Phương pháp lặp hiện cho một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banach

81.2 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn.. 141.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 141.2.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Bana

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bường

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iii

1.1 Không gian Banach 41.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn 41.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 71.1.3 Ánh xạ j-đơn điệu 81.2 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh

xạ không giãn 141.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 141.2.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 16

2 Phương pháp lặp hiện cho một lớp bất đẳng thức biến

2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân 192.2 Một số mệnh đề và bổ đề bổ trợ 21

2.3 Phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân trên

tập điểm bất động của một họ vô hạn những ánh xạ không

giãn 222.3.1 Mô tả phương pháp 222.3.2 Định lý hội tụ 23

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

E không gian Banach

E∗ không gian liên hợp của E

D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền giá trị của toán tử A

H không gian Hilbert

C tập con lồi đóng của H

I ánh xạ đơn vị

PC phép chiếu mêtric H lên tập con lồi đóng C của H

xn → x dãy {xn} hội tụ mạnh tới x

xn * x dãy {xn} hội tụ yếu tới x

Mở đầu

Bất đẳng thức biến phân được Stampacchia và các cộng sự đưa ranghiên cứu vào những năm đầu của thập kỷ 60 trong khi nghiên cứubài toán biên của phương trình đạo hàm riêng Từ đó phương pháp bấtđẳng thức biến phân được quan tâm nghiên cứu rộng rãi và trở thànhmột công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các kỹ thuật để giải số cácbài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, bài toán vận tải, lý thuyết tròchơi và nhiều bài toán thuộc lĩnh vực vật lý và kỹ thuật Nhiều bài toántrong toán học được phát triển dưới dạng bất đẳng thức biến phân nhưbài toán bù phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toán tối ưu, bài toán điểmbất động Do vậy việc nghiên cứu bất đẳng thức biến phân và phươngpháp giải bài toán này luôn là đề tài thời sự, được nhiều nhà toán họcquan tâm nghiên cứu

Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựatrên cách tiếp cận thông qua điểm bất động Nội dung của phương phápnày là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bất động củamột ánh xạ nghiệm thích hợp Phương pháp chiếu gradient là một kếtquả theo hướng tiếp cận này bằng cách sử dụng phép chiếu mêtric PC

để xây dựng một dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm của bất đẳng thứcbiến phân Phương pháp này có ưu điểm là dễ lập trình và tốc độ hội tụnhanh Tuy nhiên với phương pháp này thì việc tính toán ánh xạ chiếumêtricPC không đơn giản vì sự phức tạp của tập con lồi đóng bất kỳ C

Để khắc phục khó khăn này, Yamada đã đề xuất phương pháp lai đường

dốc nhất vào năm 2001 để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trêntập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Từ

đó đến nay đã có nhiều công trình nhằm mở rộng hướng nghiên cứu củaYamada để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động củaánh xạ không giãn

Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu kết quả mới đây trong[4] về phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểmbất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trong khônggian Banach lồi chặt, phản xạ, thực với chuẩn khả vi Gâteaux

Nội dung của luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Một số khái niệm cơ bản Chương này đề cập tới một

số khái niệm của không gian Banach, ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc, ánh xạ không giãn, ánh xạ co rút không giãn theo tia, bàitoán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert và bài toán bấtđẳng thức biến phân trong không gian Banach

Chương 2: Phương pháp lặp hiện cho một lớp bất đẳng thứcbiến phân trong không gian Banach Chương này trình bày haiphương pháp lặp hiện mới

Thông qua việc hoàn thành luận văn, tác giả nhận thấy rằng các vấn

đề được đề cập trong luận văn là rất rộng lớn mà trong khuôn khổ củaluận văn chỉ thể hiện được một phần nào Tuy nhiên những vấn đề đượctrình bày trong luận văn sẽ là những kiến thức khởi đầu định hướng chotác giả tiếp cận các vấn đề sau này

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đạihọc Thái Nguyên dưới sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của GS.TSNguyễn Bường Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơnsâu sắc tới Thầy, người đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để hướngdẫn và tạo điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian làm luận văn.Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo

sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin,các thầy cô trong trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tácgiả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu

và công tác của bản thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đếncác thầy cô

Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạođơn vị công tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điềukiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và làmluận văn

