Một phương pháp lặp xoay vòng giải một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian hilbert

19 Chương 2 Phương pháp lặp xoay vòng giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 21 2.1.. Bài toán bất đẳng thức biến phân được ph

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

VŨ MINH ĐỨC

MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

VŨ MINH ĐỨC

MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trương Minh Tuyên

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trương Minh Tuyên, thầy đãtận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thànhluận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, cùng cácthầy, cô giáo trong khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập,nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo và các đồng nghiệp của Phòng Giáodục và Đào tạo huyện Tiền Hải, tỉnh Thái Bình Nhân dịp này, tác giả xin gửilời chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viện, tạo điều kiện giúp đỡtác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Mục lục

1.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert 3

1.2 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 10

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển 13

1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 16

1.5 Một số bổ đề bổ trợ 19

Chương 2 Phương pháp lặp xoay vòng giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 21 2.1 Phát biểu bài toán 21

2.2 Phương pháp lặp giải Bài toán (2.5) 25

2.3 Một số ứng dụng 35

2.3.1 Điểm bất động chung của các ánh xạ không giãn 35

2.3.2 Điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn 37

2.3.3 Không điểm chung của các toán tử đơn điệu 41

2.4 Ví dụ số minh họa 44

Một số ký hiệu và viết tắt

Mở đầu

Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" được nảy sinh trong quá trình nghiêncứu và giải các bài toán thực tế như bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính,bài toán mạng giao thông, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý toán Bàitoán này được giới thiệu lần đầu tiên bởi Hartman và Stampacchia vào năm 1966trong tài liệu [6] Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạnchiều, cũng như vô hạn chiều cùng với các ứng dụng của nó được giới thiệu kháchi tiết trong cuốn sách “An Introduction to Variational Inequalities and TheirApplications” của D Kinderlehrer và G Stampacchia xuất bản năm 1980 [8]

Từ đó, bài toán bất đẳng thức biên phân được nghiên cứu và phát triển mạnh

mẽ, thu hút sự được sự quan tâm của nhiều người làm toán trong và ngoài nước.Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biếnphân là việc xây dựng các phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải đã được

đề xuất như phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểmbất động, phương pháp đường dốc nhất

Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: Tìm một phần tử

trong đó F là một ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào chính nó và ta

ký hiệu bài toán này là VI(C, F ) Bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong việcgiải bài toán tối ưu lồi có ràng buộc và một trường hợp đặc biệt là bài toán chấpnhận lồi nổi tiếng Ta xem mỗi tập C là tập điểm bất động của phép chiếu mêtric

phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Ngoài ra, nó cũng đã đượcnghiên cứu và mở rộng thành bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểmbất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn đếm được hay không đếm được

ánh xạ không giãn.

Năm 2001, Yamada [17] đã giới thiệu phương pháp đường dốc nhất lai ghépgiải bài toán (0.1), trong đó F : H −→ H là một toán tử Lipschitz, đơn điệumạnh và C là tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn

các ánh xạ không giãn chỉ được biết ở dạng gần đúng (có nhiễu), hay nói cáchkhác mỗi ánh xạ không giãn được thay bởi một dãy ánh xạ nhiễu, thì ánh xạkhông giãn ban đầu sẽ được thay bằng dãy ánh xạ gần không giãn Do đó chủ

đề bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của các dãy ánh xạgần không giãn đã và đang thu hút nhiều người làm toán trong và ngoài nướcquan tâm nghiên cứu

Mục đích của luận văn là giới thiệu một số kết quả về bài toán tìm nghiệmcủa bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạndãy ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert H Luận văn bao gồm 2chương: Chương 1 nhắc lại một số tính chất đặc trưng của không gian Hilbert,bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn, bài toán bất đẳng thức biếnphân cổ điển, cùng với một số bài toán liên quan Chương 2 trình bày lại kếtquả của các tác giả T.M Tuyen [16] cho bài toán bất đẳng thức biến phân trêntập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãntrong không gian Hilbert thực H Ngoài ra, Chương 2 của luận văn cũng đề cậpđến một số ứng dụng của Định lý (Định lý 2.4) chính cho các bài toán liên quan,cùng với đó là hai ví dụ số minh họa thêm cho tính đúng đắn của phương pháp

