Phương trình bất phương trình hàm cơ bản trên tập số tự nhiên

Möc löcMð ¦u.. Ph÷ìng tr¼nh h m D'Alembert tr¶n tªp sè tü nhi¶n... Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n... Thû l¤i th§y thäam¢n.

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

NGUY™N SÌN H€

PH×ÌNG TRœNH, B‡T PH×ÌNG TRœNH H€M CÌ BƒN TR–N TŠP

SÈ TÜ NHI–N

LUŠN V‹N TH„C Sß TON HÅC

THI NGUY–N - N‹M 2014

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

NGUY™N SÌN H€

PH×ÌNG TRœNH, B‡T PH×ÌNG TRœNH H€M CÌ BƒN TR–N TŠP

Möc löc

Mð ¦u 1

Ch÷ìng 1 Ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü nhi¶n 3

1.1 Ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n 3

1.1.1 C¡c lîp ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy li¶n töc 3

1.1.2 C¡c lîp ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n 4 1.1.3 C¡c v½ dö 4

1.2 Ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n 13

1.2.1 C¡c d¤ng to¡n v· ph÷ìng tr¼nh h m Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n 13 1.2.2 C¡c v½ dö minh håa 14

1.3 Ph÷ìng tr¼nh h m D'Alembert tr¶n tªp sè tü nhi¶n 19

1.3.1 C¡c d¤ng to¡n v· ph÷ìng tr¼nh h m D'Alembert tr¶n tªp sè tü nhi¶n 19

1.3.2 C¡c v½ dö 19

Ch÷ìng 2 B§t ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü nhi¶n 23

2.1 B§t ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n 23

2.2 B§t ph÷ìng tr¼nh h m Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n 27

2.3 B§t ph÷ìng tr¼nh h m D'Alembert tr¶n tªp sè tü nhi¶n 32

Ch÷ìng 3 Mët sè d¤ng kh¡c cõa b§t ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü nhi¶n 39

3.1 B§t ¯ng thùc trong d¢y sè 39

3.2 B§t ¯ng thùc h m chuyºn êi c¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh 51

3.3 V½ dö ¡p döng 56

K¸t luªn 74

T i li»u tham kh£o 75

Mð ¦u

Ph÷ìng tr¼nh h m v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m l  mët trong nhúng nëidung chuy¶n · quan trång thuëc ch÷ìng tr¼nh chuy¶n to¡n trong c¡ctr÷íng trung håc phê thæng chuy¶n C¡c b i to¡n li¶n quan ¸n ph÷ìngtr¼nh h m v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m th÷íng l  nhúng b i to¡n khâ, th÷íngg°p trong c¡c k¼ thi håc sinh giäi c§p quèc gia, khu vüc, Olympic sinh vi¶n

v  quèc t¸

Ph÷ìng tr¼nh h m, b§t ph÷ìng tr¼nh h m trong ch÷ìng tr¼nh to¡n trunghåc phê thæng chuy¶n r§t phong phó v  a d¤ng, th÷íng khâ ph¥n lo¤i chiti¸t theo d¤ng b i v  c¡c chuy¶n · ri¶ng bi»t

Tuy nhi¶n, cho ¸n nay v§n · v· t i li»u tham kh£o chuy¶n s¥u v·ph÷ìng tr¼nh h m v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m dòng cho h» trung håc phêthæng chuy¶n vi¸t b¬ng ti¸ng vi»t cán kh¡ ½t äi chõ y¸u l  c¡c cæng tr¼nhnghi¶n cùu khoa håc cæng bè b¬ng ti¸ng anh ð mùc ë to¡n cao c§p v 

i s¥u v o lþ thuy¸t cõa ph÷ìng tr¼nh h m v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m vi¸t

ð bë mæn gi£i t½ch h m dòng cho sinh vi¶n ¤i håc, c¡c t i li»u vi¸t b¬ngti¸ng n÷îc ngo i d¹ t¼m tr¶n ph÷ìng ti»n Internet n¶n vi»c t¼m t i li»utham kh£o cho to¡n phê thæng vi¸t b¬ng ti¸ng vi»t cán r§t khâ kh«n C¡c

b i tªp v· ph÷ìng tr¼nh h m v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n c¡c tªp ¢khâ èi vîi c¡c håc sinh trung håc phê thæng chuy¶n to¡n nâi chung n¶nph÷ìng tr¼nh h m v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü nhi¶n l¤i c ngkhâ kh«n hìn v¼ chóng ÷ñc x²t tr¶n tªp ríi r¤c

Ch½nh v¼ nhúng khâ kh«n ¢ · cªp ð tr¶n n¶n trong luªn v«n n y t¡cgi£ cè g­ng ÷a c¡c b i tªp ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m cì b£ntr¶n tªp sè tü nhi¶n v· nhúng d¤ng to¡n cö thº v  d¹ nhªn bi¸t hìn.Nhúng nëi dung ch½nh trong b i vi¸t cö thº nh÷ sau:

Ch÷ìng 1 Ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n

1.1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y (cæ) gi¡o trong khoa To¡n - Tin,pháng  o t¤o tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i nguy¶n,Tr÷íngTHPT Hi»p Háa sè 2 v  c¡c b¤n çng nghi»p ¢ gióp ï t¤o i·u ki»n chotæi ho n th nh luªn v«n n y.

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn !

Th¡i Nguy¶n, 2014Nguy¹n Sìn H 

f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R+,

l  h m f (x) = a ln x a ∈ R tòy þ

ành l½ 1.4 (D¤ng lôy thøa, [1]) H m sè f : R+ → R li¶n töc tr¶n R+

v  thäa m¢n i·u ki»n

f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R+,

l  mët trong c¡c h m f(x) ≡ 0, f(x) ≡ 1 v  h m f (x) = xm 0 6= m ∈ Rtòy þ.

Líi gi£i Gi£ sû tçn t¤i h m sè f (x) thäa m¢n y¶u c¦u b i ra Ta th§y

f (x) l  ìn ¡nh Thªt vªy, vîi n, m ∈ N v  f (n) = f (m), ta câ

f (f (n) + f (m)) = n + m = f (f (n) + f (n)) = n + n→ n = m.Vîi måi n ∈ N, n ≥ 1, ta câ

f (f (n) + f (n)) = 2n = (n − 1) + (n + 1) = f (f (n − 1) + f (n + 1))n¶n f (n) + f (n) = f (n − 1) + f (n + 1) (do f l  ìn ¡nh)

Theo nhªn x²t ban ¦u th¼ f l  h m sè tuy¸n t½nh, tùc l  f câ d¤ng

f (n) = an + b

Thû l¤i ta ph£i câ a [(an + b) + (am + b)]+b = n+m vîi måi n, m ∈ N,

tø â ÷ñc a = 1, b = 0 Vªy f (n) = n l  h m sè c¦n t¼m

V½ dö 1.2 [Putnam 1963] X¡c ành t§t c£ c¡c h m sè f : N → N çngbi¸n, thäa m¢n i·u ki»n: f (2) = 2 v  f (mn) = f (m) · f (n) , ∀m, n ∈ N.Líi gi£i Gi£ sû tçn t¤i h m sè f (x) thäa m¢n y¶u c¦u b i ra

M°t kh¡c f (3) = 3 + k; f (5) ≥ 5 + k n¶n

f (15) = f (3) f (5) ≥ (3 + k)(5 + k)

Tâm l¤i ta ÷ñc: (3 + k)(5 + k) ≤ 15 + 8k ⇔ k2 ≤ 0 ⇔ k = 0

Vªy f (3) = 3

Ta s³ chùng minh f (2n+ 1) = 2n + 1, vîi måi n ∈ N∗

Thªt vªy, hiºn nhi¶n, kh¯ng ành óng vîi n = 1

Gi£ sû kh¯ng ành óng tîi n, tùc l : f (2n + 1) = 2n + 1, khi â

f 2n+1 + 2
= f (2) f (2n+ 1) = 2 (2n+ 1) = 2n+1+ 2

Do f l  h m sè çng bi¸n v  l  ìn ¡nh n¶n tªp



f (2n+ 2); f (2n+ 3); ; f (2n+1+ 2) gçm 2n+1sè æi mët kh¡c nhau,s­p x¸p theo thù tü t«ng d¦n, l  £nh cõa tªp gçm 2n+ 1 sè æi mët kh¡cnhau 

2n+ 2; 2n + 3; ; 2n+1 + 2

Nh÷ vªy, ta câ f (2n+ i) = 2n + i, vîi måi i ∈ {2; 3; ; 2n + 2} tùc l 

f (2n+ 1) = 2n+ 1

Nâi c¡ch kh¡c, kh¯ng ành óng tîi n + 1

Theo nguy¶n lþ quy n¤p, kh¯ng ành óng vîi måi n ∈ N∗

Lªp luªn ho n to n t÷ìng tü ta công ÷ñc f (n) = n vîi måi n ∈ N.D¹ th§y h m sè n y thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho

Tø c¡c i·u ki»n ¢ cho ta ÷ñc:

Tø gi£ thi¸t ta câ:

f (n + 1) − 3f (n) =

q8f2(n) + 1 (≥ 1 > 0, ∀n ∈ N),n¶n

(f (n + 1) + 3f (n))2 = 8f2(n) + 1

Suy ra

f2(n + 1) + f2(n) = 6f (n) f (n + 1) + 1 (1.1)Thay n bði n − 1 ta ÷ñc

f2(n) + f2(n − 1) = 6f (n − 1) · f (n) + 1 (1.2)Trø tøng v¸ cõa (1.2) cho (1.1), ta ÷ñc

f2(n + 1) − f2(n − 1) = 6f (n) (f (n + 1) − f (n − 1))

Tø gi£ thi¸t ta cán câ f (n) > 0 vîi måi n (chùng minh b¬ng quy n¤p).Ngo i ra f(n + 1) > 3f (n) = 9f (n − 1) + 3p

8f2(n − 1) + 1 > f (n − 1)n¶n f(n + 1) − f(n − 1) > 0 n¶n f(n + 1) + f(n − 1) = 6f(n)

Vªy ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh

f (0) = 2, f (1) = 6 +√

33, f (n + 2) − 6f (n + 1) + f (n) = 0, ∀n ∈ N.Gi£i ph÷ìng tr¼nh n y ta ÷ñc:

f (n) = (8 +

√66)(3 +√

V½ dö 1.5 T¼m h m sè f : N →N thäa m¢n i·u ki»n

Vªy ta câ f(n) = f(2k + 1) = 2k + 1 = n

T÷ìng tü, khi n = 2k + 2 sû döng ¯ng thùc

(2k + 2)2 + (k − 4)2 = (2k − 2)2 + (k + 4)2,

Líi gi£i Do Rf ⊆ N∗,Rf 6= 0 n¶n tçn t¤i ph¦n tû nhä nh§t cõa Rf.

Tø gi£ thi¸t ta câ f(2) > f(f(1)) > 0; f(3) > f(f(2));

Ngo i ra, ta cán câ f(n) l  h m sè çng bi¸n

Gi£ sû ∃n ∈ N∗, f (n) > n suy ra f(n) ≥ n+1 hay l  f(f(n)) ≥ f(n+1)(do f(n) çng bi¸n)

i·u â m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t f(f(n)) < f(n + 1), ∀n ∈ N∗

Vªy f(n) = n H m sè n y hiºn nhi¶n thäa m¢n i·u ki»n ¢ cho trong

Thªt vªy, ta chùng minh b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p.

Theo nguy¶n l½ quy n¤p, ta câ f(n) = n, ∀n ∈ N∗

Thû l¤i, ta th§y f(n) = n thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n

Ta c¦n chùng minh i·u kh¯ng ành v¨n cán óng vîi k = n + 1

N¸u k l  sè ch®n, ta x²t hai tr÷íng hñp sau:

Theo nguy¶n l½ quy n¤p, ta câ f(n) = n

Thû l¤i th§y f(n) = n, ∀n ∈ N∗ thäa m¢n y¶u c¦u · b i

V½ dö 1.9 T¼m t§t c¡c h m sè f : N →N thäa m¢n c¡c i·u ki»n

Ta công t½nh ÷ñc f(6) = 6, f(7) = 7, f(8) = 8, f(9) = 9, f(10) = 10.Vªy f(n) = n vîi n ≤ 10.

B¬ng quy n¤p ta chùng minh f(n) = n, ∀n ∈N

Gi£ sû f(k) = k, k ≥ 10 Ta chùng minh f(k + 1) = k + 1

Ta th§y r¬ng (k + 1) câ d¤ng sau 5m + r, 0 ≤ r ≤ 4; m, r ∈ N

Ta l¤i câ c¡c ¯ng thùc sau:

(5m)2 = (4m)2 + (3m)2(5m + 1)2 + 22 = (4m + 2)2 + (3m − 1)2

(5m + 2)2 + 12 = (4m + 1)2 + (3m + 2)2

(5m + 3)2 + 12 = (4m + 3)2 + (3m + 1)2

(5m + 4)2 + 22 = (4m + 2)2 + (3m + 4)2

• Vîi k + 1 = 5m th¼ f2(5m) = f ((5m)2) = f2(4m) + f2(3m) = (5m)2n¶n f(5m) = 5m

•Vîi k+1 = 5m+1 th¼ f((5m + 1)2

+22) = f ((4m + 2)2)+f ((3m − 1)2)n¶n f(5m + 1) = 5m + 1

•Vîi k+1 = 5m+2 th¼ f((5m + 2)2

+12) = f ((4m + 1)2)+f ((3m + 2)2)n¶n f(5m + 2) = 5m + 2

•Vîi k+1 = 5m+3 th¼ f((5m + 3)2

+12) = f ((4m + 3)2)+f ((3m + 1)2)n¶n f(5m + 3) = 5m + 3

•Vîi k+1 = 5m+4 th¼ f((5m + 4)2

+22) = f ((4m + 2)2)+f ((3m + 4)2)n¶n f(5m + 4) = 5m + 4

• N¸u x1 − 1 + f (x1 − 1) ≥ x1 th¼ tø (1.4) suy ra f(x1 − 1) = 1, væ lþ.

