Về tập nghiệm của đa thức nhiều biến trên trường thực

Do đó, nếu f x vàgx là hai đa thức với hệ số trên K có cùng tập nghiệm thì ước chunglớn nhất dx = gcdf, g cũng có tập nghiệm trùng với tập nghiệmchung của f và g.. Cho f, g là hai đa thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

VŨ TRÍ HÀO

VỀ TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN TRÊN TRƯỜNG THỰC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN

THÁI NGUYÊN - 2017

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên, tôi được nhận đề tài nghiên cứu "Về tậpnghiệm của đa thức nhiều biến trên trường thực" dưới sự hướng dẫncủa GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Đến nay, luận văn đã được hoànthành Có được kết quả này là do sự dạy bảo và hướng dẫn hết sứctận tình và nghiêm khắc của Cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành và sâu sắc tới Cô và gia đình!

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, PhòngĐào tạo và Khoa Toán - Tin của Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quátrình học tập tại Trường và trong thời gian nghiên cứu hoàn thànhluận văn này

Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Lạng Sơn, Trường THPT

Vũ Lễ nơi tôi đang công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoànthành khóa học này

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các thành viêntrong lớp cao học toán K9A (Khóa 2015-2017) đã quan tâm, tạo điềukiện, cổ vũ và động viên để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 19 tháng 5 năm 2017

Chương 2 Bài toán về hai đa thức có cùng tập nghiệm 272.1 Phát biểu bài toán 272.2 Trường hợp một biến và trường hợp đóng đại số 282.3 Trường hợp đa thức hai biến trên trường thực 32

Lời mở đầu

Bài toán xác định mối quan hệ giữa các nghiệm và các nhân tửcủa một đa thức là một bài toán được nhiều nhà toán học quan tâm.Cho K là một trường Chú ý rằng nếu a ∈ K là một nghiệm của

f (x) ∈ K[x] thì x − a là một nhân tử của f (x) Do đó, nếu f (x) vàg(x) là hai đa thức với hệ số trên K có cùng tập nghiệm thì ước chunglớn nhất d(x) = gcd(f, g) cũng có tập nghiệm trùng với tập nghiệmchung của f và g Mục đích của luận văn này này là mở rộng kết quảtrên cho trường hợp nhiều biến Cụ thể, chúng tôi quan tâm đến bàitoán sau

Cho f, g là hai đa thức n biến với hệ số trên một trường K sao cho

f, g có cùng tập nghiệm trong Kn Tìm điều kiện để tồn tại một ướcchung d của f và g sao cho f, g, d có cùng tập nghiệm

Luận văn gồm 2 chương Chương 1 tập trung trình bày kiến thứcchuẩn bị về đa thức một biến, đa thức nhiều biến, đa thức thuần nhất,tập nghiệm của họ đa thức, iđêan trong vành đa thức, đồng thời nêulại chứng minh hai định lý của Hilbert là Định lý cơ sở Hilbert vàĐịnh lý không điểm Hilbert Định lý cơ sở Hilbert cho phép quy mỗitập đại số về tập nghiệm của hữu hạn đa thức và Định lý không điểmHilbert là sự tổng quát của Định lý cơ bản của Đại số Chương 2 lànội dung chính của luận văn, chương này trình bày bài toán về hai đathức có cùng tập nghiệm

Tài liệu tham khảo chính của luận văn bài báo [3] của M Balaich

và M Cocos và bài báo [2] của R M Aron and P Hajek Ngoài racòn tham khảo hai cuốn sách [1,4].

