương pháp mô tả chuyển
động của lưu chất:
1./ Phương pháp Lagrange:
- Chuyển động của thể tích lưu chất được mô tả bởi vị trí của các phần tử theo
thời gian của thể tích:
- Ưu điểm: mô tả chuyển động một cách chi tiết.
- Khuyết điểm: số lượng phương trình phải giải quá lớn (3n); không thể mô tả cùng một lúc quỹ đạo của nhiều phần tử.
- Khả năng áp dụng: phòng thí nghiệm.
=
=
=
⇒
=
=
=
⇒
=
=
=
dt
du a
dt
du a
dt
du a
dt
dz u
dt
dy u
dt
dx u
t , z , y , x z
z
t , z , y , x y
y
t , z , y , x x
x
z z
y y
x x
z y x
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Trang 4
2./ Phương pháp Euler:
- Chuyển động của thể tích lưu chất được quan niệm là trường vận tốc và được mô tả bởi một hàm vận tốc liên tục theo không gian và thời gian:
Ưu điểm: chỉ có 3 phương trình.
Khuyết điểm: không cho thấy rõ cấu trúc của chuyển động.
Khả năng áp dụng: tính toán.
⇒
=
=
=
đạo Quỹ
tốc
Gia
t z y x u
u
t z y x u
u
t z y x u
u
z z
y y
x x
, , ,
, , ,
, , ,
9 9 1 0 1 1 0 3 1 0 5 1 0 7 1 0 9 1 1 1 1 1 3 1 1 5 1 1 7 1 1 9 1 2 1
- 3
- 1 1 3 5 7 9
1 1
1 3
1 5
1 7
1 9
2 1
2 3
2 5
T h ¸ n g 1
V Ë n tè c tr ª n b Ị m Ỉt
0 1 m / s
0 5 m / s
S c a le
0 0 5 m / s
0 0 1 m / s
V
ie ä
t n a m
Trung quốc
I./ Hai phương pháp mô tả chuyển
động của lưu chất (tt):
Trang 5II./ Các khái niệm:
1./ Đường dòng:
• Đường dòng: Là đường cong vạch ra trong lchất
chuyển động sao cho vector vận tốc của các phần tử lưu chất chuyển động trên đó tiếp tuyến với nó.
Có thể thay đổi theo thời gian.
Phương trình
2./ Ống dòng, dòng chảy.
các đường dòng cùng đi qua một chu vi khép kín.
bên trong ống dòng
Ví dụ: mặt trong của đường ống; bề mặt lòng sông cùng với mặt thoáng… là các ống dòng
z y
dz u
dy u
dx
=
=
s u
u
Trang 63./ Mặt cắt ướt, chu vi ướt, bán kính thủy lực.
- Mặt cắt ướt (A) là mặt cắt ngang dòng chảy
sao cho trực giao với các đường dòng và nằm bên trong ống dòng
- Chu vi ướt (P) là phần chu vi của mặt cắt nơi
- Bán kính thủy lực (R)
4./ Lưu lượng, vận tốc trung bình mặt cắt.
- Lưu lượng (Q) là thể tích lưu chất chuyển động
ngang qua mặt cắt ướt trong một đơn vị thời gian
- Vận tốc trung bình mặt cắt (V):
P A
A Q
V =
A P
A
II./ Các khái niệm (tt):
Trang 7III./ Phân lọai chuyển động:
1./Theo ảnh hưởng của độ nhớt:
° Chuyển động của lưu chất lý tưởng ( µ = 0 )
° Chuyển động của lưu chất thực ( µ ≠ 0 )
2./Theo ảnh hưởng của khối lượng riêng:
° Chuyển động của lưu chất không nén được ( ρ = const )
° Chuyển động của lưu chất nén được ( ρ = var )
3./Theo ảnh hưởng của thời gian:
° Chuyển động của lưu chất là ổn định ( )
° Chuyển động của lưu chất là không ổn định ( )
4./Theo không gian của chuyển động:
° Chuyển động của lưu chất là 1 chiều ( u ≠ 0; v = w = 0 )
° Chuyển động của lưu chất là 2 chiều ( u ≠ 0; v ≠ 0; w= 0 )
° Chuyển động của lưu chất là 3 chiều ( u ≠ 0; v ≠ 0; w ≠ 0 )
0
≠
∂
0
=
∂
Trang 85./Theo trạng thái chảy:
mà ở đó các phần tử lưu chất chuyển động trượt trên nhau thành từ tầng, từng lớp, không xáo trộn lẫn nhau
mà ở đó các phần tử lưu chất chuyển động hỗn loạn, các lớp lưu chất xáo trộn vào nhau
° Thí nghiệm ReynoldsMực
màu Tia mực
III./ Phân lọai chuyển động (tt):
Trang 9IV Gia tốc toàn phần của phần tử lưu chất
- Xét phần tử lưu chất chuyển động
trên quỹ đạo của nó (dùng biến
Lagrange), gia tốc của ptử :
Trong biến Euler, vận tốc là hàm theo không gian và thời gian -> vận tốc u được tính theo
Thay vào biểu thức giới hạn:
và thực hiện phép tính giới hạn:
0
u
s
Quỹ đạo
u
(t0 ,x0 ,y0 ,z0 )
∆ +
=
∆ +
=
∆ +
=
∆ +
=
z z z
y y y
x x x
t t t
0 0 0 0
t
u
u dt
u d a
−
=
=
→
∆
0 0
lim
z z
u y
y
u x
x
u t
t
u u
∂
∂ +
∆
∂
∂ +
∆
∂
∂ +
∆
∂
∂ +
=
0
∆
∆
∂
∂ +
∆
∆
∂
∂ +
∆
∆
∂
∂ +
∂
∂
=
→
z z
u t
y y
u t
x x
u t
u a
t
0
lim
z
u u y
u u x
u u t
u
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
Trang 10V Phương trình liên tục
1./ Phương trình liên tục.