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015

Học viênNguyễn Thị Kim Đỗ

Chương 1

Một số khái niệm cơ

bản

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả

về ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ không giãn vàbài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một họ

vô hạn các ánh xạ không giãn Nội dung của chương này được viết dựatrên các tài liệu [1]-[2] và một số tài liệu trích dẫn trong đó

1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn

Định nghĩa 1.1 Nếu không gian tuyến tính định chuẩnE là một khônggian metric đầy đủ (với khoảng cách d (x, y) = kx − yk) thì E được gọi

là không gian Banach hay không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ

E là một không gian Banach với không gian đối ngẫu là E∗, tức là

không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trênE Để đơn giản trongviệc trình bày, chuẩn của E và E∗ được kí hiệu là k.k Chúng tôi viết

hx, x∗i thay vì viết x∗(x) với x∗ ∈ E∗ và x ∈ E Ký hiệu 2E là một họcác tập con khác rỗng của E Cho T là một ánh xạ với miền xác định

là D (T ) và miền giá trị là R (T ) và F ix (T ) là tập điểm bất động củaánh xạ T, nghĩa là

F ix (T ) = {x ∈ D (T ) : T (x) = x}

Ký hiệu mặt cầu đơn vị củaElàSE, trong đóSE = {x ∈ E : kxk = 1} Trước hết ta nhắc lại rằng một không gian Banach E được gọi làkhông gian phản xạ, nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợpthứ hai E∗∗ của E, đều tồn tại phần tử x ∈ E sao cho

2 = 1 suy ra x = y hoặc với mọi x, y ∈ SE và x 6= y ta cóktx + (1 − t) yk < 1 với mọi t ∈ (0, 1)

Định nghĩa 1.3 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi

ε > 0, tồn tại δ (ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E, kxk = 1, kyk = 1,

kx − yk ≥ ε ta luôn có

x + y

2 ≤ 1 − δ (ε)

Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó làkhông gian Banach lồi chặt và phản xạ Tuy nhiên điều ngược lại khôngđúng.

Để đo tính lồi của không gian Banach E, người ta đưa vào khái niệmsau: Môđun lồi của không gian Banach E là hàm số

Nhận xét 1.1 Môđun lồi của không gian Banach E là hàm số xácđịnh, liên tục và tăng trên đoạn [0; 2] Không gian Banach E lồi chặtkhi và chỉ khi δE(2) = 1 Ngoài ra, không gian Banach E là lồi đều khi

và chỉ khi δE(ε) > 0, ∀ε > 0

Mệnh đề 1.1 Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là không gian phảnxạ

Định nghĩa 1.4 Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi

x ∈ SE, tồn tại duy nhất fx ∈ E∗ sao cho hx, fxi = kxk và kfxk = 1.Định nghĩa 1.5 Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn,chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SE nếu với mỗi

a) Nếu E∗ là không gian lồi chặt thì E là không gian trơn.

b) Nếu E∗ là không gian trơn thì E là không gian lồi chặt

Định nghĩa 1.7 Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xácđịnh bởi

ρE(τ ) = sup2−1(kx + yk + kx − yk) − 1 : kxk = 1, kyk = τ .Nhận xét 1.2 Môđun trơn của không gian Banach E là hàm số xácđịnh, liên tục và tăng trên khoảng [0; +∞)

Định nghĩa 1.8 Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu

Từ định nghĩa 1.9 ta có định lý dưới đây:

Định lý 1.2 Cho q là một số thực với 1 < q ≤ 2 và E là một khônggian Banach Khi đó E trơn đều cấp q nếu và chỉ nếu tồn tại một hằng

1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Định nghĩa 1.10 Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn,ánh xạ đa trị J từ E vào E∗, thỏa mãn điều kiện:

J (x) = {x∗ ∈ E∗ : hx, x∗i = kxk kx∗kvàkx∗k = kxk} ,

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian E

Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh

xạ đồng nhất I

Nhận xét 1.3 Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kì E, taluôn có J (x) 6= ∅ với mọi x ∈ E, điều này suy ra trực tiếp từ hệ quảcủa Định lý Hahn - Banach

Mệnh đề dưới đây đề cập đến một số tính chất đơn giản của ánh xạđối ngẫu chuẩn tắc J của không gian tuyến tính định chuẩn E

