Hiệu chỉnh tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều

Ta xét phương trình toán tử 1 trong trường hợp f không được biết chính Nếu không có các điều kiện đặc biệt đặt lên toán tử A chẳng hạn tính đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, thì phương tr

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Nguyễn Thị Thu Thủy

TS Lâm Thùy Dương

THÁI NGUYÊN - 2016

Mục lục

1.1 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert 4

1.1.1 Không gian Banach 4

1.1.2 Không gian Hilbert 7

1.1.3 Toán tử đơn điệu 8

1.2 Phương trình toán tử đơn điệu 10

1.2.1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh 10

1.2.2 Ví dụ phương trình toán tử đặt không chỉnh 12

1.3 Một số bài toán liên quan đến phương trình toán tử đơn điệu 17 1.3.1 Bài toán điểm bất động 17

1.3.2 Bài toán cân bằng thị trường 19

2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử: Tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều 21 2.1 Hiệu chỉnh phương trình toán tử 21

2.1.1 Toán tử hiệu chỉnh 22

2.1.2 Hiệu chỉnh trong trường hợp toán tử A liên tục và đóng yếu 23

2.1.3 Hiệu chỉnh trong trường hợp toán tử A đơn điệu 26

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tácgiả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoahọc của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn

và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luậnvăn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệmKhoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, cùng cácgiảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán của trường Đại học Khoa học đãtạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8A (khóa2014–2016) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình họctập, nghiên cứu

Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, lãnh đạođơn vị công tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốtnhất cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Việt Hà

Bảng ký hiệu

Lời nói đầu

Đề tài luận văn nghiên cứu phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong

ở đây A : D(A) ⊆ H → H, f ∈ H, D(A) là ký hiệu tập xác định của toán tử A.

Ta xét phương trình toán tử (1) trong trường hợp f không được biết chính

Nếu không có các điều kiện đặc biệt đặt lên toán tử A (chẳng hạn tính đơn điệu

đều hoặc đơn điệu mạnh), thì phương trình toán tử (1), nói chung, là một bàitoán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán (khi dữ kiện thayđổi nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duy nhất hoặc nghiệmkhông phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu Để giải loại bài toán này ta phải

sử dụng các phương pháp giải ổn định sao cho khi sai số của dữ kiện càng nhỏthì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu.Những người có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh làcác nhà toán học A N Tikhonov [6], M.M Lavrentiev [5] và V.K Ivanov [4]vv Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi và rất hiệu quả giảibài toán đặt không chỉnh là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Kể từ năm 1963khi A.N Tikhonov [6] đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng thì lý thuyết bài

toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi động và có mặt ở hầu hết cácbài toán thực tế.

Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh phươngtrình toán tử đơn điệu (1) trong không gian Hilbert trong bài báo [3] Cụ thể lànghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh phương trình toán tử (1) trong

trường hợp toán tử A liên tục, đóng yếu, đơn điệu; đồng thời nghiên cứu tốc độ

hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1: Giớithiệu về toán tử đơn điệu, phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trongkhông gian Hilbert, không gian Banach và một số bài toán liên quan đến toán

tử đơn điệu, đó là bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Chương 2: Trìnhbày kết quả nghiên cứu trong [3] về phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán

tử đơn điệu, đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và xây dựng xấp xỉhữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh

Chương 1

Phương trình toán tử

Chương này trình bày khái niệm về toán tử đơn điệu, phương trình toán tử đơnđiệu đặt không chỉnh trong không gian Banach và không gian Hilbert; giới thiệumột số bài toán liên quan đến phương trình toán tử toán tử đơn điệu Các kiếnthức của chương này được tổng hợp từ các tài liệu [1]–[3]

1.1 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert

1.1.1 Không gian Banach

Mục này trình bày khái niệm và một số kết quả về không gian Banach Các kiếnthức của mục này được tham khảo trong [2]

Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X Ánh xạ d : X ×X → R được gọi là một mêtric

nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:

(i) d(x,y) ≥ 0 với mọi x,y ∈ X; d(x,y) = 0 ⇔ x = y;

(ii) d(x,y) = d(y,x) với mọi x,y ∈ X;

(iii) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) với mọi x,y,z ∈ X.

Tập X cùng với mêtric d xác định như trên được gọi là không gian mêtric,

ký hiệu là (X,d).

Định nghĩa 1.1.2 Không gian mêtric (X,d) được gọi là không gian đầy đủ (hay

không gian đầy) nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.

Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian tuyến tính X trên trường số thực, ánh xạ

||.|| : X → R được gọi là chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:

(i) ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ X; ||x|| = 0 ⇔ x = 0;

(ii) ||kx|| = |k|.||x|| với mọi x ∈ X, với mọi k ∈ R;

(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x,y ∈ X.

Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn k.k xác định như trên được gọi là không gian định chuẩn, ký hiệu là (X,||.||).

X ta có f (x n ) → f (x0) khi n →∞

Nhận xét 1.1.5 Một dãy hội tụ mạnh thì hội tụ yếu, nhưng ngược lại thì chưa

chắc đã đúng

Ví dụ, trong không gian l2 lấy dãy {e i}∞i=1 sao cho he i , e j i = 1 khi i = j

và he i , e j i = 0 khi i 6= j Khi đó, với mọi ϕ = (ϕ1,ϕ2, ,ϕn , ) ∈ l2 ta có

he j,ϕi =ϕj Vì ϕ ∈ l2 nên lim

j→ ∞ϕj = 0, tức là dãy {e j}∞j=1 hội tụ yếu đến phần

thì x n ⇀ x0 và kx n k → kx0k

Định nghĩa 1.1.7 Toán tử A từ không gian định chuẩn X vào không gian định

Tính liên tục của toán tử tuyến tính A có thể được xác định bằng cách chỉ ra

Nhận xét 1.1.8 Cho không gian định chuẩn (X,||.||) Với mọi x,y ∈ X, đặt

d (x, y) = ||x − y|| thì d là một mêtric trên X.

Do đó, mọi không gian định chuẩn đều là không gian mêtric với mêtric sinhbởi chuẩn xác định như trên

Định nghĩa 1.1.9 Không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian

, x = (x1, x2, , x n) ∈ Rn

và không gian C[a,b] các hàm liên tục trên đoạn [a,b] với chuẩn xác định bởi:

là các không gian Banach

Định nghĩa 1.1.11 Cho X và Y là các không gian Banach Một toán tử phi

Với toán tử r : X → Y từ không gian Banach X vào không gian Banach Y,

Định nghĩa 1.1.12 Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào

không gian Banach Y Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X, nếu tồn tại T ∈ L(X,Y ) sao cho

với mọi h thuộc một lân cận của điểm không Nếu tồn tại, thì T được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại x, và ta viết A′(x) = T

1.1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.13 Cho H là một không gian tuyến tính trên R Một tích vô

hướng trong H là một ánh xạ, ký hiệu h·,·i : H ×H → R thỏa mãn các điều kiện

sau:

(i) hx,xi > 0 với mọi x > 0, hx,xi = 0 ⇔ x = 0;

(ii) hx,yi = hy,xi với mọi x,y ∈ H;

(iv) hx + y,zi = hx,zi + hy,zi với mọi x,y,z ∈ H.

Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng h·,·i được gọi là không gian

tiền Hilbert

Nhận xét 1.1.14 (i) Không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn

với chuẩn:

(ii) Đẳng thức hình bình hành luôn thỏa mãn trong không gian tiền Hilbert H:

||x + y||2+ ||x − y||2= 2(||x||2+ ||y||2) ∀x,y ∈ H.

Ngược lại, nếu không gian định chuẩn X có chuẩn thỏa mãn đẳng thức

hình bình hành thì trên đó ta có thể xây dựng tích vô hướng

hx,yi = 14||x + y||2− ||x − y||2 ∀x,y ∈ H.

Khi đó X trở thành không gian tiền Hilbert.

(iii) Trong không gian tiền Hilbert bất đẳng thức Schwarz luôn thỏa mãn

|hx,yi| ≤ ||x||.||y|| ∀x,y ∈ H.

Định nghĩa 1.1.15 Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian

Hilbert

hướng được xác định tương ứng là:

x (t)y(t)dt, x (t), y(t) ∈ L2[a, b].

→ ∞hx n , yi = hx,yi với mọi y ∈ H.

Định nghĩa 1.1.18 Tập hợp C ⊂ H được gọi là lồi nếu

∀x1, x2 ∈ C, ∀λ ∈ (0,1) ⇒λx1+ (1 −λ)x2∈ C.

Ví dụ 1.1.19 Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng, đường

thẳng, tam giác, hình cầu là các tập lồi

đều có giới hạn thuộc C, tức là

n

Ví dụ 1.1.21 Hình cầu đóng B(a,r) := {x ∈ H : kx − ak ≤ r} tâm a, bán kính

1.1.3 Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.1.22 Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của không gian

Hilbert thực H, A : C → H là một toán tử từ C vào H Toán tử A được gọi là:

(i) L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho

kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk ∀x,y ∈ C;

Nếu 0 < L < 1 thì A là toán tử co, nếu L = 1 thì A là toán tử không giãn; (ii) Bị chặn trên C, nếu với mỗi tập con khác rỗng bị chặn B của C, tồn tại

(iii) Đơn điệu trên C, nếu

hA(x) − A(y),x − yi ≥ 0 ∀x,y ∈ C;

∀x,y ∈ C.

với mọi x,y thuộc X.

Một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục trên X thì demi-liên tục.

lim

||x||→+∞

hA(x),xi

1.2 Phương trình toán tử đơn điệu

1.2.1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh

Xét phương trình toán tử

trong đó A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y, f là phần tử thuộc Y Sau đây là một định nghĩa của Hadamard.

Định nghĩa 1.2.1 Cho A là một toán tử từ không gian Banach X vào không

gian Banach Y Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu (1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;

(2) nghiệm này là duy nhất;

(3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán (1.1)được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed)

Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f , nghĩa là x = R( f ), được gọi

là ổn định trên cặp không gian (X,Y ) nếu với mỗiε > 0 tồn tại một sốδ(ε) > 0sao cho từρY ( f1, f2) ≤δ(ε) cho ta ρX (x1, x2) ≤ε, ở đây

x i = R( f i ), x i ∈ X, f i ∈ Y, i = 1,2.

Nhận xét 1.2.2 Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này nhưng

lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác

Nếu A là toán tử đơn điệu thì phương trình (1.1) được gọi là phương trình

toán tử đơn điệu

Định lý 1.2.3 Giả sử A là một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục thỏa mãn điều

kiện: tồn tại một số M > 0 sao cho với mọi x ∈ X, kxk ≥ M thì hA(x),xi > 0 Khi đó phương trình toán tử A(x) = 0 có ít nhất một nghiệm.

Định lý 1.2.4 Nếu A là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bức từ không

Trong nhiều áp dụng, thay cho giá trị chính xác (A, f ), ta chỉ biết được các

Sau đây ta sẽ chỉ ra một vài ví dụ về toán tử A mà (1.1) là bài toán đặt không

chỉnh Trước hết ta nhắc lại định nghĩa của toán tử liên tục mạnh

Định nghĩa 1.2.5 Toán tử (phi tuyến) A được gọi là liên tục mạnh, nếu nó ánh

xạ mọi dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh

Sau đây là một kết quả về toán tử liên tục mạnh

Mệnh đề 1.2.6 Cho X và Y là các không gian Banach thực Nếu A là toán tử

tuyến tính compact thì A liên tục mạnh.

Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.1) (vô hạn chiều) nói chung là

vào dữ kiện ban đầu

Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán tử với

toán tử liên tục mạnh Chẳng hạn, nếu miền xác định D(A) của toán tử A là hữu

hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đó chứng minh trên không

áp dụng được Và nếu ta xét một toán tử tuyến tính compact với miền ảnh R(A)

phương trình A(x) = f là bài toán đặt chỉnh.

1.2.2 Ví dụ phương trình toán tử đặt không chỉnh

Ví dụ 1.2.7 Xét phương trình toán tử (1.1) với A là một ma trận vuông cấp

Khi đó phương trình A(x) = f vô số nghiệm.

Như vậy ta thấy chỉ cần một thay đổi nhỏ trong dữ kiện ban đầu đã dẫn đếnthay đổi lớn của nghiệm Vậy bài toán đã cho là bài toán đặt không chỉnh

Ví dụ 1.2.8 Xét phương trình tích phân Fredholm loại I

b

Z

a

K (x, s)ϕ(s)ds = f0(x), x ∈ [a,b],

vuông [a,b] × [a,b] Ta xét hai trường hợp sau.

b a

b

Z

a sin2(ωx )dx

1 2

=|N|

r

2ωsin(ω(b − 1))cos(ω(b + a)).

ρL2[a,b](ϕ0,ϕ1) lại rất lớn Do đó, phương trình tích phân Fredholm loại I là bàitoán đặt không chỉnh

với hệ số (a0, a1, , a n , ) ∈ l2 được cho xấp xỉ bởi c n = a n+ εn , n ≥ 1 và

có thể làm cho lớn bao nhiêu cũng được Ví dụ, tại t = 0 chuỗi trên phân kỳ.

không gian các hàm với độ đo đều, thì bài toán tính tổng chuỗi Fourier là không

ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ Tuy nhiên, nếu xét trong không

với sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng ở trên cũng sai khác nhau

không nhiều trong L2[0,π]

Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán đặt không chỉnh nên người

A (x0) = f ,

và

kx0− x∗k = min{kx − x∗k : Ax = f }, trong đó S là tập nghiệm của bài toán (1.1), được giả thiết là khác rỗng Bằng

1.3 Một số bài toán liên quan đến phương trình toán tử đơn điệu

Cho C là một tập lồi bất kỳ trong không gian Hilbert thực H và T : C → C là một ánh xạ Bài toán điểm bất động, ký hiệu là FP(T,C) (fixed point problem),

được phát biểu như sau:

Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.2) tương đương với việc giảiphương trình toán tử:

ở đây I là toán tử đơn vị trong không gian Hilbert H.

Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của Banach vàonăm 1922 như sau:

Định lý 1.3.1 Cho (X,d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ

co Khi đó, T có duy nhất điểm bất động q trong X và với xấp xỉ ban đầu tùy ý

tới q.

tụ tới phần tử q ∈ X Với mỗi n ≥ 0 ta có

0≤ d(q,T (q)) ≤ d(q,x n ) + d(x n , T (q))

= d(q, x n ) + d(T (x n−1), T (q))

≤ d(q,x n ) + kd(x n−1, q).

Từ đó 0 ≤ d(q,T (q)) ≤ 0 suy ra d(q,T (q)) = 0 hay T (q) = q Vậy q là điểm bất động của ánh xạ T

Tính duy nhất: Giả sử tồn tại p ∈ X sao cho T (p) = p Khi đó

Bây giờ ta xét bài toán cân bằng thị trường được mô tả dưới dạng phương trình

toán tử Một cơ sở sản xuất phân phối n mặt hàng ký hiệu lần lượt bởi i, i =

1, 2, , n cho m đại lý tiêu thụ mỗi đại lý được ký hiệu bởi j, j = 1, 2, , m.

Ký hiệu p là véc tơ n-chiều biểu thị giá của mỗi mặt hàng gồm các thành phần

p = (p1, p2, , p n ) Giả sử lượng cầu đối với mặt hàng thứ i của tất cả các đại lý

là d i Nói chung d i phụ thuộc vào giá của tất cả các mặt hàng, tức là d i = d i (p).

Tương tự ta có lượng cung của mặt hàng thứ i cho tất cả các đại lý, ký hiệu

Ta có thể tổng hợp lượng cầu đối với tất cả các mặt hàng thành một véc tơ

cột n-chiều d với các thành phần như sau: {d1, d2, , d n} và lượng cung đối

với n mặt hàng thành một véc tơ cột n-chiều s với các thành phần như sau:

{s1, s2, , s n}.

Điều kiện cân bằng của thị trường yêu cầu lượng cung của mỗi mặt hàng

phương trình sau:

s (p∗) = d(p∗)

Hệ phương trình trên có thể được biểu diễn dưới dạng phương trình tổng quát

nếu ta xác định véc tơ x ≡ p và A(x) ≡ s(p) − d(p).

2.1 Hiệu chỉnh phương trình toán tử

Cho H là một không gian Hilbert thực, A : H → H là một toán tử phi tuyến Ta

xét phương trình toán tử đã được đề cập ở Chương 1:

nghiệm S của bài toán (2.1) là khác rỗng Nếu A là toán tử đơn điệu thì S là một tập lồi đóng trong H.

toán (2.1) có x∗-chuẩn nhỏ nhất nếu

x ∈S kx − x∗k

Bài toán (2.1) nói chung là bài toán đặt không chỉnh, do đó nghiệm của (2.1)

một phương pháp giải ổn định bài toán này, sao cho khi sai số của dữ kiện banđầu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần nghiệm chính xác của bàitoán ban đầu Một phương pháp hiệu quả và được sử dụng rộng rãi là phươngpháp hiệu chỉnh Tikhonov

2.1.1 Toán tử hiệu chỉnh

cho nghiệm của bài toán này Để nhận được nghiệm ổn định ta phải sử dụng cácphương pháp hiệu chỉnh

Định nghĩa 2.1.1 Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào

k fδ− f k ≤δ, δ ∈ (0,δ1);