Nguyên lý biến phân đối với bài toán biên thứ nhất của phương trình elliptic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCLƯƠNG THỊ DUNG NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC... 26 2 Phương pháp biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ DUNG

NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN

ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Đàotạo khoa học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin, Trường Đạihọc Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã quan tâm và giúp đỡ tácgiả trong suốt thời gian học tập tại trường.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sau sắc tới P GS.T S Hà TiếnNgoạn, thầy đã rất tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tác giả trong suốtthời gian tác giả thực hiện luận văn và trực tiếp hướng dẫn tácgiả hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đãcảm thông, luôn theo sát động viên, ủng hộ và chia sẻ những khókhăn trong suốt thời gian tác giả học tập và làm luận văn, giúp

tác giả có điều kiện tốt nhất trong quá trình học tập và làm luậnvăn.

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 7 năm 2012

Tác giảLương Thị Dung

Mục lục

1.1 Một số không gian hàm 9

1.1.1 Không gian Lp(Ω) 9

1.1.2 Không gian H1,2(Ω) 10

1.1.3 Không gian H01,2(Ω) 10

1.2 Phiếm hàm toàn phương trong H01,2(Ω) 19

1.3 Phiếm hàm trong H01,2(Ω) 25

1.4 Phiếm hàm lồi 26

2 Phương pháp biến phân đối với bài toán biên Dirich-let cho phương trình elliptic cấp 2 33 2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet 33

2.1.1 Bài toán Dirichlet 33

2.1.2 Nghiệm suy rộng 34

2.1.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng 342.2 Nguyên lý Dirichlet 352.3 Phương pháp Galerkin tìm nghiệm gần đúng 372.3.1 Trường hợp g ≡ 0 trên ∂Ω 372.3.2 Trường hợp g 6= 0 trên ∂Ω 39

Mở đầu

Nghiệm suy rộng của bài toán biên Drichlet của phương trìnhelliptic cấp 2 trong miền Ω được định nghĩa trong không gian

H1,2(Ω) là hàm số gồm những hàm số mà các đạo hàm riêng đếncấp 1 là bình phương khả tích trong Ω Người ta đã chứng minhrằng nghiệm suy rộng này có liên quan chặt chẽ đến cực tiểu hóacủa phiếm hàm năng lượng tương ứng

Luận văn trình bày nguyên lý biến phân đối với bài toán biênthứ nhất cho phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 Các vấn đềđược đề cập trong luận văn được tập hợp từ [1]

Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luậnvăn gồm có hai chương

Phần đầu chương 1 Luận văn trình bày một số kiến thức chuẩn

bị như không gian H1,2(Ω) và H01,2(Ω) các phiếm hàm trong cáckhông gian này Phần tiếp theo, Luận văn trình bày sự tồn tại

và duy nhất phần tử cực tiểu hóa của phiếm hàm Phần cuối củachương 1, Luận văn trình bày điều kiện cần và đủ để một phần

tử là cực tiểu hóa

Trong chương 2, Luận văn trình bày nguyên lý biến phân đốivới bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp 2 Nguyên

lý Dirichlet được phát biểu như sau: Hàm u(x) ∈ H1,2(Ω), u(x) =g(x) trên ∂Ω là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet khi và chỉkhi nó là cực tiểu hóa của phiếm hàm năng lượng tương ứng.

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

Rn Không gian Euclidean n chiều

Rd Không gian Euclidean d chiều

Wd Thể tích của hình cầu đơn vị trong Rd

W12(Ω) Không gian sinh ra bởi tích vô hướng

Khi đó Lp(Ω) là không gian Banach.