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này bao gồm năm mục chính Mục 1.1 đề cập đến một số đặc trưng

cơ bản của không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu sơ lược một số kết quả

về bài toán tìm điển bất động của ánh xạ không giãn Mục 1.3 và 1.4 đề cập đếnbài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển và bài toán bất đẳng thức biến phântrong không gian Hilbert Mục 1.5 giới thiệu một số bổ đề bổ trợ cần sử dụngtrong Chương 2 của luận văn Nội dung của chương này phần lớn được thamkhảo từ các tài liệu [1], [2] và [8]

1.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert

Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu

là h., i và chuẩn được kí hiệu là k.k

Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Mệnh đề 1.2 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, với mọi x, y ∈ H

Ta được điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.3 Trong không gian Hilbert thực H, ta luôn có

với mọi n ≥ 1 Khi đó, en * 0, khi n → ∞ Thật vậy, với mỗi y ∈ H, từ bấtđẳng thức Bessel, ta có

∞X

n=1

Ta biết rằng mọi không gian Hilbert H đều thỏa mãn điều kiện của Opial,tính chất này được thể hiện trong mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức

Chứng minh Ta có

→ 0, n → ∞

Mệnh đề 1.6 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực

Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf

Mệnh đề 1.7 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực

Chứng minh Vì C là tập lồi, đóng và khác rỗng nên x − C cũng là tập lồi, đóng

sao cho

xác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C

Ví dụ 1.1 Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= 0 Khi đó

Ví dụ 1.2 Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tửcho trước và R là một số dương Khi đó, ta có:

Mệnh đề 1.8 Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert

Điều này tương đương với

Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây:

phép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó, ta có các khẳng định sau:

Từ đó, ta có

Hệ quả được chứng minh

Mệnh đề 1.9 Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H, thì

C là tập đóng yếu

Chứng minh Trước hết, ta chỉ ra tồn tại một phần tử v ∈ H, v 6= 0 sao cho

supy∈C

Bây giờ ta chỉ ra C là tập đóng yếu Giả sử ngược lại rằng C không là tập

C là tập lồi và đóng, nên theo chứng minh trên, ta có

hv, zi < hv, xi − ε,

với mọi n Cho n → ∞, ta nhận được

hv, xi ≤ hv, xi − ε,điều này là vô lý Do đó, C là tập đóng yếu

Chú ý 1.1 Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng

Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.10 Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu

1.2 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãnĐịnh nghĩa 1.2 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianHilbert thực H Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không giãn, nếuvới mọi x, y ∈ C, ta có

Chứng minh Giả sử F ix(T ) 6= ∅

Trước hết, ta chỉ ra F ix(T ) là tập đóng Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãn

với mọi n ≥ 1 Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được kT x − xk =

0, tức là x ∈ F ix(T ) Do đó, F ix(T ) là tập đóng

Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của F ix(T ) Giả sử x, y ∈ F ix(T ), tức là T x = x

và T y = y Với λ ∈ [0, 1], đặt z = λx + (1 − λ)y Khi đó, từ Mệnh đề 1.2 và tínhkhông giãn của T ta có

Suy ra T z = z và do đó z ∈ F ix(T ) Vậy F ix(T ) là một tập lồi

Mệnh đề 1.12 (Nguyên lý nửa đóng) Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗngcủa không gian Hilbert thực H và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn Khi

Bài toán Cho T : C −→ C là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi, đóng

và khác rỗng C của không gian Hilbert H vào chính nó là một ánh xạ không

Đã có nhiều phương pháp nổi tiếng được đề xuất để giải bài toán trên, nhưphương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp lặp Halpern,phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt

Chú ý 1.2 Nếu T là ánh xạ co trên C, thì dãy lặp Picard xác định bởi x0 ∈ C

này không còn đúng đối với lớp ánh xạ không giãn

∞ Dãy lặp (1.3) được gọi là dãy lặp Mann Mann W R đã chứng minh rằng,

bởi (1.3) sẽ hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ T Chú ý rằng nếu H

là không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.3) chỉ cho sự hội tụ yếu.Phương pháp lặp Halpern

Năm 1967, B Halpern [5] đã đề xuất phương pháp lặp

đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.4) về điểm bất động của ánh xạ

Phương pháp lặp xấp xỉ mềm

Năm 2000, Moudafi [10] đã đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm, để tìm điểmbất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và đã chứng minhđược các kết quả sau:

hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:

x ∈ F ix(T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F ix(T ),

trong đó {εn} là một dãy số dương hội tụ về 0.

1

mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:

x ∈ F ix(T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F ix(T ),

ở đây, f : C → C là một ánh xạ co cho trước với hệ số co c ∈ [0, 1) Tức là

kf (x) − f (y)k ≤ ckx − yk ∀x, y ∈ C

Chú ý 1.3 Khi f (x) = u với mọi x ∈ C, thì phương pháp xấp xỉ mềm củaMoudafi trở về phương pháp lặp của Halpern

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển

Trong mục này, chúng tôi đề cập đến bài toán bất đẳng thức biến phân trên

liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được phátbiểu như sau:

và ký hiệu là V I(F, C)

Sự tồn tại nghiệm của Bài toán (1.7) được cho bởi định lý dưới đây:

một ánh xạ liên tục Khi đó, Bài toán (1.7) có ít nhất một nghiệm

Chứng minh Đặt PC là phép chiếu mêtric từ Rn lên C Khi đó, PC(I − γF )

Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.7) có mối quan hệ mật thiết với một sốbài toán khác như là: Hệ phương trình, bài toán tối ưu, bài toán bù và bài toánđiểm bất động

a) Hệ phương trình

Nhiều vấn đề cân bằng kinh tế cổ điển đã được mô hình như một hệ phươngtrình, vì điều kiện thanh toán bù trừ thị trường, nhất thiết phải có sự cân bằnggiữa cung và cầu Bài toán bất đẳng thức biến phân có thể xem như một hệphương trình thông qua mệnh đề dưới đây:

b) Bài toán tối ưu

hàm lồi trên C Xét bài toán sau:

Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán (1.8) và bất đẳng thức biếnphân cổ điển

Mệnh đề 1.14 Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của Rn và f : C −→ R

bao gồm các phương trình và bất phương trình có dạng sau:

Khi F là một ánh xạ affine, tức là F x = M x + b, với M là ma trận cỡ n × n và

b là véc tơ cỡ n × 1, thì (1.9) được gọi là bài toán bù tuyến tính

Mối quan hệ giữa bài toán bù và bài toán bất đẳng thức biến phân được cho bởimệnh đề dưới đây:

Suy ra hF x∗, x∗i = 0 Do đó x∗ là một nghiệm của Bài toán (1.9).

d) Bài toán điểm bất động

Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán điểm bất động với bấtđẳng thức biến phân cổ điển

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.8

1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian

Hilbert

Trong mục trên chúng ta vừa trình bày sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức

và mở rộng trong không gian Hilbert Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày một sốphương pháp tìm nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gianHilbert

Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H và A : C −→ H

là một ánh xạ liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu nhưsau:

toán và ký hiệu là V I(A, C)

Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau.

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H

và A : C −→ H là một ánh xạ từ C vào H

a) Ánh xạ A được gọi là đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có:

hAx − Ay, x − yi ≥ 0

b) Ánh xạ A được gọi là giả đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có:

hAy, x − yi ≥ 0 suy ra hAx, x − yi ≥ 0

c) Ánh xạ A được gọi là α−đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số

α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

d) Ánh xạ A được gọi là α-ngược đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng

số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

sao cho với mọi x, y ∈ C

f) Ánh xạ A được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại một hằng số

L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

kAx − Ayk ≥ Lkx − yk

Nhận xét 1.1 Dễ dàng thấy rằng, nếu ánh xạ A là α-ngược đơn điệu mạnhthì ánh xạ A là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz

Mệnh đề dưới đây cho ta biết về một trường hợp tồn tại nghiệm của bài toánbất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

Mệnh đề 1.17 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng và bị chặn của khônggian Hilbert H và cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, h-liên tục Khi đó,

đó, từ tính đơn điệu của A, ta có

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.8

1.5 Một số bổ đề bổ trợ

Bổ đề 1.1 (xem [3]) Cho V : C −→ H là một ánh xạ L-Lipschitz và F : C −→

H là một ánh xạ k-Lipschitz và η-đơn điệu mạnh Khi đó, với 0 ≤ γL < µη, tacó

tức là, µF − γV là đơn điệu mạnh với hệ số µη − γL

Bổ đề 1.2 (xem [17]) Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert

Chứng minh Với ε > 0 bất kỳ (cho trước), lấy số tự nhiên N đủ lớn sao cho

∞X

n=N

Từ (1.14), bằng quy nạp toán học, ta chỉ ra được

n=N

Chương 2

Phương pháp lặp xoay vòng giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn

Nội dung chính của chương này là trình bày lại kết quả của Tuyen T.M trongtài liệu [16] về một phương pháp lặp xoay vòng tìm nghiệm của bất đẳng thứcbiến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn dãy ánh xạ gầnkhông giãn Tiếp theo, luận văn cũng giới thiệu một số ứng dụng của định lýchính cho việc giải các bài toán liên quan khác Mục cuối cùng của chương này,luận văn trình bày hai ví dụ minh họa được tính toàn bằng MATLAB nhằmminh họa thêm cho các kết quả lý thuyết

2.1 Phát biểu bài toán

Một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp quan trọng và có nhiều ứng dụngtrong các lĩnh vực khác nhau của toán học, vật lý, y học hay kinh tế là bàitoán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn.Bài toán 2.1 Cho A : H −→ H là một toán tử đơn điệu, liên tục và cho

là x∗ thỏa mãn

Năm 2001, Yamada [17] đã đề xuất phương pháp đường dốc nhất để giải Bàitoán 2.1 cho trường hợp A là toán tử Lipschitz và đơn điệu mạnh Kết quả củaYamada được cho bởi định lý dưới đây:

Định lý 2.1 [17] Cho T : H −→ H là một ánh xạ không giãn với F ix(T ) 6= ∅.Giả sử ánh xạ A : H −→ H là L-Lipchitz và η-đơn điệu mạnh trên T (H) Khi

Hơn nữa, Yamada cũng đã mở rộng kết quả trên cho trường hợp tập điểmbất động F ix(T ) của ánh xạ không giãn T được thay bằng tập điểm bất độngchung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn Kết quả này được thể hiện trongđịnh lý dưới đây:

Giả sử rằng một ánh xạ F : H −→ H là L-Lipchitz và η-đơn điệu mạnh trên

[i] = {i − kN |k = 0, 1, 2, } ∩ {1, 2, , N }

với mọi x, y ∈ C và mọi n ∈ N

Ta biết rằng nếu C là một tập hợp bị chặn và T : C −→ C là một ánh xạ

là một dãy ánh xạ gần không giãn Thật vậy, với mọi x, y ∈ C, ta có

Bài toán tìm một điểm bất động của ánh xạ không giãn T khi T được cho

Combettes [4], Kim và Xu [7] Ta biết rằng trong một vài trường hợp đặc biệt,

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển

Trong mục này, chúng tơi đề cập đến tốn bất đẳng thức biến phân. .. tìm nghiệm cho tốn bất đẳng thức biến phân không gianHilbert

Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert H A : C −→ H

là ánh xạ liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân phát biểu nhưsau:... toán

Một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp quan trọng có nhiều ứng dụngtrong lĩnh vực khác toán học, vật lý, y học hay kinh tế bàitoán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh