Một số phương pháp giải số phương trình và hệ phương trình vi phân cấp cao

Mở đầuPhương trình vi phân dạng tuyến tính và phi tuyến tính là một lớp phươngtrình cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân có ứng dụng quan trọngđối với các bài toán thực tế đặc biệ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Ngô Thị Thu Hương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Ngô Thị Thu Hương

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Vũ Vinh Quang

Thái Nguyên - 2017

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản của Giải tích hàm 6

1.1.1 Không gian metric 6

1.1.2 Ánh xạ co 6

1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co 7

1.2 Phương pháp sai phân 7

1.2.1 Lưới sai phân 7

1.2.2 Hàm lưới 7

1.2.3 Công thức Taylor 7

1.2.4 Một số công thức xấp xỉ đạo hàm 8

1.3 Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo 10

1.4 Phương pháp lưới giải bài toán biên cho phương trình cấp 2 12

2 Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao và hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu 16 2.1 Cơ sở lý thuyết về phương pháp Runge-Kutta 16

2.1.1 Phương pháp Euler 1 17

2.1.2 Phương pháp Euler 2 18

2.1.3 Thuật toán RK4 19

2.2 Phương pháp Runge-Kutta đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến 20

2.3 Phương pháp Runge-Kutta đối với phương trình vi phân cấp cao 21 2.4 Giới thiệu thư viện QH_2015 23

3 Phương pháp lặp giải mô hình các bài toán biên phi tuyến

3.1 Giới thiệu 26

3.2 Nghiên cứu các tính chất của nghiệm 27

3.3 Phương pháp xây dựng sơ đồ lặp 30

3.3.1 Cơ sở lý thuyết 30

3.3.2 Sơ đồ lặp tìm nghiệm số 33

3.3.3 Một số kết quả thực nghiệm 36

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi TS Vũ Vinh Quang, người

đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôi tìm

ra hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải quyết vấn đề nhờ đó tôi mới cóthể hoàn thành luận văn cao học của mình Từ tận đáy lòng, tôi xin bày tỏlòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy của tôi và tôi sẽ cố gắnghơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thờigian học tập tại trường Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin và đặcbiệt là PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Toán - Tin, đã luônquan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu trong suốtquá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân tronggia đình, đặc biệt là bố mẹ Những người luôn động viên, chia sẻ mọi khókhăn cùng tôi trong suốt thời gian qua và đặc biệt là trong thời gian tôi theohọc khóa thạc sỹ tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017

Tác giả luận văn

Ngô Thị Thu Hương

Bảng ký hiệu

R+ tập số thực không âm

R ∪ {±∞} tập số thực mở rộng

Rn Không gian Euclide n-chiều

C1[0; L] Không gian của hàm có đạo hàm liên tục

A ∪ B hợp của hai tập A và B

A ∩ B giao của hai tập A và B

hx, yi tích vô hướng của hai véc-tơ x, y ∈ H[x, y] đoạn thẳng nối x và y

l2 không gian các dãy số vô hạn

f(n) đạo hàm cấp n

∆a sai số tuyệt đối của a

Danh sách bảng

2.1 Kết quả kiểm tra sai số đối với lược đồ QH_m 24

2.2 Kết quả kiểm tra sai số đối với lược đồ QH_m 25

3.1 Trường hợp biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi.m) 37

3.2 Trường hợp biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi.m) 38

3.3 Trường hợp không biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi_xx.m) 39 3.4 Trường hợp biết trước nghiệm đúng (Tofuma_tq.m) 40 3.5 Trường hợp không biết trước nghiệm đúng (Tofuma_tp_xx.m) 42

Danh sách hình vẽ

3.1 Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng 37

3.2 Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng 38

3.3 Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng 39

3.4 Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng 41

3.5 Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng 43

Mở đầu

Phương trình vi phân dạng tuyến tính và phi tuyến tính là một lớp phươngtrình cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân có ứng dụng quan trọngđối với các bài toán thực tế đặc biệt là lý thuyết điều khiển ổn định Về mặt lýthuyết tổng quát của lớp phương trình này đã được các nhà toán học nghiêncứu từ rất lâu, tuy nhiên vấn đề tìm nghiệm giải tích của các phương trìnhnày chỉ thực hiện được đối với các phương trình dạng đặc biệt còn chủ yếu làphải xác định nghiệm xấp xỉ qua các phương pháp gần đúng Đối với phươngtrình vi phân cấp 2, với các bài toán điều kiện đầu, người ta đã xây dựng cácphương pháp giải số dựa trên công thức Runge-Kutta với độ chính xác bậc 4,đối với bài toán biên với hệ điều kiện biên hỗn hợp, sử dụng phương pháp saiphân, chúng ta có thể đưa về hệ phương trình đại số dạng 3 đường chéo và hệgiải được bằng thuật toán truy đuổi Đối với phương trình vi phân tuyến tínhbậc 4, bằng phương pháp phân rã, chúng ta có thể đưa về 2 bài toán cấp hai

để xác định nghiệm thông qua các thuật toán đã biết Tuy nhiên khi phươngtrình là dạng phi tuyến hoặc điều kiện biên là phi tuyến thì để tìm nghiệmxấp xỉ, chúng ta cần phải xây dựng các sơ đồ lặp tùy từng dạng bài toán đểxác định nghiệm xấp xỉ của bài toán

Nội dung của luận văn là tìm hiểu một số phương pháp giải số phương trình

vi phân cấp cao và hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu, phương pháplặp đối với một số dạng bài toán cho phương trình cấp 4 với hệ điều kiện biêndạng phi tuyến, nghiên cứu tính chất hội tụ của các sơ đồ lặp và kiểm tratính đúng đắn của các sơ đồ lặp trên máy tính điện tử

Nội dung luận văn chia làm 3 chương

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản

Chương 2: Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao và

hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu

Chương 3: Phương pháp lặp giải mô hình các bài toán biên phi tuyếncấp 4

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả lý thuyết về các sơ

đồ lặp, phương pháp sai phân đối với phương trình vi phân cấp 2 và thuậttoán truy đuổi 3 đường chéo Những kết quả này là những kiến thức bổ trợcho việc trình bày các kết quả chính trong chương 2 và chương 3 Các kết quả

lý thuyết được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3]

1.1 Một số khái niệm cơ bản của Giải tích hàm

1.1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Tập X của các phần tử x, y, z được gọi là không gianmetric nếu như với mọi phần x, y bất kì đều tương ứng với với 1 số không âmd(x,y) thỏa mãn các điều kiện sau:

+ d(x,y)>0, d(x,y)=0 khi và chỉ khi x=y

+ d(x,y)=d(y,x)

+ d(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y)

Số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa 2 phần tử x và y hay thường gọi làmetric

Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn}được gọi là 1 dãy cơ bản nếu ∀ε > 0, đều tồn tại

số N > 0 sao cho với mọi m,n>N ta đều có d(xn, xm) ≤ ε

Nếu bất kì một dãy cơ bản nào trong không gian X đều hội tụ đến phần

tử thuộc X thì X được gọi là không gian đủ

1.1.2 Ánh xạ co

Định nghĩa 1.1.3 Một ánh xạ A từ không gian metric (X,d) vào chính nóđược gọi là ánh xạ co nếu tồn tại hằng số q ∈ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X,

d(A(x), A(y)) < qd(x, y).

Khi đó hằng số q được gọi là hệ số co của ánh xạ A

1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co

Cho A là ánh xạ co trong không gian metric đủ (X, d) Khi đó:

• Tồn tại duy nhất x∗ ∈ X sao cho A(x∗) = x∗ Phần tử x∗ ∈ X gọi làđiểm bất động của ánh xạ A

• Mọi dãy lặp xn+1 = A(xn), (n ≥ 0) xuất phát từ x0 bất kì đều hội tụ.Ngoài ra ta có ước lượng sau

d(xn, x∗) ≤ qn(1 − q)−1d(x0, x1) (n ≥ 1),d(xn, x∗) ≤ q(1 − q)−1d(xn−1, xn) (n ≥ 1)

1.2 Phương pháp sai phân

1.2.1 Lưới sai phân

Ta chia đoạn [a, b] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài

h = b − a

N bởi các điểm xi = a + ih, i = 0, 1, , N Khi đó tập các điểm xi gọi

là một lưới sai phân trên [a, b] ký hiệu là Ωh, mỗi điểm xi gọi là một nút củalưới, h gọi là bước đi của lưới

u(x + ∆x) = u(x) + ∆xu0(x) + (∆x)

(∆x)(m+1)(m + 1)! u

(m+1)(c)

≤ K(∆x)(m+1)

