Nguyên lý so sánh đối với toán tử monge ampère phức trong các lớp cegrell

Toán tử Monge-Ampere phức dd c.n đối với lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, một khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế vị đã được E.. Đồng thời các

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www lrc.tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -

ĐẶNG VĂN THẮNG

NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www lrc.tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -

ĐẶNG VĂN THẮNG

NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC

PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN - 2017

http://www lrc.tnu.edu.vn/

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào

Tác giả

Đặng Văn Thắng

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo

điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên

để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 06 năm 2017

Tác giả

Đặng Văn Thắng

Toán tử Monge-Ampere phức (dd c.)n đối với lớp hàm đa điều hòa dưới

bị chặn địa phương, một khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế vị đã được E Berfod và B.A Taylor [4] đã xây dựng từ Năm 1982 Đồng thời các tác giả đã thiết lập và sử dụng nguyên lý so sánh để nghiên cứu các bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge - Ampere phức trong

( )

loc

PSH ÇL¥ W Bài toán mở rộng miền xác định của toán tử Monge-Ampere

đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả Năm 1998, Cegrell [5]

đã định nghĩa các lớp năng lượng E F E trên đó toán tử Monge-Ampere phức 0, p, phoàn toàn xác định Năm 2004, Cegrell [6] đã định nghĩa các lớp ,E F và chỉ ra rằng lớp E là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của toán tử Monge-Ampere phức (dd c.)n Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử Monge – Ampère xác định, liên

tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới Các lớp này còn được gọi là các lớp Cegrell Nghiên cứu các lớp này dẫn đến nhiều kết quả như nguyên lý so sánh, giải bài toán Dirichlet [7], sự hội tụ theo dung lượng…

Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: “Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampere phức trong các lớp Cegrell ”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại các kết quả của N.V Khue và P.H Hiep ([14]) về Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampere phức trong các lớp Cegrell

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo Các kiến thức cơ sở và các kết quả trong chương 1 được trích dẫn và tham khảo trong tài liệu [1]

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về một số tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn Kết quả chính của chương là Định lý 2.4.2 và một vài nguyên lý so sánh kiểu Xing Trong mục 2.1, chúng tôi nhắc lại một số lớp Cegrell Trong mục 2.2, nhắc lại khái niệm dung lương và sự hội tụ theo dung lượng Mục 2.3, trình bày các nghiên cứu về sự hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới theo C - n dung lượng Mệnh đề 2.3.3 là kết quả tương

tự nguyên lý so sánh của Xing ([7]) Trong Định lý 2.3.5, chúng tôi trình bày điều kiện đủ đối với sự hội tụ theo C - n dung lượng của dãy các hàm đa điều hòa dưới trong lớp F Áp dụng Định lý 2.3.5, ta có các kết quả về sự hội tụ của các hàm Green đa cực và tiêu chuẩn đối với tính đa cực Mục 2.4 tập trung vào các Định lý 2.4.2 và 2.4.9 Áp dụng Định lý 2.4.2, ta có một vài kết quả về các lớp Cegrell Trong Định lý 2.4.4, trình bày ước lượng địa phương đối với độ đo Monge – Ampere theo nghĩa dung lượng tương đối Bedford-Taylor Trong phần

áp dụng, trong Định lý 2.4.5 đã chỉ ra kết quả phân rã các độ đo Monge – Ampere, tương tự Định lý 6.1 ([5]) Cuối cùng từ Mệnh đề 2.3.3 và Định lý 2.4.2, ta có nguyên lý so sánh kiểu Xing đối với lớp F và E

http://www lrc.tnu.edu.vn/

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

3 Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

http://www lrc.tnu.edu.vn/

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

4

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm đa điều hoà dưới

Định nghĩa 1.1.1 Cho W là một tập con mở của £n và u :W® - ¥ ¥é , )

một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và n

b Î £ , hàm l a u a( + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥ trên mỗi thành phần của tập hợp {l Î £ : a + l bÎ W}

Kí hiệu PSH W là lớp tất cả các hàm đa điều hoà dưới trong ( ) W

Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:

Mệnh đề 1.1.2 Nếu , u v Î PSH( )W và u = v hầu khắp nơi trong W, thì u º v

Mệnh đề 1.1.3 Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền

bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của £n và

( )

u Î PSH W , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z Î W,

( ) sup lim sup ( )

y y

u là đa điều hoà dưới trong W

Mệnh đề 1.1.5 Giả sử WÌ £n là tập mở, w Ì W là tập con mở thực sự, khác

rỗng của W Giả sử u Î PSH( ), W v Î PSH w( ) và lim supx®y v x( ) £ v y( )

với mọi y Î ¶ Ç Ww Khi đó

ax{ , } t rong \

m u v

u trong

w w

w

ìïï

= íï

Wïî

là hàm đa điều hoà dưới trên W

Chứng minh Rõ ràng w là nửa liên tục trên trên W Chỉ cần chứng tỏ nếu

Chứng minh tương tự cho trường hợp a Î W\ wW, ở đó wW là bao đóng của w

lấy trong W Chỉ cần xét trường hợp a Î wWÇ W Khi đó ( )w a = u a( )

ii Cho u Î PSH( )W , v Î PSH( )W , và v > 0 trong W Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi

và tăng dần, thì v u f ( / )v là đa điều hoà dưới trong W

Định lý 1.1.7 Cho W là một tập con mở của £n và F = {z Î W: ( )v z = - ¥ }

là một tập con đóng của W ở đây v Î PSH( )W Nếu u Î PSH( \W F) là bị chặn trên, thì hàm u xác định bởi

ïïïïî

là đa điều hoà dưới trong W

Hàm (u E,W)* là đa điều hoà dưới trong W

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối

Mệnh đề 1.2.2 Nếu E1 Ì E2 Ì W Ì W thì 1 2

u W ³ u W ³ u W

Định nghĩa 1.2.3 Miền bị chặn WÌ £ gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một hàm n

đa điều hoà dưới âm, liên tục :r W® - ¥( , 0) sao cho với " >c 0

Chứng minh Nếu r < 0 là một hàm vét cạn đối với W, thì với số M > 0 nào

đó, M r < - 1 trên E Như vậy M r £ u E,W trong W Rõ ràng, lim ( ) 0

z z

w r

® = và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm

Mệnh đề 1.2.5 Nếu WÌ £ là miền siêu lồi và K Ì W là một tập compact n

h e

u- e £ max{u - e r, }£ v e £ u

tại mỗi điểm trong W

Mệnh đề 1.2.6 Cho WÌ £n là tập mở liên thông, và E Ì W Khi đó các điều kiện sau tương đương :

( )i u E*,Wº 0;

( )ii Tồn tại hàm v Î PSH( )W âm sao cho E Ì {z Î W: ( )v z = - ¥ }

xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa 1

1.3 Toán tử Monge-Ampère phức

Giả sử WÌ £ và n u Î PSH( )W Nếu 2

( )

u Î C W thì toán tử:

với dV là yếu tố thể tích trong Cn gọi là toán tử Monge-Ampere Toán tử này

có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C W trên 0( ) W

và gọi là toán tử Monge-Ampe của u

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe

cận mở của K và j Î C V0( ), 0£ j £ 1 và j = 1 trên K Khi đó

c Viết E = IntE È ¶E Khi đó

( ) (int ) lim inf j(int ) lim inf j( )

1.4 Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor

Định lý 1.4.1 Giả sử WÌ £ là miền bị chặn và , n u v Î PSH( )W ÇL¥ ( )W sao

cho lim inf( ( ) ( )) 0

e > tồn tại K Ð sao cho W " Î Wz \ K thì ( )u z - v z( )³ - Hơn nữa khi e

thay u bởi u + d d, > 0, thì {u + d< v}Z {u < v} khi d ] 0 Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng trên {u + d< v} thì cho d ] 0 suy ra (1.1) đúng trên {u < v}

