Điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán quy hoạch phi tuyến

Để dẫn các điều kiện cần tối ưu người ta thường sử dụng một công cụhữu hiệu là các định lý tách các tập lồi không tương giao hoặc các định lý luân phiên Theorems of the alternative về sự

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐỖ VĂN LƯU

THÁI NGUYÊN - 2010

Chương 2 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU KHI KHÔNG GIẢ THIẾTĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY 92.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 92.2 CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ TỐI ƯU KHI KHÔNG

GIẢ THIẾT ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY 19

Chương 3 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU KHI GIẢ THIẾT ĐIỀUKIỆN CHÍNH QUY 303.1 CÁC ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY MANGASARIAN - FRO-

MOVITZ CẤP MỘT VÀ CẤP HAI 303.2 CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP MỘT VÀ CẤP HAI 34

Kết luận 44Tài liệu tham khảo 45

Mở đầu

Lý thuyết các điều kiện tối ưu cho các bài toán quy hoạch toán họcđược phát triển từ những giai đoạn sớm nhất của toán học và có nhiều ứngdụng trong kinh tế, kỹ thuật

Để dẫn các điều kiện cần tối ưu người ta thường sử dụng một công cụhữu hiệu là các định lý tách các tập lồi không tương giao hoặc các định

lý luân phiên (Theorems of the alternative) về sự tương thích của một hệtuyến tính thuần nhất hoặc không thuần nhất Các định lý luân phiên nổitiếng là các định lý của J.Farkas, P Gordan, T S Motzkin, (xem [5]).Trong bài tổng quan [6], G Still và M Streng đã trình bày các điều kiệncần và đủ tối ưu cho các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp một, cấp hai

và cực tiểu cô lập của các bài toán quy hoạch phi tuyến trơn với các ràngbuộc đẳng thức và bất đẳng thức trong không gian hữu hạn chiều Giữacác điều kiện cần và các điều kiện đủ tối ưu thường có một sự sai khác (agap), trong đó các điều kiện đủ mạnh hơn các điều kiện cần Khi giả thiếtcác điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz cấp một và cấp hai thì

sẽ không có sự sai khác giữa các điều kiện cần và các điều kiện đủ nữa.Luận văn tập trung trình bày các điều kiện cần và đủ cho các điểm cựctiểu địa phương chặt cấp một và cấp hai ở các dạng gốc và đối ngẫu chobài toán quy hoạch phi tuyến trơn có hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất

đẳng thức trong không gian hữu hạn chiều khi giả thiết hoặc không giảthiết các điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz cấp một và cấp hai.Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và danh mục cáctài liệu tham khảo.

Chương 1 trình bày một số định lý luân phiên bao gồm các định lýFarkas thuần nhất và không thuần nhất, định lý luân phiên ổn định vàđịnh lý luân phiên đặc trưng cho tính bị chặn của tập nhân tử Kuhn -Tucker Chương 2 trình bày các điều kiện cần cho cực tiểu địa phương vàcác điều kiện đủ cho các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp một và cấphai dưới dạng gốc và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch toán học trơn cóhữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức trong các không gian hữuhạn chiều khi không giả thiết điều kiện chính quy Chương 3 trình bày cácđiều kiện cần và đủ cho các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp một và cấphai dưới dạng gốc và đối ngẫu khi có điều kiện chính quy Kết quả chỉ rarằng với các điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz cấp một và cấphai sẽ không có sự sai khác giữa các điều kiện cần và các điều kiện đủ tối

ưu cấp một và cấp hai tương ứng, tức là ta nhận được các điều kiện đặctrưng cho cực tiểu địa phương chặt cấp một và cấp hai

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS

Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bảnluận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa toán, Phòng đào tạosau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cùng cácthầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khoá học

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên

trong lớp cao học toán K2 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trongsuốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2010

Trần Phương Hoa

Chương 1

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LUÂN PHIÊN

Chương này trình bày một cách vắn tắt các định lý luân phiên sẽ sửdụng để chứng minh các điều kiện tối ưu gốc và điều kiện tối ưu đối ngẫutương đương Ta bắt đầu với định lý Farkas nổi tiếng ở dạng thuần nhất vàdạng không thuần nhất Định lý Farkas thuần nhất ứng dụng trong chứngminh các điều kiện tối ưu cấp một và dạng không thuần nhất để chứngminh các điều kiện tối ưu cấp hai Các kết quả chương một được lấy trong[4] − [6]

1.1 CÁC ĐỊNH LÝ FARKAS THUẦN NHẤT VÀ KHÔNG

THUẦN NHẤT

Trước hết ta nhắc lại định lý Farkas thuần nhất trong [5]

Định lý 1.1 ([5])

Cho ak1, bk2, ck3 ∈ Rn, k1 ∈ K1, k2 ∈ K2, k3 ∈ K3 với K1, K2, K3 là cáctập chỉ số hữu hạn Giả sử K1 6= ∅ Khi đó, một và chỉ một trong hai khảnăng (i) hoặc (ii) đúng:

(i) Tồn tại ξ ∈ Rn thoả mãn

ξtak1 < 0, k1 ∈ K1,

ξtbk2 ≤ 0, k2 ∈ K2,

ξtck3 = 0, k3 ∈ K3,

trong đó ξt là chuyển vị của vectơ ξ.