Công thức Taylor ở trên có thể viết gọn hơn như sau:

Xét không gian lưới Ωh với bước lưới h = b − a

N , chúng ta xét công thứckhai triển Taylo tổng quát đối với hàm u(x):

Bằng tính toán cụ thể, ta có các công thức sau đây

f00(xn) = 1

12h2 (35fn− 104fn−1+ 114fn−2− 56fn−3+ 11fn−4) + O(h2),Đạo hàm cấp 4

Các hệ số của ma trận 3 đường chéo cần thỏa mãn các điều kiện sau đây:

|Ci| ≥ |Ai| + |Bi| , i = 1, 2, , n trong đó tồn tại ít nhất một bất đẳng thứcchặt

Hệ phương trình trên được gọi là hệ 3 đường chéo Đối với hệ dạng đặc biệtnày, chúng ta có thể tìm nghiệm của hệ bằng thuật toán sau đây

Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo

Ta đi tìm nghiệm của hệ (1.1) trong dạng:

xi = αi+1xi+1+ βi+1; i = 0, 1, 2, , n − 1, (1.2)

trong đó αi+1, βi+1 được tìm từ điều kiện ràng buộc (1.2), là nghiệm của

hệ (1.1) Thay (1.2) vào (1.1) và sử dụng đẳng thức:

xi−1 = αixi + βi = αi(αi+1xi+1+ βi+1) + βi

ta được:

[αi+1(αiAi − Ci) + Bi] xi+1+ [(αiAi− Ci) Bi+1+ βiAi + di] = 0

Đẳng thức này đúng ∀i = 1, 2, , n − 1 nên:

αi+1(αiAi− Ci) + βi = 0,(αiAi− Ci) Bi+1+ βiAi + di = 0

Từ đó ta có công thức truy hồi:

phương trình cuối cùng của hệ (1.1)

Anxn+1− Cnxn = −dn.Lại theo (1.2) ta có: xn−1 = αnxn+ βn

Loại trừ xn−1 từ hệ này, ta suy ra được: xn = βnAn+ dn

Cn− Anαn

.Như vậy nghiệm của hệ (1.1) được tìm theo công thức

Thuật toán thông thường

Sử dụng các công thức sai phân với độ chính xác cấp 2, ta có

Thuật toán với độ chính xác bậc cao

Sử dụng các công thức xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao, ta thuđược

12h(25un− 48un−1+ 36un−2− 16un−3+ 3un−4) = B.

Ta thu được hệ đại số tuyến tính

ta thu được lược đồ sai phân với đội chính xác cấp 6 (do không phải sai phânđiều kiện biên)

Bởi vì ma trận A của hệ không phải dạng 3 đường chéo, do đó hệ khônggiải được bằng thuật toán truy đuổi

Nhận xét: Có thể thấy rằng qua một số hữu hạn phép biến đổi thì ta cóthể chuyên hệ ban đầu về dạng 3 đường chéo với các hệ số được xác định bởicác công thức:

Do điều kiện α0, α1 > 0, β0, β1 ≥ 0 do đó các hệ số của hệ thỏa mãn tínhchất

|a00| > |a01| , |ann| > |an−1n| , |aii| = |aii−1| + |aii+1| , ∀i = 1, 2, , n − 1.Tức là hệ thu được là hệ 3 đường chéo có tính chất chéo trội và hệ sẽ giảiđược bằng thuật toán 3 đường chéo với độ phức tạp tính toán O(n)

Kết luậnNội dung chính của chương 1 trình bày các lý thuyết cơ bản về không gianmetric, nguyên lý ánh xạ co và cơ sở của các phương pháp sai phân, xấp xỉđạo hàm dựa trên khai triển Taylo tổng quát Các kết quả này chính là cơ sở

để nghiên cứu các nội dung trong các chương tiếp theo của luận văn

Chương 2

Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao và hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu

Nội dung chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết để xây dựng các lược đồ tínhtoán tìm nghiệm số cho phương trình và hệ phương trình vi phân Các kếtquả lý thuyết được tham khảo trong các tài liệu [1, 8, 9, 10]

2.1 Cơ sở lý thuyết về phương pháp Runge-Kutta

Xét bài toán Cauchy, hay còn gọi là bài toán giá trị ban đầu: Tìm y(x)thỏa mãn điều kiện:

y0 = f (x, y), x0 ≤ x ≤ xy(x0) = y0, (y, f ∈ Rm) (2.1)