- Định luật bảo toàn khối lượng: tốc độ gia
tăng của khối lượng của một hệ vật chất bằng khối lượng chuyển động vào hệ trong 1 đơn vị thời gian
- Aùp dụng cho lưu chất trong thể tích kiểm soát:
Klượng lưu chất trong thể tích:
Klượng lchất cđộng ra khỏi thể tích:
- Theo ĐL bảo toàn:
∫
V
dV
ρ
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
z
u y
u x
∫
S
n dS u
ρ
0
=
+
∂
∂
∫
∫
S
n V
dS u
dV
∂
∂
t
ρ
ρ
( )u = 0
div
V
S
u
u n
u n .dS
n
Trang 112./Ptrình liên tục cho dòng chảy ổn định của lc không nén được.
- Xét thể tích kiểm soát là đoạn dòng chảy giữa hai mcắt 1-1 và 2-2
Trong trường hợp lưu chất không nén được, chuyển động ổn định ptrình liên tục dưới dạng tích phân được rút gọn còn:
Chia diện tích bao bọc S = A 1 + A 2 + S n
Tách tích phân thành tổng của 3 tích phân:
Hai tích phân đầu cho lưu lượng ngang qua các mcắt
1-1 và 2-2, còn tích phân thứ 3 bằng không:
0
=
∫
S
n dS
2 1
1
S n
A 2
A 1
u n =0
n
n
u
u
0
2 1
= +
∫
n
S
n A
n A
n dA u dA u dS u
0
2
1 + =
−Q Q ⇒ Q1 =Q2 ⇒ Q = const
V Phương trình liên tục
Trang 12VI Phân tích chuyển động của lưu
chất
làm cực của ptử
hỏi là vận tốc tại điểm M?
vào vế phải của biểu thức trên,
sau đó sắp xếp lại sẽ thu được biểu thức:
z z
u y
y
u x
x
u u
x
∂
∂ +
∆
∂
∂ +
∆
∂
∂ +
z
y
M 0
M
∆x
∆z
∆y
0
u
u
∆
∂
∂ +
∆
∂
∂
z x
u y
x
2 1
z x
u z
u y
x
u y
u x
x
u u
x
∂
∂ +
∂
∂ +
∆
∂
∂ +
∂
∂ +
∆
∂
∂ +
=
2
1 2
1
0
z x
u z
u y
x
u y
u x y x z ∆
∂
∂
−
∂
∂ +
∆
∂
∂
−
∂
∂ +
2
1 2
1
Trang 13° Đặt:
° Thành phần vận tốc u x sẽ được tính bằng công thức:
° Tương tự:
Ý nghĩa các số hạng:
chuyển động theo trục x với vận tốc u 0x và u x
tương ứng của điểm M 0 và M Do có sự chênh
lệch vận tốc, sau 1 đơn vị thời gian, ptử dài ra
một đoạn là: u x -u 0x
° Do đó tốc độ giãn dài tương đối của ptử là:
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂
=
j
i i
j k
j
i i
j k
i
i i
x
u x
u
x
u x
u
x
u
2
1 2
1
ω θ
ε ; ;
x u
u x = 0x +εx∆ + θz∆ +θy∆ + −ωz∆ +ωy∆
y u
u y = 0y +εy∆ + θx∆ +θz∆ + −ωx∆ +ωz∆
z u
u z = 0z +εz∆ + θy∆ +θx∆ + −ωy∆ +ωx∆
x
z
M 0
M
∆x
∆z
u x -u 0x
Trang 14° Khi ∆x→ 0, ta có:
⇒ εi - tốc độ giãn dài tương đối của ptử theo
trục x i.
