Biến đổi fourier phân và ứng dụng trong cơ học lượng tử

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCPHẠM NGỌC ĐIỀN BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM NGỌC ĐIỀN

BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM NGỌC ĐIỀN

BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số : 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

Thái Nguyên - Năm 2012

Mục lục

Mục lục i

Nội dung 4 1 BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN 4 1.1 Định nghĩa và tính chất của biến đổi Fourier 4

1.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier 4

1.1.2 Tính chất toán tử của biến đổi Fourier 5

1.2 Biến đổi Fourier phân Namias 6

1.2.1 Biến đổi Fourier và đa thức Hermite 6

1.2.2 Định nghĩa biến đổi Fourier phân Namias 7

1.2.3 Bảng biến đổi Fourier phân của một số hàm đơn giản 9 1.3 Phép tính toán tử tổng quát 9

1.3.1 Phép biến đổi của tích 10

1.3.2 Phép biến đổi của đạo hàm 11

1.3.3 Phép biến đổi của tích hỗn tạp 12

1.3.4 Phép biến đổi của thương 12

1.3.5 Phép biến đổi của tích phân 13

1.3.6 Phép tịnh tiến 13

1.3.7 Phép biến đổi tương đương 14

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 152.1 Nghiệm của phương trình Schr¨odinger dừng 152.2 Nghiệm của phương trình Schr¨odinger phụ thuộc thời gian 172.3 Nghiệm của phương trình Schr¨odinger cho dao động điều

hoà cưỡng bức 192.4 Nghiệm của phương trình Schr¨odinger cho các electron tự

do trong một từ trường đồng nhất và không đổi 222.5 Sự phát triển của gói sóng điện tử trong từ trường đồng

nhất và không đổi 272.6 Nghiệm của phương trình Schr¨odinger cho các electron tự

do trong từ trường đồng nhất và biến thiên theo thời gian 31

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Những biến đổi Fourier, Laplace và sự kết hợp trong tính toán củacác biến đổi đó là một trong những công cụ có tác dụng to lớn trong toánhọc lý thuyết và ứng dụng Vô số các ứng dụng trong vật lý lý thuyết,

kỹ thuật điện và nhiều lĩnh vực khác đã khiến cho những biến đổi này làmột trong ba tiến bộ quan trọng nhất của toán học trong một phần tưcuối cùng của thế kỷ XIX Bên cạnh những biến đổi Fourier và Laplace,các nhà Toán học và Vật lý học còn sở hữu một kho tàng các phép biếnđổi tích phân khác cho từng phạm vi riêng của mình với những ứng dụngtrong thực tế Tuy nhiên, trong số đó biến đổi Fourier có vai trò nổi bậtnhất

Biến đổi Fourier phân là sự khái quát toán tử vi phân Fourier thôngthường bằng cách cho nó phụ thuộc vào một tham số liên tụcα (được chứatrong tổ hợp απ2 - Điều này cũng được sử dụng xuyên suốt trong nội dungcủa luận văn) Trong toán học, bậc α của biến đổi Fourier phân là lũythừa α của toán tử trong biến đổi Fourier thông thường Biến đổi Fourierphân bậc 1 chính là biến đổi Fourier thông thường Biến đổi bậc −α chính

là biến đổi ngược của biến đổi bậc α

Với sự phát triển của biến đổi Fourier phân và các khái niệm có liênquan, chúng ta thấy rằng miền tần số thông thường chỉ là trường hợpđặc biệt của sự liên tục các miền Fourier phân đoạn Trong lý thuyết vềviệc thay thế tín hiệu đại diện, chúng ta cũng thấy được sự liên quan đếnviệc phân bố thời gian và tần số Do đó, tất cả các tính chất của biếnđổi Fourier thông thường trở thành một trường hợp đặc biệt của biến đổiFourier phân

Những bài viết đầu tiên về biến đổi Fourier phân được thực hiện bởi:Wiener 1929, Condon 1937, Bargmann 1961, de Bruijn 1973 Điều quantrọng là trong suốt thập niên 80 của thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều bài viết

đi theo hai chiều hướng khác biệt: Namias 1980, McBride và Kerr 1987 vàMustard 1987, 1989, 1991, 1996 Tuy nhiên, số lượng các ấn phẩm chỉ thực

sự bùng nổ sau khi phép biến đổi áp dụng trong quang học và xử lý tínhiệu được công bố Trong đó, có các bài viết của: Lohmann 1993, Ozaktas

và Mendlovic 1993a,b; Mendlovic và những người khác,

Với vai trò to lớn của phép biến đổi Fourier phân trong toán học vànhững ngành khoa học khác như đã nêu ở trên, tôi đã chọn và nghiên cứuphép biến đổi này cùng những ứng dụng của nó Tuy nhiên với điều kiện

về không gian, thời gian và trình độ có hạn của bản thân nên cơ bản nộidung biến đổi chủ yếu là biến đổi Fourier phân Namias và ứng dụng trong

cơ học lượng tử và nguyên lý bất định đối với phép biến đổi Fourier phân

2 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm và đọc tài liệu từ các tạp chí toán học trong nước và quốc tếliên quan đến phép biến đổi Fourier, ứng dụng của phép biến đổi Fourierphân trong cơ học lượng tử và nguyên lý bất định đối với biến đổi Fourierphân Qua đó, tìm hiểu, học tập và giới thiệu các vấn đề này

3 Mục đích của luận văn

Mục đích của luận văn là học tập và giới thiệu các kết quả nổi bật vềphép biến đổi Fourier và dạng biến đổi Fourier phân được quan tâm nhiều

và phát triển trong khoảng 3 thập niên trở lại đây

Bên cạnh đó luận văn có đề cập đến một số ứng dụng của phép biếnđổi Fourier phân trong cơ học lượng tử và nguyên lý bất định đối với phépbiến đổi Fourier phân

4 Bố cục của luận văn

Luận văn bao gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung chính, Kết luận

và Tài liệu tham khảo

Chương 1 giới thiệu sơ lược về: phép biến đổi Fourier phân; một sốtính chất cơ bản của biến đổi Fourier phân; biểu diễn tích phân của biếnđổi Fourier phân; phép tính toán tử tổng quát của Namias [1]

Chương 2 trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier phântrong cơ học lượng tử để tìm nghiệm của phương trình Schr¨odinger cho:dao động điều hòa độc lập thời gian (dừng); dao động điều hòa phụ thuộcthời gian; dao động điều hòa cưỡng bức; các electron tự do trong một từtrường đồng nhất và không đổi; sự phát triển của một gói sóng điện tửtrong từ trường đồng nhất và không đổi; các electron tự do trong từ trườngđồng nhất và biến thiên theo thời gian của Namias [1].

Chương 3 trình bày nguyên lý bất định cho tín hiệu thực trong miềnbiến đổi Fourier phân [4]

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉbảo của Tiến sĩ Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học Việt Nam Em xin đượcbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chânthành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường Đạihọc khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốtquá trình học tập tại trường

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thànhviên trong lớp cao học toán K4B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôitrong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn

Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạnnên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự đóng góp

ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012

Tác giảPhạm Ngọc Điền

Chương 1

BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN

Mục đích của chương này là giới thiệu một số nội dung cơ bản nhất

về biến đổi Fourier phân Nội dung chủ yếu dưới đây được hình thành từtài liệu [1]

1.1 Định nghĩa và tính chất của biến đổi Fourier

1.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier

Để có thể hiểu về biến đổi Fourier và biến đổi Fourier phân (Namias),trước hết ta xét biến đổi Fourier thông thường trong L2(R) Các kết quảdưới đây có thể thấy trong nhiều tài liệu, thí dụ [1]

Định nghĩa 1.1 Cặp biến đổi Fourier thuận, ngược thông thường đượcđịnh nghĩa là

Định nghĩa 1.2 Biến đổi Fourier (1.1) được viết dưới dạng toán tử:

1.1.2 Tính chất toán tử của biến đổi Fourier

Toán tử của biến đổi Fourier có một số tính chất cơ bản sau:

thỏa mãn phương trình giá trị riêng (1.5) Khi đó

eiαAe−x22 Hn(x) = einαe−x22 Hn(x) (1.6)Lấy vi phân hai vế của phương trình (1.6) theo α và cho α = 0, tađược

Ae−x22 Hn(x) = ne−x22 Hn(x) (1.7)

Tính chất 1.2 Một cách tổng quát, toán tử Fα = eiαA có biến đổi ngược

là F−α = e−iαA Biến đổi Fourier thông thường tương ứng với α = π2 vàngược lại với α = −π2 Giá trị α = 0 dẫn đến toán tử đồng nhất, khi α = π

tương ứng với các toán tử chẵn lẻ

Ví dụ 1.1 Biến đổi Fourier phân bậc 1

2 khi áp dụng 2 lần ta được biến

đổi Fourier thông thường Biến đổi được mô tả bởi toán tử Fπ

4 có thể gọi

là căn bậc hai của biến đổi Fourier thông thường

Tính chất 1.3 Trong trường hợp tổng quát, ta có: Fα+β = Fα.Fβ

Về phương diện lý thuyết, dạng toán tử Fα = eiαA rất có ích, songbản thân nó không thích hợp với việc rút gọn trực tiếp và đánh giá biếnđổi phân đoạn Ngay cả trong trường hợp biến đổi Fourier thông thường,việc sử dụng toán tử Fπ

2 = eiπA2 chưa phải là hiệu quả nhất và cách tối

ưu là sử dụng biểu diễn tích phân (1.1) Như vậy, đánh giá về sự biến đổiphân đoạn có thể được hỗ trợ bởi việc biểu diễn tích phân tương ứng

1.2.1 Biến đổi Fourier và đa thức Hermite

Ký hiệu Hn(x) là đa thức Hermite bậc n Hàm Hermite được chuẩnhoá thành một hệ trực chuẩn trong L2(R) bởi công thức

n=0

1.2.2 Định nghĩa biến đổi Fourier phân Namias

Xét toán tử tuyến tính Fα thỏa mãn phương trình giá trị riêng

n=0

trong đó các hệ số an được xác định theo công thức (1.11)

Thay (1.11) vào (1.14) ta được

Fα[f (x)] =

∞X

n=0

einαΦn(x)Φn(t) =

=

∞X

Sử dụng công thức Mehler trong [ Lebedev, Special Functions andtheir Applications]:

Định nghĩa 1.3 Với các điều kiện (1.15)-(1.17), ta có định nghĩa biếnđổi Fourier phân (Namias) như sau:

Kα(t, x) = Kα(x, t), (1.22)+∞

α → 0 chúng ta thay sin α bởi α và cot α bởi 1

δ(x + t), α = (2k + 1)π

(1.27)

1.2.3 Bảng biến đổi Fourier phân của một số hàm đơn giản

(Với các điều kiện thích hợp của tham số α)hàm f (x) Biến đổi Fourier phân Fα[f (x)]

Cũng như trong trường hợp biến đổi Fourier và Laplace thông thường,phép tính toán tử có thể xây dựng dựa trên phép biến đổi Fourier phân

1.3.1 Phép biến đổi của tích

Cho f (x) là hàm bất kì thuộc lớp L2(R), ta cần chỉ ra phép biến đổiFourier phân của xmf (x) Sử dụng hệ thức truy hồi

Hn+1(x) + 2nHn−1(x) − 2xHn(x) = 0,

chúng ta tìm thấy

Fα[x exp−x22Hn(x)] = x exp−x22ei(n+1)αHn(x)

+n exp−x22 ei(n−1)α − ei(n+1)α



Hn(x)] = −xeinαexp



−x22



Hn(x)+2neinαexp−x22Hn−1(x) (1.29)

Loại bỏ neinαexp



−x22

Hãy xem xét một hàm g(x), giả định mở rộng trong một chuỗi biếnđổi Taylor g (x) = P

bmxm Sử dụng phương trình (1.33), chúng ta thấyphương trình toán tử tổng quát hơn



1.3.2 Phép biến đổi của đạo hàm

Chúng ta muốn để có được những biến đổi đạo hàm của một hàm.Thay thế f (x) bởi df

dx trong phép biểu diễn tích phân (1.15) và lấy tích

phân từng phần, giả sử rằng f (x) → 0 khi x → ±∞ Chúng ta có

Fα[df

dx] = i cot αFα[xf ] −



ixsin α

có thể được lấy dễ dàng nhấtbằng cách sử dụng phương trình (1.31) và (1.37) Kết quả là



Fα[f ]

Từ đó, chúng ta có

Fα[fx] = sin αi
exp−ix22 cot α×

xR

đi lặp lại của kết quả trên

1.3.5 Phép biến đổi của tích phân

a

f (x) dx] + cos α d

dxFα[

xZ

chỉ số trong ngoặc vuông chứng tỏ rằng nó là đối số của hàm Fα[f ] nênđược viết là x + k cos α.

1.3.7 Phép biến đổi tương đương

Một quy tắc tương đương cho Fα[f (ax)] cũng có thể được thành lập,nhưng nó không có kết quả tương ứng của phép biến đổi Fourier thôngthường Tuy nhiên, chúng ta đề cập đến kết quả đơn giản

Fα[f (−x)] = Fα−π[f (x)] (1.46)

Chương 2

ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI

FOURIER PHÂN TRONG CƠ

HỌC LƯỢNG TỬ

Trong chương này, chúng ta cùng nhau nghiên cứu ứng dụng của biếnđổi Fourier phân trong cơ học lượng tử để tìm nghiệm của các phươngtrình Schr¨odinger cho dao động điều hòa và các electron Nội dung nàyđược đề cập đến trong nhiều tài liệu của các tác giả khác nhau Tuy nhiên,

ở đây nội dung của chương được lấy chủ yếu từ tài liệu [1]

2.1 Nghiệm của phương trình Schr¨ odinger dừng

Áp dụng các quy tắc tính toán đối với toán tử tổng quát để giảiphương trình Schr¨odinger dừng cho các dao động điều hòa

q4mk

h 2 x và Eh

qk

m = λ; γ = 12 và ta có

d2ψ

dz2 + λ − γ2z2
ψ = 0 (2.2)

Bây giờ chúng ta lấy biến đổi Fourier phân phương trình (2.2)

Fα[d

2ψ

dz2] + λFα[ψ] − γ2Fα[z2ψ] = 0 (2.3)

Sử dụng các quy tắc (1.29) và (1.36) và cho Fα[ψ] = G , chúng tathấy rằng G thỏa mãn phương trình vi phân bậc hai

G00 γ2sin2α + cos2α
+ G0(iz sin 2α) γ2 − 1

+

G− sin2α + γ2cos2α
z2 + 2i γ2 − 1

sin 2α + λ= 0 (2.4)

Bây giờ chúng ta quy phương trình này về bậc 1 bằng cách cho

γ2sin2α + cos2α = 0 Như vậy, việc quy về bậc 1 chỉ đơn giản là sửdụng một biến đổi phân đoạn với góc α sao cho

Chúng ta có thể viết cot α = iεγ, trong đó ε = ±1

Đối với dao động điều hòa, γ = 12 , và góc α thỏa mãn phương trình(2.5) là tương ứng với một biến đổi Fourier phân Sử dụng phương trình(2.4) chúng ta được



z0−(12 +2γελ)dz0 (2.8)