Ta quan tâm đến phương pháp tìm nghiệm bằng số của (2.1) tại điểm

x1 = x0 + h với bước h > 0 Hai nhà toán học người Đức là Runge và Kutta

đề xuất một phương pháp tìm nghiệm y1, chỉ phải tính một hàm f (x, y) tạimột số điểm khác nhau:

Đặt y1 = y0 + ∆y0, trong đó ∆y0 = pr1k1(h) + + prrkr(h)

ki(h) = hf (ξi, vi) ; ξi = x0 + αih; α1 = 0;

vi = y0+ βi1k1(h) + + βi,i−1ki−1(h) , i = 1, r

Gọi ϕr(h) := y (x0 + h) − y1 = y (x0 + h) − y (x0) − ∆y0 là sai số (địa

phương) của phương pháp Runge-Kutta Nếu ϕ(s+1)r (0) 6= 0 thì:

i

+ O hs+1

Runge-Kutta chọn các hệ số αi, βij, prj từ điều kiện:

ϕ(i)r (0) = 0, (i = 0, s); ϕ(s+1)r (0) 6= 0 với s càng lớn càng tốt

Như vậy ϕ(i)r (0) = y(i)0 −hpr1k(i)1 (0) + + prrkr(i)(0)i = 0, i = 0, s
, hay ta

có phương trình phi tuyến để xác định các hệ số αi, βij, prj:

(

pr1k1(i)(0) + pr2k(i)2 (0) + + prrkr(i)(0) = y(i)0

Xuất phát từ phương pháp Runge-Kutta tổng quát, chúng ta thu được một

số phương pháp cụ thể như sau:

Lipschitz theo biến y với hằng số Lipschitz L > 0, ngoài ra vi phân toàn phần

y0(1) = p21k1(l)(0) + p22k(l)2 (0); l = 1, 2
(2.4)

Vì k1(h) = hf (x0, y0) nên k1(0) = 0; k10 (0) = f (x0, y0) và k001(0) = 0 Tiếptheo k2(h) = hf (ξ2, v2) trong đó ξ2 = x0 + α2h; v2 = y0 + β21k1(h) Ta có:

Biến đổi phương trình thứ hai của hệ, ta được:

Ngoài ra ta còn đòi hỏi ϕ004(0) = ϕ0004 (0) = ϕ(4)4 (0) = 0

Kết quả là có 11 phương trình đối với 13 ẩn: α2, α3, α4, β21, β31, β32, β41, β42,

β43, p4i; i = 1, 4
Như vậy sẽ có một họ các công thức RK4 Công thức thông

U = (x1, x2, , xm)T;

F (t, U ) = (f1(t, U ), , fm(t, U ))T,

U0 = (x10, , xm0)T.Khi đó hệ (2.9) tương với phương trình vi phân cấp 1 dạng vecto

Có thể chứng minh rằng lược đồ (2.11) cũng có độ chính xác bậc 4.

2.3 Phương pháp Runge-Kutta đối với phương trình vi phân cấp

cao

Xuất phát từ các kết quả truyền thống đối với phương trình vi phân cấp

1, sau đây chúng ta sẽ đưa ra các kết quả khi mở rộng các phương pháp chophương trình vi phân dạng tổng quát cấp n

Xét bài toán biên

u(n) = f (x, u, u0, , u(n−1)), x ∈ [a, b],u(a) = u0,a, , u(n−1)(a) = un−1,a (2.12)Việc xây dựng phương pháp sai phân trực tiếp cho phương trình vi phâncấp cao là khó khăn vì vấn đề xác định các công thức sai phân cho các đạohàm cấp cao là khó, tuy nhiên chúng ta có thể sử dụng các phép biến đổidạng vecto để đưa về dạng phương trình vi phân cấp 1 như sau:

Khi đó bài toán (2.12) là tương đương với bài toán sau đây:

U0 = F (x, U ), x ∈ [a, b], U (a) = Ua

Sử dụng sơ đồ tính toán tương tự như phương pháp Runge-Kutta, ta có sơ

đồ sai phân một cách hình thức như sau:

Các kí hiệu U, K1, K2, K3, K4, F, Ua đều là các vecto n chiều

Chú ý rằng khác với lược đồ (2.11), trong lược đồ (2.14) thì nghiệm xấp

xỉ của phương trình vi phân cấp cao nhận được chính là tọa độ đầu tiên củavectơ U Tương tự như lược đồ (2.11), lược đồ (2.14) cũng có độ chính xác làbậc 4 Sau đây là một số kết quả xây dựng lược đồ sai phân cho phương trìnhcấp cao.

