Một số kết quả về hình lồi đường kính của hình và vận dụng

Trong chương này chúng ta đề cập đến khái niệm đường kính của hình,bài toán chia hình phẳng thành nhỏ nhất các hình có đường kính nhỏhơn, bài toán chia hình cầu thành bốn phần có đường k

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

VŨ VĂN NINH

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI, ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI, ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trần Xuân Quý

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

1.1 Khái niệm về hình lồi [3] 2

1.2 Giao của các hình lồi [7] 6

2 Về hình lồi và đường kính của hình 18 2.1 Định nghĩa đường kính của hình [3] 18

2.2 Đặt vấn đề [3] 28

2.3 Chia hình phẳng 29

2.4 Chia hình cầu 33

3 Một số dạng toán vận dụng 38 3.1 Về hình lồi [2], [3] 38

3.2 Một bài thi học sinh giỏi các nước [2], [7] 49

triển mạnh mẽ trên thế giới trong những năm gần đây Các kết quả liênquan không chỉ hấp dẫn các nhà toán học ứng dụng mà còn hấp dẫn các

em học sinh phổ thông, bởi các kết quả lập luận tư duy hấp dẫn Đâycũng là chủ đề khai thác cho các bài toán thử tài và phải triển tư duycho học sinh trung học Đó là lý do, tôi lựa chọn chủ đề này đề thực hiện

đề tài luận văn Thạc sĩ Toán học, chuyên ngành Phương pháp toán sơcấp, với đề tài: "Một số kết quả về hình lồi, đường kính của hình và vậndụng" Luận văn sẽ trình bày một số kết quả về hình lồi, đường kínhcủa hình: giao khác rỗng của các hình lồi, bài toán chia hình, một sốdạng toán vận dụng Ngoài phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo,luận án gồm ba chương

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta đề cập đến khái niệm hình lồi và các kếtquả về giao khác rỗng của các hình lồi

Chương 2 Về hình lồi và đường kính của hình

Trong chương này chúng ta đề cập đến khái niệm đường kính của hình,bài toán chia hình phẳng thành nhỏ nhất các hình có đường kính nhỏhơn, bài toán chia hình cầu thành bốn phần có đường kính nhỏ hơn màkhông thể chia thành số phần nhỏ hơn

Chương 3 Một số dạng toán và vận dụng

Trong chương này trình bày các bài toán vận dụng các kết quả đượctrình bày trong chương 1, 2 và một số bài toán được lấy từ các kỳ thihọc sinh giỏi Quốc gia và Quốc tế

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chỉ bảocủa thầy giáo TS Trần Xuân Quý Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng vàbiết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo KhoaToán Trường Đại học Khoa học, các thầy các cô đã trang bị kiến thức,tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập tại trường.

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 9 năm 2017

Tác giả luận văn

Vũ Văn Ninh

1.1 Khái niệm về hình lồi [3]

Khi học hình học phẳng chúng ta đã làm quen với các hình lồi, chẳnghạn các hình tam giác, các hình bình hành, các hình thang và các đagiác đều là các hình lồi

Hình 1

Trong sách giáo khoa các đa giác lồi được đề cập tới và được định nghĩanhư sau: một đa giác là đa giác lồi khi nó nằm về một phía của đườngthẳng đi qua một cạnh bất kì

Nhưng định nghĩa này rất hạn chế không thể áp dụng cho hình có

ít nhất một cạnh không phải là đoạn thẳng (chẳng hạn hình tròn, cáchình e-lip), hoặc là hình không có giới hạn trong mặt phẳng (một gócchẳng hạn)

Để mở rộng khái niệm hình lồi người ta đưa ra định nghĩa sau đây

mở rộng cho các hình không phải là các đa giác

Định nghĩa 1.1 Một hình F được gọi là lồi khi và chỉ khi mọi điểm A,

B thuộc F thì đoạn AB thuộc F

Hình 2

Dễ thấy rằng các đa giác lồi cũng lồi theo khái niệm này Và ngoài các

đa giác lồi thì các hình tròn, hình elip, hình viên phân hình không cógiới hạn trong mặt phẳng cũng là hình lồi

