Tối ưu véctơ tuyến tính và ứng dụng vào mô hình kinh tế

28 2.3.4 Thuật toán WEFFI xác định các diện hữu hiệu yếu của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu... Đây là nền tảng của tối ưu véctơ.Việc xây dựng các thuật toán xác định một phần

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-

NGUYỄN HOÀNG TUẤN ANH

TỐI ƢU VÉCTƠ TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG VÀO MÔ HÌNH KINH TẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – NĂM 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-

NGUYỄN HOÀNG TUẤN ANH

TỐI ƢU VÉCTƠ TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG VÀO MÔ HÌNH KINH TẾ

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN VĂN QUÝ

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN v

Mở đầu 1

Chương 1: Một số khái niệm cơ bản 3

1.1 Tập affine 3

1.2 Tập lồi 3

1.3 Tập lồi đa diện 4

1.4 Nón pháp tuyến của tập lồi đa diện 6

1.5 Tập chỉ số pháp tuyến 8

1.6 Nón pháp tuyến âm, chỉ số pháp tuyến âm 11

1.7 Kết luận 13

Chương 2: Phương pháp nón pháp tuyến giải bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 14

2.1 Điểm hữu hiệu 14

2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 15

2.3 Thuật toán nón pháp tuyến giải bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 17

2.3.1 Diện hữu hiệu (t.ư., hữu hiệu yếu) 18

2.3.2 Lược đồ tính toán 19

2.3.3 Thuật toán EFFI xác định các diện hữu hiệu của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu 21

2.3.3.1 Xác định đỉnh hữu hiệu đầu tiên 22

2.3.3.2 Xác định các đỉnh hữu hiệu và cạnh hữu hiệu kề một đỉnh hữu hiệu cho trước 23

2.3.3.3 Xác định các diện hữu hiệu số chiều lớn hơn 1 kề một đỉnh hữu hiệu cho trước 28

2.3.4 Thuật toán WEFFI xác định các diện hữu hiệu yếu của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu 30

2.3.4.1 Tìm nghiệm hữu hiệu yếu đầu tiên 31

2.3.4.2 Xác định các cạnh hữu hiệu yếu và đỉnh hữu hiệu yếu kề một đỉnh hữu hiệu yếu cho trước 31

2.5 Kết luận 33

Chương 3: Tiếp cận tối ưu véctơ vào mô hình kinh tế Nash - Cournot 34

3.1 Giới thiệu về mô hình cân bằng thị trường Nash - Cournot 34

3.2 Tiếp cận tối ưu vectơ với mô hình Nash - Cournot 39

3.2.1 Mô hình tối ưu vectơ Cournot 39

3.2.2 Tìm một nghiệm hữu hiệu Pareto cho mô hình 43

3.3 Kết luận 55

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn Quý Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn

Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng, tác giả luôn được sự quan tâm giúp đỡ của các Giáo sư công tác tại Viện Toán học Việt Nam, các thầy cô giáo trong Đại học Thái Nguyên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học

và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán – Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp

đã động viên tôi vượt qua những khó khăn trong cuộc sống để tôi có điều kiên tốt nhất khi nghiên cứu

Tác giả

Nguyễn Hoàng Tuấn Anh

Mở đầu

Từ xa xưa, xuất phát từ những nhu cầu thực tế như việc xây dựng, đo đạc diện tích đất trồng, đi biển, tính toán buôn bán,… con người đã quan tâm tới các bài toán tìm các giá trị lớn nhất (cực đại) hay nhỏ nhất (cực tiểu), tức là tìm phương án tốt nhất để đạt mục tiêu mong muốn trong một điều kiện hoàn cảnh nào đó Về mặt lý thuyết, bài toán tối ưu ra đời từ rất sớm với sự đóng góp to lớn của các nhà toán học nổi tiếng như: P Fermat (1601-1665), L Euler (1707-1783), P Dirichlet (1805-1859),… Nhưng phải đến những năm 30 và 40 của thế

kỷ 20, Qui hoạch toán học, hay còn gọi là Toán tối ưu mới hình thành với tư cách là một lý thuyết độc lập với những nghiên cứu khác nhau: đầu tiên là Qui hoạch tuyến tính, tiếp đó là Qui hoạch lồi, Qui hoạch toàn cục và Lý thuyết điều khiển tối ưu Các bộ môn này phát triển mạnh mẽ và được ứng dụng rộng rãi để giải quyết các bài toán thực tế nảy sinh trong nhiều lĩnh vực như sản xuất, kinh

tế, kỹ thuật,…Nét đặc trưng của các bộ môn này là cùng qui về việc tối ưu một hàm mục tiêu duy nhất trong những điều kiện nhất định, tuy nhiên trong thực tế, cùng một lúc người ta phải theo đuổi nhiều mục tiêu khác nhau Chẳng hạn trong sản xuất ngoài việc nâng cao năng suất lao động, người ta còn quan tâm tới đa dạng hóa sản phẩm, đảm bảo chất lượng hàng hóa, hạ giá thành sản phẩm,… Khi mua hàng, ta vừa muốn được hàng rẻ, vừa muốn hàng đạt chất lượng cao, hình thức đẹp,… khi đó, qui hoạch đa mục tiêu (hay còn gọi là tối ưu véctơ) sẽ cung cấp các công cụ giúp chúng ta giải quyết các vấn đề này

Một bộ phận quan trọng của qui hoạch đa mục tiêu là qui hoạch tuyến tính

đa mục tiêu Đối tượng nghiên cứu chính của nó là lớp các bài toán qui hoạch đa mục tiêu với các hàm mục tiêu là tuyến tính và tập ràng buộc n

M R là một tập lồi đa diện Đây là lớp bài toán có ý nghĩa ứng dụng đặc biệt quan trọng trong thực tế

Qui hoạch đa mục tiêu có rất nhiều ứng dụng, đặc biệt là trong lý thuyết

hoạch tuyến tính đa mục tiêu là tối ưu đồng thời nhiều hàm mục tiêu độc lập với nhau trên mọi miền chấp nhận được khác rỗng n

M R Do không gian giá trị này được sắp thứ tự toàn phần nên khái niệm nghiệm tối ưu thông thường không còn thích hợp nữa Vì vậy, thay vào đó, cùng với khái niệm về thứ tự từng phần người ta đưa ra khái niệm nghiệm hữu hiệu Đây là nền tảng của tối ưu véctơ.Việc xây dựng các thuật toán xác định một phần hoặc toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu của bài toán được sự quan tâm của nhiều tác giả như: Armand, Benson, Evans,… Các thuật toán đưa ra thường sử dụng phương pháp đơn hình đa mục tiêu, phương pháp tham số, phương pháp vô hướng hóa ( xem [15], [16] và các tài liệu trích dẫn kèm theo) Sử dụng khái niệm về nón pháp tuyến của tập lồi đa diện, các tác giả Đinh Thế Lục và Nguyễn Thị Bạch Kim đã đưa ra phương pháp nón pháp tuyến để giải bài toán tối ưu véctơ tuyến tính (xem [12],[13] )

Một trong những ứng dụng của tối ưu véctơ trong kinh tế là tiếp cận tối ưu véctơ đối với các mô hình kinh tế nổi tiếng có nhiều ứng dụng thực tiễn như mô hình cân bằng thị trường độc quyền tập đoàn Nash – Cournot (xem [7])

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Trình bày một số khái niệm cơ bản về tập lồi đa diện

Chương 2: Trình bày phương pháp nón pháp tuyến giải bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Chương 3: Trình bày cách tiếp cận tối ưu véc tơ với mô hình kinh tế Nash – cournot

Chương 1

Một số khái niệm cơ bản

Chương này trình bày một số kết quả cơ bản của giải tích lồi thường hay được sử dụng trong lý thuyết tối ưu Nội dung chính của chương chủ yếu dựa

trên các tài liệu [1], [3] và [4]

R chứa đường thẳng đi qua 2 điểm bất kì

của nó thì được gọi là tập affine

Định nghĩa 1.3 Đoạn thẳng đi qua 2 điểm a b, R n kí hiệu bởi [a,b] là tập hợp

có dạng:

xR n:xa (1 ) , 0b   1

Định nghĩa 1.4 Cho một tập hợp C bất kì trong R , tập affine nhỏ nhất n

chứa C được gọi là bao affine của C và kí hiệu là aff C

Định nghĩa 1.5 Tập hợp tất cả các điểm x( ,x x1 2, ,x n) R n thỏa mãn bất phương trình tuyến tính: a x, ,aR n \ 0 ,   Rđược gọi là nửa không gian đóng

Nửa không gian được cho bởi: a x, ,aR n \ 0 ,   R được gọi là nửa

Từ định nghĩa dễ dàng nhận thấy, nếu M là tập lồi thì nó chứa mọi đoạn thẳng

nối hai điểm bất kì của nó

Định lý 1.1 Tập lồi là đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với một số và

phép lấy tổ hợp tuyến tính Nói cách khác, nếu A và B là 2 tập lồi trong n

R thì các tập sau cũng là lồi:

(i) A B: x x: A x, B

(ii)AB:xab a: A b, B, , R Một cách tổng quát chúng ta có: giao của một họ bất kỳ các tập lồi cũng là tập lồi

Định nghĩa 1.9 Giao của tất cả các tập lồi chứa tập n

SR được gọi là bao lồi của tập S và kí hiệu là convS

Định lý 1.2 Bao lồi của tập n

SR chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử

của nó

1.3 Tập lồi đa diện

Định nghĩa 1.10 Một tập lồi đa diện trong n

R là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng Nói cách khác, một tập lồi đa diện M chính là tập nghiệm

của một hệ hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính:

i

i

trong đó 1

, , m

a a là các vectơ hàng n-chiều, x là vectơ cột n-chiều và b1, ,b là m

các số thực

Định nghĩa 1.11 (i) Một tập con lồi khác rỗng FM được gọi là một diện của

M nếu bất cứ đoạn thẳng nào nằm trong M và có một điểm trong tương đối

xF đều nằm trọn trong F Nghĩa là:

 

xF xy  z   y zM  y F F

(ii) Số chiều (hay thứ nguyên) của diện F, ký hiệu bởi dimF, được định nghĩa là

số chiều của đa tạp tuyến tính nhỏ nhất chứa nó

(iii) Diện 0 - chiều gọi là một đỉnh

(iv) Diện 1- chiều gọi là một cạnh

Một đỉnh (hay cạnh) của một diện của M cũng là một đỉnh (hay cạnh) của

Định nghĩa 1.13 Cho tập các vectơ v 1, , k v R n Nón lồi sinh bởi các vectơ này được ký hiệu và định nghĩa bởi:

Định nghĩa 1.14 Đối với một tập n

XR cho trước, nón cực (polar) X 0 của tập

X được định nghĩa bởi:

0

X  v R v x   x X

Từ định nghĩa chúng ta dễ dàng nhận thấy nón cực của một tập lồi đa diện cũng

là một tập lồi đa diện

1.4 Nón pháp tuyến của tập lồi đa diện

Định nghĩa 1.15 Cho X là một tập lồi khác rỗng trong R n

N x  khi x 0 là một điểm trong của X

Xét một tập lồi đa diện cố định P khác rỗng trong n

R được xác định bởi hệ

(1.1) Với mỗi x0M ta kí hiệu:

I x  i m a x b Như thường lệ, ta gọi I x  0 là tập hợp các chỉ số của những ràng buộc chặt tại x0

Ta gọi I F là tập chỉ số xác định diện F Như vậy, F là nghiệm của hệ (1.2) với I

= I F Mệnh đề sau đây mô tả mối liên hệ giữa các tập chỉ số I F và I(x) với xF

Mệnh đề 1.4 Cho I F là tập chỉ số xác định một diện F của M Khi đó với mỗi

xF tập chỉ số I F là tập con của I(x) và I F = I(x) khi và chỉ khi x là một điểm trong tương đối của F

Chứng minh Vì xF nên IF  I x   là hiển nhiên từ định nghĩa Giả sử x là

một điểm trong tương đối của F và

Ngược lại, giả sử IF  I x   Gọi là diện nhỏ nhất của M chứa x Khi đó x là

một điểm tương đối của F và F là một diện của F Một mặt ta có F

F

I  I vì

F  F Mặt khác, theo phần đầu của chứng minh, ta có I x    IF Do đó Vì vậy F  F và x là một điểm tương đối của F 

Từ định nghĩa có thể thấy rằng nón pháp tuyến của các điểm trong tương đối của

một diện F là trùng nhau Với lý do đó, ta kí hiệu N(F) là nón pháp tuyến của M tại một điểm trong tương đối của F và gọi nó là nón pháp tuyến của diện F

Theo Mệnh đề 1.3, ta có:

   i: F

N F cone a iI Giả sử F i, ,F K là tập tất cả các diện của M bao gồm cả chính M Ta có biểu

Mối quan hệ giữa tập các diện F1, ,F K của một tập lồi đa diện M và tập các

nón pháp tuyến N F 1 , ,N F K  được mô tả bởi mệnh đề sau

Mệnh đề 1.6 (i) Nếu F i là một diện của F j thì N(F j ) là một diện của N(F i )

Ngược lại, nếu N là một diện của N(F i ) thì tồn tại một diện F k của M sao cho

b i m là các số thực Giả thiết rằng hệ (1.4) không có bất đẳng thức thừa,

nghĩa là không tồn tại một chỉ số k1, ,m nào cho hệ (1.4) tương đương với

Định nghĩa 1.16 Một tập con I 1, ,m được gọi là tập chỉ số pháp tuyến

nếu tồn tại một điểm xM sao cho

   i: 

M

N x cone a iI

Rõ ràng không phải bất kỳ tập con nào của tập 1, , mcũng là tập chỉ số pháp

tuyến Dưới đây sẽ trình bày mối liên hệ giữa các diện của một tập lồi đa diện M

xác định bởi hệ (1.4) và các tập chỉ số pháp tuyến

Mệnh đề 1.7 Tập I 1, ,mlà tập chỉ số pháp tuyến khi và chỉ khi tập I xác định một diện F của M

Chứng minh Cho I là tập chỉ số xác định một diện F của M, tức là F được xác

Ngược lại, cho I 1, , m và I là một tập chỉ số pháp tuyến Theo định nghĩa,

tồn tại một điểm x0 M sao cho

Chứng minh Giả sử I là một tập chỉ số pháp tuyến Theo mệnh đề 1.7, I xác

định một diện F của M, tức F là tập nghiệm của hệ (1.5) Mệnh đề 1.2 chỉ ra

rằng

dim F   n rank ai: i I     n n 1  1

Do đó hệ này có một nghiệm khác với x0 □

Khẳng định sau đây có thể suy ra trực tiếp từ định nghĩa và Mệnh đề 1.7

Hệ quả 1.3 Giả sử I I1, 2 1, ,m là hai tập chỉ số pháp tuyến Nếu

hợp các chỉ số của những ràng buộc chặt tại x J Kết quả sau cho phép ta xác định

diện lớn nhất của M chứa x J

như một điểm trong tương đối

1.6 Nón pháp tuyến âm, chỉ số pháp tuyến âm

v    c ii) Véctơ v R n được gọi là véctơ C-âm yếu nếu tồn tại các số không dương

1 0, , p 0

    và các i không đồng nhất bằng không sao chov  i p1ici

Dễ thấy các véctơ C- âm có các tính chất sau:

a) Cho p n  và C là ma trận đồng nhất Khi đó vR n là C-âm nếu và chỉ nếu

0

v  ;

b) Tập các véctơ C-âm trùng với phần trong tương đối của nón sinh bởi các

véctơ c1, ,c p

Cho M là tập lồi đa diện được xác định bởi hệ (1.4)

Định nghĩa 1.18 i) Nón pháp tuyến của M tại x0 được gọi là nón pháp tuyến

âm nếu nó chứa một véctơ C-âm

ii) Một tập chỉ số con I 1, ,m được gọi là tập chỉ số âm nếu nón sinh bởi

a i i : Ichứa một véctơ C-âm

Từ định nghĩa ta thấy rằng, việc kiểm tra tính âm và âm yếu của một tập chỉ

số I được qui về việc xác định sự tồn tại nghiệm của một hệ phương trình và bất

ii) Tập con I 1, ,m là một tập chỉ số âm yếu khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

p j

j  



Nhận xét 1.1 Lưu ý rằng,   , là nghiệm của (1.6) khi và chỉ khi t  , là

nghiệm của (1.6) với mọi t > 0 Do đó trong hệ (1.6) thay vì điều kiện j  0 ta lấy j  1 với j  1, , p Đặt  'j   j 1 0, j  1, , p và đổi biến trong hệ (1.6) ta nhận được hệ bất đẳng thức tuyến tính trong đó không có các bất phương trình với dấu bất đẳng thức chặt

Ta kí hiệu I 1 là tập các chỉ số i1, ,m với  ai là véctơ C-âm; I 3 là tập các chỉ số i1, ,mvới ai là véctơ C-âm nhưng a i không phải là véctơ C-âm

và I2:1, ,m\I1I3 Rõ ràng các tập I 1 , I 2 , I 3 là đôi một không giao nhau

và I1I2I31, ,m

Mệnh đề 1.10 Giả sử I   I1 I2 I3 là một tập chỉ số pháp tuyến âm sao cho nón sinh bởi các vectơ a i i: I không chứa một không gian con tuyến tính nào Khi đó tồn tại một tập chỉ số pháp tuyến âm I0  I I1I2

Chứng minh Cho I i1, ,i I1 I2I3 là một tập chỉ số pháp tuyến âm

Ta chứng minh Mệnh đề bằng cách qui nạp theo 

Cho   1 Giả sử I là một tập chỉ số pháp tuyến âm Theo định nghĩa nón

Suy ra I I1 Chọn I0 I ta thấy ngay rằng kết luận của mệnh đề nghiệm đúng

Giả sử   1 Rõ ràng I I1I20 Nếu I I3 0 thì Mệnh đề đã được khẳng định Nếu I I3 0, ta giả sử i I3 Theo định nghĩa, ai là

véctơ C-âm Vì I là tập chỉ số pháp tuyến âm nên cone   a ii:  i1, , i chứa

một véctơ C-âm Ta khẳng định rằng phần trong tương đối của nó không chứa tất cả các véctơ C-âm Thật vậy, giả sử phần trong tương đối của nó chứa tất cả các véctơ C-âm, vì ai là véctơ C-âm nên cone   a ii:  i1, , i phải chứa

véctơ 0 trong phần trong tương đối của nó Điều này mâu thuẫn với giả thiết của

mệnh đề rằng nón sinh bởi các vectơ   a ii:  I  không chứa một không gian

còn tuyến tính nào Suy ra, tồn tại một véctơ C-âm v nằm ngoài phần trong tương đối của cone   a i ii:  1, , i Đoạn nối véctơ v này với một véctơ C-

âm nằm trong phần trong tương đối của conea i:ii1, ,i sẽ cắt một diện của nón conea i:ii1, ,i có chứa một véctơ C- âm Số véctơ sinh ra diện

này là nhỏ hơn hẳn  Theo giả thiết qui nạp, tồn tại một nón pháp tuyến âm sinh bởi các véctơ có chỉ số nằm trong I1I2 Tập chỉ số xác định nón này là tập chỉ số pháp tuyến âm nằm trong I I1I2 Mệnh đề đã được chứng

1.7 Kết luận

Trong chương này trình bày khái niệm các khái niệm cơ bản về tập affine, tập lồi, tập lồi đa diện, nón pháp tuyến, chỉ số pháp tuyến của tập lồi đa diện và nón pháp tuyến âm, chỉ số pháp tuyến âm Đây là những kiến thức liên quan tới phần trình bày của luận văn ở Chương 2

2.1 Điểm hữu hiệu

Kí hiệu  p là không gian Euclide p - chiều Phần trong, phần trong tương

đối và biên của một tập con Q p được ký hiệu tương ứng là intQ, riQ và Q Véctơ e = (1,1, ,1), i là véctơ có tất cả các thành phần đều bằng 1, tức e p i

Định nghĩa 2.1 Cho Q là tập con khác rỗng trong  Ta nói điểm y p 0Q là:

(i) điểm hữu hiệu (hay điểm cực tiểu Pareto) của Q nếu

y Q sao cho y 0 > y, tức là Q   y0  p    y0 (ii) điểm hữu hiệu yếu (hay điểm cực tiểu Pareto yếu) của Q nếu

y Q sao cho y 0 >> y, tức là Q   y0 int  p  0

Kí hiệu MinQ là tập tất cả các điểm hữu hiệu của Q và WMinQ là tập tất cả các điểm hữu hiệu yếu của Q Theo định nghĩa ta có:

MinQ  WMinQ

Lưu ý: Các khái niệm điểm hữu hiệu và điểm hữu hiệu yếu của một tập hợp

p

Q theo hướng cực đại được định nghĩa hoàn toàn tương tự

Các kết quả sau đây là tương đối hiển nhiên:

(i) Nếu y 0

là một điểm hữu hiệu hoặc là một điểm hữu hiệu yếu của tập

Q thì y0 phải thuộc vào biên Q của Q;

(ii) Q là tập compact khác rỗng thì ta luôn có Min Q ≠ 

Sau đây là điều kiện cần và đủ để một điểm y0 p là một điểm hữu hiệu (hữu hiệu yếu) của tập con lồi khác rỗng Q p

Định lý 2.1 (Theo Định lý 2.10 trang 91, [11]) Cho Q là một tập con lồi khác

rỗng trong không gian  p Khi đó, điểm y0 Q là điểm hữu hiệu (tương ứng

hữu hiệu yếu) của Q khi và chỉ khi tồn tại vectơ  0 (tương ứng  > 0) thuộc

p

 sao cho y 0 là nghiệm cực tiểu của bài toán quy hoạch lồi với hàm mục tiêu tuyến tính:

Min (, y) với điều kiện y Q

2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Cho X là tập con lồi đóng khác rỗng trong  n và : n , 1, 2, ,

j

là các hàm lồi nhận giá trị hữu hạn trên X Bài toán qui hoạch lồi đa mục tiêu

được phát biểu như sau:

Min f(x) với điều kiện x  X, (CMOP)

Trong đó f x  f x1   ,f2 x , , f p x T và số nguyên p 2 Đặc biệt, khi

n

X  là tập lồi đa diện khác rỗng và f x i  c x c i, , i n,i1,2, ,p

tức f x Cx với C là ma trận thực cấp (p x n) có các hàng là c1, c2, ,cp, thì bài toán (CMOP) được gọi là Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu và được viết dưới dạng:

Min Cx với điều kiện x  X (LMOP) Như thường lệ, ta gọi tập:

Y  f X  y  y f x xX (2.0)

là tập ảnh của tập X qua ánh xạ f hay là tập giá trị (outcome set) của bài toán qui

hoạch lồi đa mục tiêu (CMOP)

Định nghĩa 2.2 i) Điểm chấp nhận được x 0 X được gọi là nghiệm hữu hiệu

của Bài toán (CMOP) nếu f(x0) là điểm hữu hiệu của tập Y;

ii) Điểm chấp nhận được x 0  X được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (CMOP) nếu f(x 0

) là điểm hữu hiệu yếu của tập Y

Nói cách khác, điểm x 0  X là nghiệm hữu hiệu (tương ứng nghiệm hữu hiệu yếu) của Bài toán (CMOP) nếu không tồn tại x'  X sao cho f(x 0 ) > f(x') (tương ứng f(x 0

) >>f(x'))

Kí hiệu X E (tương ứng X WE) là tập tất cả các nghiệm hữu hiệu (tương ứng tập tất

cả các nghiệm hữu hiệu yếu) của bài toán qui hoạch lồi đa mục tiêu (CMOP) Theo định nghĩa ta có :

ảnh hữu hiệu yếu hay tập giá trị hữu hiệu yếu của Bài toán (CMOP) Để đơn

giản, trong Chương 2 ta sẽ sử dụng kí hiệu Q E để chỉ tập các điểm hữu hiệu của tập Q p

Định lý vô hướng hóa sau đây cho thấy rằng có thể xác định được một nghiệm hữu hiệu của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (LMOP) bằng việc giải một bài toán quy hoạch tuyến tính thông thường

Định lý 2.2 (Theo Định lý 2.5 trang 88, [11]) Một điểm chấp nhận được x 0X

là nghiệm hữu hiệu (tương ứng hữu hiệu yếu) của Bài toán quy hoạch tuyến tính

đa mục tiêu (LMOP) khi và chỉ khi tồn tại véctơ   0 (t.ư., 0) sao cho x 0

là một nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính:

M C  x với điều kiện x X (LP) Như đã biết, tập nghiệm tối ưu của một bài toán quy hoạch tuyến tính là một diện của tập lồi đa diện chấp nhận được (theo Định lý 3.3, trang 70, [3]) Kết hợp sự kiện này với Định lý 2.2 ta nhận được mọt tính chất đặc sắc của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Hệ quả 2.1 Giả sử x 0

là một điểm trong tương đối của một diện  X trong đó

X là tập chấp nhận được của Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (LMOP) Nếu x 0

là một nghiệm hữu hiệu của Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (LMOP) thì mọi điểm thuộc diện  đều là nghiệm hữu hiệu, tức

Xét bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu (LMOP)

Min Cx với điều kiện x  M (LMOP)

là các số thực

hữu hiệu (tương ứng hữu hiệu yếu) của bài toán (LMOP) thông qua ngôn ngữ nón pháp tuyến

2.3.1 Diện hữu hiệu (tương ứng hữu hiệu yếu)

Xét bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu (LMOP)

Mệnh đề 2.3 Một điểm x0M là nghiệm hữu hiệu (tương ứng hữu hiệu yếu) của Bài toán (LMOP) khi và chỉ khi nón pháp tuyến của M tại điểm x có chứa 0một véctơ C-âm (tương ứng C-âm yếu)

Chứng minh: Theo Định lý 2.2, x0M là nghiệm hữu hiệu (tương ứng hữu hiệu yếu) của Bài toán (LMOP) khi và chỉ khi tồn tại một véc tơ  0 (tương ứng 0) sao cho , xC Cx0 0 với mọi xM Dễ thấy rằng véc tơ

0

T

M

v C N x và là một véctơ C-âm (tương ứng C-âm yếu)

Ngược lại, nếu N M(x0) chứa một véc tơ C-âm (tương ứng C-âm yếu),

chẳng hạn, v C T với  0 (tương ứng 0) thì v x x,  0 0 với mọi

xM Do đó x0 là một nghiệm cực tiểu của phiếm hàm tuyến tính , xC

trên M Theo Định lý 2.2 thì x0 là một nghiệm hữu hiệu (tương ứng hữu hiệu yếu) của Bài toán (LMOP) Mệnh đề được chứng minh. □

Hệ quả 2.2 Một diện FM là một diện hữu hiệu (tương ứng hữu hiệu yếu) của Bài toán (MLOP) khi và chỉ khi nón pháp tuyến của nó là âm (tương ứng âm yếu)

Chứng minh: Theo Định lý 2.2, nếu một điểm trong tương đối của một diện

FMlà nghiệm hữu hiệu (tương ứng hữu hiệu yếu) thì diện này là một diện

hữu hiệu, tức là mỗi điểm thuộc F đều là một nghiệm hữu hiệu (tương ứng hữu

hiệu yếu) Vậy là hệ quả này được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.3 □

Hệ quả 2.3 Cho M là một tập lồi đa diện được xác định bởi hệ (2.1) Cho tập

chỉ số khác rỗng IF   1, 2, , m  Khi đó, tập I F xác định một diện hữu hiệu (tương ứng hữu hiệu yếu) khi và chỉ khi I F là tập chỉ số pháp tuyến âm (tương

ứng âm yếu)

Chứng minh: Theo Mệnh đề 1.7, tập I F xác định một diện F M khi và chỉ khi I F là một tập chỉ số pháp tuyến Phần còn lại là một cách phát biểu khác của

hệ quả 2.2.Từ đó suy ra điều phải chứng minh □

Việc xác định sự tồn tại nghiệm của Bài toán (MOLP) và tìm một nghiệm hữu hiệu (tương ứng hữu hiệu yếu) đầu tiên dựa vào hệ quả sau:

Hệ quả 2.4 i) Tập nghiệm hữu hiệu của Bài toán (LMOP) là rỗng khi và chỉ khi





 đạt cực tiểu trên M thì mỗi điểm cực tiểu là

một nghiệm hữu hiệu của Bài toán (LMOP)

ii) Tập nghiệm hữu hiệu yếu của Bài toán (LMOP) là rỗng khi và chỉ khi hệ:

hiệu có số chiều lớn hơn 1 chứa nó Do đó, các thuật toán xác định tập nghiệm

hữu hiệu, được trình bày ở hai mục sau, gồm 3 thủ tục chính:

1 - Xác định một đỉnh hữu hiệu đầu tiên nếu tập nghiệm hữu hiệu là khác rỗng

2 - Xác định tất cả các cạnh hữu hiệu và các đỉnh hữu hiệu kề một đỉnh hữu

hiệu đã biết

3 - Xác định tất cả các diện hữu hiệu có số chiều l ớ n h ơn 1 hoặc các diện

hữu hiệu cực đại kề một đỉnh hữu hiệu cho trước sau khi đã có các thông tin về

số cạnh hữu hiệu xuất phát từ đỉnh này

Nhắc lại, đỉnh của một tập lồi đa diện là một diện 0 - chiều, cạnh là diện 1- chiều

Các mệnh đề sau đây sẽ cho phép chúng ta xác định một đỉnh hay một cạnh

của tập lồi đa diện M được xác định bởi hệ (2.1).

Mệnh đề 2.4 Cho M là tập lồi đa diện được xác định bởi hệ (2.1) Khi đó:

(i) Một điểm xM là đỉnh khi và chỉ khi nó thỏa mãn chặt n bất đẳng thức độc

lập tuyến tính của hệ (2.1)

(ii) Một đoạn thẳng (hoặc nửa đoạn thẳng, hoặc đuờng thẳng) LM là một

cạnh của M khi và chỉ khi nó là tập hợp tất cả điểm thuộc M thỏa mãn chặt n -

1 bất đẳng thức độc lập tuyến tính của hệ (2.1)

Như thường lệ ta nói đỉnh của đa diện M R n là không thoái hóa nếu nó

thỏa mãn chặt vừa đúng n bất đẳng thức độc lập tuyến tính của hệ (2.1) Hai

đỉnh x x1, 2 được gọi là kề nhau nếu đoạn thẳng nối chúng là cạnh của đa diện

Mệnh đề 2.5 Giả sử x 0

là đỉnh không thoái hóa của tập lồi đa diện M R n có

thứ nguyên đầy đủ (dim M = n) đuợc xác định bài hệ (2.1) Khi đó có vừa đúng

n cạnh của X xuất phát từ x 0 Nếu

Bây giờ ta trở lại việc xác định các diện hữu hiệu:

Theo Hệ quả “Một diện FX là một diện hữu hiệu của bài toán (LMOP) khi

và chi khi nón pháp tuyến của nó là âm” Do mục đích tính toán, thay vì các nón

pháp tuyến âm ta sẽ làm việc với các tập chỉ số pháp tuyến âm, việc xác định các diện hữu hiệu tương đương với việc tìm các tập chỉ số pháp tuyến âm

1, , 

I  m

Cụ thể hơn, để kiểm tra xem một tập chỉ số con I 1, ,m có xác định một diện hữu hiệu (tương ứng hữu hiệu yếu) của bài toán (LMOP) hay không ta

chỉ cần kiểm tra xem I có đồng thời thỏa mãn 2 điều kiện sau hay không:

(i) Tập I là tập chỉ số pháp tuyến, nghĩa là tập I xác định một diện của

đa diện M?

(ii) Tập I là tập chỉ số âm, nghĩa là I xác định một diện hữu hiệu?

Việc giải bài toán qui hoạch tuyến tính là một trong các môđun tính toán chính trong các thuật toán xác định các tập nghiệm hữu hiệu, công việc này có thể được tiến hành bởi phương pháp quen biết như phương pháp đơn hình

2.3.3 Thuật toán EFFI xác định các diện hữu hiệu của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Trong mục này, chúng ta đưa ra thuật toán EFFI nhằm xác định cấu trúc tập nghiệm hữu hiệu của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu theo cách xác

định tất cả các diện có số chiều bất kỳ của nó theo lược đồ chung đã nêu ở Mục

2.3 Ba thủ tục chính để xác định:

• Đỉnh hữu hiệu đầu tiên nếu tập nghiệm hữu hiệu của bài toán (LMOP) khác rỗng,

• Các đỉnh và cạnh hữu hiệu kề một đỉnh hữu hiệu cho trước,

• Diện hữu hiệu số chiều lớn hơn 1

2.3.3.1 Xác định đỉnh hữu hiệu đầu tiên

Cho bài toán qui hoạch tuyến tính (LMOP) khi đó ta có thủ tục để xác định đỉnh hữu hiệu của bài toán

Procedure EF1;

Bư ớc 1 Xét hệ (2.2)

a) Nếu hệ này không có nghiệm, X E   Kết thúc thuật toán

b) Ngược lại, chuyển sang bước 2

Bư ớc 2 Giả sử    1, , , ,.m 1.,plà một nghiệm của hệ (2 2 ) Đặt

 1, , pT 0

vC  a) Nếu v = 0, tập nghiệm hữu hiệu của bài toán (LMOP) là toàn bộ đa

diện ràng buộc M Kết thúc thuật toán

b) Nếu v 0, giải bài toán qui hoạch tuyến tính

min v x x, , X

Do tập lồi đa diện M có đỉnh nên bài toán này có nghiệm, chẳng hạn là x 0

Theo Hệ quả 2.4, nghiệm x 0

này là đỉnh hữu hiệu đầu tiên của bài toán (LMOP)

Ví dụ 2.1: Tìm đỉnh hữu hiệu của bài toán sau:

 11 2 12

minmin

x x

x x x

2;0; 1 2; 3;0 0;0; 1 1;0;0 0;1;0 0;0;1

a a a a a a

1; 2;02;0;0

c c

xuất phát từ x 0 Ở đây, kí hiệu I là số các phần tử của tập I Do đó để xác định xem cạnh được xác định bởi tập chỉ số I có phải là cạnh hữu hiệu không, ta chỉ

cần kiểm tra xem tập chỉ số này có phải là tập chỉ số âm không? Tức hệ (2.2) với

tập chỉ số I này có nghiệm không?

độc lập tuyến tính chưa chắc đã xác định một cạnh của M Khi đó ngoài việc

kiểm tra tính âm, tức khả năng nó có thể là cạnh hữu hiệu, ta còn phải kiểm tra

xem I có phải là tập chỉ số pháp tuyến không? (tức I có xác định một diện của M không?) (Mệnh đề 1.7) Rõ ràng là mỗi tập chỉ số I như vậy đều xác định một hướng v theo hệ sau:

x tv với một số t0 không? (Hệ quả 1.2)

Sau đây là thủ tục xác định tất cả các cạnh hữu hiệu xuất phát từ một đỉnh

I x n , chuyển sang Bước 1

b) Ngược lại, chuyển sang Bước 2

Bước 1 (x 0

là đỉnh không thoái hóa)

Lấy một tập chỉ số  0

I I x với I  n 1

Bước 1.1 (Kiểm tra tính âm của tập chỉ số I)

Giải hệ (2.1) với tập chỉ số I này

a) Nếu hệ này không có nghiệm, lấy tập chỉ số  0

I I x với I  n 1khác và quay trở lại Bước 1.1

b) Ngược lại, I là tập chỉ số âm, chuyển sang Bước 1.2

Bước 1.2 (I là tập chỉ số pháp tuyến (Hệ quả 1.2) Xác định cạnh và đỉnh hữu hiệu kề tương ứng)

Bước 1.2.1 Xác định hướng v của cạnh này bởi hệ:

 0

k i

I I x với I  n 1 khác và quay trở lại Bước 1.1

rank a iI

a) Nếu rank a i i :   I n 1, nghĩa là các vectơ này độc lập tuyến tính, chuyển sang Bước 2.2

b) Ngược lại, lấy một tập chỉ số  0

I I x với I  n 1khác và quay lại

Bước 2.1

Bước 2.2 (Kiểm tra tính âm của tập chỉ số I)

Giải hệ (2.1) với tập chỉ số I này

a) Nếu hệ này không có nghiệm, lấy tập chỉ  0

I I x với I  n 1 khác

và quay trở lại Bước 2.1

b) Ngược lại, tập chỉ số I này là âm, chuyển sang Bước 2.3

Bước 2.3 (Xác định cạnh và đỉnh hữu hiệu kề tương ứng nếu tập chỉ số I đang xét là tập chỉ số pháp tuyến)

Bước 2.3.1 Xác định hướng v theo hệ:

c) Nếu t 0 không hữu hạn, khi đó tia  0 

x tv t  là tia hữu hiệu Lưu kết quả này Lấy tập chỉ số  0

I  I x với I  n 1 khác và quay trở lại Bước 2.1

Nhận xét 2.1 Do tập các đỉnh và các cạnh hữu hiệu tạo thành một đồ thị liên

thông nên bằng thủ tục EF2 ta có thể nhận được toàn bộ tập đỉnh và cạnh hữu