Bài toán cấp 2

u00 = f (x, u, u0), x ∈ [a, b],u(a) = u0,a, u0(a) = u1,a

Ki = pi

ki

!, v = u0, U = u

v

!, U0 = u0a

u1a

!, i = 1, 2, 3, 4

p1

k1

!+ 26

p2

k3

!+ 26

p3

k3

!+ 16

p4

k4

!,

Bài toán cấp 3

u000 = f (x, u, u0, u00), x ∈ [a, b],u(a) = u0,a, u0(a) = u1,a, u00(a) = u2a

2.4 Giới thiệu thư viện QH_2015

Xuất phát từ các lược đồ tính toán đối với phương trình vi phân cấp 1,lược đồ đối với phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính và các sơ đồ QH_2,QH_3, đối với các phương trình vi phân phi tuyến cấp cao và hệ phươngtrình vi phân Tham khảo thư viện QH_2015 gồm các hàm cho phép trả lạinghiệm bằng số của các phương trình tương ứng

Trong thiết kế thư viện, thống nhất sử dụng hệ thống các kí hiệu như sau:+ a, b là giá trị 2 đầu mút của đoạn [a, b]

+ n là số nút lưới chia đoạn [a, b]

+ h = b − a

n là bước lưới.

+ α0, α1, β0, β1, A, B là các hệ số trong hệ điều kiện biên đối với phươngtrình vi phân tuyến tính cấp 2

+u0,a, u1,a, , un−1,a là các giá trị đầu cho phương trình vi phân phi tuyếncấp n tổng quát Các hàm được xây dựng trong thư viện gồm:

+ Hàm Rk1(a, b, n, u0,a) trả lại kết quả nghiệm bằng số đối với phươngtrình vi phân cấp 1 theo phương pháp Euler 1

+ Hàm Rk2(a, b, n, u0,a) trả lại kết quả nghiệm bằng số đối với phươngtrình vi phân cấp 1 theo phương pháp Euler 2

+ Hàm Rk4(a, b, n, u0,a) trả lại kết quả nghiệm bằng số đối với phươngtrình vi phân cấp 1 theo phương pháp Runge-Kutta

+ Hàm qh4(a, b, n, α0, α1, β0, β1, A, B) trả lại kết quả nghiệm bằng số đốivới phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ điều kiện đầu với độ chínhxác cấp 4 sử dụng thuật toán truy đuổi 3 đường chéo

+ Hàm qhm(a, b, n, U0) trả lại kết quả nghiệm bằng số đối với phương trình

vi phân phi tuyến cấp n sử dụng lược đồ tính toán QH_m

+ Hàm qhhm(a, b, n, X0) trả lại kết quả nghiệm bằng số đối với hệ phươngtrình vi phân phi tuyến cấp 1 sử dụng lược đồ tính toán QH_m

N Sai số phương pháp m=2 m=3 m=4 m=5 m=10

10 8.0e-7 3.0e-7 5.7e-7 2.4e-7 3.3e-7

100 7.8e-11 3.0e-11 5.5e-11 2.1e-11 3.0e-11

500 1.2e-13 4.8e-14 8.8e-14 3.3e-14 4.8e-14

1000 8.8e-15 4.8e-15 6.8e-15 3.4e-15 4.8e-15

10000 2.6e-15 2.8e-15 2.8e-15 2.8e-15 2.8e-15 Bảng 2.1: Kết quả kiểm tra sai số đối với lược đồ QH_m

u∗(x) = e−x, x ∈ [0, 1]

Xuất phát từ lược đồ tính tốn phương trình vi phân cấp 1,lược đồ phương trình vi phân cấp tuyến tính sơ đồ QH_2,QH_3, phương trình vi phân phi tuyến cấp cao hệ phươngtrình... 4.

2.3 Phương pháp Runge-Kutta phương trình vi phân cấp

cao

Xuất phát từ kết truyền thống phương trình vi phân cấp

1, sau đưa kết mở rộng phương pháp chophương trình vi phân. .. data-page="21">

Chương 2

Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu

Nội dung chương trình bày sở lý thuyết để xây