Phương pháp sai phân đối với bài toán truyền nhiệt đối lưu không dừng có hệ số liên tục

đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học Tr-ơng tiến hoàng PHƯơng pháp sai phân đối với bài toán truyền nhiệt đối l-u không dừng có hệ số liên tục luận văn thạc sĩ toán học Thái

đại học tháI nguyên

Tr-ờng đại học khoa học

Tr-ơng tiến hoàng

PHƯơng pháp sai phân đối với bài toán truyền nhiệt đối l-u không dừng có hệ số liên tục

luận văn thạc sĩ toán học

Thái nguyên, năm 2013

đại học tháI nguyên

Tr-ờng đại học khoa học

Tr-ơng tiến hoàng

PHƯơng pháp sai phân đối với bài toán truyền nhiệt đối l-u không dừng có hệ số liên tục

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12

Mục lục

1 Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt

1.1 Phát biểu bài toán 1

1.2 Lưới sai phân và hàm lưới 2

1.2.1 Lưới sai phân 2

1.2.2 Hàm lưới 3

1.3 Xấp xỉ các đạo hàm 4

1.4 Phương pháp ẩn 5

1.4.1 Xây dựng phương pháp 5

1.4.2 Bài toán sai phân đối với sai số 6

1.4.3 Sự xấp xỉ 7

1.4.4 Sự ổn định 7

1.4.5 Sự hội tụ 8

1.5 Phương pháp sai phân hiện 8

1.5.1 Xây dựng phương pháp 8

1.5.2 Bài toán sai phân đối với sai số 9

1.5.3 Sự xấp xỉ 10

1.5.4 Sự ổn định 10

1.5.5 Sự hội tụ 11

2 Phương pháp sai phân với bài toán Truyền nhiệt đối

2.1 Bài toán đạo hàm riêng 13

2.2 Lưới sai phân, hàm lưới và đạo hàm lưới 15

2.2.1 Lưới sai phân 15

2.2.2 Hàm lưới 16

2.2.3 Đạo hàm lưới 17

2.3 Bài toán sai phân 17

2.3.1 Ký hiệu chung 17

2.3.2 Xấp xỉ các đạo hàm riêng 18

2.3.3 Phát biểu bài toán sai phân 25

2.4 Phương pháp giải bài toán sai phân 26

2.4.1 Quy bài toán sai phân về dạng hệ phương trình ba đường chéo 26

2.4.2 Phương pháp truy đuổi 30

3 Sự ổn định, hội tụ và sai số 32 3.1 Sự ổn định của phương pháp sai phân 32

3.1.1 Khái niệm về sự ổn định, bất đẳng thức ổn định 36 3.1.2 Xét bài toán 36

3.1.3 Ý nghĩa của bất đẳng thức ổn định 42

3.2 Sự hội tụ và sai số 42

Vì vậy trong trường hợp này chúng ta thường dựa vào các phươngpháp giải gần đúng để tìm nghiệm.

Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãitrong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Nội dung của nó là đưabài toán cần xét về việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phươngtrình sai phân sao cho việc tính toán thuận tiện, đồng thời vẫn đảmbảo được tính ổn định của lược đồ, cũng như đánh giá được tốc độhội tụ của nghiệm gần đúng tìm được tới nghiệm đúng của bài toán.Trong phạm vi của bản luận văn này, tác giả tìm hiểu về phươngpháp sai phân với bài toán Truyền nhiệt đối lưu không dừng có hệ

số liên tục, mà cụ thể được trình bày theo bố cục sau

Chương 1: Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệtmột chiều

Chương 2: Phương pháp sai phân với bài toán Truyền nhiệt đối lưukhông dừng có hệ số liên tục

Chương 3: Sự ổn định, hội tụ và sai số

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa

học - Đại học Thái Nguyên Qua đây tác giả xin gửi lời cảm ơn tớicác thầy cô giáo Khoa Toán ứng dụng, Ban Giám hiệu, Phòng Đàonhà trường đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhấtcho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TSNguyễn Đình Bình, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp

đỡ tác giả có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợptài liệu để hoàn thành luận văn

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồngnghiệp đã động viên, giúp đỡ tác giả quá trình học tập của mình

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránhkhỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của cácthầy cô để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 05 tháng 08 năm 2013

Tác giả

Trương Tiến Hoàng

Chương 1

Phương pháp sai phân giải

phương trình truyền nhiệt một

chiều

Trong chương này tác giả trình bày một số kiến thức chuẩn bị vềbài toán, lưới sai phân, hàm lưới và hai phương pháp cơ bản để giảibài toán sai phân

1.1 Phát biểu bài toán

Cho các số a, b thỏa mãn a < b và T > 0 Xét

QT = (a, b) × (0, T ]; QT = [a, b] × [0, T ]Xét bài toán biên thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt

Phương trình (1.1) là phương trình loại parabol với u(x, t) lànhiệt độ tại vị trí x thời điểm t và phương trình (1.1) là phương

trình truyền nhiệt một chiều với x là biến không gian, t là biến thờigian.

Bài toán (1.1)÷ (1.3) là bài toán vừa có điều kiện ban đầu (điềukiện (1.2)) vừa có điều kiện biên (điều kiện (1.3)) nên đó là bài toánbiên loại 1 đối với phương trình (1.1) Giả sử (1.1)÷ (1.3) có nghiêmduy nhất đủ hơn trong QT

1.2 Lưới sai phân và hàm lưới

1.2.1 Lưới sai phân

Tập tất cả các nút tạo thành một lưới sai phân trên QT.

Lưới trên (a, b]( lưới không gian)

- Tập Ωh = {xi = |i = 1, 2, , N − 1} gọi là tập các nút lân cậntrên [a, b]

- Tập Γh = {xi = |i = 0, N } gọi là tập các nút trên [a, b] Nút 0

- Tập Ωhτ = Ωh× Ωτ là tập các nút trên QT

- Tập Γhτ − = {x0 = a} × Ωτ gọi là tập các nút bên trái

- Tập Γhτ+ = {x0 = b} × Ωτ gọi là tập các nút bên phải

- Tập Γ0hτ = Ωh× {t0 = 0} gọi là tập các nút ban đầu

vậy tập Ωhτ = Ωh× Ωτ là lưới sai phân trên QT

Ta phân lưới sai phân QT thành nhiều lớp

Lớp thứ j tạo bởi các nút ứng cùng một giá trị thời gian tj là

Ωjh = {(xi, tj), i = 0, 1, , N },nút (x0, tj) = (a, tj) với (xN, tj) = (b, ti) là hai nút biên

1.2.2 Hàm lưới

Hàm số xác định tại các nút của một lưới nào đó gọi là hàm lưới.Giá trị của hàm lưới v tại nút (i, j) viết là vij Các giá trị của hàm

lưới v tại các nút của lớp Ωjh tạo thành hàm lưới vj xác định trên

Ωh Ta có

vj = (v0j, v1j, , vjN) ∈ RN +1,,trong tập các hàm lưới này ta xét hai chuẩn

k vj k∞= max

0≤i≤N{|vij|}

k vi k2=

q(vi

0)2 + (vi

1)2 + + (vi

N)2.Mỗi hàm số u(x, t) xác định trên QT có giá trị tại (i, j) là u(xj, tj)

và tạo ra hàm lưới u xác định bởi uji = u(xi, tj)

∂u

∂t(xi, tj+1) + O(τ ), (1.5)u(xi, tj+1) − u(xi, tj)

∂u

∂t(xi, tj + l/2) + O(τ

2), (1.6)u(xi+1, tj) − 2u(xi, tj) + u(xi−1, tj)

2u

∂x2(xi, tj) + O(h2), (1.7)u(xi+1, tj+1) − 2u(xi, tj+1) + u(xi−1, tj+1)

2u

∂x2(xi, tj+1) + O(h2),

(1.8)1

Vậy ta có nhiều cách xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng (1.1)nên ta suy ra có nhiều phương án khác nhau thay thế bài toán viphân bởi bài toán sai phân.

Hình 1.3Cũng như trên ta đặt γ = τ /h2, khi đó (1.11) viết

γvj+1i−1 − (1 + 2γ)vij+1 = −vij − τ f (xi, tj+1) (1.14)Tác dụng của các điều kiện (1.12),(1.13) cũng như ở phương ánhiện: chúng cho vi0, v0j, cjN nhưng ở đây khi biết vij ở lớp j muốntính vij+1 ở lớp j +1 ta phải giải hệ đại số tuyến tính (1.14) đối với

v1j+1, v2j+1, , vj+1N Theo nghĩa đó ta nói phương sai sai phân (1.11),(1.12), (1.13) là một phương pháp ẩn Nó còn có tên là phương pháp

ẩn cổ điển Phương pháp này có sơ đồ ở hình 1.3 Sơ đồ này gọi là

sơ đồ ẩn bốn điểm

Hệ (1.31) là một hệ ba đường chéo có thể giải bằng phương pháptruy hồi

1.4.2 Bài toán sai phân đối với sai số

Gọi v là nghiệm của bài toán sai phân (1.11), (1.12), (1.13) và u

là nghiệm của bài toán vi phân (1.1), (1.2), (1.3)

Đồng thời

zi0 = vi0 − u0i = 0,

z0j = v0j − uj0 = 0,

zNj = vjN − ujN = 0,vậy z thỏa mãn

Lhτz = ϕ, zi0 = 0, z0j = 0, zNj = 0 (1.15)1.4.3 Sự xấp xỉ

Phương trình (1.17) viết

(1 + 2γ)zij = γ(zi−1j + zi+1j ) + zij−1+ τ ϕji

Ta suy ra

(1 + 2γ)|zij| = |γ(zi−1j + zi+1j ) + zij−1+ τ ϕji|,

≤ γ(|zγi−1j| + |zi+1j |) + |zij−1| + τ |ϕji|.

Do đó và các điều kiện biên (1.15)

(1 + 2γ) k zj k∞= γ(k zj k∞ + k zj k∞)+ k zj−1 k∞ +τ k ϕj k∞

(1.19)vậy

Đó là sự hội tụ và đánh giá sai số

1.5 Phương pháp sai phân hiện

Do đó để có vij ≈ u(xi, tj) Dựa vào (1.24), (1.2), (1.3) ta viết bàitoán sai phân sau thay thế cho bài toán vi phân (1.1), (1.2), (1.3)

ẩn vi−1j ; vji; vi+1j ở lớp dưới j theo sơ đồ hình 1.2 Đặt γ = τ /h2 Giải(1.25) ra ẩn vij+1

vij+1 = (1 − 2γ)vij + γ(vi+1j + vi−1j ) + τ f (xi, tj) (1.28)Điều kiện (1.26) cho v0i ở lớp 0 Điều kiện (1.27) cho vj0 và vNj ở

2 nút biên (0, j) và (N, j) của Ωjh vậy (1.25) tức (1.28) và điều kiện(1.27)

Hình 1.21.5.2 Bài toán sai phân đối với sai số

Gọi v là nghiệm của bài toán sai phân (1.25), (1.26), (1.27) và u

là nghiệm của bài toán vi phân (1.1), (1.2), (1.3) Đặt z = v - u thì

z là sai số phương pháp Ta có

Lhτz = Lhτv − Lhτu = f − Lhτu,

Do đó

Lhτz = ϕ, ϕ = f − Lhτu, (1.29)Đồng thời

Do có (1.30),(1.31), ta nói bài toán sai phân (1.25) - (1.27) xấp

xỉ bài toán vi phân (1.1) - (1.3), cấp xấp xỉ là cấp một đối với τ vàcấp hai đối với h

1.5.4 Sự ổn định

Phương trình Lhτz = ϕ ở (1.30) viết

zij+1 = (1 − 2γ)zij + γ(zi+1j + zi−1j ) + τ ϕji,

i = 1, 2, N − 1

Phương trình này có dạng (1.28) trong đó thay v bởi z và f bởi

Do đó, với hạn chế (1.33), sự xấp xỉ (1.31) cho

k zi k∞:=k vi − ui k∞= 0(τ + h2) (1.36)

Đó là sự hội tụ: Khi τ và h dần đến số không mà vẫn luôn tuântheo hạn chế (1.33) thì sai số zj = vj − uj → 0, đồng thời sai số cóđánh giá (1.36) là một vô cùng bé bậc một đối với τ và bậc hai đốivới h

Chương 2

Phương pháp sai phân với bài

toán Truyền nhiệt đối lưu không dừng có hệ số liên tục

Trong chương này sẽ trình bày về "bài toán biên loại 3" (bài toán

về truyền nhiệt trên một thanh vật chất mỏng, đồng chất có chiềudài 1 đơn vị dài, có các hệ số vật lý là các hàm số liên tục trên miềnxét là 1 đơn vị dài và khoảng thời gian là 1 đơn vị thời gian) Đâycũng chính là nội dung chính của luận văn

2.1 Bài toán đạo hàm riêng

Tìm hàm u(x, t) thỏa mãn các điều kiện

∂B

∂t (x, t)

≤ C5,

∂D

∂t (x, t)

≤ C6, (2.6)

C4, C5 là các hằng số dương

Giả sử bài toán (2.1) ÷ (2.4) có nghiệm duy nhất u(x, t) và nghiệm

đó đủ trơn đến cấp cần thiết (đạo hàm liên tục đến cấp 4 đối với x,cấp 2 đối với t)

Nhận xét về bài toán đạo hàm riêng đã đặt ra

∂x là đại lượng đối lưu, B(x, t) là hệ số đối lưu.

Chính vì hai lý do trên mà bài toán đạo hàm riêng (2.1) ÷ (2.4)

có tên gọi là bài toán "khuếch tán - đối lưu"

• Bài toán đạo hàm riêng (2.1) ÷ (2.4) có nghiệm duy nhất u(x, t),hàm u(x, t) chính là hàm nhiệt độ của thanh vật chất ở vị trí x vàthời điểm t

• Hàm A(x, t) không thể khuyết, còn các hàm số khác: hàmB(x, t),,D(x, t) và hàm f (x, t) có thể khuyết trong phương trình(2.1)

• Nếu bài toán cho trên đoạn a ≤ x ≤ b, 0 ≤ t ≤ T thì bằng

cách biến đổi như sau

2.2 Lưới sai phân, hàm lưới và đạo hàm lưới

2.2.1 Lưới sai phân

Đặt QT := {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ T ≤ 1} Theo phương diện hình học,

QT là một hình chữ nhật

Có nhiều cách chia miền QT khác nhau Trong bài này sẽ dùngcách chia đều trên mỗi trục 0x, 0t

Hình 2.1Chia QT thành các miền nhỏ bởi các đoạn thẳng song song vớicác trục 0x, 0t

0x gọi là chiều của không gian (không gian 1 chiều).

0t gọi là chiều của thời gian

Giả sử chia đoạn [0,1] thành N đoạn con bằng nhau với xi = ih,

h = 1

N, h gọi là bước chia theo không gian.

Giả sử chia đoạn [0,1] thành M đoạn con bằng nhau với tj = jτ,

τ = 1

M, τ gọi là bước chia theo thời gian.

Giao điểm của hai đường x = xi và t = tj tạo thành một nút lưới(xi, tj)

Tập các điểm (xi, tj), i = 0, N , j = 0, M gọi là lưới sai phân.Tập hợp nút lưới Ωh, Ωt được xác định

Ωht = Ωht ∪ Γ0 ∪ Γ1 ∪ Γh0.gọi là lưới phủ được QT := {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1}

2.2.2 Hàm lưới

Xét hàm ϕ(x, t) xác định tại mọi (xi, tj), i = 1, N − 1, j giữnguyên

Ta viết ϕji = ϕ(xi, tj), i = 1, N − 1 gọi là hàm lưới,

ϕji = ϕ(xi, tj), i = 1, N gọi là hàm lưới kể cả trên biên x − x0,

x = xN, j = 0, M

2.2.3 Đạo hàm lưới

Đạo hàm lưới của các hàm vij được định nghĩa như sau

(vx)ji = v

j i+1 − vji

h gọi là đạo hàm sai phân tiến theo biến số x.(vx)ji = v

dji = D(xi, tj) ; aji = A(xi − 0.5h, tj) ;(a(+1))ji = aji+1 = A(xi + 0.5h, tj) ;(b+)ji = B

+(xi, tj)A(xi, tj) ; (b

−)ji = B

−(xi, tj)A(xi, tj) ;

4.

2.3.2 Xấp xỉ các đạo hàm riêng

Theo giả thiết, hàm u(x, t) thỏa mãn điều kiện của đạo hàm liêntục đến cấp bốn đối với x, cấp hai đối với t và hàm số A(x, t) thỏamãn điều kiện có đạo hàm liên tục đến cấp ba đối với x và cấp mộtđối với t

Do đó, ta sử dụng được công thức khai triển Taylor cho các hàm

số u(x, t) và A(x, t) như sau

a) Tại các nút lưới trong xi (i 6= 0 và i 6= N )

Khai triển hàm u(x, t) theo t tại điểm (xi, tj) với bước −τ ta có

u(xi, tj−1) = u(xi, tj − τ ) = u(xi, tj) − τ∂u

∂2A

∂x2(xi, tj) + O(h3)

(2.9)

u(xi−h, tj) = A(xi, tj)−h∂u

∂x(xi, tj)+

h22

A(xi+1/2, tj) = A(xi, tj)

A(xi+1/2, tj) = A(xi, tj) − h

2

∂A

∂x(xi, tj) +

h28

nA(xi, tj)∂



A∂u

∂x

(xi, tj)−h

vì (r)ji(1 − R + R2, Rji) = h

2

|B(xi, tj)|

A(xi, tj) và kết hợp công thức (2.13)suy ra

h2

b) Tại nút lưới biên x0 = 0.

Khai triển hàm u(x, t) theo x tại điểm (x0, tj) với bước h ta có

u(x1, tj) = u(x0, tj) = h∂u

∂x(x0, tj) +

h22

A(x0, tj)∂

Đổi dấu hai vế của phương trình này, rồi thêm cả hai vế với σ0(tj)u(x0, tj),

(S0j + (S0j)2)aj1 =

h2

B(0, tj)A(0, tj) +

h2

B(0, tj)A(0, tj)

2A(h/2, tj)

B(0, tj)A(0, tj) +

h2

B(0, tj)A(0, tj)

2A(h/2, tj)

⇔ (S0j + (S0j)2)aj1 = h

2

B(0, tj)A(0, tj)A(0, tj) + O(h

2B(0, tj) + O(h

2).Thay biểu thức này vào (2.18) ta được

Khai triển hàm u(x, t) theo x tại điểm (xN, tj) với bước −h ta có

u(xN −1, tj) = u(xN, tj) − h∂u

∂x(xN, tj) +

h22

A(xN, tj)∂

A∂u

∂x

(xN, tj)+O(h2).Thêm cả hai vế biểu thức này vơi σ1(tj)u(XN, tj) ta có

= A∂u

∂x

(xN, tj) + σ1(tj) u (xN, tj) + O(h2) = gi(tj) (2.20)

Ta có

−A∂u

∂x

(x0, tj) = g0(tj),thay biểu thức này vào (2.20) ta có

(S0j − (S0j)2)ajN =

h2

B(xN, tj)A(xN, tj) −h

2

B(xN, tj)A(xN, tj)

2A(xN − h/2, tj)

vì

ajN = A (xN, tj) = A (xN − h/2, tj) + O (h) ,nên

(S0j−(S0j)2)ajN =

h2

B(xN, tj)A(xN, tj)−h

2

B(xN, tj)A(xN, tj)

2A(xN−h/2, tj)+O(h)

⇔ (S0j−(S0j)2)ajN = h

2

B(xN, tj)A(xN, tj)A(xN, tj)+O(h

2B(xN, tj)+O(h

2)

Thay biểu thức này vào (2.21) ta được

Từ (2.16), ta đặt

Lhτvij = nvt − ravx−b+a(+1)vx+ b−avx+ dvo

j i

l1hτvNj = gj1 + h

2f

j

N, 0 ≤ j ≤ M

Trong đó lhτvji được xác định theo (2.23)

và ta cũng có mối liên hệ sau

2.4 Phương pháp giải bài toán sai phân

2.4.1 Quy bài toán sai phân về dạng hệ phương trình ba

oj

i = fij.hay

vij − vij−1

τ − rij a(+1)

j i

h − (b − a)jiv

j

i − vi−1jh

+ djivij = fij.Suy ra

h2 (rji + h(b+)ji)vij =



fij + v

j−1 i

τ



với γ = τ

h2 = const, ta có

γaji(rij − h(b−)ji)vi−1j − (1 + γaji(rji − h(b−)ji)+

+ γ(a(+1))ji(rij + h(b+)ji) + τ dji)vij++ γ(a(+1))ji(rij + h(b+)ji)vji+1 = −(τ fij + vij−1)

vNj = g1j + h

2f

j N

Do đó (2.32) và (2.33) được viết gọn như sau

Hình ảnh các nút lưới phải tính tại lớp thứ j + 1 trên lưới saiphân có dạng sau

Hình2.2Điều đó có nghĩa là trong một hệ phương trình ba đường chéo (2.31)

và (2.36), khi biết một điểm ở lớp lưới dưới j ta phải tính ba điểm

ở lớp lưới trên j + 1 (j ∈ N∗) Nhưng để tính đầy đủ các nghiệm ởlớp lưới j + 1 ta cũng phải biết đầy đủ các nghiệm ở lớp dưới j.Chính vì lý do đó mà bài toán này được người ta gọi là bài toán

ẩn Phương pháp giải tương ứng với nó gọi là phương pháp ẩn

2.4.2 Phương pháp truy đuổi

Ta tìm nghiệm của hệ trên gồm (2.31) và (2.36) ở dạng

vji+1 = αji+1vi+1j + βi+1j (2.37)với i = i − 1 thì (2.37) có dạng

vi−1j = αjivij + βi+1j Thay vào (2.31) ta có

Pij(αijvij + βi+1j ) − Qjivij + Kijvi+1j = −Φji

⇒ (Pijαji − Qji)vij + Kijvi+1j = −Φji − βi+1j Pij.Giả sử

Pijαji − Qji 6= 0(Điều này luôn đúng và ta sẽ chứng minh được trong chương tiếptheo)

Ta có

vij = K

j i

αji+1 = K

j i

Từ công thức (2.36) ta có: αj1 = P0j, β1j = Φj0 Do vậy mà công thức(2.39) cho phép ta tính được αj1, β1j, i = 1, N tại lớp thứ j.

Từ (2.37), ta cho i = N − 1 suy ra

vN −1j = αNj vNj + βNj ,thay vào biểu thức

vNj = pjNvN −1j + ΦjN.Trong công thức (2.36) ta có

và ta có mối liên hệ sau

2.4 Phương pháp giải toán sai phân< /h3>

2.4.1 Quy toán sai phân dạng hệ phương trình ba

oj... là đại lượng đối lưu, B(x, t) hệ số đối lưu.

Chính hai lý mà tốn đạo hàm riêng (2.1) ÷ (2.4)

có tên gọi tốn "khuếch tán - đối lưu& #34;

• Bài tốn đạo hàm riêng... hàm liêntục đến cấp bốn x, cấp hai t hàm số A(x, t) thỏamãn điều kiện có đạo hàm liên tục đến cấp ba x cấp mộtđối với t

Do đó, ta sử dụng cơng thức khai triển Taylor cho hàm

số u(x,