• N¸u x1 − 1 + f (x1 − 1) < x1 th¼ f(x1 − 1) < 1, công væ lþ

Vªy f(n) = 1, ∀n ∈ N∗ Thû l¤i th§y óng

V½ dö 1.11 [IMO-1977]Cho f : N∗ → N∗ l  h m sè thäa i·u ki»n

f (n + 1) > f (f (n)), ∀n ∈ N∗

Chùng minh r¬ng f(n) = n, ∀n ∈N∗

Líi gi£i Gi£ sû tçn t¤i h m sè thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n

Gåi d l  ph¦n tû nhä nh§t trong mi·n gi¡ trà cõa h m sè f, tùc l 

d = min {f (n) : n ∈ N∗} theo nguy¶n l½ s­p thù tü tèt, d tçn t¤i v  l  duynh§t

Gåi m ∈ N∗ sao cho f(m) = d

N¸u m > 1 th¼ d = f(m) > f(f(m − 1)) m¥u thu¨n

Vªy m = 1 Do â f(n) ¤t gi¡ trà nhä nh§t duy nh§t mët iºm m = 1.B¥y gií ta x²t {f(n) : n ∈N∗, n ≥ 2}

B¬ng lªp luªn t÷ìng tü ta công câ f(2) = min {f(n) : n ∈ N∗, n ≥ 2}.Hìn núa f(2) > f(1) V¼ n¸u f(2) = f(1) th¼ f(1) = f(2) > f(f(1)), m¥uthu¨n

L°p l¤i qu¡ tr¼nh lªp luªn nh÷ tr¶n ta thu ÷ñc:

f (1) < f (2) < f (3) < f (4) < · · · < f (n) < (1.5)V¼ f(n) ∈ N∗ Vîi f(1) ≥ 1, tø (1.5) ta suy ra r¬ng f(k) ≥ k

Gi£ sû f(k) > k khi â f(k) ≥ k + 1

M°t kh¡c theo i·u ki»n b i to¡n ta câ:

V½ dö 1.12 T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : N∗ → N∗ thäa m¢n

f (1) = 1 v  f(f(n))f(n + 2) + 1 = f(n + 1)f(f(n + 1)), ∀n ∈ N∗ (1.7)Líi gi£i Gi£ sû tçn t¤i h m sè f thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n

Ta chùng minh b¬ng quy n¤p r¬ng vîi n ∈N∗ th¼ f(n + 1) > f(f(n))

* Vîi n = 1 Hiºn nhi¶n (1.7) óng

• T¼m h m f : X → Y thäa m¢n i·u ki»n n o â (trong â X câ thº

l  N,N∗ ; Y câ thº l  N,N∗,Z,R)

• T¼m sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y sè cho tr÷îc

Cho n = 1 suy ra f(f(1)) = 2.1 + 3 − f(1) = −1 do â f(6) = −1.

â l  i·u væ l½ v¼ theo gi£ thi¸t f(n) ∈N

M°t kh¡c, d¹ th§y h m sè f(n) = n + 1, ∀n ∈ N thäa m¢n ph÷ìng tr¼nhd¢ cho n¶n ta câ ¡p sè f(n) = n + 1, ∀n ∈N.

V½ dö 1.15 T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : N →N thäa m¢n i·u ki»n

f (f (n)) + f (n) = 2n + 3k, ∀n ∈ N, (1.9)(trong â k l  sè tü nhi¶n cho tr÷îc)

Líi gi£i Gi£ sû tçn t¤i h m sè f thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n

°t a1 = n v  vîi n ≥ 1 ta °t an+1 = f (an), khi â tø (1.9) ta ÷ñc

2an+1 + 3k = an+2 + an+3 (1.11)L§y (1.11) trø (1.10) v¸ theo v¸ ta câ an+3− 3an+1 + 2an = 0 Suy ra

an = λ1 + nλ2 + λ3(−2)n, ∀n ∈ N∗ (1.12)Nh÷ng tø (1.12), n¸u λ3 > 0 ta cho n l´ v  õ lîn s³ câ an < 0, væ l½,n¸u λ3 < 0 ta cho n ch®n v  õ lîn s³ câ an < 0, væ l½

Do â λ3 = 0 Hay an = λ1 + nλ2 Thay v o (1.10), ta ÷ñc:

2λ1 + 2nλ2 + 3k = λ1 + (n + 1)λ2 + λ1 + (n + 2)λ2

Tø â λ2 = k B¥y gií ta chó þ tîi

a2 − a1 = λ1 + 2k − (λ1 + k) = k n¶n f(n) − n = k

Vªy f(n) = n + k, ∀n ∈ N

Thû l¤i th§y f(n) = n + k, ∀n ∈ N thäa m¢n i·u ki»n b i to¡n

V½ dö 1.16 T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : N →N thäa m¢n i·u ki»n:

f (f (f (n))) + 6f (n) = 3f (f (n)) + 4n + 2007, ∀n ∈ N (1.13)Líi gi£i Gi£ sû h m sè f thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n Vîi k l  sè tünhi¶n b§t k¼, x²t d¢y (xn) nh÷ sau x0 = k v  xn+1 = f (xn)

Tø (1.13) thay n bði xn, ta ÷ñc:

xn+3 = 3xn+2− 6xn+1 + 4xn + 2007, ∀n ∈ N (1.14)Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng λ3 − 3λ2 + 6λ − 4 = 0 ⇔ λ ∈

n

1, 1 ± i√

3

o

Sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y (xn) l 

xn = A + 2nB cosnπ

3 + C sin

nπ3

+ Dn, ∀n ∈ N

Ta câ k = x0 = A + B, suy ra

f (k) = f (x0) = x1 = A + B + C√

3 + D ⇒ f (k) = k + C√

3 + D (1.15)Thay (1.15) v o (1.14) ÷ñc D + C√3 = 669 v  (1.15) trð th nh

f (n) = n + 669, ∀n ∈ N.Thû l¤i th§y thäa m¢n

V½ dö 1.17 T¼m t§t c£ c¡c h m sè t«ng thüc sü f : N∗ → N∗ thäa m¢n

f (n + f (n)) = 2f (n), ∀n ∈ N∗.Líi gi£i Gi£ sû tçn t¤i h m sè f thäa m¢n i·u ki»n b i to¡n

Do f t«ng thüc sü n¶n f(n + 1) ≥ f(n) + 1 n¶n

f (n + 1) − n − 1 ≥ f (n) − n, ∀n ∈ N∗.Suy ra f(n) − n l  mët h m sè t«ng

Thû l¤i th§y thäa m¢n

V½ dö 1.18 T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : N∗ → N∗ thäa m¢n

f (2x + 3y) = 2f (x) + 3f (y) + 4, ∀x, y ∈ N∗ (1.16)Líi gi£i K½ hi»u P (u, v) ch¿ vi»c thay x bði u, thay y bði v v o (1.16),p(x + 3, y) n¶n

f (2(x + 3) + 3y) = 2f (x + 3) + 3f (y) + 4, ∀x, y ∈ N∗ (1.17)p(x, y + 2) n¶n

f (2x + 3(y + 2)) = 2f (x) + 3f (y + 2) + 4, ∀x, y ∈ N∗ (1.18)

f (x + 3) − f (x) = 3c, ∀x ∈N∗ (c - const) Thay v o (1.19), ta ÷ñc:

3 [f (y + 2) − f (y)] = 6c, ∀y ∈N∗ hay f(y + 2) − f(y) = 2c, ∀y ∈ N∗

Vªy d¢y sè {f(x)}+∞

x=1 lªp th nh c§p sè cëng

Do â f(x) = cx + d, ∀x ∈ N∗, thay v o (1.16) ta ÷ñc:

c(2x + 3y) + d = 2(cx + d) + 3(cy + d) + 4, ∀x ∈ N∗ hay d = −1

Vªy h m sè c¦n t¼m d¤ng f(x) = cx−1, ∀x ∈ N∗ vîi c l  h¬ng sè nguy¶n(c > 1)

V½ dö 1.19 T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : N →N thäa m¢n f(0) = 1 v 

f (f (n)) + 3f (n) = 4n + 5, ∀n ∈ N (1.21)Líi gi£i Ta s³ chùng minh b¬ng quy n¤p r¬ng vîi måi n ∈ N th¼:

Do f(0) = 1 = 0 + 1 n¶n (1.22) óng khi n = 0

Gi£ sû (1.22) óng khi n = k, (k ∈ N), tùc l  f(k) = k+1 Ta c¦n chùngminh (1.22) công óng khi n = k + 1, tùc l  chùng minh f(k + 1) = k + 2

Ta câ f(k+1) = f(f(k))do(1.22)= 4k +5−3f (k) = 4k +5−3(k +1) = k +2.Theo nguy¶n l½ quy n¤p suy ra: f(n) = n + 1, ∀n ∈ N

Thû l¤i th§y thäa m¢n y¶u c¦u b i ra

V½ dö 1.20 T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : N∗ → N∗ thäa m¢n

f (mn) + f (m + n) = f (m)f (n) + 1, ∀m, n ∈ N∗ (1.23)Líi gi£i °t x = f(1), y = f(2), z = f(3), t = f(4)

K½ hi»u p(u, v) ch¿ vi»c thay m bði u v  thay n bði v v o (1.23)

Tø ¥y k¸t hñp vîi (1.24) v  (1.25) ta ÷ñc:

x2 − x + 1 + (x

2 − x + 1)2 − 12(x − 1) = x(x

2 − x + 1) + 1

⇔ x2 − x + (x

2 − x + 1)2 − 12(x − 1) = x

f (n + 1) = [f (1) − 1] f (n) + 1, ∀n ∈N∗ (1.28)Khi f(1) = 1, tø (1.28) suy ra f(n) = 1, ∀n ∈ N∗ Thû l¤i th§y thäam¢n

Khi f(1) = 2, tø (1.28) suy ra:

f (n + 1) = f (n) + 1, ∀n ∈ N∗ n¶n f(n) = f(1)+(n−1) = n+1, ∀n ∈ N∗.Thû l¤i th§y thäa m¢n

K¸t luªn: C¡c h m sè thäa m¢n y¶u c¦u · b i l :

f (n) = 1, ∀n ∈ N∗; f (n) = n + 1, ∀n ∈ N∗

n0 ∈ N∗ sao cho f(n0) = 1 v  f(n + f(n)) = f(n), ∀n ∈ N∗ (1.29)Líi gi£i Gi£ sû tçn t¤i h m sè f(n) thäa m¢n y¶u c¦u b i ra.

N¸u tçn t¤i n sao cho f(n) = 1 th¼ f(n+1) = f(n+f(n))(1.29)= f (n) = 1

M  theo gi£ thi¸t, tçn t¤i n0 ∈ N∗ sao cho f(n0) = 1 n¶n ¡p döngnguy¶n lþ quy n¤p, ta câ f(n) = 1 vîi måi n ∈ N∗

K½ hi»u S := {n ∈ N∗ : f(n) 6= 1} Khi â S húu h¤n

N¸u S = ∅ th¼ f(n) = 1, ∀n ∈ N∗

Gi£ sû S = ∅, do S húu h¤n n¶n tçn t¤i n1 l  ph¦n tû lîn nh§t cõa S.Nh÷ng khi â f(n1 + f (n1)) = f (n1) 6= 1 n¶n n1 + f (n1) ∈ S

M°t kh¡c, do f(n1) ∈ N∗ n¶n n1 + f (n1) > n1, suy ra n1 + f (n1) /∈ S(v¼ ta ¢ l§y n1 l  ph¦n tû lîn nh§t cõa S)

i·u væ l½ â chùng tä S = ∅ v  ta ÷ñc f ≡ 1, (n ∈ N∗)

D¹ th§y h m sè n y thäa m¢n c¡c y¶u c¦u cõa b i ra n¶n ch½nh l  h m

• N¸u β = −1 th¼ t÷ìng tü ta công chùng minh ÷ñc ∀n ∈ N, f (n) = 1

• N¸u |β| < 1 th¼ tçn tai ϕ sao cho cos ϕ = β ⇔ ϕ = arc cos β

Khi â, ta câ: f(0) = cos ϕ = cos 20ϕ

h(β −pβ2 − 1)2

n

+ (β +pβ2 − 1)2

.D¹ th§y c¡c h m sè x¡c ành nh÷ tr¶n thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho

2

h(β −pβ2 − 1)2

n

+ (β +pβ2 − 1)2

, (|β| > 1)V½ dö 1.23 T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : N →R thäa m¢n i·u ki»n

Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n n y câ ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng: t2 − at + 1 = 0,vîi bi»t thùc: ∆ = a2 − 4

• N¸u ∆ > 0 ta ÷ñc nghi»m xn = λn+ 1

λn,trong â λ = a +√a2 − 4 ∈ R∗

• N¸u ∆ = 0 ta ÷ñc nghi»m xn = 2(−1)n = 2 cos nπ

• N¸u ∆ < 0 ta ÷ñc nghi»m xn = 2 cos nϕ, (ϕ ∈ R)

D¹ th§y c¡c h m sè n y ·u thäa m¢n c¡c y¶u c¦u cõa b i ra

N¸u tçn t¤i m, n ∈ N∗ sao cho f(m) 6= f(n) th¼ ta gåi a, b l  2 sè thäam¢n

|f (a) − f (b)| = min |f (m) − f (n)| , m, n ∈N∗ (1.30)

Gi£ sû f(a) > f(b) Ta câ: 2f3(b) < f2(a).f (b) + f (a).f2(b) < 2f3(a).Suy ra f(b) < f(a2 + b2) < f (a) n¶n f(a2 + b2) − f (b) < f (a) − f (b).

2f (1) = 2f (1)f (f (1))dof (1)≥1⇔ f (f (1)) = 1.