Hình 3

Trong hình trên ta có thể tìm thấy các ví dụ về hình không phải là hìnhlồi Các hình lồi đóng (hiểu theo nghĩa giải tích là nó chứa tất cả cácđiểm giới hạn của nó) và bị chặn (có thể phủ nó bằng một hình tròn đủlớn) được gọi là các oval Ngoài ra còn có các hình lồi không bị chặn:nửa mặt phẳng, một góc nhỏ hơn 180 độ, một dải, phần mặt phẳng giớihạn bởi một đường thẳng parabol

Các điểm của một hình lồi được chia thành hai loại điểm trong vàđiểm biên

Định nghĩa 1.2 Một điểm gọi là điểm trong của hình lồi F nếu tồn tạimột hình tròn nhận nó làm tâm và nằm hoàn toàn trong F

F

Hình 5

Định nghĩa 1.4 Nếu F hình lồi đóng thì tập hợp các điểm biên lànhững đường liên tục được gọi là biên của F Các oval có biên là mộtđường khép kín

Các hình trong luận văn này đều được hiểu là các hình đóng có tính cảbiên, trừ trường hợp ngoại lệ mà ta nói rõ

Định lý 1.1 Một đường thẳng qua điểm trong hình lồi F cắt biên tạiđúng 2 điểm Khi đó đoạn nối hai điểm này nằm trong F

Bây giờ xét B là một điểm biên tùy ý của một hình lồi F Từ B ta kẻnhững nửa đường thẳng xuất phát từ B và chạy qua ít nhất một điểmbên trong của F

Hình 6

Các tia này sẽ tạo nên một nửa mặt phẳng hoặc là tạo nên một góc lồi

Định nghĩa 1.5 Đường thẳng d đi qua ít nhất một điểm biên và không

đi qua điểm trong nào của hình lồi F gọi là đường thẳng tựa của F

Trong trường hợp thứ nhất đường thẳng tạo nên nửa mặt phẳng làđường thẳng tựa duy nhất của F

Các tia tạo nên bởi BA+ và BC+ được gọi là nửa tiếp tuyến của F tại

B Tóm lại là đi qua một điểm biên tùy ý của F có ít nhất một đườngthẳng tựa

Định lý 1.2 Qua một điểm biên B của hình lồi F có ít nhất một đườngthẳng tựa Trong trường hợp có duy nhất một đường thẳng tựa thì B gọi

là điểm chính quy của F

hình tròn có bán kính cho trước hay không (ta có thể thấy ngay điều

đó tương đương với câu hỏi: liệu họ các hình tròn có tâm tại các điểm

đã cho và bán kính cho trước có giao với nhau khác rỗng hay không?).Những câu hỏi tương tự như vậy có thể đặt ra mặc dù có thể khó nhậnbiết hơn Chẳng hạn ta có thể hỏi khi nào trong đa giác cho trước tồntại một điểm, có thể từ đó quan sát được hết tất cả các cạnh của đagiác

Nhưng hình lồi trong không gian một chiều (đường thẳng) có thểnhận biết và chia lớp khá đơn giản Chúng chỉ có thể là một đoạn, mộtkhoảng, một tia hoặc là cả đường thẳng mà thôi Trong không gian 2-chiều, tức là trên mặt phẳng thì hình lồi đa dạng hơn và đặc biệt khó làvấn đề nhận biết khi nào giao của chúng khác rỗng Chẳng hạn nếu chotrước một hình (hoặc hệ một điểm) thì rất khó trả lời khi nào có thểphủ nó bằng một hình tròn bán kính R Ta có thể dễ dàng nhận thấyrằng câu hỏi đó tương đương với câu hỏi liệu hệ các hình tròn bán kính

R có tâm tại các điểm thuộc hình (hoặc hệ điểm cho trước) có giao khácrỗng hay không?