Vì vậy có thể giả sử lim inf( ( ) ( )) 0

z u z v z d

® ¶ W - ³ > Vậy {u < v}Ð W

u z + ³e v z + >d v z với z gần biên ¶W Vậy u e = u z( )+ e gần biên

¶W và ue ] v trên W¢ Theo công thức Stokes ta có

v các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của w giảm tới u

và v sao cho u j ³ v k trên ¶w với mọi i k, Có thể coi - £1 u v j, k £ 0 Lấy 0

e > và giả sử G Ì W là tập mở sao cho C G n( , )W < e, u v , là các hàm liên tục trên W\ G Theo Định lí Tietze tồn tại hàm j liên tục trên W sao cho v = j

trên W Khi đó u ³ v trên W

Chứng minh Đặt y( )z = z 2- M , với M được chọn đủ lớn sao cho y < 0 trên

W Giả sử {u < v}¹ Æ Khi đó có e > 0 sao cho {u < v + ey}¹ Æ và do

đó nó có độ đo Lebesgue dương Theo Định lí 1.4.1 ta có

và ta gặp phải mâu thuẫn Vậy u £ v trên W W

Hệ quả 1.4.3 Giả sử WÌ £ là miền bị chặn và , n u v Î PSH( )W ÇL¥ ( )W sao

cho lim inf( ( ) ( )) 0

http://www lrc.tnu.edu.vn/

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

18

Chương 2 NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC TRONG CÁC LỚP CEGRELL

Chương này trình bày nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Amoere phức trong các lớp Cegrell Kết quả chính của chương là Định lý 2.4.2 và một vài nguyên lý so sánh kiểu Xing Đó là tổng quát hóa Bổ đề 5.4 trong [5], Bổ đề 7.2 trong [2] và Bổ đề 3.4 trong [7]

E= E( )W = {j Î P SH- ( ) : zW " 0 Î W tồn tại lân cận w của z , 0

j j Î E , 0 j j ] j trên W sao cho sup ( c j)n

Trong [6], Cegrell đã chứng minh rằng

2.2 Sự hội tụ theo dung lượng

Định nghĩa 2.2.1 C - n Dung lượng theo nghĩa Bedford và Taylor của E đối với W được xác định bởi

với mọi tập hợp Borel E trong W

Trong [4], Bedford và Taylor đã chứng minh

* ,

Các khái niệm sau được tham khảo trong [15] và [16]

Định nghĩa 2.2.2 Dãy hàm u j trên W được gọi là hội tụ tới một hàm u theo

n

C - dung lượng trên E Ì W nếu với mọi d > 0, ta có:

C n( {z Î E : u z j( )- u z( ) > d} )® 0 khi j ® ¥

với mọi wÎ PSH( ), 0W £ w£ 1 với mọi dòng dương, đóng T

Chứng minh Trước tiên, ta giả sử u v, Î PSH ÇL¥ ( )W, u £ v trên W và u = v trên W\ K , K Ð W Áp dụng công thức Stokes ta có:

Trong trường hợp tổng quát, với mỗi e > 0, đặt v e = max( ,u v - e) Khi đó

v e Z v trên W, v e ³ u trên W và v e = u trên W\ K với K Ð W Do đó

1(v e u dd)k c w T k (1 w)(v e u)k- dd u c T

Trong trường hợp tổng quát, với mỗi e > 0 đặt v e = max( ,u v - e) Khi đó

v e Z v trên W, v e ³ u trên W và v e = u trên W\ K với K Ð W Do đó

với t ³ j ³ 1 Theo Mệnh đề 5.1 trong [6], cho t ® ¥ trong bất đẳng thức

b Cho , W G là các tập con mở sao cho K ÐG ÐW Ð W Theo chú ý sau

Định nghĩa 4.6 trong [6] ta có thể chọn một hàm v%Î F sao cho v% ³ v và v %= v

Vì u = v = v% trên W \ K nên ta có u%Î PSH-( ).W Dễ thấy u%Î F, u%£ v% và

n B

u u dd h d

£ ò

*

!( ) ( ) ( )

j K

g A ® khi j ® ¥ theo C - n dung lượng

Chứng minh Theo giả thiết, ta có:

Theo Định lý 2.3.5 ta có g A( j) ® khi 0 j ® ¥ theo C - Dung lượng n

Phần này kết thúc với tiêu chuẩn về tính đa cực

< + ¥

ò Khi đó tồn tại một hằng số A > 0 sao cho:

http://www lrc.tnu.edu.vn/

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

29

*) ( lim j) ,

u là các hàm Green đa cực đã được

D.Conan, N.Levenberg và A.Poletsky chứng minh trong Định lý 4.1 của [10]

2.4 Một vài tính chất của các lớp Cegrell và ứng dụng

ii Þ i Ta chỉ cần chứng minh m = 0 trên mỗi X d = {f > d> 0 } Theo Định

lý phân hoạch Hahn, tồn tại các tập con đo được X d+ và X d- của X d sao cho

,

X d = X d+ ÈX d- X d+ ÇX d- = Æ và m ³ 0 trên X

d

+, m £ 0 trên X

d

Ta có:

trong đó T j = dd u c 1j Ù Ù dd u c n j-1 Theo Hệ quả 5.2 trong [6], ta có:

max(u - a, 0)dd c max(u a j, )ÙT j ® max(u- a, 0)dd cmax( , )u a ÙT ,

max( , )

dd u v Ù =T dd u ÙT trên {u > a > v}

b Lập luận tương tự như ) a W

B

i òdd u Ù Ùdd u = O C B với mọi tập hợp Borel B Ì W¢ÐW ;

http://www lrc.tnu.edu.vn/

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

34

/ 1

c éC B ù

Do đó

Định lý 2.4.5 Cho u1, ,u Î E n Khi đó tồn tại a

u%Î E sao cho

Chứng minh Áp dụng trực tiếp Định lý 2.4.5 ta sẽ có kết quả

Nguyên lý so sánh đối với lớp F đã được nghiên cứu trong [7] và [12], [13] Tuy nhiên bằng cách dùng Mệnh đề 2.3.3 và Định lý 2.4.2, ta cũng nhận được nguyên lý so sánh dạng Xing đối với lớp F

http://www lrc.tnu.edu.vn/

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

38

với mọi w j Î PSH( ), 0W £ w j £ 1,j = 1, , ,k w k+1, ,w n Î F và mọi r ³ 1

Chứng minh Cho e > 0, đặt v%= max( ,u v- e) Theo )a trong Mệnh đề 2.3.3

u v

r w dd u

<

-với mọi v Î E, r ³ 1 và với mọi w1, w n Î PSH( ), 0W £ w1, ,w n £ 1

Chứng minh Cho (W là một dãy tăng vét cạn các tập con compact tương đối j)của W Đặt

sánh Xing đối với lớp E

Định lý 2.4.9 Cho u v Î E, và 1 £ k £ n sao cho lim ( ) ( ) 0

http://www lrc.tnu.edu.vn/

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

42

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày:

- Tổng quan và hệ thống các kết quả về một số tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor

- Khái niệm về các lớp Cegrell, các khái niệm dung lương và sự hội tụ theo dung lượng Sự hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới theo C - dung n

lượng Kết quả tương tự nguyên lý so sánh của Xing ([7]) (Mệnh đề 2.3.3)

- Điều kiện đủ đối với sự hội tụ theo C - n dung lượng của dãy các hàm đa điều hòa dưới trong lớp F (Định lý 2.3.5)

http://www lrc.tnu.edu.vn/

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

43

- Áp dụng Định lý 2.3.5, ta có các kết quả về sự hội tụ của các hàm Green

đa cực và tiêu chuẩn đối với tính đa cực

- Kết quả chính của luận văn là Định lý 2.4.2 và một vài nguyên lý so sánh kiểu Xing Áp dụng Định lý 2.4.2, ta có một vài kết quả về các lớp Cegrell Trong Định lý 2.4.4, chúng tôi đã trình bày ước lượng địa phương đối với

độ đo Monge – Ampere theo nghĩa dung lượng tương đối Bedford-Taylor Trong phần áp dụng, Định lý 2.4.5 đã chỉ ra kết quả phân rã các độ đo Monge – Ampere Cuối cùng là nguyên lý so sánh kiểu Xing đối với lớp

F và E được suy ra từ Mệnh đề 2.3.3 và Định lý 2.4.2

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TIẾNG VIỆT

[1] Nguyễn Quang Diệu và Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa thế vị ,

Nxb Đại học sư phạm Hà Nội

TIẾNG ANH

[2] ˚Ahag P (2002), The complex Monge-Amp`ere operator on bounded

hyperconvex domains, Ph.D Thesis, Ume˚a University

[3] Bedford E and Taylor B.A (1976), “The Dirichlet problem for the

complex Monge-Amp`ere operator”, Invent Math 37, 1-44

[4] Bedford E and Taylor B.A (1982), “A new capacity for

plurisubharmonic functions”, Acta Math., 149, 1-40