Do f l  h m sè çng bi¸n n¶n tø 1 ≤ f(1) ta câ

1 ≤ f (1) ≤ f (f (1)) = 1,n¶n f(1) = 1

Ch֓ng 2

B§t ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü nhi¶n

Tø hai sè d÷ìng x, y ta câ thº lªp ÷ñc c¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh, trong

â c¡c gi¡ trà trung b¼nh th÷íng g°p hìn c£ trong ch÷ìng tr¼nh phê thæng

D§u 00 =00 còng çng thíi x£y ra khi x = y

Tø c¡c ¡nh gi¡ giúa c¡c gi¡ trà trung b¼nh ta th§y khi i < k câ:

• B§t ph÷ìng tr¼nh h m f(ti(x; y)) ≤ f (tk(x; y)) câ nghi»m l  h m sè

Thay x = 0 v o i·u ki»n ¦u b i, ta thu ÷ñc:

Líi gi£i Tr÷îc h¸t ta chùng minh b¬ng quy n¤p k¸t qu£ sau:

f (N0) ≥ n, ∀N0, n ∈ N∗ v  N0 ≥ n (2.2)Vîi n = 1 th¼ (2.1) óng

Gi£ sû (2.1) óng vîi n = k, tùc l :

f (N0) ≥ n; ∀N0, k ∈ N∗ v  N0 ≥ k (2.3)Vîi N0 ≥ k + 1 ⇔ N0 − 1 ≥ k, theo (2.3) th¼ f(N0 − 1) ≥ k

M  f(N0 − 1) ∈N∗ n¶n f(f(N − 1)) ≥ k

M°t kh¡c, theo (2.1) th¼ f(N0) ≥ f (f (N0 − 1)) n¶n

f (N0) > f (f (N0 − 1)) ≥ k

Khi â f(N0) > k hay f(N0) ≥ k + 1 Theo nguy¶n l½ quy n¤p th¼

f (N0) ≥ n, ∀N0, n ∈ N∗ v  N0 ≥ n

Tø â ta ÷ñc f(n) ≥ n, ∀n ∈ N∗ khi l§y N0 = n

K¸t hñp vîi ¦u b i ta ÷ñc:

f (n + 1) > f (f (n)) ≥ f (n), do â f l  h m t«ng thüc sü tr¶n N∗

Do â f(n + 1) > f(f(n)) n¶n n + 1 > f(n)

K¸t hñp c¡c i·u ki»n ta ÷ñc f(n) = n, ∀n ∈ N∗ l  h m sè c¦n t¼m.V½ dö 2.4 X¡c ành c¡c h m sè f(n) thäa m¢n çng thíi c¡c i·u ki»nsau:

Suy ra 1 = g(0) = g(n + (−n)) ≥ g(n)g(−n) ≥ 1, ∀n ∈ N

Do â g(n) ≡ 1, f(n) = e2011n

V½ dö 2.5 Cho tr÷îc a ∈R T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : N →N thäa m¢nc¡c i·u ki»n sau:

Tø (2.4) v  (2.5) suy ra: h(n) ≡ 0 n¶n f(n) ≡ an.

Thû l¤i th§y h m sè f(n) ≡ an thäa m¢n c¡c y¶u c¦u · b i

Líi gi£i Tø gi£ thi¸t suy ra f(n) > n

2, ∀n ∈ N

∗.X²t d¢y sè (an) nh÷ sau: a1 = 1

ta câ: an+1 − an = 1 + an

2

2 − an = (an − 1)2

2 ≥ 0, ∀n ∈ N∗.Suy ra (an) l  d¢y sè t«ng

B¬ng quy n¤p d¹ d ng chùng minh ÷ñc: 0 < an < 1, ∀n ∈ N∗

Vªy d¢y (an) t«ng v  bà ch°n n¶n câ giîi h¤n húu h¤n.

°t a = limx→∞an Tø an+1 = 1 + a

2 n

4f (4f (n) − 3n) ≥ 3 [4f (n) − 3n] ⇒ 4n ≥ 12f (n) − 9n n¶n f(n) ≤ 13n

12 .Nh÷ vªy: 3n

4 ≤ f (n) ≤ 13n

12 , ∀n ∈ N.X²t hai d¢y sè (an) v  (bn) nh÷ sau:

3an+ 14an

Ta chùng minh ÷ñc: lim

n→+∞an = 1; lim

n→+∞bn = 1

Khi â ta ÷ñc: n ≤ f(n) ≤ n, ∀n ∈ N hay f(n) = n, ∀n ∈ N

Thû l¤i ta th§y h m sè vøa t¼m ÷ñc thäa m¢n y¶u c¦u b i ra

2k T÷ìng tü lªp luªn nh÷ tr¶n, tacâ: f(n) ≥ n.

f (n) ≥ n + 1 − 1

2k n¶n f(n) ≥ n + 1, ∀n ∈ N∗.Vªy: f(n) = n + 1, ∀n ∈ N∗

V½ dö 2.10 T¼m f : N∗ → N∗ thäa m¢n c¡c i·u ki»n:

f (n + 2002) ≥ f (n + 2001) + 1 ≥ f (n + 2002) + 2 ≥ ≥ f (n) + 2002.Suy ra f(n) = n + a, (a := f(1) − 1)

Tø gi£ thi¸t (2) ta câ:

Do (2.8) v  (2.9) suy ra: h(n) ≡ 0 n¶n h(n) ≡ 2017n + 4 l  h m sè c¦nt¼m

V½ dö 2.12 Cho c¡c sè thüc a, c, d, chùng tä r¬ng tçn t¤i nhi·u nh§t mët

h m sè f : N →N thäa m¢n i·u ki»n:

f (an + c) + d ≤ n ≤ f (n + d) + c, ∀n ∈ N (2.10)Líi gi£i N¸u a = 0 th¼ tø (2.10) suy ra: f (c) + d ≤ n, ∀n ∈N i·u n ykhæng óng, ch¯ng h¤n khi: n = f(c) + d − 1 Vªy a 6= 0

• Trong (2.10) thay n bði n − c

Thû l¤i ta th§y h m sè f(n) = n − d − c, ∀n ∈ N thäa m¢n (2.10), suy

ra i·u ph£i chùng minh

V½ dö 2.13 Cho a, b ∈N∗ T¼m f : N∗ →N∗ thäa m¢n c¡c i·u ki»n:



1 f (n + a) ≤ f (n) + a

2 f (n + b) ≥ f (n) + b , ∀n ∈ N

∗.Líi gi£i Gi£ sû tçn t¤i h m sè f(n) thäa m¢n y¶u c¦u b i ra B¬ngph÷ìng ph¡p quy n¤p ta d¹ d ng chùng minh ÷ñc

Gi£ sû f(n + a) < f(n) + a suy ra f(n + ab) < f(n) + ab (væ l½)

Vªy f(n + a) = f(n) + a, t÷ìng tü ta công câ f(n + b) = f(n) + b.Gåi d l  ÷îc chung lîn nh§t cõa a v  b Khi â, tçn t¤i x, y ∈ Z sao cho

d = x.a + y.b Tø â ta câ

f (n + d) = f (n + x.a + y.b) = f (n) + x.a + y.b = f (n) + d,

n¶n f(n + d) − (n + d) = f(n) − n

Tø â suy ra h m sè g(n) := f(n) − n tu¦n ho n chu k¼ d = (a; b).Vªy f(n) = g(n) + n, trong â g(n) l  mët h m sè b§t k¼, tu¦n ho nvîi chu k¼ d = (a; b) Ng÷ñc l¤i, vîi f(n) x¡c ành nh÷ tr¶n ta câ:

f (n + a) = g(n + a) + n + a

= g(n + kd) + n + a

= g(n) + n + a

= f (n) + a ≤ f (n) + a

(Do g(n) tu¦n ho n chu k¼ d n¶n g(n + kd) = g(n), ∀n, k ∈N∗.)

T÷ìng tü ta công câ f(n + b) = f(n) + b ≥ f(n) + b Tùc l  h m sè nâitr¶n thäa m¢n h» thùc ¢ cho Vªy ta câ ¡p sè: f(n) = g(n) + n vîi g(n)

l  h m sè tu¦n ho n vîi chu k¼ d = (a; b)

V½ dö 2.14 Cho h m sè f :N →N v  thäa m¢n i·u ki»n:

|f (m + n − f (m)| ≤ m

1 2k

2.3 B§t ph÷ìng tr¼nh h m D'Alembert tr¶n tªp sè tü

nhi¶n

V½ dö 2.17 Cho k l  sè thüc d÷ìng T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : N → Nthäa m¢n c¡c i·u ki»n: Vîi méi sè tü nhi¶n m, n, p th¼

f (mn) + f (np) + f (mp) − k [f (m)f (np) + f (n)f (mp) + f (p)f (mn)] ≥ 3

4k.(2.25)

Líi gi£i Trong (2.25) cho m = n = p = 0 ta ÷ñc:

2k.Trong (2.25) cho m = p = 0 ta ֖c:

12k2

2k, ∀n ∈ N thäa m¢n c¡c y¶u c¦u · b i

V½ dö 2.18 T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : N → N thäa m¢n çng thíi c¡c

i·u ki»n sau:

(1) f(m + n) ≤ f(m) + f(n), ∀m, n ∈ N

(2) f(n) ≤ 0, ∀n ∈ N

Líi gi£i Trong (1) l§y x = y = 0 ÷ñc f(0) ≤ 2f(0) ⇔ f(0) ≥ 0

Theo (2) l¤i câ f(0) ≤ 0 Vªy f(0) = 0

Do â

0 = f (0) = f (n + (−n)) ≤ f (n) + f (−n)

do(2)

≤ 0 n¶n f(n) = 0, ∀n ∈ N.Vªy f(n) ≡ 0 Thû l¤i th§y thäa m¢n

V½ dö 2.19 T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : N∗ → R thäa m¢n:

f (km) + f (kn) − f (k)f (mn) ≥ 1, ∀m, n, k ∈ N∗ (2.28)Líi gi£i Trong (2.28) cho m = n = k = 1, ta ÷ñc

f (k2) ≥ [f (k) − 1]2 + f (k)

t→+∞

ht(f (k) − 1)2i= +∞