Không gian L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng sau

(f, g)L2 (Ω) =

Z

Ω

Giả sử các số p và q thỏa mãn các điều kiện

Định nghĩa 1.1.1 Giả sửΩ ⊂ Rdlà miền bị chặn vàu ∈ L1loc(Ω).Hàm v ∈ L1loc(Ω) gọi là đạo hàm yếu của u theo biến xj nếu



u(y)dy

Trong W1,2(Ω) ta định nghĩa tích vô hướng

W 1,2 (Ω)

Hệ quả 1.1.5 W1,2(Ω) là đầy đủ với chuẩn || · ||W1,2 (Ω) và do đó

W1,2(Ω) = H1,2(Ω)

Chứng minh Giả sử (un)n∈N là dãy Cauchy trong W1,2(Ω), khi

đó (un)n∈N, (Diun)n∈N, (i = 1, , d) là dãy Cauchy trong L2(Ω)

Vì L2(Ω) là đầy đủ, tồn tại u, vi ∈ L2(Ω) với un → u, Diun → vi

trong L2(Ω), (i = 1, , d)

f0(u) Vì f0 cũng bị chặn, tích phân cuối cùng hội tụ tới 0 cho

n → ∞ bởi định lý Lebesgue trên sự hội tụ do đó

f (un) → f (u) trong L2(Ω)

Lấy tích phân theo ω

Chứng minh Ta cần tìm hàm ωn, ⊂ C1(Ω), cho bất kì  > 0 saocho

||un − ωn,||W1,2 (Ω) < 

và

||ωn,||W1,2 (Ω) ≤ C1, (1.9)

(hằng số C1 phụ thuộc vào  nhưng không phụ thuộc vào n),bởi định lý Ascoli dãy (ωn,)n∈N chứa dãy con hội tụ đều, do đócũng trong L2 Cố định cho mỗi  > 0, bao đóng của (un)n∈N làcompact trongL2(Ω) và chứa dãy con hội tụ Ứng dụng kết quảbao đóng của dãy(ωn,)n∈N ta kết luận luôn tồn tại nhiều hữu hạn

zv, v = 1, , N trong L2 Như vậy cho mỗi n ∈ N

∂

∂rωn(x − rω)

∂rωn(x − rω)

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử (H(·, ·)) là không gian Hilbert vớichuẩn || · ||

A : H × H → R là dạng song tuyến tính, đối xứng, liên tục sao

cho

|A(u, v)| ≤ C||u||||v|| (1.11)Tính đối xứng có nghĩa là ∀u, v ∈ H

A(u, v) = A(v, u) (1.12)Dạng A gọi là eliptic nếu tồn tại một số λ dương sao cho ∀v ∈ H

A(v, v) ≥ λ||v||2 (1.13)

Định lý 1.2.2 Giả sử (H, (·, ·)) là không gian Hilbert với chuẩn

|| · || và V ⊂ H là lồi và đóng, A : H × H → R là hàm liên tục,

đối xứng, eliptic Cho dạng tuyến tính L : H → R là ánh xạ tuyến

tính liên tục Đặt

J (v) := A(v, v) + L(v) (1.14)Khi đó tồn tại duy nhất cực tiểu hóa u của phiếm hàm J (v) trongV

Chứng minh Do tính eliptic của A nên J bị chặn dưới

Cho n, m → ∞ thì J (un), J (um) hội tụ đến k Ta kết luận

Chứng minh Giả sử u là điểm cực tiểu hóa củaJ (v) trong V Khiđó

Ngược lại, nếu cố định u ∈ V và với mọi ϕ ∈ V ta có

J (u + tϕ) = J (u) + t(2A(u, ϕ) + L(ϕ) + t2A(ϕ, ϕ) ≥ J (u)

Suy ra u là cực tiểu hóa

Định lý 1.2.5 Giả sử A : H × H → R liên tục, đối xứng, eliptic,

dạng song tuyến tính, giả sử L : H →R là tuyến tính và liên tục.

Cho v ∈ V ta thu được

Dưới đây ta xét vấn đề tìm cực tiểu hóa gần đúng

Định lý 1.2.6 Giả sử A : H × H → R là liên tục, đối xứng,

eliptic, dạng song tuyến tính trên không gian Hilbert (H(·, ·)) vớichuẩn || · ||, và giả sử L : H → R là liên tục, đối xứng, eliptic,

dạng song tuyến tính trên không gian Hilbert (H(·, ·)) với chuẩn

|| · ||, giả sử L : H →R là tuyến tính và liên tục.

Ta xét bài toán biến phân sau:

mà đã thu được trong Định lý 1.2.5 Khi đó (un)n∈N hội tụ khi

n → ∞ tới nghiệm của bài toán

Hệ quả 1.3.1 Giả sử Ω là mở và bị chặn và hàm aij(x)(i, j =

1, , d) và C(x) thỏa mãn các điều kiện (1)-(4) ở trên Khi đó bàitoán biến phân

Nhận xét 1.4.2 Định lý trên có thể đưa về trường hợp g = 0

với phép biến đổi ω = u − g và

2k Do đó, ta sẽ luôn giả thiết g = 0.

Ta sẽ có một số tích chất đầu tiên của tích phân biến phân.Trong 2 bổ đề tiếp theo, hàm v được giả thiết là giá trị trong Rd

Bổ đề 1.4.3 Giả sử f như trong Định lý 1.4.1 nhưng với (ii)được làm yếu thành

ii’) f (x, ·) là liên tục với ∀x ∈ Ω

Và giả thiết (iii) chỉ cần k ∈ R, nhưng không cần k > 0 Khi đóhàm

J (x) :=

Z

Ω

f (x, v(x))dx

là hàm nửa liên tục dưới trên L2(Ω,Rd)

Chứng minh Nếu v trong L2 là đo được, vì f (x, v) là liên tục, cóquan hệ với v, f (x, v(x)) là đo được bởi một kết quả cơ bản trongphép lấy tích phân

Giả sử(vn)n∈N hội tụ đếnv trongL2(Ω,Rd), chọn dãy con (vn)

hội tụ đến v theo từng điểm bởi tính liên tục của f

Bổ đề 1.4.4 Giả sử f như trong Định lý 1.4.1 trong đó khôngcần giả thiết k trong (iii) là dương Khi đó

Bổ đề 1.4.3 và Bổ đề 1.4.4 kéo theo kết quả sau

Bổ đề 1.4.5 Giả sử f như trong Định lý 1.4.1, song không cầngiả thiết k > 0 và giả thiết g = 0 Khi đó

I(u) =

Z

Ω

f (x, Du(x))dx

là phiếm hàm lồi, nửa liên tục dưới trên H01,2(Ω)

Bổ đề 1.4.5 và Định lý 1.4.1 là hệ quả của định lý sau

Định lý 1.4.6 Giả sử H là không gian Hilbert với chuẩn || · ||,giả sử phiếm hàm

Chứng minh Giả sử (yn)n∈N là dãy giảm thiểu cho (1.22)

I(yn) + λ||u − yn||2 → inf

y∈H(I(y) + λ||u − y||2)

Bởi định nghĩa của Iλ(u), vế phải của (1.24)lớn hơn hoặc bằng

Iλ(u), cho k = m, n, I(yk) + λ||u − yk||2 hội tụ đến Iλ(u), do sựlựa chọn của dãy (yk), cho k → ∞ kéo theo ||ym − yn||2 → 0 khi

m, n → ∞ Suy ra (yn)n∈N là dãy Cauchy và nó hội tụ đến giớihạn uλ duy nhất Vì || · ||2 là liên tục và I là nửa liên tục dưới, uλ

là cận dưới đúng trong (1.22), cố định (1.23) Nếu uλ bị chặn cho

λ → 0, tính chất cực tiểu hóa này kéo theo

lim

λ→0J (uλ) = inf I(y) (1.26)cho dãy λn → 0, (uλn) là dãy cực tiểu hóa cho I

Giả sử 0 < λ1 < λ2, từ định nghĩa của uλ1

I(uλ2) + λ1||u − uλ2||2 ≥ I(uλ1) + λ1||u − uλ1||2

và

I(uλ2) + λ2||u − hλ2||2

≥ I(uλ1) + λ2||u − uλ1||2 + (λ1 − λ2)(||u − uλ1||2 − ||u − uλ2||2)

vì uλ2 cực tiểu hóa I(y) + λ2||u − y||2 và λ < λ2 mà ||u − uλ1||2 ≥

||u − uλ2||2, nghĩa là ||u − uλ||2 là hàm giảm củaλ bởi vì biểu thức

là bị chặn, do giả thiết nó hội tụ khi λ & 0

Cho  > 0 ta thấy λ0 > 0, cho 0 < λ1, λ2 < λ0

... 2

Phương pháp biến phân tốn biên Dirichlet cho

phương trình elliptic cấp 2

2.1.1 Bài tốn Dirichlet

Tìm nghiệm u(x) thỏa mãn phương trình