Trong luận văn này luôn giả thiết V là một vành giao hoán cóđơn vị và K là một trường Ta ký hiệu N, N0, R, C lần lượt là tập

số nguyên dương, tập các số nguyên không âm, trường các số thực,trường các số phức, V [x], K[x], V [x1, , xn], K[x1, , xn] lần lượt vành

đa thức một biến trên V , K, vành đa thức n biến trên V và trên K

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạnchế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót.Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quýthầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

Chương 1

Định lý cơ sở Hilbert và Định lý không điểm

là Định lý cơ sở Hilbert và Định lý không điểm Hilbert Định lý cơ sởHilbert cho phép quy mỗi tập đại số về tập nghiệm của hữu hạn đathức và Định lý không điểm Hilbert là sự tổng quát của Định lý cơbản của Đại số

1.1 Đa thức một biến

Định nghĩa 1.1.1 Một đa thức một biến với hệ số trên V có thểđược viết dưới dạng f (x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0, trong

đó a0, , an ∈ V và x là một ký hiệu gọi là biến (hay biến khôngxác định) Ta cũng viết đa thức này dưới dạng f (x) =

∞Pi=0

aixi hoặc

f (x) = P aixi, trong đó ai = 0 với mọi i > n Hai đa thức P aixi và

P bixi là bằng nhau nếu ai = bi với mọi i

Ký hiệu V [x] là tập các đa thức một biến x với hệ số trên V

Định nghĩa 1.1.2 Cho f (x) = anxn+an−1xn−1+ .+a1x+a0 ∈ V [x]

Chú ý 1.1.1 i) Ta không định nghĩa bậc cho đa thức 0

ii) Nếu f (x) = a ∈ V thì f (x) được gọi là đa thức hằng

iii) Các đa thức bậc 1 được gọi là đa thức tuyến tính

Định nghĩa 1.1.3 Với hai đa thức f (x) = P aixi và g(x) = P bixitrong V [x], định nghĩa

f (x) + g(x) = X(ai + bi)xi,

f (x).g(x) = Xckxk,trong đó ck = P

i+j=k

aibj, ∀k

Chú ý 1.1.2 Với các phép toán trên thì V [x] là vành giao hoán

Định nghĩa 1.1.4 Vành V [x] được gọi là vành đa thức một biến xvới hệ số trong V Phần tử không của vành là đa thức 0, phần tử đơn

vị là đa thức 1

Tiếp theo là một số tính chất sau đây về bậc của tổng và tích các

deg((f (x)g(x)) ≤ deg f (x) + deg g(x)

Định nghĩa 1.1.5 Cho V là vành giao hoán khác 0

i) V được gọi là miền nguyên nếu ab = 0 kéo theo a = 0 hoặc

Ví dụ 1.1.1 Ta thấy Z là miền chính vì mọi iđêan của Z có dạng

mZ = {mx | x ∈ Z} Tuy nhiên vành Z[x] không là miền chính vìiđêan I = (x, 2) không là iđêan chính

Bổ đề 1.1.2 Cho V là miền nguyên khi đó với mọi f (x), g(x) ∈ V [x]

ta có

deg(f (x)g(x)) = deg f (x) + deg g(x),

với mọi f (x), g(x) ∈ V [x], f (x), g(x) 6= 0.

Mệnh đề dưới đây cho ta điều kiện cần và đủ để vành đa thức làmiền phân tích duy nhất, miền iđêan chính (xem Mệnh đề 1.4.2 của[1])

Mệnh đề 1.1.1 i) Nếu V là miền phân tích duy nhất thì V [x] làmiền phân tích duy nhất

ii) Cho V là một miền nguyên Khi đó V [x] là miền iđêan chínhkhi và chỉ khi V là một trường

Định nghĩa 1.1.6 Một ánh xạ ϕ : V → V0 giữa hai vành V , V0 đượcgọi là một đồng cấu vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau

i) ϕ(1) = 1;

ii) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b);

iii) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b),

với mọi a, b ∈ V

Định nghĩa 1.1.7 Một đồng cấu ϕ được gọi là đơn cấu (toàn cấu,đẳng cấu) nếu ϕ là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) Hai vành V và V0được gọi là đẳng cấu với nhau, viết V ∼= V0, nếu có một đẳng cấu giữachúng

Chú ý 1.1.3 Chú ý rằng hợp thành của hai đồng cấu vành là mộtđồng cấu vành, ánh xạ ngược của một đẳng cấu vành là một đẳng cấuvành, ánh xạ nhúng j : V → V [x] cho bởi j(a) = a với mọi a ∈ V làmột đơn cấu vành Ta gọi j là phép nhúng tự nhiên hay phép nhúngchính tắc

