Định lí tách với điều kiện về phần trong tựa tương đối và áp dụng cho điều kiện tối ưu và đối ngẫu

Do thíi gian v ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khæng tr¡nhkhäi nhúng thi¸u sât... Cho mët khæng gian... Ngay lªp tùc ta th§y r¬ng: n¸u K l mët khæng gian con th¼ ta câ Ko công l mët k

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

NGUY™N THÀ HƒI ANH

ÀNH L TCH VÎI I—U KI›N V—

PH†N TRONG TÜA T×ÌNG ÈI V€ P DÖNG

CHO I—U KI›N TÈI ×U V€ ÈI NGˆU

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Th¡i Nguy¶n - 2014

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

NGUY™N THÀ HƒI ANH

ÀNH L TCH VÎI I—U KI›N V—

PH†N TRONG TÜA T×ÌNG ÈI V€ P DÖNG

CHO I—U KI›N TÈI ×U V€ ÈI NGˆU

Chuy¶n ng nh: TON ÙNG DÖNG

M¢ sè: 60 46 01 12

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

H÷îng d¨n khoa håcPGS TS É V‹N L×U

Th¡i Nguy¶n - 2014

Möc löc

1 ành l½ t¡ch vîi i·u ki»n v· ph¦n trong tüa t÷ìng èi

1.1 Ph¦n trong tüa t÷ìng èi 31.2 ành l½ t¡ch vîi i·u ki»n v· ph¦n trong tüa t÷ìng èi 81.3 p döng cho èi ng¨u cõa b i to¡n tèi ÷u ìn möc ti¶u 10

2 C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b§t ¯ng thùc Ky Fan mð

2.1 i·u ki»n tèi ÷u 152.2 p döng cho b i to¡n tèi ÷u vectì y¸u 232.3 p döng cho èi ng¨u cõa b i to¡n tèi ÷u vectì y¸u 25

Mð ¦u

Trong gi£i t½ch lçi v  nhi·u l¾nh vüc kh¡c nh÷ gi£i t½ch h m, gi£it½ch phi tuy¸n, tèi ÷u hâa , c¡c ành l½ t¡ch hai tªp lçi câ mët và tr½r§t quan trång Trong gi£i t½ch lçi, câ hai ành l½ t¡ch ch½nh, (xem [1]).Trong ành l½ t¡ch thù nh§t ta sû döng i·u ki»n mët trong hai tªplçi ph£i câ ph¦n trong kh¡c réng C¥u häi ÷ñc °t ra l : N¸u ph¦ntrong cõa c£ hai tªp lçi ·u b¬ng réng th¼ li»u câ thº t¡ch ÷ñc haitªp lçi khæng t÷ìng giao trong khæng gian væ h¤n chi·u hay khæng?C¥u tr£ líi l  câ Mîi ¥y, Cammaroto v  Di Bella [5] ¢ chùng minhmët ành l½ t¡ch mîi düa tr¶n kh¡i ni»m ph¦n trong tüa t÷ìng èi ºthay th¸ cho ph¦n trong i·u n y d¨n ¸n c¡c k¸t qu£ mîi v· i·uki»n tèi ÷u v  èi ng¨u ¥y l  · t i ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥mnghi¶n cùu Ch½nh v¼ th¸ tæi chån · t i: " ành l½ t¡ch vîi i·u ki»nv· ph¦n trong tüa t÷ìng èi v  ¡p döng cho i·u ki»n tèi ÷u v  èing¨u"

Luªn v«n tr¼nh b y ành l½ t¡ch vîi i·u ki»n v· ph¦n trong tüat÷ìng èi v  ¡p döng trong lþ thuy¸t c¡c i·u ki»n tèi ÷u v  èi ng¨u.Luªn v«n bao gçm ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng, k¸t luªn v  danh möcc¡c t i li»u tham kh£o

Ch÷ìng 1 ành l½ t¡ch vîi i·u ki»n v· ph¦n trong tüa t÷ìng èi v 

¡p döng cho lþ thuy¸t èi ng¨u

Tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ v· ph¦n trong tüa t÷ìng èi cõa Borwein Lewis [2] v  c¡c k¸t qu£ cõa Cammaroto - Di Bella [5] v· ành l½ t¡ch,trong â ph¦n trong ÷ñc thay th¸ b¬ng ph¦n trong tüa t÷ìng èi v 

-¡p döng cho èi ng¨u cõa b i to¡n tèi ÷u câ r ng buëc trong tr÷ínghñp lçi væ h¤n chi·u vîi mët i·u ki»n ch½nh quy thay th¸ cho i·u

Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤ihåc Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa PGS TS é V«nL÷u Em xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c v· sü tªn t¥m

v  nhi»t t¼nh cõa Th¦y trong suèt qu¡ tr¼nh em thüc hi»n luªn v«n

Em xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, pháng  o t¤o Khoahåc v  Quan h» quèc t¸, Khoa To¡n - Tin tr÷íng ¤i håc Khoa håc,

¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ quan t¥m v  gióp ï em trong suèt thíi gianhåc tªp t¤i tr÷íng

Em công xin gûi líi c£m ìn ¸n gia ¼nh, b¤n b± v  c¡c çng nghi»p

¢ ëng vi¶n, gióp ï em trong qu¡ tr¼nh håc tªp cõa m¼nh

Do thíi gian v  ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khæng tr¡nhkhäi nhúng thi¸u sât Em r§t mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa c¡c th¦y

cæ º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, ng y 23 th¡ng 07 n«m 2014

T¡c gi£

Nguy¹n Thà H£i Anh

Ch֓ng 1

ành l½ t¡ch vîi i·u ki»n v· ph¦n trong tüa t÷ìng èi v  ¡p döng

cho lþ thuy¸t èi ng¨u

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ v· ph¦n trong tüa t÷ìng èi cõaBorwein - Lewis [2] v  c¡c k¸t qu£ cõa Cammaroto - Di Bella [5] v·

ành l½ t¡ch, trong â ph¦n trong ÷ñc thay th¸ b¬ng ph¦n trong tüat÷ìng èi v  ¡p döng cho èi ng¨u cõa b i to¡n tèi ÷u câ r ng buëctrong tr÷íng hñp lçi væ h¤n chi·u vîi mët i·u ki»n ch½nh quy thayth¸ cho i·u ki»n Slater thæng th÷íng

1.1 Ph¦n trong tüa t÷ìng èi

Trong c¡c b i to¡n tèi ÷u lçi væ h¤n chi·u, câ thº x£y ra tr÷íng hñpc¡c ành l½ t¡ch thæng th÷íng khæng thº sû döng ÷ñc, ch¯ng h¤n,ph¦n trong cõa h¼nh nân d÷ìng trong Lp,

C = {u ∈ Lp(T, µ) : u(t) ≥ 0, h.k.n},

l  réng V¼ lþ do n y, vîi mët tªp lçi, Borwein v  Lewis [2] ¢ x¥ydüng kh¡i ni»m v· ph¦n trong tüa t÷ìng èi â l  sü mð rëng cõakh¡i ni»m ph¦n trong t÷ìng èi trong khæng gian húu h¤n chi·u.Chóng ta s³ b­t ¦u vîi c¡c tªp lçi trong Rn Cho mët khæng gian

vectì X v  tªp C ⊂ X, ta k½ hi»u nân sinh bði C l :

coneC = {λx | x ∈ C, λ ∈ R, λ ≥ 0}

Nh­c l¤i [1]: Ph¦n trong t÷ìng èi (relative interior) cõa tªp A ⊂ Rn

l  ph¦n trong cõa A trong aff A, k½ hi»u l  riA, trong â aff A l  baoaffine cõa tªp A

Do â, cone(C − ¯x) = affC − ¯x v  l  mët khæng gian con

M°t kh¡c, gi£ sû ¯x /∈ riC Khi â câ thº t¡ch ho n to n ¯x vîi C:

∃y ∈ Rn sao cho

Chùng minh.

N¸u C l  mët khæng gian con th¼ clC = C Ng÷ñc l¤i, n¸u C 6= clC

v  clC l  mët khæng gian con th¼ C n¬m trong nûa khæng gian ângcõa clC ([10], H» qu£ 11.5.2), m  i·u n y l  khæng thº

Do â, trong m»nh · 1.1.1, ta câ thº thay th¸ b¬ng cone(C − ¯x)

âng i·u n y d¨n ¸n ành ngh¾a v· ph¦n trong tüa t÷ìng èi Tø

¥y, X s³ l  mët khæng gian vectì tæpæ Hausdorff v  X∗ l  khæng giantæpæ èi ng¨u gçm t§t c£ c¡c phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc tr¶n X.Ph¦n tû khæng cõa X∗ ÷ñc k½ hi»u l  θX ∗

Gi£ sû C l  mët tªp con lçi cõa X v  ¯x ∈ C Khi â, ¯x ∈ qriC n¸u

v  ch¿ n¸u NC(¯ l  mët khæng gian con tuy¸n t½nh cõa X∗

Ngay lªp tùc ta th§y r¬ng: n¸u K l  mët khæng gian con th¼ ta câ

Ko công l  mët khæng gian con N¸u L l  mët khæng gian con th¼ ta

câ oL công l  mët khæng gian con.

B¥y gií, ta câ: Vîi φ ∈ X∗, φ(x − ¯x) ≤ 0, vîi måi x ∈ C n¸u v ch¿ n¸u φ(u) ≤ 0, vîi måi u ∈ cl(cone(C − ¯x)), do t½nh li¶n töc cõa φ.Vªy,

NC(¯x) = cl(cone(C − ¯x))o.M°t kh¡c, theo ành l½ l÷ïng cüc (xem [9]), ta câ:

Gi£ sû C v  D l  2 tªp con lçi cõa X sao cho qriC 6= ∅, qriD 6= ∅

v  x0 ∈ C, ¯x ∈ qriC, α ∈ R v  λ ∈ [0, 1) Khi â,

(a) qriC + qriD ⊆ qri(C + D),

(h) cl[cone(qriC)] = cl(coneC), n¸u qriC 6= ∅

º l m rã hìn v· kh¡i ni»m ph¦n trong tüa t÷ìng èi chóng ta nh­cl¤i c¡c ành ngh¾a sau (xem [6])

ành ngh¾a 1.1.2

Gi£ sû C l  tªp con lçi cõa X

(i) H¤ch (core) cõa C l 

coreC := {x ∈ C | cone(C − x) = X}

(ii) H¤ch ch­c ch­n (intrinsic core) cõa C l 

irc(C) := {x ∈ C | cone(C − x)

l  khæng gian con tuy¸n t½nh cõa X }.(iii) Ph¦n trong tüa t÷ìng èi m¤nh (strong - quasi relative interior)cõa C l 

sqriC := {x ∈ C | cone(C − x)

l  khæng gian con tuy¸n t½nh âng cõa X }.(iv) Tüa ph¦n trong (quasi - interior) cõa C l 

qiC := {x ∈ C | cl[cone(C − x)] = X}

C¡c bao h m sau óng (xem [6]):

intC ⊆ coreC ⊆ sqriC ⊆ icrC ⊆ qriC ⊆ C,

v 

intC ⊆ coreC ⊆ qiC ⊆ qriC ⊆ C

N¸u X l  húu h¤n chi·u th¼

qriC = sqriC = icrC = riC,

Gi£ sû X l  khæng gian lçi àa ph÷ìng câ thù tü bë phªn ÷ñc x¡c

ành bði nân lçi C vîi cl(C − C) = X v  X∗ ÷ñc x¡c ành thù tü

bë phªn bði C∗ Khi â, ¯x ∈ qriC n¸u v  ch¿ n¸u φ(¯x) > 0 vîi måi

Vªy, −φ ∈ NC(¯

Tø ành l½ 1.1.1, ta câ φ ∈ NC(¯ , n¶n

φ(x − ¯x) ≤ 0, vîi måi x ∈ C,hay l 

φ(x) ≤ 0, vîi måi x ∈ C

Nh÷ng v¼ φ ∈ C∗, n¶n φ(x) = 0, vîi måi x ∈ C

V¼ vªy, φ(x) = 0, vîi måi x ∈ cl(C − C) = X Do â, φ = 0 i·u

n y m¥u thu¨n vîi φ 6= 0

Ng÷ñc l¤i, n¸u ¯x /∈ qriC Tø ành l½ 1.1.1, vîi φ n o â thuëc X∗,

ta câ:

−φ(x − ¯x) ≤ 0, vîi måi x ∈ C,vîi b§t ¯ng thùc ch°t cho ¯x n o â thuëc C Tø â suy ra φ 6= 0 v 

φ ≥ 0 Nh÷ vªy, n¸u φ(¯x) > 0 ta câ:

−φ(1

2x − ¯¯ x) > 0.

i·u n y l  væ lþ Vªy, φ(¯x) = 0 Ta câ i·u ph£i chùng minh

ành l½ 1.1.3 l  t½nh ch§t quan trång vîi mët iºm thuëc ph¦n trongtüa t÷ìng èi cõa mët nân lçi Nâ s³ ÷ñc sû döng º chùng minh c¡ck¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng ti¸p theo

1.2 ành l½ t¡ch vîi i·u ki»n v· ph¦n trong tüa t÷ìng èi

Trong ph¦n n y, chóng tæi s³ tr¼nh b y ành l½ t¡ch li¶n quan ¸nph¦n trong tüa t÷ìng èi cõa mët tªp lçi

ành l½ 1.2.1

Gi£ sû S v  T l  nhúng tªp con lçi khæng réng cõa X vîi qriS 6= ∅,qriT 6= ∅ thäa m¢n cl[cone(qriS −qriT )] khæng l  mët khæng gian contuy¸n t½nh cõa X Khi â, tçn t¤i Φ ∈ X∗ \ {θX∗} sao cho

Φ(s) ≤ Φ(t), vîi måi s ∈ S, t ∈ T

l  khæng gian con tuy¸n t½nh cõa X∗, ngh¾a l  NC(θX) 6= {θX∗} Khi

â, ∃Φ ∈ NC(θX) sao cho Φ 6= θX ∗ V¼ vªy,

Suy ra, θX ∈ A \ qriA

Tø tr÷íng hñp tr¶n, ta câ ∃Φ ∈ X∗\ {θX∗} sao cho

x∗(x) ≥ x∗(x0), vîi måi x ∈ M.

Nhªn x²t 1.2.1

Sü ki»n sau nâi chung khæng óng: N¸u tçn t¤i Φ ∈ X∗\ {θX∗}t¡ch

S v  T th¼ cl[cone(qriS − qriT )] khæng l  mët khæng gian con tuy¸nt½nh cõa X

º th§y i·u n y, chóng ta x²t mët v½ dö ìn gi£n Cho

X =R2, S = {(x, y) ∈ R : 2x + 3y ≥ 0}, T = {(0, 0)}

Rã r ng S v  T l  tªp lçi v  qriT = {(0, 0)} Hìn núa, h m tuy¸nt½nh li¶n töc

Φ(x, y) = 2x + 3y, ∀(x, y) ∈ R2,t¡ch S v  T , nh÷ng cl[cone(qriS − qriT )] = S khæng l  khæng giancon tuy¸n t½nh cõa R2

1.3 p döng cho èi ng¨u cõa b i to¡n tèi ÷u ìn möc ti¶uB¥y gií, chóng ta ¡p döng ành l½ 1.2.1 cho mët b i to¡n tèi ÷u câ

r ng buëc

Gi£ sû X l  khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh thüc v  S l  tªp con khængréng cõa X; (Y, k.k) l  khæng gian ành chu©n thüc câ thù tü bë phªn

÷ñc x¡c ành bði mët nân lçi C; f : S → R v  g : S → Y l  hai

h m thäa m¢n (f, g) : S → R× Y l  convexlike theo nân R+× C cõa

R× Y (ngh¾a l , tªp (f(S) + [0, +∞)) × (g(S) + C) l  lçi) v  tªp r ngbuëc T = {x ∈ S : g(x) ∈ −C} l  khæng réng

X²t c¡c b i to¡n tèi ÷u câ r ng buëc sau:

Theo [7] n¸u C câ ph¦n trong khæng réng (intC 6= ∅), b i to¡n (P )

l  gi£i ÷ñc v  i·u ki»n Slater suy rëng thäa m¢n; tùc l  n¸u tçn t¤imët vectì ¯x ∈ S vîi g(¯x) ∈ −intC th¼ b i to¡n (P∗) l  gi£i ÷ñc v gi¡ trà h m möc ti¶u cõa 2 b i to¡n l  b¬ng nhau

Tuy nhi¶n, i·u ki»n Slater câ thº khæng thäa m¢n V¼ th¸, chóng

ta sû döng ành l½ 1.2.1 º x¥y düng ành l½ èi ng¨u cho tr÷íng hñpintC câ thº b¬ng ∅ v  thay v o â ta sû döng qriC

ành l½ 1.3.1

Gi£ sû

• X l  khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh thüc v  S l  tªp con khæng réngcõa X;

• (Y, k.k) l  khæng gian ành chu©n thüc vîi thù tü bë phªn ÷ñc x¡c

ành bði mët nân lçi C;

• tªp T = {x ∈ S : g(x) ∈ −C} khæng réng.

M°t kh¡c, gi£ sû r¬ng qriC 6= ∅ v  cl(C − C) = Y

N¸u b i to¡n (P ) l  gi£i ÷ñc v  tçn t¤i ¯x ∈ S vîi g(¯x) ∈ −qriC th¼

b i to¡n (P∗) công gi£i ÷ñc v  gi¡ trà h m möc ti¶u cõa 2 b i to¡n

l  b¬ng nhau

Chùng minh

Theo gi£ thi¸t, tªp

(f (S) + [0, +∞)) × (g(S) + C) := A × B,

l  lçi Hìn núa, theo ph¦n (c) cõa ành l½ 1.1.2,

qri(A × B) = qriA × qriB = intA × qri[g(S) + C]

Do intA 6= ∅, ta câ qri(A × B) 6= ∅

Bði v¼ (P ) gi£i ÷ñc, ∃x0 ∈ T sao cho

f (x0) ≤ f (x), ∀x ∈ T

Ta câ cl{cone[qri(A × B) − (f(x0), θY)]} khæng l  mët khæng giancon tuy¸n t½nh cõa R × Y p döng ành l½ 1.2.1, ∃µ v  ∃u ∈ Y∗ vîi(µ, u) 6= (0, θY∗) v 

µf (x0) ≤ µ(f (x1) + α) + u(g(x2) + y), (1.2)vîi måi x1, x2 ∈ S, α ≥ 0, y ∈ C

V¼ g(x0) ∈ −C v  u ∈ C∗, ta câ:

u(g(x0)) ≤ 0

Vªy, u(g(x0)) = 0

Chån x1 = x2 = x0 v  y = θY, tø b§t ¯ng thùc (1.2), chóng ta câ

µα ≥ 0, vîi måi α ≥ 0 Do â, µ ≥ 0

Gi£ sû µ = 0 Khi â, tø b§t ¯ng thùc (1.2) vîi y = θY, ta câ:

inf

x∈S[f (x) + ¯u(g(x))] ≥ f (x0) + ¯u(g(x0))

Vªy, ¯u ∈ C∗ l  mët nghi»m cõa b i to¡n èi ng¨u (P∗) v  gi¡ trà

h m möc ti¶u cõa 2 b i to¡n l  b¬ng nhau

Ch֓ng 2

C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b§t ¯ng thùc Ky Fan mð rëng vîi c¡c r ng buëc nân

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët d¤ng mð rëng cõa b§t

¯ng thùc Ky Fan B i to¡n n y bao gçm c¡c b i to¡n tèi ÷u vectì,c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì, c¡c b i to¡n bò vectì v c¡c b i to¡n iºm y¶n ngüa nân nh÷ c¡c tr÷íng hñp °c bi»t Nhi·uk¸t qu£ ÷ñc thi¸t lªp cho b§t ¯ng thùc Ky Fan v· sü tçn t¤i nghi»m,t½nh °t ch¿nh, ph¥n t½ch ë nh¤y v  i·u ki»n tèi ÷u

Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b y c¡c i·u ki»n tèi ÷ucho nghi»m cõa b§t ¯ng thùc Ky Fan mð rëng (EKF) vîi r ng buëcnân v  affine b¬ng c¡ch sû döng ành l½ t¡ch c¡c tªp lçi düa tr¶n ph¦ntrong tüa t÷ìng èi ¢ tr¼nh b y trong ch÷ìng 1 C¡c k¸t qu£ ÷ñc

¡p döng cho b i to¡n tèi ÷u vectì vîi r ng buëc nân v  affine v  lþthuy¸t èi ng¨u cõa b i to¡n tèi ÷u vectì y¸u C¡c k¸t qu£ ÷ñc tr¼nh

b y trong ch÷ìng n y l  cõa Cap«t« [6]

2.1 i·u ki»n tèi ÷u

Gi£ sû X l  mët khæng gian tuy¸n t½nh thüc; Y, Z v  W l  c¡ckhæng gian lçi àa ph÷ìng t¡ch Hìn núa, gi£ sû S ⊆ X l  mët tªp lçi

v  khæng réng, f : S × S → Y , g : S → Z v  h : S → W l  c¡c h m

Khæng gian Y ÷ñc trang bà thù tü bë phªn bði nân C nhån, lçi v 

câ intC 6= ∅; Z ÷ñc trang bà thù tü bði nân lçi K; Y∗ l  khæng gian

èi ng¨u cõa Y

Chóng ta nghi¶n cùu b§t ¯ng thùc Ky Fan mð rëng:

T¼m ¯a ∈ A sao cho f(¯a, b) /∈ −intC, vîi måi b ∈ A, (EKF)trong â A := {x ∈ S | g(x) ∈ −K v  h(x) = 0} l  tªp c¡c nghi»mch§p nhªn ÷ñc cõa (EKF)

Möc ti¶u cõa ph¦n n y l  tr¼nh b y c¡c i·u ki»n tèi ÷u c¦n v  õ

º mët iºm l  mët nghi»m cõa b i to¡n (EKF) Chóng ta s³ düatr¶n c¡c t½nh ch§t cõa ph¦n trong tüa t÷ìng èi cõa c¡c nân lçi v 

ành l½ t¡ch vîi i·u ki»n ph¦n trong tüa t÷ìng èi khæng réng cõaCammaroto v  Di Bella [5] ¢ ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng 1 º chùngminh c¡c k¸t qu£ ch½nh

Gi£ sû M l  tªp con lçi cõa Y , qriM l  ph¦n trong tüa t÷ìng èicõa M Nân ph¡p tuy¸n cõa tªp con lçi M cõa Y t¤i y0 ∈ Y ÷ñc x¡c

ành nh÷ sau

NM(y0) := {y∗ ∈ Y∗ | y∗(y − y0) ≤ 0, ∀y ∈ M }

Nh­c l¤i: ψ : A → Y ÷ñc gåi l  C - h m n¸u v  ch¿ n¸u, vîi måi

a1,a2 ∈ A v  måi t ∈ [0, 1],

ψ(ta1 + (1 − t)a2) ≤C tψ(a1) + (1 − t)ψ(a2)

Khi C chùa (ho°c b¬ng, ho°c ÷ñc chùa trong) orthant khæng ¥m, th¼

"C - h m" ÷ñc gåi l  "C - lçi" (ho°c "lçi", ho°c "C - lçi ch°t"); Khi

C chùa (ho°c b¬ng, ho°c ÷ñc chùa trong) orthant khæng d÷ìng, th¼

"C - h m" ÷ñc gåi l  "C - lãm" (ho°c "lãm", ho°c "C - lãm ch°t").Ti¸p theo, chóng ta ÷a v o gi£ thi¸t sau:

Gi£ thi¸t (A) :

v  i·u ki»n ch½nh quy:

Vîi måi (z∗, w∗) ∈ K∗ × W∗ \ {(0, 0)}, tçn t¤i x ∈ S sao cho

z∗(g(x)) + w∗(h(x)) < 0 (RC)

ành l½ 2.1.1

Gi£ sû qri((g, h)(S) + K × {0}) 6= ∅ iºm a ∈ A l  mët nghi»mcõa (EKF) n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i (y∗, z∗, w∗) ∈ C∗\ {0} × K∗× W∗sao cho

Gi£ sû a ∈ A l  mët nghi»m cõa (EKF) v 

M := {(y, z, w) ∈ Y × Z × W : ∃x ∈ S sao cho

y ∈ f (a, x) + intC, z ∈ g(x) + K v  w = h(x)}.Vîi méi x ∈ S, chån y := f(a, x) + c, z := g(x) + k v  w := h(x),trong â c ∈ intC v  k ∈ K, ta câ:

M 6= ∅,

v 

(z, w) ∈ (g, h)(S) + K × {0}

º ch¿ ra t½nh lçi cõa tªp M, gi£ sû (y1, z1, w1), (y2, z2, w2) ∈ M v 

t ∈ [0, 1] Vªy, ta câ x1, x2 ∈ S sao cho

y1 ∈ f (a, x1) + intC, z1 ∈ g(x1) + K v  w1 = h(x1),

v 

y2 ∈ f (a, x2) + intC, z2 ∈ g(x2) + K v  w2 = h(x2)

V¼ S lçi v  f l  C - h m theo bi¸n thù hai, chóng ta suy ra

ty1 + (1 − t)y2 ∈ f (a, tx1 + (1 − t)x2) + intC (2.1)M°t kh¡c, do K v  S lçi, g l  mët - K - h m, v  h l  affine n¶n tacâ:

tz1 + (1 − t)z2 ∈ g(tx1+ (1 − t)x2) + K, (2.2)

v 

tw1+ (1 − t)w2 = h(tx1+ (1 − t)x2) (2.3)

Do â, tø (2.1),(2.2) v  (2.3) ta suy ra M lçi

Theo gi£ thi¸t qri((g, h)(S) + K × {0}) 6= ∅, cho n¶n tçn t¤i

y0 − c ∈ f (a, x) + intC, vîi måi c ∈ intC ∩ U

Do â, (y0 − c, z0, w0) ∈ M, vîi måi c ∈ intC ∩ U Tø (2.4), ta câ:

y∗(c) ≥ 0, vîi måi c ∈ intC ∩ U (2.6)

Cè ành c0 ∈ intC ∩ U Khi â, tçn t¤i l¥n cªn c¥n V cõa 0 trong

i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi (z∗, w∗) ∈ N(g,h)(S)+K×{0}(z0, w0) V¼

N(g,h)(S)+K×{0}(z0, w0)l  mët khæng gian con tuy¸n t½nh cõa Z∗×W∗,

Do qriM ⊆ M, ta câ: (0, 0, 0) /∈ qriM.

Theo h» qu£ 1.2.1, tçn t¤i

(y∗, z∗, w∗) ∈ Y∗× Z∗ × W∗ \ {(0, 0, 0)},sao cho b§t ¯ng thùc sau ¥y óng

y∗(y) + z∗(z) + w∗(w) ≥ 0, vîi måi (y, z, w) ∈ M (2.8)Vîi méi c ∈ intC v  vîi méi t > 0, (y + tc, z, w) công thuëc M Tø(2.8), ta câ:

y∗(y) + z∗(z) + w∗(w)

∗(c) ≥ 0,vîi måi c ∈ intC v  t > 0

Cho t → ∞ trong b§t ¯ng thùc tr¶n, do cl(intC) = C, ta nhªn

Khi â, (z0, w0) ∈ (g, h)(S)+K ×{0} v  (2.10) m¥u thu¨n vîi (2.9).Vîi måi c ∈ intC, k ∈ K v  t > 0, ta câ:

(f (a, a) + tc, g(a) + tk, h(a)) ∈ M