(ii) Tồn tại các số µk1 ≥ 0, k1 ∈ K1 không đồng thời bằng 0, µk2 ≥ 0,

(i) Tồn tại ξ ∈ Rn thoả mãn

ξtak1 < αk1, k1 ∈ K1,

ξtbk2 ≤ βk2, k2 ∈ K2,

ξtck3 = γk3, k3 ∈ K3.(ii) Tồn tại các số µk1 ≥ 0, k1 ∈ K1, µ0 ≥ 0, không đồng thời bằng 0,

(i’) Tồn tại một nghiệm (ξ, ξn+1) của hệ:

(ii’) Tồn tại các số µk1, k1 ∈ K1, µ0 ≥ 0, không đồng thời bằng 0, µk2 ≥

Để đề cập điều kiện tối ưu mạnh ta cần một dạng khác của định lý luânphiên Định lý đó được gọi là định lý luân phiên ổn định

µk2 ≥ 0, k2 ∈ K2, λk3 ∈ R, k3 ∈ K3

),

bị chặn của tập các nhân tử Kuhn - Tucker

Giả sử Q 6= ∅.

Khi đó, các điều kiện (i) và (ii) sau đây tương đương:

(i) Các vectơ ck3, k3 ∈ K3 độc lập tuyến tính và tồn tại vectơ ξ ∈ Rnthoả mãn

(

ξtak1 < 0, k1 ∈ K1,

ξtck3 = 0, k3 ∈ K3.(ii) Tập Q bị chặn

2.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

Xét bài toán tối ưu

g0, gj, hi, j ∈ J, i ∈ I đủ trơn Giả sử các hàm này thuộc C1(Rn, R) khi dẫnđiều kiện tối ưu cấp một, thuộc C2(Rn, R) khi dẫn điều kiện tối ưu cấphai Ta sẽ không nhắc lại giả thiết trơn của bài toán trong mọi phát biểu,

các kết quả Các trường hợp I = ∅ hoặc J = ∅ đều có thể xảy ra.

Ký hiệu M là tập chấp nhận được của bài toán (P )

M =

n

x ∈ Rn

gj(x) ≤ 0, j ∈ J ; hi(x) = 0, i ∈ I

o.Trong mọi trường hợp ta giả sử M 6= ∅ Nhắc lại, điểm ¯x ∈ M là cực tiểuđịa phương của (P ) nếu tồn tại một lân cận mở U của ¯x sao cho

g0(x) ≥ g0(¯x), ∀x ∈ M ∩ U

Nếu bất đẳng thức này là chặt đối với x 6= ¯x thì ¯x được gọi là cực tiểu địaphương chặt Nếu với p ∈ N, tồn tại một hằng số κ sao cho

g0(x) ≥ g0(¯x) + κkx − ¯xkp, ∀x ∈ M ∩ U, (2.1)thì ¯x được gọi là cực tiểu địa phương chặt cấp p của bài toán (P ) Trườnghợp p = 1, ¯x được gọi là cực tiểu địa phương mạnh

Nếu trong một lân cận U của ¯x sao cho ¯x là cực tiểu địa phương duynhất trong U thì ¯x được gọi là cực tiểu địa phương cô lập của bài toán(P )

Nếu (2.1) đúng với p (với κ > 0 và U nào đó) và không tồn tại κ > 0 và

U sao cho (2.1) đúng với p − 1 thì ¯x được gọi là cực tiểu địa phương chặtcấp p đúng

Với x ∈ M ta định nghĩa tập các chỉ số của các ràng buộc tích cực:

o,

o,

o,trong đó ∇gj(x) là đạo hàm Fréchet của hàm gj tại x

g0(x + ε˜x) < g0(x), với ε > 0 đủ nhỏ;

tức là ˜x là một phương giảm chấp nhận được

Nhắc lại (xem [1]) rằng phần trong tương đối của tập A ⊂ Rn là phầntrong của A trong bao affine aff A của A, và ký hiệu là riA Tập clA \ riAđược gọi là biên tương đối của tập A

Lấy x ∈ M, ˜x ∈ Cx [tương ứng ˜x ∈ C0x] Giả sử J∗(x) 6= ∅ [tương ứng

J∗0(x) 6= ∅] Nếu ˜x nằm trên biên tương đối của Cx [tương ứng C0x] thì

∇gj(x)˜x = 0 với một chỉ số nào đó j ∈ J∗(x) [tương ứng j ∈ J∗0(x)] Do

đó, ta cần phải đưa vào tập chỉ số J∗∗(x, ˜x) [tương ứng J∗∗0 (x, ˜x)]

J∗∗(x, ˜x) =

n

j ∈ J∗(x)

∇gj(x)˜x = 0

oi.Các nón ở định nghĩa 2.1 được gọi là các nón cấp một Để phân tíchhiệu quả các điều kiện cấp hai ta cần các đa diện sau đây trong Rn, mà ta

sẽ gọi là các đa diện cấp hai

Định nghĩa 2.2

Cho x ∈ M Với mỗi ˜x ∈ Cx, ta định nghĩa

Cx,˜x = nx˜

x˜t∇2gj(x)˜x + ∇gj(x)˜x < 0, j ∈ J˜ ∗∗(x, ˜x),

˜

xt∇2hi(x)˜x + ∇hi(x)˜x = 0, i ∈ I˜

o,

Cx,˜0x =

n

˜x

... Cx¯

2.2 CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ TỐI ƯU KHI KHƠNG

GIẢ THIẾT ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY

Phần trình bày điều kiện cần đủ tối ưu khơng địi hỏi điềukiện quy cho ràng buộc bất đẳng... Q0x loại điều kiện bù.

Bây ta phát biểu điều kiện cần tối ưu đối ngẫu

Định lý 2.4 (Điều kiện cần tối ưu đối ngẫu)

Giả sử ¯x ∈ M cực tiểu địa phương toán (P ) Giả sử... KIỆN TỐI ƯU KHI GIẢ

THIẾT ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY< /h3>

Chương trình bày điều kiện cần đủ cho điểm cực tiểu địaphương chặt cấp cấp hai dạng gốc đối ngẫu có điều kiệnchính quy Kết