Trước hết ta có thể dễ dàng chứng minh mệnh đề sau cho không gianmột chiều:

Định lý 1.3 Một họ I các đoạn thẳng [ai, bi] trên đường thẳng cho trước

có giao khác rỗng khi và chỉ khi giao của hai đoạn bất kì trong chúngkhác rỗng

Chứng minh:

Điều kiện cần: Nếu giao các đoạn của họ I khác rỗng

⇒ ∃c ∈ ∩I ⇒ c ∈ [ai, bi] ∩ [aj, bj] , ∀i, j

Điều kiện đủ: Nếu giao của hai đoạn thẳng bất kì trong một họ cácđoạn thẳng khác rỗng thì giao của họ các đoạn thẳng này sẽ khác rỗng.Lưu ý rằng [ai, bi] ∩ [aj, bj] tương đương với điều kiện

min{bi, bj} ≥ max{ai, aj} Thậy vậy, nếu:

sẽ thuộc giao chung của tất cả các đoạn thẳng thuộc họ I ♦

Chú ý: Ta phải dùng inf và sup vì nếu I là họ vô hạn các đoạn thìmin{bi, bj}; max{ai, aj} có thể không tồn tại Ví dụ

, n ∈ N∗



I =  1

n; 1 +

1n

, n ∈ N∗



Ta chứng minh quy nạp theo số n các hình lồi (n ≥ 4).

Vậy ta chỉ xét 4 điểm A1, A2, A3, A4 phân biệt

Trường hợp 2 A1, A2, A3, A4 thẳng hàng

Giả sử A2A3 ⊂ A1A4

⇒ A2 ∈ A1A4 ⇒ A2 ∈ F2 ⇒ A2 ∈ F1 ∩ F2 ∩ F3 ∩ F4

Trường hợp 3 Bao lồi của A1, A2, A3, A4 là tứ giác A1A2A3A4

Xét O là giao điểm của 2 đường chéo A1A3 và A2A4 Suy ra

O ∈ A1A3 ⇒ O ∈ F2∩ F4

O ∈ A2A4 ⇒ O ∈ F1∩ F3

⇒ O ∈ F1 ∩ F2 ∩ F3 ∩ F4

Trường hợp 4 Bao lồi của A1A2A3A4 là tam giác

Giả sử A4 nằm trong hoặc trên 4A1A2A3 mà A1, A2, A4 ∈ F4

⇒ 4A1A2A4 ⊂ F4 ⇒ A4 ∈ F4.

⇒ A4 ∈ F1 ∩ F2∩ F3 ∩ F4

Vậy định lý đúng cho trường hợp n = 4

Giả sử định lý đúng cho trường hợp n ≥ 4 Ta chứng minh nó đúng với

n + 1 Thật vậy, xét n + 1 hình lồi F1, F2, , Fn, Fn+1 thỏa mãn giao của

Theo giả thiết quy nạp F1 ∩ F2∩ ∩ Fn−1∩ Fn ∩ Fn+1 6= ∅

Tức là n + 1 hình lồi đã cho có giao khác rỗng ♦

Định lý 1.5 Cho ba hình bình hành F1, F2, F3, các cạnh của chúng songsong với hai đường thẳng cố định Khi đó, nếu mọi cặp hai hình trongchúng có điểm chung, thì cả ba hình bình hành cũng có điểm chung

Chứng minh:

Hình 8

Ta chọn trong mặt phẳng hệ tọa độ với các trục nằm trên hai đườngthẳng đã cho Kí hiệu A1 là điểm chung của F2 và F3, A2 là điểm chungcủa F1 và F3, A3 là điểm chung của F1 và F2

Kí hiệu (xi, yi) là tọa độ của điểm Ai đối với hệ tọa độ đã chọn (i = 1,

2, 3)