Ví dụ 1.1.2 Ta có ánh xạ ϕ : V [x] → V cho bởi ϕ P aixi
= a0 làmột toàn cấu và ker ϕ = (x) Do đó V [x]/(x) ∼= V

Định lý dưới đây là một kết quả rất quan trọng trong lý thuyết đathức Nó giúp chúng ta xây dựng được thuật toán tìm ước chung lớnnhất của các đa thức (xem Định lý 1.2.2 của [1])

Định lý 1.1.1 (Định lý chia với dư) Giả sử g(x) ∈ V [x] là đa thức

có hệ số cao nhất khả nghịch trong V Khi đó với mỗi f (x) ∈ V [x],tồn tại duy nhất một cặp đa thức q(x), r(x) thuộc V [x] sao cho f (x) =q(x)g(x) + r(x) với r(x) = 0 hoặc deg r(x) < deg g(x)

Kết quả dưới đây, được gọi là Định lý Bezout bé, là một hệ quảtrực tiếp từ Định lý 1.1.1

Hệ quả 1.1.1 Cho a ∈ V và f (x) ∈ V [x] Khi đó dư của phép chia

là ước của f (x) hoặc f (x) là bội của g(x)

ii) Một đa thức d(x) ∈ K[x] được gọi là một ước chung của các

đa thức f1(x), , fs(x) ∈ K[x] nếu d(x) là ước của fi(x) với mọi

ra, g(x) là ước của f (x) Ta có 1,1

2, (x − 1) là ước chung của f (x) vàg(x) Khi đó x − 1,1

2(x − 1), 2(x − 1) , là các ước chung lớn nhấtcủa f (x) và g(x)

Bổ đề 1.1.3 Cho d(x) ∈ K[x] là ước chung lớn nhất của f (x), g(x) ∈K[x] Khi đó đa thức t(x) ∈ K[x] cũng là ước chung lớn nhất của f (x),g(x) nếu và chỉ nếu tồn tại 0 6= a ∈ K sao cho t(x) = ad(x).

Bổ đề 1.1.4 Giả sử f (x) = g(x)q(x) + r(x), trong đó r(x) = 0 hoặcdeg r(x) < deg g(x) Khi đó đa thức d(x) là ước chung lớn nhất của

f (x), g(x) nếu và chỉ nếu nó là ước chung lớn nhất của g(x) và r(x)

Tiếp theo chúng tôi trình lại định lý về thuật toán tìm ước chunglớn nhất

Định lý 1.1.2 (Thuật toán Euclid tìm ước chung lớn nhất) Giả sử

f (x), g(x) là hai đa thức trong K[x] và g(x) 6= 0 Khi đó tồn tại một

số tự nhiên k và các đa thức ri(x), qi(x) ∈ K[x] sao cho

1.2 Đa thức nhiều biến và Định lý cơ sở

Hilbert

Định nghĩa 1.2.1 i) Mỗi bộ n số nguyên không âm i = (i1, , in) ∈

Nn0 cho ta một đơn thức xi1

1 xin

n của n biến x1, , xn với bậc là

i1 + + in ta thường viết đơn thức này đưới dạng xi

ii) Với j = (j1, , jn) ∈ Nn0, hai đơn thức xi, xj là bằng nhau nếu

i = j, tức là ik = jk với mọi k

iii) Một từ là biểu thức có dạng axi với a ∈ V (được gọi là hệ sốcủa từ) và xi được gọi là đơn thức của từ Hai từ được gọi là đồngdạng nếu hai đơn thức của chúng bằng nhau Hai từ được gọi là bằngnhau nếu chúng đồng dạng và có cùng hệ số

iv) Một đa thức là tổng hữu hạn các từ Nếu u = axi và v = bxi làhai từ đồng dạng thì chúng ta có u + v = (a + b)xi Vì vậy, mỗi đa thức

f (x1, , xn) có một cách biểu diễn chính tắc f (x1, , xn) = P

i∈N n 0

aixithành tổng của các từ đôi một không đồng dạng, trong đó chỉ hữuhạn các từ khác 0 (tức là hệ số của từ khác không), và biểu diễn này

là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các hạng tử

v) Mỗi từ khác 0 xuất hiện trong biểu diễn chính tắc của đa thứcđược gọi là một từ của đa thức đó

vi) Hai đa thức P

i∈N n 0

aixi và P

i∈N n 0

bixi là bằng nhau nếu ai = bi vớimọi i ∈ Nn0

Định nghĩa 1.2.2 Bậc của một từ khác không là bậc của đơn thức từ

đó Bậc (hay bậc tổng thể ) của đa thức f (x1, , xn) 6= 0, kí hiệu bởideg f (x1, , xn), là số lớn nhất trong các bậc của từ của f (x1, , xn).Bậc theo biến xk của một đa thức là số lớn nhất trong các số mũ của

xk xuất hiện trong các từ của đa thức đó

Chú ý 1.2.1 i) Ta không định nghĩa cho bậc của đa thức 0

ii) Đa thức hằng khác không là đa thức có bậc 0.

iii) Các đa thức bậc 1 là đa thức tuyến tính Đa thức thuần nhấtbậc m (hay một dạng bậc m) là một đa thức mà các từ của nó đều cóbậc m

iv) Đa thức thuần nhất bậc hai được gọi là dạng toàn phương

Định nghĩa 1.2.3 Ký hiệu V [x1, , xn] là tập các đa thức n biến

x1, , xn với hệ số trong V Với i, j ∈ Nn0, trong đó i = (i1, , in)

và j = (j1, , jn), ta định nghĩa i + j = (i1 + j1, , in + jn) Khi đó

V [x1, , xn] là một vành với phép cộng và phép nhân

Pi∈N n 0

aixi + P

i∈N n 0

bixi = P

i∈N n 0

(ai+ bi)xi;P

i∈N n 0

aixi Pi∈N n 0

bixi = P

k∈N n 0

aixi, Pi∈N n 0

V [x1, , xn] với hệ số trong V chính là vành đa thức một biến xn với

hệ số trong vành V [x1, , xn−1]

Theo Mệnh đề 1.1.1 Nếu V là miền phân tích duy nhất thì V [x]

là miền phân tích duy nhất Bằng quy nạp theo số biến ta có hệ quảsau

Hệ quả 1.2.1 Nếu V là miền phân tích duy nhất thì V [x1, , xn]cũng là miền phân tích duy nhất

Chú ý rằng, nếu K là trường thì K là miền phân tích duy nhất, do

đó vành đa thức K[x1, , xn] luôn là miền phân tích duy nhất

Định nghĩa 1.2.4 Cho đa thức f (x1, , xn) ∈ V [x1, , xn] Khi

đó ta có ánh xạ f : Vn → V cho ứng mỗi phần tử (a1, , an) ∈ Vnvới phần tử f (a1, , an) ∈ V Ta gọi f là hàm đa thức n biến trên Vtương ứng với đa thức f (x1, , xn)

Kết quả quan trọng sau đây cho phép ta có thể đồng nhất mỗi

đa thức với một hàm đa thức Từ đó, ta có thể liên hệ các đối tượngđại số (trong vành đa thức V [x1, , xn]) với các đối tượng hình học(trong tập Vn) (xem Định lý 3.1.9 của [1])

Định lý 1.2.1 Nếu V là miền nguyên vô hạn thì ánh xạ ϕ cho tươngứng mỗi đa thức f (x1, , xn) với hàm đa thức f là một song sánh từtập các đa thức V [x1, , xn] đến tập các hàm đa thức n biến trên V.Đặc biệt, đa thức f (x1, , xn) là đa thức 0 khi và chỉ khi hàm đa thức

f là hàm không

Định nghĩa 1.2.5 Cho V là vành giao hoán Ta nói V là vành Noethernếu nó thỏa mãn điều kiện các dãy tăng dừng trên các iđêan, tức làvới mọi dãy tăng I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In ⊆ các iđêan của V, tồn tạimột số tự nhiên n0 sao cho In = In0 với mọi n > n0

Tiếp theo là các đặc trưng của vành Noether (xem Mệnh đề 3.4.1của [1])

Mệnh đề 1.2.1 Cho V là vành giao hoán Khi đó các phát biểu sau

là tương đương

(i) V là vành Noether

(ii) Mỗi iđêan của V là hữu hạn sinh

(iii) Mỗi họ khác rỗng những iđêan của V đều có phần tử cực đại(theo quan hệ bao hàm)

Hệ quả 1.2.2 Cho V là vành Noether và I là iđêan của vành V khi

đó vành thương V /I là vành Noether

Ta thấy rằng, nếu V là miền nguyên (miền phân tích duy nhất),thì vành đa thức một biến V [x] tương ứng là miền nguyên (miền phântích duy nhất) Định lý tiếp theo của Hilbert chỉ ra tính chất Noetherđược giữ nguyên trên vành đa thức

Định lý 1.2.2 (Định lý cơ sở Hilbert) Cho V là vành Noether Khi

đó V [x] cũng là vành Noether

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.2.1, ta cần chứng minh mọi iđêan của

V [x] đều hữu hạn sinh Cho J là iđêan của V [x] Nếu J = 0 thì rõràng J là hữu hạn sinh Cho J 6= 0 Gọi m là số bé nhất trong các bậccủa các đa thức khác 0 thuộc J Với n ≥ m ta định nghĩa

{ a ∈ V | ∃f (x) =

nXi=0

aixi ∈ J, deg f (x) = n, an = a } ∪ {0}

Khi đó In là iđêan của V và In ⊆ In+1 Vì V là vành Noethher,nên In hữu hạn sinh theo Mệnh đề 1.2.1 Do đó ta có thể viết In =(an,1, , an,in) với mọi n > m Hơn nữa, do V là vành Noether nêntồn tại một số tự nhiên k ≥ m sao cho In = Ik với mọi n ≥ k Với mỗi

n = m, , k và mỗi j = 1, , in, gọi fn,j(x) ∈ J là đa thức bậc n và

An Khi đó A là tập hữu hạn Ta chứng minh J = (A)

Rõ ràng (A) ⊆ J Cho 0 6= p(x) ∈ J với a là hệ số cao nhất củap(x) Khi đó deg p(x) ≥ m Ta chứng minh p(x) ∈ (A) bằng quynạp theo deg p(x) Cho deg p(x) = m Khi đó a ∈ Im Do đó tồn tại

c1, , cim ∈ V sao cho a =

i m

Pj=1

cjam,j Đặt q(x) = p(x) −

i m

Pj=1

cjfm,j(x)

Khi đó q(x) hoặc bằng 0 hoặc có bậc bé hơn m Chú ý rằng q(x) ∈ J.

Do đó q(x) = 0 theo cách chọn m Suy ra p(x) ∈ (A) Cho deg p(x) =

n > m và giả thiết rằng với mọi đa thức trong J với bậc nhỏ hơn nđều thuộc (A) Khi đó a ∈ In Đặt t = min{n, k} Suy ra In = It

và vì thế a ∈ It Do đó tồn tại c1, , cit ∈ V sao cho a =

i t

Pj=1

cjat,j

Đặt q(x) = p(x) −

i t

Pj=1

cjft,j(x) Khi đó q(x) ∈ J và q(x) hoặc bằng 0hoặc có bậc nhỏ hơn n Theo giả thiết quy nạp, q(x) ∈ (A) Suy rap(x) ∈ (A) Do đó J = (A)

Cho V là vành và S là vành chứa V , với α1, , αn ∈ S Đặt

V [α1, , αn] = {f (α1, , αn)|f (x1, , xn) ∈ V [x1, , xn]} ⊆ S

Từ Định lý 1.2.2 và bằng quy nạp theo số biến ta suy ngay hệ quảsau

Hệ quả 1.2.3 Các phát biểu sau đây là đúng

(i) Nếu V là vành Noether thì V [x1, , xn] cũng là vành Noether.(ii) Nếu V là vành Noether, S là vành chứa V và α1, , αn ∈ Sthì V [α1, , αn] cũng là vành Noether

Chứng minh i) Vì V [x1, , xn] = (V [x1])[x2, , xn] nên ttheo quynạp ta suy ra điều phải chứng minh

ii) Cho α1, , αn ∈ S là phần tử của S Xét đồng cấu

ϕ : V [x1, , xn] → S

sao cho f (x1, , xn) 7→ ϕ(f ) = f (α1, , αn) Khi đó ta có Imϕ =

V [α1, , αn] Theo định lý đồng cấu vành ta có V [x1, , xn]/ ker ϕ ∼=

V [α1, , αn] Do đó V [x1, , xn] là Noether nên theo Hệ quả 1.2.2

ta có V [α1, , αn] là Noether

1.3 Tập nghiệm của họ đa thức và iđêan

trong vành đa thức

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử V là một vành con của một vành giao hoán

S và 0 6= f (x) = anxn+ + a1x + a0 ∈ V [x] Một phần tử c ∈ S đượcgọi là một nghiệm của f (x) trong S nếu f (c) = ancn+ .+a1c+a0 = 0.Trong trường hợp này ta cũng nói c là một nghiệm của phương trình

f (x) = 0

Ví dụ 1.3.1 Xét hai đa thức f (x) = x2 − 3 và g(x) = x2 + 1 trongvành Q[x] Rõ ràng R và C đều chứa Q Ta có ±√2 ∈ R là các nghiệmcủa f (x) và ±i ∈ C là các nghiệm của g(x)

Bổ đề 1.3.1 Phần tử a ∈ V là nghiệm của f (x) nếu và chỉ nếu tồntại một đa thức g(x) ∈ V [x] sao cho f (x) = (x − a)g(x)

Chứng minh Nếu f (x) = (x − a)g(x) với g(x) ∈ V [x] thì rõ ràng a lànghiệm của f (x) Ngược lại, nếu a là nghiệm của f (x) thì f (a) = 0.Theo Hệ quả 1.1.1, dư của phép chia f (x) cho x − a là f (a) = 0 Vìthế tồn tại g(x) ∈ V [x] sao cho f (x) = (x − a)g(x)

Định nghĩa 1.3.2 Cho f (x) ∈ V [x] Giả sử k > 0 là một số nguyên

và S là một vành giao hoán chứa V Một phần tử a ∈ S được gọi làmột nghiệm bội k của f (x) nếu trong vành S[x], đa thức f (x) chia hếtcho (x − a)k nhưng f (x) không chia hết cho (x − a)k+1 Nếu k = 1 thì

a được gọi là nghiệm đơn Nếu k = 2 thì a được gọi là nghiệm kép

Chứng minh Giả sử a là nghiệm bội k của f (x) Vì f (x) chia hết cho(x − a)k nên f (x) = (x − a)kg(x) với g(x) ∈ V [x] Nếu g(a) = 0 thìtheo Bổ đề 1.3.1 ta có g(x) = (x − a)h(x) với h(x) ∈ V [x] và do

đó f (x) chia hết cho (x − a)k+1, vô lý Vậy g(a) 6= 0 Ngược lại, vì

f (x) = (x − a)kg(x) nên f (x) chia hết cho (x − a)k Nếu f (x) chia hếtcho (x − a)k+1 thì f (x) = (x − a)k+1h(x) với h(x) ∈ V [x] Do đó

(x − a)kg(x) = (x − a)k+1h(x)

Suy ra

(x − a)k(g(x) − (x − a)h(x)) = 0

Do hệ số cao nhất của (x − a)k bằng 1 nên g(x) − (x − a)h(x) = 0 Do

đó g(a) = 0, mâu thuẫn Vì thế f (x) không chia hết cho (x − a)k+1.vậy a là nghiệm bội k của f (x)

Từ các bổ đề trên ta suy ra hai hệ quả sau (xem Hệ quả 1.5.5 của[1])

Hệ quả 1.3.1 Cho V là miền nguyên và f (x) ∈ V [x] Giả sử a1, , arthuộc V là những phần tử đôi một khác nhau và ai là nghiệm bội bội

ki của f (x) với i = 1, , r Khi đó tồn tại u(x) ∈ V [x] sao cho

f (x) = (x − a1)k1 (x − ar)kru(x)

và u(ai) 6= 0 với mọi i = 1, , r

Hệ quả 1.3.2 Cho V là miền nguyên và f (x) ∈ V [x] Nếu f (x) 6= 0thì số nghiệm của f (x), mỗi nghiệm tính với số bội của nó, không vượtquá bậc của f (x)

Chứng minh Giả sử a1, , an là các nghiệm của f (x) với số bội lầnlượt là k1, , kr Theo Hệ quả 1.3.1 ta có

f (x) = (x − a1)k1 (x − ar)krg(x),

trong đó g(x) ∈ V [x] Do V là miền nguyên nên ta có

deg f (x) = (k1 + + kr) + deg g(x) ≥ k1 + kr

Chú ý 1.3.1 Đối với đa thức một biến trên trường K, bài toán tìmnghiệm là bài toán cơ bản Chú ý rằng mỗi đa thức khác không trongK[x] chỉ có hữu hạn nghiệm (số nghiệm không vượt quá bậc của nó).Trong khi đó đa thức nhiều biến nhìn chung có vô số nghiệm và việcnghiên cứu một nghiệm riêng lẻ là không khả thi Thay vào đó, người

ta nghiên cứu tập các nghiệm của một đa thức hay một họ đa thức.Những tập nghiệm như vậy gọi là tập đại số Ký hiệu

Kn = {(a1, , an) | ai ∈ K, i = 1, , n}

Ta gọi Kn là không gian affin n chiều Đặc biệt K = K1 được gọi làđường thẳng affin, K2 được gọi là mặt phẳng affin Với mỗi tập con Scủa K[x1, , xn], ký hiệu

Z(S) = {(a1, , an) ∈ Kn | f (a1, , an) = 0, ∀f ∈ S}

Tập Z(S) được gọi là tập nghiệm của S (hay tập các không điểm chungcủa S)

Định nghĩa 1.3.3 Mỗi tập con X của Kn được gọi là tập đại số (hay

đa tạp affin) nếu tồn tại S ∈ K[x1, , xn] sao cho X = Z(S) Khi đó

ta nói X là tập đại số định nghĩa bởi S

Cho X = Z(S) là một tập đại số trong Kn Nếu S = {f } thì ta viết

X = Z(f ) Nếu f khác hằng thì Z(f ) được gọi là một siêu mặt trong

Kn Nếu S = {f1, , fk} là tập hữu hạn thì ta viết X = Z(f1, , fk).Chú ý rằng mỗi tập đại số (khác ∅ và khác Kn) đều là giao của một

họ siêu mặt, vì ta có X = Z(S) = T

f ∈SZ(f )

Ví dụ 1.3.3 Trong mặt phẳng affin R2, tập đại số Z(x2 + y2 − 4) làmột đường tròn bán kính bằng 2 và tâm là gốc tọa độ Trong hình họcgiải tích, các đường tròn, đường elip, đường parabol, đường hypebolđều là các tập đại số.

Hệ quả sau đây, sử dụng Định lý cơ sở Hilbert để chứng minh, chophép quy nạp mỗi tập đại số về tập nghiệm của hữu hạn đa thức

Hệ quả 1.3.3 Mỗi tập đại số trong Kn là tập nghiệm của một iđêantrong vành đa thức K[x1, , xn] Đặc biệt, mỗi tập đại số là tậpnghiệm của hữu hạn đa thức Nói cách khác, mỗi tập đại số là giaocủa hữu hạn siêu mặt

Chứng minh Giả sử X = X(S) là tập đại số, trong đó S ⊆ K[x1, , xn].Đặt I = (S) là iđêan của K[x1, , xn] sinh bởi S Với

1.4 Định lý không điểm Hilbert

Trong tiết này, chúng tôi chứng minh lại Định lý không điểm củaHilbert là sự tổng quát của Định lý cơ bản của đại số Để chứng choĐịnh lý không điểm của Hilbert không cần đến những kiến thức vềmôđun Tất cả các chứng minh mà chúng tôi biết được đều sử dụngnhững kết quả về môđun Noether Vì thế, trước khi phát biểu và