+ θz và ωz :
° Giả sử mặt trên và mặt dưới của ptử chỉ
chuyển
động theo trục x với vận tốc u 0x và u x tương ứng
của điểm M 0 và M Do có sự chênh lệch vận tốc,
sau 1 đơn vị tgian, ptử sẽ bị đổ nghiêng với góc:
° Tương tự, do có sự chênh lệch thành phần vận
tốc trên phương y giữa mặt trái và mặt phải mà
ptử cũng sẽ bị đổ nghiêng với góc:
x x
x x
x
u x
u u
ε
=
∂
∂
→
∆
− 0
y
u y
u
u x x x
∂
∂
→
∆
−
1
ω
x
y
M 0
M
∆x
∆y
u y -u 0y
ω2
u y
u 0y
x
y
M 0
M
∆x
∆y
u x -u 0x
ω1
u x
u 0x
x
u y
u
u y y y
∂
∂
→
∆
−
2
ω
Trang 15° Nếu cả 2 chuyển động đồng thời xuất hiện,
ptử sẽ bị thay đổi như hình:
° Trong 1 đơn vị thời gian ptử bị biến dạng một
góc:
⇒ θk - tốc độ bdạng góc của ptử quanh trục x k.
° Trong 1 đơn vị thời gian ptử quay đi một góc:
⇒ ωk - tốc độ quay của ptử quanh trục x k.
° Định lý Hemholm: Cđộng của ptử lưu chất bao
gồm cđộng của vật rắn (theo cực và quay quanh
cực) và cđộng biến dạng (bdạng dài và bdạng
góc).
° Vector vận tốc quay :
y
y
u x
u
θ ω
ω =
∂
∂ +
∂
∂
=
+
2
1 2
1
1 2
x
y
M 0
M’
∆x
∆y
ω1
M
ω2
(ω2 - ω1 )/2
y
y
u x
u
ω ω
ω =
∂
∂
−
∂
∂
=
−
2
1 2
1
1 2
( )u rot u
k j
i y z
x
2
1 2
1 ∇ × =
= +
+
= ω ω ω ω
Trang 16Ví dụ 1: Cho vector vận tốc gồm 3 thành phần:
Tìm vector vận tốc quay?
Giải
−
=
∂
∂
−
∂
∂
=
+
=
∂
∂
−
∂
∂
=
−
−
=
∂
∂
−
∂
∂
=
=
y
y y
u x
u
z
z x
u z
u
z
y z
u y
u
x y
z
z x
y
y z
x
2 2
1 2
1
3
2 2
1 2
1
2
0 2
1 2
1
ω ω
ω
ω
k y
j z
i z
) 2 / ( )
2 / 5 ( )
2 /
−
=
ω
Trang 17Ví dụ 2: Chuyển động có vector vận tốc:
ux = ay + by2
uy = uz =0
Với a, b là hằng số
a./ Chuyển động có quay không?
b./ Xác định a, b để không có biến dạng góc
Giải:
chuyển động quay ∀a, b ≠ 0
không có cặp a, b nào để biến dạng góc bằng 0
( 2 ) 0 2
1 2
1
≠ +
−
=
∂
∂
−
∂
∂
y
u x
uy x
z
ω
( 2 ) 0 2
1 2
1
≠ +
=
∂
∂ +
∂
∂
y
u x
uy x
zy
ε
Trang 18Ví dụ 3: Chất lỏng lý tưởng quay quanh trục thẳng đứng (Oz) Giả sử vận tốc quay của các phân tố chất lỏng tỷ lệ nghịch với khoảng cách từ trục quay trên phương bán kính (u =a/r; a>0 là hằng số)
a./ Chứng minh rằng đây là một chuyển động thế.
b./ Tìm phương trình các đường dòng
Giải:
Suy ra:
Vậy:
Chuyển động là không quay (thế) trên mặt phẳng xOy
Phương trình các đường dòng:
2 2
2 x
r
a ox) u.cos(u,
u
y x
ay r
ay r
y
+
−
=
−
=
−
=
=
y r
u
x O
2 2
2 y
r
a oy) u.cos(u,
u
y x
ax r
ax r
x
+
=
=
=
=
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
( )
(
2 ) (
x
u
y x
x y a y
x
xax y
x a y
x
ax x
y
+
−
= +
− +
=
+
∂
∂
=
∂
∂
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
( )
(
2 ) (
y
u
y x
x y a y
x
yay y
x a y
x
ay y
x
+
−
= +
− +
−
=
+
−
∂
∂
=
∂
∂
0 rot(u)
0 u
u
z =
⇔
=
∂
∂
−
∂
∂
y x
x y
C y
x
dx y x
ax dy
y x
ay dx
u dy
u u
dy u
dx
y x
y x
= +
⇔
+
= +
−
⇔
=
⇔
=
)
2 2
2 2