3tại điểm P với tọa độ (x2, z), mà nó nằm trên cả ba hình bình hành.Thật vậy, cho các chỉ số i, j, k nhận những giá trị 1, 2, 3 và giả sử rằngbất đẳng thức sau đúng yi ≤ yj ≤ yk Khi đó bằng cách đặt yi = z, sẽnhận được kết quả cần thiết.♦

Kết hợp với Định lý 1.4 ta được kết quả

Định lý 1.6 Trong mặt phẳng cho hữu hạn các hình bình hành có cáccạnh song song với hai đường thẳng cố định Nếu mọi cặp hai hình trongchúng có điểm chung, thì tất cả các hình bình hành cũng có điểm chung

Bài toán 1.1 Chứng minh rằng một họ các đa giác đôi một cắt nhau

sẽ có một cát tuyến chung

Lời giải:

Cho họ đa giác F mà Fi∩ Fj 6= ∅ với mọi Fi, Fj ∈ F

Gọi d là đường thẳng bất kỳ

Gọi [ai, bi] là hình chiếu của Fi lên d.

Ta thấy Fi ∩ Fj 6= ∅ ⇒ [ai, bi] ∩ [aj, bj] 6= ∅

Do đó các đoạn [ai, bi] có điểm chung A

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với d là cát tuyến chung cần tìm

Bài toán 1.2 Trên mặt phẳng có một số điểm mà khoảng cách giữa haiđiểm bất kỳ trong chúng không vượt quá 1 Chứng minh rằng có thểphủ chúng bởi một hình tròn bán kính 1

√

3.Lời giải: Lấy họ các điểm Mi (i = 1, 2, , n) sao cho MiMj ≤ 1 Gọi Fi

là các đường tròn tâm Mi, bán kính 1

√

3.

Ta sẽ chứng minh giao của 3 đường tròn trong họ Fi khác rỗng

Thật vậy, xét 3 điểm bất kỳ của họ Mi giả sử là M1, M2, M3

Trường hợp 1 4M1M2M3 có một góc lớn hơn hoặc bằng 90o

Giả sử cM1 > 90o Khi đó đường tròn đường kính M2M3 chứa 4M1M2M3.Suy ra bán kính đường tròn này R < M2M3

Suy ra một trong ba góc của tam giác này có một góc lớn hơn hoặc bằng

60o Giả sử cM1 ≥ 60o

3Bài toán 1.3 Trên mặt phẳng có một số các hình tròn Biết rằng cómột đĩa tròn có tính chất là với ba hình tròn tùy ý trong chúng luôn cóthể tìm vị trí để đặt đĩa cắt cả ba hình tròn này Chứng minh rằng tồntại một vị trí để đặt đĩa cắt tất cả các hình tròn đã cho

Bài toán 1.4 Trên mặt phẳng có một số hình tròn Biết rằng có mộtđĩa tròn có tính chất là với ba hình tròn tùy ý trong chúng luôn có thểtìm vị trí để đặt đĩa phủ cả ba hình tròn này Chứng minh rằng tồn tạimột vị trí để đặt đĩa phủ tất cả các hình tròn.

Theo giả thiết cứ ba hình tròn tùy ý luôn tìm được vị trí để đĩa nằmtrong ba hình tròn này có nghĩa là cứ ba hình tròn (Ci) tùy ý có giaokhác rỗng là điểm I.

Do đó họ (Ci) có giao khác rỗng Ta đặt đĩa sao cho tâm của đĩa vào vịtrí giao khác rỗng này

Bài toán 1.6 Trên mặt phẳng có một số các đường thẳng Biết rằng

có một đĩa tròn có tính chất là với ba đường thẳng tùy ý trong chúngluôn có thể tìm vị trí đặt đĩa cắt cả ba đường thẳng này Chứng minhrằng tồn tại một vị trí cắt tất cả các đường thẳng đã cho

Lời giải:

Xét các họ đường thẳng di của đề bài và đĩa có tâm I, bán kính R

Gọi Fi là dải song song, ở đó di nằm giữa Fi và khoảng cách từ di đếnbiên của Fi là R

Ta thấy rằng, nếu di cắt đĩa thì I ∈ Fi Theo giả thiết để bài ta có ba

dải bất kỳ trong họ Fi có giao khác rỗng là I Do đó họ Fi có giao khácrỗng ta đặt đĩa sao cho tâm I của đĩa nằm ở vị trí này.

Bài toán 1.7 Trên một đường tròn đơn vị có một hệ các cung nhỏ hơn

π có tính chất là giao của ba hình bất kỳ trong chúng khác rỗng Chứngminh rằng giao của cả hệ khác rỗng

Lời giải:

Mỗi cung ứng với một hình viên phân

Hình viên phân lồi do cung nhỏ hơn π

Ba cung bất kỳ có giao khác rỗng khi và chi khi ba hình viên phân tươngứng có giao khác rỗng

Do đó họ các hình viên phân có giao khác rỗng

Lấy một điểm bất kỳ thuộc giao này, kéo dài đường thẳng nối điểm Ovới điểm này cắt đường tròn tại hai điểm Một trong hai điểm này làđiểm cần tìm

Bài toán 1.8 Trên một đường tròn đơn vị có một hệ cung có độ dàinhỏ hơn 2π

3 có tính chất là giao của hai cung bất kỳ trong chúng khácrỗng Chứng minh rằng giao của cả hệ khác rỗng

Lời giải:

Lấy một cung bất kỳ trong chúng Giả sử là cung AB

Theo giả thiết suy ra N không nằm trên bất cứ cung nào cắt đườngtròn tại điểm N và trải thẳng ra ta sẽ có bài toán:

Hai đoạn bất kỳ nhỏ hơn 2π

3 có giao khác rỗng, ta có giao của họ cácđoạn khác rỗng

Từ đó, ta có giao của họ các cung khác rỗng

Bài toán 1.9 Trong một khu triển lãm tranh có hình đa giác có cáccạnh không tự cắt Chứng minh rằng nếu cứ ba bức tường tùy ý luôntìm được một điểm nhìn thấy tất cả chúng thì ta tìm được một điểmnhìn thấy tất cả các bức tường

Lời giải:

Gọi di là họ các đường thẳng chứa cạnh của đa giác Gọi Mi là nửa mặtphẳng có bờ là di chứa một phần của đa giác liền với cạnh tương ứng.Một điểm trong đa giác nhìn thấy cạnh thì phải thuộc nửa mặt phẳngtương ứng

Vậy cứ ba bức tường tùy ý luôn tìm được một điểm nhìn thấy tất cả

chúng ứng với cứ ba nửa mặt phẳng trong họ Mi luôn có một điểmchung Do đó tất cả các nửa mặt phẳng có điểm chung Điểm chung này

là điểm cần tìm

2.1 Định nghĩa đường kính của hình [3]

Trước tiên chúng ta hãy quan sát một hình tròn Nếu bán kính của

nó là R thì đường kính d của nó sẽ là 2R Với P là một điểm tùy ýcủa hình tròn, nếu kí hiệu R(P ) và r(P ) là khoảng cách lớn nhất vànhỏ nhất từ P tới các điểm ở trên biên của hình tròn (các điểm trênđường tròn) thì R(P ) là khoảng cách từ P tới điểm trên đường tròn vàxuyên tâm đối với nó (nằm khác phía với nó so với tâm của đường tròn),còn r(P ) là khoảng cách từ P tới điểm cũng thẳng hàng với P và tâmđường tròn nhưng lại cũng phía với P Chúng ta dễ dàng nhận thấy rằngR(P ) + r(P ) = d, và R = minR(P ) : P thuộc đường tròn

Nếu chúng ta chọn một hình F là một hình tùy ý và cũng định nghĩatương tự R(P) và r(P) là khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ điểm Pcho trước trong F tới biên của F và R(F ) = max {R(P ) : P ∈ F } thìnói chung R(F ) 6= r(F ) Chẳng hạn nếu F là hình tam giác tùy ý thìR(F) là bán kính đường tròn ngoại tiếp nó và r(F) là bán kính đườngtròn nội tiếp nó Như vậy ý tưởng sử dụng tính chất bán kính để địnhnghĩa đường kính của hình tròn không đưa đến định nghĩa đường kínhcủa hình bất kỳ được

Nhưng chúng ta có thể định nghĩa đường kính của hình tròn bằng mộtcon đường khác không phụ thuộc vào bán kính của nó

Trước hết ta nhận xét rằng khoảng cách giữa hai điểm tùy ý M và Ntrong hình tròn không lớn hơn đường kính của nó

Hình 9

Và ta có thể tìm được hai điểm của hình tròn sao cho khoảng cáchgiữa chúng là đường kính của hình tròn Như vậy đường kính của hìnhtròn là khoảng cách lớn nhất của hai điểm thuộc nó

Định nghĩa 2.1 Khoảng cách d được gọi là đường kính của hình F nếu:

1 Khoảng cách giữa hai điểm bất kì M và N của hình F không lớn hơnd

2 Người ta có thể tìm được hai điểm A và B trong F sao cho AB = d

Nếu như F là một hình đa giác thì có thể thấy rằng đường kính của

F là khoảng cách lớn nhất giữa hai đỉnh nào đó của đa giác

Hình 13

Trong trường hợp tổng quát nếu F là một cung tròn giới hạn bởi mộtdây cung a thì a là đường kính của hình nếu cung tròn đó không lớnhơn nửa đường tròn và trong trường hợp cung tròn lớn hơn nửa đườngtròn thì đường kính của nó cũng đúng là đường kính của hình tròn đãcho

Hình 14

Nếu đường kính của một hình F bằng d thì trong F có thể tồn tại nhiềucặp điểm mà khoảng cách giữa chúng là d

Trong hình elip chỉ có một cặp điểm như vậy, trong một tam giác đều

có ba cặp điểm, trong hình vuông có hai cặp điểm như thế và trong hìnhtròn có vô hạn cặp điểm đường kính như vậy

Hình 15Hình F được tạo bởi từ hình tam giác đều cạnh d bằng cách từ mỗi đỉnhdựng thêm cung tròn bán kính d và giới hạn bởi hai cạnh bên cũng có

vô số cặp điểm có khoảng cách bằng đường kính

Bài toán 2.1 Cho một hình F tùy ý Với mỗi điểm P trong F ký hiệuR(P ) và r(P ) là khoảng cách lớn nhất và khoảng cách nhỏ nhất từ P đếnbiên của F Đặt R = min{R(P ) : P ∈ F } và r = max{r(P ) : P ∈ F }.Gọi d là đường kính của F Chứng minh bất đẳng thức R ≥ r Trongtrường hợp nào thì ta có đẳng thức

Lời giải:

Lấy một điểm P bất kỳ của F

• Do R(P ) là khoảng cách lớn nhất từ P tới các điểm biên của F Do

đó đường tròn tâm P , bán kính R(P ) phủ F

• Do r(P ) là khoảng cách nhỏ nhất từ P tới các điểm biên của F Do

đó F phủ đường tròn tâm P , bán kính r(P ) Vì vậy lấy 2 điểm P, Q bất

kỳ của F thì đường tròn tâm P , bán kính R(P ) phủ đường tròn tâm Q,bán kính r(Q) ⇒ R(P ) ≥ r(Q), ∀P, Q ∈ F ⇒ R ≥ r

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi F là hình tròn

Nếu có một đỉnh A nào đó của n + 1 giác có không ít hơn ba đường kính

AB, AC, AD

Không mất tính tổng quát ta có thể coi C thuộc cung nhỏ

_

BD củađường tròn (A; d) với d là đường kính của n-giác

Ta sẽ chứng minh qua C chỉ có một đường kính AC Thật vậy, giả sửtồn tại đỉnh E của n + 1 giác sao cho CE = d

Khi đó E nằm trong đường tròn (A; d) do AE < d Do CE = d nên Ephải nằm ngoài hình quạt ABD

Không mất tính tổng quát giả sử B, E khác phía với AD

Khi đó BE phải cắt đoạn AC vì nếu BE không cắt đoạn AC, ta hạ

EH vuông góc với AC tại H

CE > CH ≥ AC = d (vô lý)

Xét tứ giác ABCE ta có:

AB + CE < OB + OA + OC + OE = BE + AC

⇔ d + d < BE + d ⇔ BE > d (vô lý)

Xét n giác trong n + 1 giác bỏ đi điểm C Theo giả thiết quy nạp cókhông quá n đường chéo.

Vậy n + 1 giác có không quá n + 1 đường chéo

Chỉ ra một ví dụ

• n = 3 : Tam giác đều có 3 đường kính là 3 cạnh

• n > 3 : n giác ABA1 An−3C như hình vẽ có n đường kính

Bài toán 2.3 Chứng minh rằng mọi hình có đường kính d đều có thểphủ bởi một hình vuông cạnh d

Bài toán 2.4 Tìm số n nhỏ nhất sao cho có n điểm trong hình chữ nhật3×4 thì luôn có hai điểm trong chúng có khoảng cách nhỏ hơn √

5.Lời giải:

• Gọi hình chữ nhật kích thước 3x4 là ABCD ở đó AB = 4, AD = 3.Gọi O là giao của 2 đường chéo

Do khoảng cách giữa 5 điểm A, B, C, D, O lần lượt là 3, 4 và 5

2 đều lớnhơn √

5 nên n ≥ 6

• Ta chia hình chữ nhật ABCD thành 5 hình có đường kính √5 nhưhình sau

Nếu ta đặt vào trong hình chữ nhật ABCD n điểm (n ≥ 6) thì theonguyên lý Direcle sẽ có ít nhất 2 điểm nằm 1 trong 5 hình đường kính

√

5 ở bên

Vậy khoảng cách giữa 2 điểm này nhỏ hơn √

5

Bài toán 2.5 Có thể phủ hình F trong hình sau bằng một hình đa giác

có đường kính bằng đường kính của F hay không? Hãy tính a(F )

Lời giải:

Do hình F có vô hạn đường kính nên nếu có một đa giác phủ F có cùngđường kính thì F phải có hữu hạn đường kính Do đó, không thể phủ Fbởi một đa giác có cùng đường kính

Không thể chia F thành 2 phần có đường kính nhỏ hơn vì nếu chia Flàm 2 phần thì một trong 2 phần này phải chứa 2 đỉnh của A, B, C của

F , hình này có đường kính là đường kính của F (vô lý)

Ta có thể chia F làm 3 phần như hình trên với O là tâm của 4ABC.Vậy a(F ) = 3

Bài toán 2.6 Cho F là một hình có vô hạn đường kính Chứng minhrằng không thể phủ F bằng một đa giác có cùng đường kính

Hai đỉnh của trục lớn là hai đỉnh của đa giác phủ Tại đỉnh này có ítnhất hai đường tựa của đa giác phủ các đường này cũng là đường thẳngtựa của elip nhưng tại đỉnh của elip chỉ có một đường thẳng tựa.

Vậy không tồn tại đa giác có cùng đường kính với elip phủ elip

Bài toán 2.8 Chứng minh rằng một hình đường kính d có thể phủ đượcbởi tam giác đều có cạnh √

3d

Lời giải:

Cho hình F có đường kính d.

Ta có thể phủ F bởi một tam giác đều đủ lớn, mỗi cạnh của tam giácđều này ta tìm được hai đường thẳng tựa của F song song với cạnh này.Sáu đường thẳng tựa này tạo thành hai tam giác đều H1, H2

Lấy một điểm M bất kỳ trong F Gọi d1, d2 là đường cao của H1, H2

2.2 Đặt vấn đề [3]

Cho một hình F tùy ý, chúng ta nghiên cứu ở đây bài toán chia Fthành các phần có đường kính nhỏ hơn đường kính của hình đã cho Sốphần nhỏ nhất để có thể chia như vậy được kí hiệu là a(F)

Nếu chúng ta chia một hình tròn đường kính d ra làm hai phần bởimột đường liên tục nối hai điểm M và N nào đó trên đường tròn thì mộttrong hai phần được chia sẽ chứa điểm xuyên tâm đối M’ của M và nó

Với một tam giác đều cũng xảy ra tương tự.

Hình 18

Nếu chỉ chia một tam giác đều ra làm hai phần thì một trong hai phần

đó sẽ chứa hai đỉnh của tam giác và đường kính của phần đó chính làđường kính của hình tam giác đã cho

Như vậy là nói chung ta không chia được một hình có đường kính dlàm hai phần sao cho đường kính của mỗi phần nhỏ hơn d, nhưng ta cóthể chia chúng làm ba phần có tính chất như trên Tất nhiên có nhữnghình có thể chia làm hai phần theo đường kính nhỏ hơn đường kính củahình đã cho

Nếu F là một hình tròn hay là một hình tam giác đều thì a(F)= 3,

và F là hình bình hành hoặc là hình elip thì a(F)= 2 Vấn đề chia mộthình ra các hình có đường kính nhỏ hơn không chỉ được đặt ra với cáchình phẳng mà còn được đặt ra với các hình không gian (và cả với cáchình trong không gian n-chiều)

Vấn đề tìm các giá trị có thể của a(F) được nhà toán học BrosukK.(người Balan) đặt ra từng những năm 1933 và từ đó có rất nhiềucông trình khoa học nghiên cứu về vấn đề này Trong phần sau chúng

ta xem xét giải bài toán cho những hình phẳng và sau đó giải quyết bàitoán chia hình cầu trong không gian ba chiều

2.3 Chia hình phẳng [3]

Ở trên kia chúng ta đã thấy rằng a(F ) = 2 đúng cho một số hìnhtrong mặt phẳng (elip hoặc là hình bình hành) và đối với một số hìnhkhác, chẳng hạn đối với hình tròn hoặc tam giác đều, ta có a(F ) = 3.Một câu hỏi tất nhiên được đặt ra là liệu có hình F nào để a(F ) > 3 hay

Tương tự như vậy ta có một đường thẳng tựa thứ hai l2 // l1 sao cho

F nằm trong khoảng giữa của l1 và l2 Rõ ràng khoảng cách giữa l1 và

l2 không vượt quá d

Chọn một đường thẳng m nghiêng với l1 một góc 60◦ và tiến hànhtương tự như đối với l1 và l2, ta thu được hai đường thẳng tựa m1 //

m2 cắt cặp đường thẳng l1 // l2 tạo thành hình bình hành ABCD.Bây giờ chúng ta lùi các đường thẳng l1, l2, m1, m2, p1 và p2 sao chochúng cùng cách O một khoảng d2 thì các đường thẳng này cắt nhau tạothành một lục giác đều có khoảng cách các cặp cạnh đối diện bằng d vàchứa F ♦

Áp dụng định lí này ta có thể chứng minh dễ dàng kết quả sau:

Định lý 2.2 Mỗi hình F trên mặt phẳng với đường kính d đều có thểchia thành ba phần sao cho đường kính của mỗi phần không vượt quá

2 d Định lí được chứng minh ♦Bài toán 2.9 Hãy tìm một ví dụ về hình phẳng đường kính d khôngthể chia làm ba phần với đường kính nhỏ hơn

√3

2 d.

Lời giải: Ta lấy đường tròn Ta chia đường tròn thành ba phần thì baphần này giao nhau tại ba điểm nằm trên đường tròn, giả sử là A, B, C