Rõ ràng đối với các biểu thức tích phân không mở rộng được khi

z0 → ∞, chúng ta phải chọn ε = −1 Khi cot α = ±iγ, cot2α = −γ2,

2 đếnπ

2 xung quanh nửa vòng tròn vô cùng bé quanh gốc

2.2 Nghiệm của phương trình Schr¨ odinger phụ thuộc

Đặt ψ(x, 0) là tình trạng ban đầu của bó sóng Nghiệm ψ(x, t) có thể

dễ dàng thu được từ hàm Green K(x, x0, t) thoả mãn phương trình (2.10)với điều kiện ban đầu K(x, x0, 0) = δ(x − x0) Với sự hỗ trợ của hàm Greenchúng ta thu được

và thoả mãn là toán tử đồng nhất khi biểu thức trong ngoặc vuông bằng

0 Bây giờ chúng ta chọn ∂α∂τ = −1 để phương trình (2.17) tiếp tục đượcrút gọn về dạng

−1

2Φ + i

∂Φ

Các góc α phụ thuộc vào thời gian, α = −τ + C và chúng ta chọn

C = 0 để α = 0 khi τ = 0 Do đó α = −τ

Giải phương trình tầm thường (2.18) và cho Φ = e−iτ2F (z), trong đó

F (z) được nêu ra như một hàm tuỳ ý của z Tại τ = 0, α = 0 và Fα = F0

nó là toán tử đồng nhất Như vậy,

K(z, z0, 0) = F0[Φ(z, z0, 0)] = Φ(z, z0, 0) = δ(z − z0)

do đó

Φ(z, z0, τ ) = e−iτ2δ(z − z0) (2.19)Bây giờ hàm Green được viết là



cot τ (z2 + z02) − 2zz0cos ecτ (2.21)

Thay trở lại các biến x, x0 và τ, có được dạng chuẩn của hàm Greencho dao động điều hoà của bó sóng từ (2.11) là

2.3 Nghiệm của phương trình Schr¨ odinger cho dao

động điều hoà cưỡng bức

Trong một số ứng dụng của lĩnh vực lý thuyết và lượng tử điện tử,người ta đưa đến việc nghiên cứu tác dụng động lực học được tạo ra bởi

một ngoại lực phụ thuộc thời gian F (t) mà không phụ thuộc vào vị trí.Phương trình Schr¨odinger cho dao động điều hoà cưỡng bức là

12

Φ(z, z0, 0) = F0[Φ(z, z0, 0)] = K(z, z0, 0) = δ(z − z0) (2.30)

Có nhiều cách để giải chính xác một phương trình vi phân riêng bậcmột Tuy nhiên, trong những trường hợp này chúng ta có thể phỏng đoánnghiệm có dạng

Φ(z, z0, τ ) = X(z0, τ )δ [θ(τ ) + z − z0] (2.31)Trường hợp θ(τ ) và X là hàm chưa được xác định Các điều kiện banđầu của θ và X là: θ(0) = 0 và X(z0, 0) = 1 Thay phương trình (2.31)vào (2.29), chúng ta thấy thoả mãn nếu các hệ số của δ(θ + z − z0) và

δ0(θ + z − z0) được gán bằng 0 Như vậy

θ(τ ) =

τZ

0

sin τ f (τ )dτ , (2.35)

η(τ ) =

τZ

0

cos τ f (τ )dτ , (2.36)

ξ(τ ) =

τZ

− z(z0 − θ) cos ecτ

(2.39)

Dạng khai triển theo thời gian của hàm sóng được cho bởi

2.4 Nghiệm của phương trình Schr¨ odinger cho các

electron tự do trong một từ trường đồng nhất

trong tích phân được khai triển trên toàn bộ không gian

Là một ứng dụng của phương pháp này cho trường hợp nhiều hơn mộtchiều, chúng ta nghiên cứu động lực học lượng tử của các điện tử trongmột từ trường không đổi và đồng nhất Các phương trình Schr¨odingerdừng thoả mãn bởi các hàm sóng

A, bởi −→

A = 12(−→

B × −→r ), trong

Đặt k = e4m2B2 và đưa phương trình (2.44) về dạng không có chiều bằngphương pháp đổi biến

m = 2meB là tần số Cyclo trong Chúng ta tìm được

∂2

∂ξ2 + ξ

2

2 − 12

∂2

∂η2 + η

2

2 − 12



và hình thành dạng biến đổi Fourier phân kết hợp hai chiều của toán tử

Fα = Fα(ξ)Fα(η) = Fα(η)Fα(ξ) (2.52)