Một tiếp cận cân bằng tách cho mô hình nash cournot với một ràng buộc chung

Lời nói đầuBài toán chấp nhận tách là bài toán trong đó C là một tập lồi đóng trong không gian X, còn Q là một tập lồiđóng trong không gian Y và A là một toán tử tuyến tính từ X vào Y .B

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH Lê Dũng Mưu

THÁI NGUYÊN - 2019

đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.

Xin chân thành cảm ơn anh chị em trong lớp cao học và bạn bè đồngnghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập,nghiên cứu và làm luận văn

Thái Nguyên, 10 tháng 4 năm 2019

Tác giả luận văn

Nguyễn Thành Huế

Mục lục

Chương 2 Một tiếp cận cân bằng tách cho mô hình

2.2 Một thuật toán giải mô hình Nash–Cournot có ràng buộc chung 22

Lời nói đầu

Bài toán chấp nhận tách là bài toán

trong đó C là một tập lồi đóng trong không gian X, còn Q là một tập lồiđóng trong không gian Y và A là một toán tử tuyến tính từ X vào Y Bài toán này có thể coi như một sự mở rộng của bài toán chấp nhậnlồi, là một bài toán cơ bản trong Toán ứng dụng Bài toán chấp nhậntách lần đầu tiên được nghiên cứu trong không gian Euclid hữu hạn chiềubởi Censor và Elving năm 1994 trong tài liệu [2] Trong bài báo này cáctác giả đã giới thiệu một số ứng dụng của bài toán chấp nhận tách trongkhông gian hữu hạn chiều, như ứng dụng trong xạ trị khối u, trong xử

lý tín hiệu v.v Sau công trình trên, bài toán chấp nhận tách được rấtnhiều người quan tâm nghiên cứu, do tính lý thú về mặt toán học, và đặcbiệt là phạm vi ứng dụng rộng rãi của bài toán này Một hướng mở rộngđược quan tâm nhiều là xét trường hợp khi các tập C và Q là nghiệm củanhững bài toán khác, như bài toán tối ưu lồi, bất đẳng thức biến phânđơn điệu, tập điểm bất động của ánh xạ không giãn, hoặc tổng quát hơn

là tập nghiệm của bài toán cân bằng có một tính chất đơn điệu nào đó.Mục đích của bản luận văn này là trình bày lại một cách có hệ thốngcác kết quả về mô hình Nash–Cournot trong trường hợp mô hình có thêmmột ràng buộc chung, theo cách tiếp cận dựa trên việc mô tả mô hìnhdưới dạng bài toán cân bằng tách

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục

các tài liệu tham khảo.

Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản liên quan đến đề tài, đó

là tập lồi và hàm lồi trong không gian Euclid hữu hạn chiều

Chương 2 giới thiệu bài toán chấp nhận lồi tách, giới thiệu mô hìnhNash–Cournot và trình bày một thuật toán giải bài toán mô hình Nash–Cournot có ràng buộc chung theo tiếp cận cân bằng tách

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các khái niệm, các tính chất cơ bản nhất củagiải tích lồi và các bổ đề hỗ trợ sẽ được dùng trong Chương 2 Các kiếnthức ở chương này được tổng hợp từ tài liệu tham khảo [1], [3]

1.1 Tập lồi và hàm lồi trong không gian Euclid hữu hạn chiều

mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là C lồi khi và chỉkhi

của các điểm này

Mệnh đề 1.1 Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi củacác điểm của nó Tức là tập C lồi khi và chỉ khi

nên x là một tổ hợp lồi của hai điểm y và xk đều thuộc C Vậy x ∈ C.

Định nghĩa 1.2 Một tập C được gọi là tập aphin nếu nó chứa đườngthẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó, tức là

là nửa không gian mở

aphin, nếu bao aphin của chúng có thứ nguyên là k

Định nghĩa 1.6 Một tập hợp được gọi là tập lồi đa diện, nếu nó là giaocủa một số hữu hạn các nửa không gian đóng

Theo định nghĩa, tập lồi đa diện là tập hợp nghiệm của một hệ hữuhạn các bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh của một tập lồi

đa diện được cho như sau:

Hoặc nếu ta ký hiệu A là ma trận có m hàng là các vectơ aj(j = 1, , m)

Một số các tính chất của tập lồi đa diện sẽ được trình bày trong cácphần tiếp theo

Định nghĩa 1.7 Cho C 6= (không nhất thiết lồi) và y là một vectơbất kỳ, đặt

bài toán tối ưu

min

x {1

Vậy việc tìm hình chiếu của y trên C có thể đưa về việc tìm cực tiểu

Mệnh đề 1.2 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng Khi đó:

nhất

và

Chứng minh (i) Giả sử có a) Lấy x ∈ C và λ ∈ (0, 1) Đặt

Bây giờ giả sử có b) Với mọi x ∈ C, có

Từ đây và b), dùng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz ta có:

Suy ra ||(y − π)|| ≤ ||y − x|| ∀x ∈ C, và do đó π = p(y)

lim

điểm π nào đó Do C đóng, nên π ∈ C Vậy

||π − y|| = lim

Chứng tỏ π là hình chiếu của y trên C

Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu Thật vậy, nếu tồn tại

Vậy hπ − y, xi = hπ − y, πi là một siêu phẳng tựa của C tai π Siêu phẳngnày tách y khỏi C vì y 6= π, nên

(iv) Theo phần (ii) ánh xạ x ,→ p(x) xác định khắp nơi

hx − p(x), p(y) − p(x)i ≤ 0và

Định nghĩa 1.8 Một ánh xạ F : C −→ Rn được gọi là đơn điệu trên C,nếu

hF (x) − F (y), x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ CÁnh xạ F được gọi là đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu

được gọi là trên đồ thị của hàm f

trên toàn không gian và hiển nhiên là

Do sẽ làm việc với hàm số nhận cả giá trị −∞ và +∞, ta có quy ước sau:

Nếu λ = 0, thì λf (x) = 0 với mọi x

hợp này, dễ thấy rằng định nghĩa trên tương đương với

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ C, ∀ λ(0, 1)

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ C, ∀ λ ∈ (0, 1)

Hàm f : Rn → R ∪ {+∞} được gọi là lồi mạnh trên C với hệ số η > 0,nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) có:

Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được rằng, nếu f nhận giá trị hữu

Hàm f được gọi là một hàm lõm trên C, nếu −f lồi trên C

Dưới đây là một điều kiện cần và đủ về hàm lồi, rất tiện ích trong nhiềutrường hợp

Mệnh đề 1.3 Một hàm f : C → R là lồi trên C khi và chỉ khi

∀x, y ∈ C, ∀α > f (x), ∀β > f (y), ∀λ ∈ [0, 1]

=⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λα + (1 − λ)β)

Chứng minh Chứng minh điều kiện cần Giả sử f lồi Chọn x, y, α, β

Do đó

Chứng minh điều kiện đủ Chọn (x, µ) và (y, ν) thuộc epif và λ ∈ (0, 1).Thế thì với mọi ε > 0, ta có

Hiển nhiên nếu η = 0 thì f lồi trên C Nếu f có hệ số lồi trên C là

η > 0, thì f lồi mạnh trên C với hệ số η

Một hàm f được gọi là chính thường nếu domf 6= và f (x) > −∞

Như đã nói ở trên, nếu f là một hàm lồi trên tập một tập lồi C, thì cóthể thác triển f lên toàn không gian bằng cách đặt

(

f (x), nếu x ∈ C,

Hiển nhiên fe(x) = f (x) với ∀x ∈ C và fe lồi trên Rn Hơn nữa fe là chính

đóng

Hàm này được gọi là hàm mặt cầu Dễ thấy rằng f là một hàm lồi

4 Hàm tựa Hàm dưới đây được gọi là hàm tựa của C

x∈C

hy, xi

5 Hàm khoảng cách Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C đượcđịnh nghĩa bởi

lim

λ↓0

λtồn tại (hữu hạn hay vô hạn), thì ta nói f có đạo hàm theo hướng y tại

thường mặc dù f là hàm chính thường và x ∈ domf Cho

Ta nhắc lại rằng một hàm f là thuần nhất dương (bậc 1), nếu

f (tx) = tf (x) với mọi t > 0 và mọi x trên miền xác định của f Hàm f

được gọi là dưới cộng tính, nếu f (x + y) ≤ f (x) + f (y) với mọi x, y trênmiền xác định của f Hàm dưới tuyến tính là một hàm vừa thuần nhấtdương, vừa dưới cộng tính.

x ∈ ri(domf ), trong đó F là không gian con của domf

Chứng minh (i) Ta chứng minh hàm ϕ đơn điệu không giảm trên miền(0, +∞) Cho x ∈ domf và định nghĩa hàm h : R → R ∪ {+∞} bởi

Ta chỉ ra tính chất dưới cộng tính Với mọi u và v, ta có

f0(x, 0) = 0 và f0(x, ) là dưới tuyến tính trên Rn, nên nó là hàm lồi, chínhthường trên toàn không gian.

Từ đây suy ra b)

c) Giả sử x ∈ ri(domf ) Ta cần chứng tỏ f (x, ) hữu hạn trên F Theo

Do x ∈ri(domf ), nên với mọi y ∈ F có x + λy ∈ domf với mọi λ > 0 đủnhỏ Do đó

λ>0

f (x + λy) − f (x)

Vậy x ∈ ri(domf )



hàm của f tại x nếu

vi, nhưng nó khả dưới vi phân và

Với x /∈ C, thì δC(x) = +∞, nên bất đẳng thức này luôn đúng Vậy

Vậy dưới vi phân của hàm chỉ của một tập lồi C khác rỗng tại một

Theo Mệnh đề 1.5 ta có p ∈ ∂f (x) Hơn nữa do f0(x, ) là một hàm lồiđóng, nên theo định lý xấp xỉ tập lồi nó là bao trên của các hàm non của

Bổ đề 1.2 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert

k=1 <

Bổ đề 1.4 (xem Anh và Muu 2014) Cho H là không gian Hilbert thực,

Chương 2

Một tiếp cận cân bằng tách cho

mô hình Nash-Cournot với một

ràng buộc chung

Trong chương này trước tiên chúng ta giới thiệu bài toán chấp nhậnlồi tách, tiếp theo giới thiệu mô hình Nash–Cournot, cuối cùng là trìnhbày một thuật toán giải bài mô hình Nash–Cournot có ràng buộc chungtheo tiếp cận cân bằng tách Các kết quả chương này được tổng hợp từtài liệu tham khảo [2], [4]

2.1 Bài toán chấp nhận lồi tách

Cho K là một tập lồi đóng thuộc không gian Euclid n chiều Cho

f : K ∗ K → R là một song hàm thỏa mãn điều kiện f (x, x) = 0 với mọi

x ∈ K Ta xét bài toán cân bằng sau gọi là bài toán EP,

Kí hiệu Sol(EP) là tập nghiệm của bài toán này

Bất đẳng thức này lần đầu tiên được Nikaido và Isoda nghiên cứu năm

1995 trong trò chơi không hợp tác Sau công trình nghiên cứu của Blum

và Oettli (1994), bài toán (EP) được rất nhiều người quan tâm.

Một điểm lý thú của bài toán (EP) là mặc dù có hình thức rất đơngiản nhưng chứa rất nhiều bài toán quan trọng của toán học như bài toántối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutami và bài toáncân bằng Nash như là các trường hợp riêng (xem tài liệu tham khảo Bigi2013)(tài liệu 1)

Nhiều phương pháp giải bài toán (EP) đã được đề xuất, trong số đóphương pháp chiếu được dùng nhiều hơn cả

Bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert hữu hạn chiều lầnđầu tiên được Censor và Elving (1994) đề xuất và chỉ ra nhiều ứng dụngquan trọng của bài toán này như trị xạ ung thư, lưu trữ dữ liệu v.v Một

số thuật toán đã được đề xuất để giải bài toán chấp nhận tách Về mặttoán học, bài toán chấp nhận tách được phát biểu như sau (xem [2])

này với C và Q là tập nghiệm của bài toán khác nhau như bài toán bấtđẳng thức biến phân, bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động đã đượcnhiều người quan tâm nghiên cứu

Trong luận văn này, tôi xin trình bày một phương pháp giải bài toánchấp nhận tách với C là tập nghiệm của bài toán cân bằng và Q là tậpnghiệm của bài toán quy hoạch lồi Bài toán được phát biểu như sau

2.2 Một thuật toán giải mô hình Nash–Cournot có ràng buộc

chung

Chúng ta sẽ dùng các giả thiết sau cho thuật toán và sự hội tụ của nó

sẽ được trình bày dưới đây

Giả thiết:

(A1) Với mỗi x∈ K và f (x, x) = 0 và f (x, ) là lồi nửa liên tục dướitrên K

hàm lồi f (x, ) có nghĩa là

(A3) f là giả đơn điệu trên K theo mọi lời giải của bài toán (EP ),

kiện tiền đơn điệu

(A4) Với mọi x ∈ K, f (., x) là nửa liên tục trên K

Nhắc lại rằng toán tử gần kề của hàm g với tham số λ > 0 được địnhnghĩa bởi

kiện cần và đủ tối ưu ta có h(x) = 0 khi và chỉ khi Ax là lời giải của bài

đó h(x) = 0 khi và chỉ khi ∇h(x) = 0

2.2.1 Thuật toán

thỏa mãn điều kiện

Chú ý nếu chọn k = 0 thì xk = yk và h(xk) = 0 kéo theo xk là nghiệm

Để chứng minh tính đúng đắn và sự hội tụ của thuật toán, chúng ta sẽcần đến các bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 (Moudafi and Thakur 2014) Cho S là tập nghiệm của bài toán

Định lí 2.1 Giả sử bài toán (SEO) có nghiệm Khi đó dưới các giả thiết

bài toán (SEO)

Ta sẽ sử dụng các bổ đề trong Mục 2.2 để chứng minh sự hội tụ củathuật toán.

Xét hai trường hợp sau:

Mặt khác theo Bổ đề 2.2(ii), ta lại có

đặt z ∈ S Từ z ∈ Sol(EP ) và f là giả đơn điệu trên K với tập nghiệmcủa (EP ), ta có

Theo Bổ đề 2.3, với mọi k, ta có

j → ∞ Do f (., z) là nửa liên tục nên theo Khẳng định 2 ta được

j→+∞

của bài toán (EP )

là điểm cực tiểu của g Định lý được chứng minh.

Nhận xét 2.1 Ví dụ sau chứng tỏ rằng khi bài toán không có nghiệm

Rõ ràng trong trường hợp này thì bài toán trở thành việc tìm một điểmtrong tập S := K ∩ Q.

Theo thuật toán, nếu ta chọn k ∈ N

1

Trong phần này chúng ta xét một mô hình cân bằng và tối ưu dựa trên

mô hình cân bằng Nash - Cournot trong thị trường điện

Giả sử có n công ty sản xuất điện Công ty thứ i (i = 1, 2, , n) có Iinhà máy điện.

P

j∈Ii

công ty thứ i sản xuất) Giá điện (phụ thuộc vào tổng lượng điện của tất

cả các công ty sản xuất ra)

cân bằng của mô hình nếu thỏa mãn:

trong đó x∗[xi] là vec-to nhận được từ x∗ bằng cách thay tọa độ thứ i

Bằng cách lấy

f (x, y) := ϕ(x, y) − ϕ(x, x)với

Khi sản xuất điện người ta phải dùng một số nguyên vật liệu như than,

để sản xuất đơn vị điện ở nhà máy thứ j Như vậy, Ax là toàn bộ lượngnguyên vật liệu để sản xuất ra lượng điện là x Việc dùng nguyên vật liệu

có thể làm ô nhiễm môi trường, do đó phải trả phí môi trường Gọi g(Ax)

là toàn bộ phí môi trường để sản xuất ra lượng điện x Bài toán bây giờđặt ra phải tìm một điểm cân bằng Nash của mô hình sao cho phí môitrường sản xuất điện là thấp nhất Có thể viết dưới dạng toán như sau.Tìm

Với p(s) = α − βs thì bài toán (SEP) được viết dưới dạng

De

Ví dụ 2.1 Có hai công ty Công ty thứ nhất có ba nhà máy, công ty thứ

Giả sử khi sản xuất điện, các công ty phải dùng một loại nguyên liệu (ví

máy thứ j Khi đó a11x1+ a12x2+ a13x3+ a14x4 là tổng lượng than để sản

là tiền phí phải trả do làm ô nhiễm môi trường khi dùng lượng than là

Kết luận

Bản luận văn này đề cập đến các vấn đề sau:

1 Tổng hợp lại các kiến thức cơ bản nhất về tập lồi, hàm lồi

2 Giới thiệu một số bổ đề cơ bản liên quan đến hình chiếu và tích vôhướng

3 Giới thiệu mô hình Nash - Cournot có thêm một ràng buộc tách Cụthể: Trình bày thuật toán giải bài toán cân bằng tách liên quan đến môhình Trình bày chi tiết định lý hội tụ và chứng minh của định lý này

4 Trình bày một mô hình thực tế trong sản xuất điện với chi phí môitrường thấp nhất, một số ví dụ cụ thể đã được đưa ra để minh họa cho

mô hình thực tế này

Tài liệu tham khảo

Breg-[4] Le Thi Hai Yen, Le Dung Muu, Nguyen Thi Thanh Huyen (2016),

"An algorithm for a class of split feasibility problems; application to amodel in electricity production", Math Meth Oper Res 84:549:565