Mệnh đề 1.2 Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn và J làánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó Khi đó,

(i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J (−x) = −J (x) , ∀x ∈ E;

(ii) J là thuần nhất dương, tức là J (λx) = λJ (x) , ∀λ > 0, ∀x ∈ E;(iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của E thì J (D) làmột tập hợp bị chặn trong E∗;

(iv) Nếu E∗ là lồi chặt thì J là đơn trị;

(v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi vàchỉ khi E là không gian Banach trơn đều

Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta kí hiệu

nó bởi j

1.1.3 Ánh xạ j-đơn điệu

Định nghĩa 1.11 Ánh xạ A : E → E được gọi là

(i) j-đơn điệu (accretive) nếu tồn tại j (x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hA (x) − A (y) , j (x − y)i ≥ 0, ∀x, y ∈ D (A) ;

(ii) j-đơn điệu ngặt nếu dấu bằng ở bất đẳng thức trên chỉ đạt được khi

Thật vậy với mọi x, y ∈ E, x 6= y ta có

hI (x) − I (y) , j (x − y)i = hx − y, j (x − y)i

Vì hx − y, j (x − y)i = kx − yk2 nên I là ánh xạ j-đơn điệu

Định nghĩa 1.13 Ánh xạ A được gọi là giả co nếu

kA (x) − A (y)k2 ≤ kx − yk2 + k(I − A) (x) − (I − A) (y)k2, (1.2)với mọi x, y ∈ D (A) , trong đó I là ánh xạ đồng nhất

Dễ thấy, mọi ánh xạ giả co đều là ánh xạ không giãn.

Định nghĩa 1.14 Ánh xạ A : E → E được gọi là ánh xạ λ-giả co chặtnếu với mỗi x, y ∈ D (A), tồn tại j (x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hAx − Ay, j (x − y)i ≤ kx − yk2 − λkx − y − (Ax − Ay)k2, (1.3)với mỗi λ ∈ (0, 1)

Ta thấy (1.3) có thể được viết lại như sau:

h(I − A) (x) − (I − A) (y) , j (x − y)i ≥ λk(I − A) (x) − (I − A) (y)k2

Sau đây là định nghĩa ánh xạ đơn điệu

Định nghĩa 1.15 Cho A : D (A) ⊂ X → X∗, ánh xạ A được gọi là(i) Ánh xạ đơn điệu nếu

hA (x) − A (y) , x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D (A) ;(ii) η-đơn điệu mạnh nếu

hA (x) − A (y) , x − yi ≥ ηkx − yk2, ∀x, y ∈ D (A)

Bổ đề 1.2 Cho E là một không gian Banach trơn thực và A : E → E

.(ii) Nếu A là ánh xạ δ-j-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1thì I − A là ánh xạ co với hằng số

r

1 − δ

λ .(iii) Nếu A là ánh xạ δ-j-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1thì với số cố định bất kỳ τ ∈ (0, 1), I − τ A là ánh xạ co với hằng

số I − τ I −

r

1 − δλ

!

kA (x) − A (y)k ≤ k(I − A) (x) − (I − A) (y)k + kx − yk + kx − yk

≤



1 + 1λ

.ii) Từ (1.3) và (1.4), ta có

λk(I − A) (x) − (I − A) (y)k2 ≤ kx − yk2 − hA (x) − A (y) , J (x − y)i

≤ (1 − δ) kx − yk2

Vì δ + λ > 1 ⇔ 1 − δ

λ ∈ (0, 1) , nênk(I − A) (x) − (I − A) (y)k ≤

r

1 − δλ

!

Dưới đây, chúng tôi sẽ đề cập đến khái niệm ánh xạ co rút khônggiãn theo tia cùng với một số tính chất cơ bản của nó

Định nghĩa 1.16 Cho E là một không gian Banach và C là một tậpcon lồi đóng của E Một ánh xạ QC : E → C được gọi là

a) co rút nếu Q2C(x) = QC(x) , ∀x ∈ E;

b) co rút không giãn nếu QC là co rút và là một ánh xạ không giãn,tức là

kQC(x) − QC(y)k ≤ kx − yk , ∀x, y ∈ E;

c) co rút không giãn theo tia nếu QC là một co rút không giãn vàthỏa mãn tính chất

QC(QC(x) + t (x − QC(x))) = QC (x) , ∀x ∈ E, t ∈ (0; 1) Định nghĩa 1.17 Một tập con lồi đóng C của không gian Banach Eđược gọi là:

a) co rút của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút từ E lên C;

b) co rút không giãn của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút khônggiãn từ E lên C;

c) co rút không giãn theo tia của E nếu tồn tại một ánh xạ co rútkhông giãn theo tia từ E lên C

Mệnh đề 1.3 Cho E là một không gian Banach lồi đều Khi đó, mọitập con lồi đóng khác rỗng C của E đều là tập co rút của E

Ánh xạ co rút từ E lên C trong Mệnh đề 1.3 chính là phép chiếumêtric PC : E → C được xác định bởi

kc − PC(x)k = inf

u∈C

kx − uk , với mọi x ∈ C

Mệnh đề dưới đây khẳng định sự tồn tại ánh xạ co rút không giãn

từ không gian Banach E lên tập con lồi đóng của nó

Mệnh đề 1.4 Cho E là một không gian Banach trơn với dim (E) ≥ 3.Khi đó, mọi tập con lồi đóng C của E với int (C) 6= ∅, đều là tập con

co rút không giãn của E

Dễ thấy rằng nếu C là một tập con lồi và đóng trong không gianHilbertH, thì phép chiếu mêtricPC : H → C xác định bởikx − PCxk =inf

u∈Ckx − uk với mọi x ∈ H là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ

H lên C Tuy nhiên điều này không còn đúng trong không gian Banach.Dưới đây, chúng tôi sẽ giới thiệu một số kết quả về lớp ánh xạ co rútkhông giãn theo tia trên không gian Banach

Mệnh đề 1.5 Mọi tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach

2 chiều E, đều là tập co rút không giãn theo tia của E

Mệnh đề 1.6 Cho E là một không gian Banach phản xạ với chuẩn khả

vi Gâteaux đều Nếu C là một tập con co rút không giãn của E, thì C

là tập con co rút không giãn theo tia của E

Mệnh đề 1.7 Cho E là một không gian Banach trơn và cho C là mộttập con lồi và đóng của E Một ánh xạ QC : E → C là co rút khônggiãn theo tia khi và chỉ khi

hx − QC(x) , j (ξ − QC(x))i ≤ 0, ∀x ∈ E, ∀ξ ∈ C

Nhận xét 1.4 Từ Mệnh đề 1.7 suy ra, nếuE là một không gian Banachtrơn và C là tập con co rút không giãn theo tia của E, thì ánh xạ corút không giãn theo tia QC : E → C là duy nhất

Cuối cùng trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm α-đồngbức

Định nghĩa 1.18 ChoC là một tập con đóng, lồi, khác rỗng của khônggian Banach E Với α > 0, một ánh xạ A : C → E được gọi là α-đồngbức nếu với mọi x, y ∈ C, ta có

hAx − Ay, J (x − y)i ≥ αkAx − Ayk2

điểm bất động của ánh xạ không giãn

1.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian HilbertCho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng h., i vàchuẩn k.k,C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H, và F : H → H

là một ánh xạ phi tuyến Bài toán bất đẳng thức biến phân được phátbiểu như sau: Tìm điểm u∗ ∈ C sao cho

V I (F, C) : hF (u∗) , v − u∗i ≥ 0, ∀v ∈ C

Nếu F là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C, thì bàitoán V I (F, C) có nghiệm duy nhất Bài toán V I (F, C) tương đươngvới phương trình điểm bất động

u∗ = PC(u∗ − µF (u∗)) , (1.5)

trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0là hằng số tùy ý.Nếu F là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C và µ > 0

đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (1.5) là ánh xạ co Do

đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp Picard

xn+1 = PC(xn− µF (xn)) ,hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán V I (F, C) Phương phápnày được gọi là phương pháp chiếu Tuy nhiên phương pháp này lạikhông dễ dàng thực thi vì sự phức tạp của tập lồi C bất kỳ

Để khắc phục nhược điểm này, Yamada đã đưa ra phương pháplai đường dốc nhất để giải bài toán V I (F, C) Ý tưởng của ông đượctrình bày như sau: Cho C là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn