Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ HOÀNG THỊ HOÀNG ANH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN TH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

HOÀNG THỊ HOÀNG ANH

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC

VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

HOÀNG THỊ HOÀNG ANH

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC

VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2018

Mục lục

1.1 Đồng nhất thức lượng giác 1

1.1.1 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm sin và cosin 1

1.1.2 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm số tang và cotang 5 1.2 Tính chất của các hàm lượng giác ngược 9

Chương 2 Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược 13 2.1 Bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác 13

2.1.1 Bất đẳng thức sinh bởi hàm cosin 13

2.1.2 Bất đẳng thức sinh bởi hàm sin 15

2.2 Bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác ngược 19

2.2.1 Một số dạng bất đẳng thức giữa lớp hàm arcsin và arccosin 19 2.2.2 Một số dạng bất đẳng thức giữa lớp hàm arctan và arccotan 23 Chương 3 Một số dạng toán liên quan 28 3.1 Các bài toán cực trị trong lượng giác 28

3.2 Phương pháp lượng giác trong đại số và hình học 35

3.2.1 Phương pháp lượng giác trong đẳng thức 35

3.2.2 Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức 41

3.2.3 Phương pháp lượng giác trong phương trình, bất phương trình 44

3.2.4 Phương pháp lượng giác trong hình học 50

3.3 Một số dạng toán liên quan từ các đề thi Olympic 60

KẾT LUẬN 66

MỞ ĐẦU

Chuyên đề lượng giác là một trong những chuyên đề quan trọng ở bậc trung họcphổ thông Tuy nhiên, do giảm tải về nội dung mà các vấn đề sâu sắc liên quanđến lượng giác ngược không còn được đề cập trong sách giáo khoa

Lượng giác không chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn là công cụ đắc lực trongnhiều lĩnh vực khác của toán học Một trong những phương pháp được sử dụngtrong đại số là khảo sát các tính chất của đa thức lượng giác để áp dụng trong cácbài toán ước lượng đánh giá đa thức và phân thức hữu tỷ, các tính toán liên quanđến đạo hàm và tích phân của biểu thức đại số

Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, Olympic Toán sinh viên, các bài toánliên quan tới áp dụng lượng giác để khảo sát bất đẳng thức và bài toán cực trị liênquan thường xuyên được đề cập Những dạng toán này thường được xem là thuộcloại khó, nhiều dạng toán cần tới phần kiến thức về nội suy đa thức lại không nằmtrong chương trình chính thức của giáo trình Đại số và Giải tích bậc trung học phổthông hiện hành

Với mong muốn cung cấp thêm tài liệu tổng hợp về chuyên đề lượng giác chogiáo viên và học sinh giỏi tôi chọn đề tài luận văn ”Bất đẳng thức trong lớp cáchàm lượng giác và lượng giác ngược”

Luận văn nhằm trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong

đa thức lượng giác và xét các ứng dụng liên quan đến các bài toán cực trị, khảo sátphương trình, bất phương trình Để hoàn thành nội dung luận văn, tác giả có sửdụng các tài liệu tham khảo [1]-[6]

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và 3 chương

Chương 1 Một số tính chất của các hàm lượng giác và lượng giác ngược.Chương này trình bày các tính chất cơ bản của các hàm lượng giác và lượnggiác ngược Xét các ví dụ áp dụng liên quan

Chương 2 Bất đẳng thức trong đa thức lượng giác và lượng giác ngược.

Chương này trình bày các bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác,lượng giác ngược và các dạng toán liên quan

Chương 3 Một số dạng toán liên quan

Xét một số dạng toán về phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, cực trịtrong đại số và một số bài tập áp dụng lượng giác trong các bài toán hình học Tiếptheo, chương này trình bày hệ thống các bài tập giải các đề thi HSG quốc gia vàOlympic liên quan

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Nhà giáo nhân dân,GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành vàsâu sắc tới GS - Người thầy rất nghiêm khắc, tận tâm trong công việc và đã truyềnthụ nhiều kiến thức quý báu cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học cho tácgiả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu đề tài

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, khoa Toán

- Tin của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, cùng các thầy cô giáo

đã tham giảng dạy và hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học toán K10C

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tập thể giáo viên toán trườngTHPT Lê Văn Thịnh, tỉnh Bắc Ninh và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả có cơhội học tập và nghiên cứu

Tác giả

Chương 1 Một số tính chất của các hàm lượng giác và lượng giác ngược

Trong chương này trình bày các tính chất cơ bản của các hàm lượng giác và lượnggiác ngược là cơ sở cho các bài toán trong các chương tiếp theo

Ví dụ 1.2 Hệ thức đại số ứng với công thức

chính là công thức

12

Ví dụ 1.3 Hệ thức đại số ứng với công thức

Ví dụ 1.4 Hệ thức đại số ứng với công thức

cos 5t + cost = 2 cos 3t cos 2t,chính là công thức





Từ đó, sử dụng kết quả khai triển các hàm lượng giác cos 3t và cos 2t ta thu đượcđồng nhất thức đại số sau

12

Ví dụ 1.5 Cho số thực m với |m| > 1 Tính giá trị của biểu thức

Lời giải. Vì |m| > 1 nên tồn tại số thực q để có hệ thức

Ví dụ 1.6 Xét công thức khai triển

Từ đây ta thu được công thức

Hệ thức đại số ứng với công thức trên là đồng nhất thức

12

Ví dụ 1.7 Xét công thức biến đổi

Ta viết lại công thức dưới dạng

h

i

Hệ thức đại số ứng với công thức trên là đồng nhất thức

Ví dụ 1.8 Cho số thực m Tính giá trị của biểu thức

Lời giải. Với ∀m ∈ R luôn tồn tại số thực q để có hệ thức

1.1.2 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm số tang và cotang

Theo công thức lượng giác cơ bản ta có

Ví dụ 1.9 Xét công thức khai triển

Từ đây ta thu được công thức (hình thức)

Ví dụ 1.10 Xét công thức khai triển

Từ đây ta thu được công thức (hình thức)

3

Hệ thức đại số ứng với công thức trên chính là đồng nhất thức

Ví dụ 1.11 Xét công thức khai triển

Từ đây ta thu được công thức (hình thức)

Ta viết lại đồng nhất thức đã cho dưới dạng

Hệ thức đại số ứng với công thức trên chính là đồng nhất thức với

1.2 Tính chất của các hàm lượng giác ngược

Định nghĩa 1.1 Cho hàm số song ánh:

trong đó X ,Y là tập hợp số nói chung Khi đó mỗi phần tử y = f (x) với y nằmtrong Y đều là ảnh của một và chỉ một phần tử trong X Như vậy, có thể đặt tươngứng mỗi phần tử y trong Y với một phần tử x trong X Phép đặt tương ứng đó đãxác định một hàm số, ánh xạ từ Y sang X , hàm số này được gọi là hàm số ngượccủa hàm số f và kí hiệu là:

là điều kiện cần và đủ để hàm f (x) khả nghịch, tức là nếu f (x) là song ánh thì tồn

Sau đây là một điều kiện đủ để hàm số đã cho có hàm số ngược

Định lí 1.1 (xem [1]-[3]) Giả sử hàm y = f (x) xác định, đồng biến (đơn điệu tăng

thực sự) hoặc nghịch biến (đơn điệu giảm thực sự) và liên tục trong một khoảng Xnào đó Khi đó trong khoảng tập các giá trị Y tương ứng của hàm đó, tồn tại hàmngược (đơn trị) x = g(y) và cũng là hàm đồng biến hoặc nghịch biến và liên tụctrong khoảng đó

Nhận xét 1.1 Từ các hàm lượng giác cơ bản như y = sin x, y = cos x, y = tan x,

khoảng đồng biến hoặc nghịch biến của chúng

i, (hay trong



π2

) hàm số y = sin x (hay y = tan x) là hàmđồng biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm ngược y = arcsin x

(hay y = arctan x) như sau:

biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm ngược y = arccos x

(hay y = arccot x) như sau:

Định lí 1.2 (xem [1]-[3]) Giả sử hàm y = f (x) thoả mãn các điều kiện của Định

Bây giờ ta chuyển qua tính đạo hàm của các hàm lượng giác ngược

Để thuận lợi trong tính toán, ta đổi vai trò của các biến x và y và viết công thức

* Hàm y = arcsin x, (−1 < x < 1), với −π

π2(hàm ngược của hàm x = sin y)

Tương tự, ta xét các hàm lượng giác ngược còn lại

* Hàm y = arccos x(−1 < x < 1) với 0 < y < π (hàm ngược của hàm x = cos y)

lồi với ∀x > 0 và lõm với ∀x < 0.

Và hơn nữa, ta có

Chương 2 Bất đẳng thức trong lớp các

hàm lượng giác và lượng giác ngược

Nội dung chương này trình bày về các bất đẳng thức sinh bởi các hàm lượng giác,lượng giác ngược và một số bài tập cơ bản được áp dụng trong chương sau

2.1.1 Bất đẳng thức sinh bởi hàm cosin

Bài toán 2.1 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có

Bài toán 2.2 Cho số dương m, 0 < m < 1

cos A + cos B + m cosC < 2 − m

Lời giải. Ta thấy ngay bài toán có tính chất đối xứng cục bộ Ta có

Bài toán 2.3 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta đều có

cos A + cos B + cosC > 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

cos A + cos B + cosC > 1(Øiuphichngminh.)

Bài toán 2.4 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC tùy ý ta luôn có

6 cos A + 3 cos B + 2 cosC > −1

Lời giải. Ta có

6 cos A + 3 cos B + 2 cosC = 6(cos A + cos B + cosC) − 3 cos B − 4 cosC

Áp dụng bài toán trên ta có cos A + cos B + cosC > 1 nên

6(cos A + cos B + cosC) > 6Lại có cos B < 1, cosC < 1 nên

−3 cos B − 4 cosC > −3.1 − 4.1 = −7Vậy nên, ta thu được

6 cos A + 3 cos B + 2 cosC > −1,suy ra điều phải chứng minh

2.1.2 Bất đẳng thức sinh bởi hàm sin

Bài toán 2.5 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta đều có

√3

Bài toán 2.7 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta đều có

Ta có

 12

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2.2.1 Một số dạng bất đẳng thức giữa lớp hàm arcsin và arccosin

Bài toán 2.10 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng ∀α ≥ 4 ta luôn có

Lời giải. a Ta có công thức sau

sin (arcsin α) + sin (arcsin β )

Do đó, ta có bất đẳng thức

2



π2

nên ta có

cos (arccos α) + cos (arccos β )

Vì 0 < arccos α < π, 0 < arccos β < π nên

2



< 1

Do đó, ta có bất đẳng thức

2



Vì hàm số côsin là hàm nghịch biến trong khoảng (0; π) nên ta có

!.Cộng vế với vế ta được

π3

√3

√3

p

2.2.2 Một số dạng bất đẳng thức giữa lớp hàm arctan và arccotan

Bài toán 2.13 Chứng minh rằng

arctan (x) ≥ x với mọi x ≤ 0

Ta đặt m = arctan (n + 1) − arctan (n) Ta được

arctan (n + 1) − arctan (n) = arctan

, ∀x > 0

Lời giải. Ta xét hàm số y = arctan x với ∀x > 0

arctan n +

2018

∑n=1

arctan n +

2018

∑n=1

1

#, ∀x > 0

Bài toán 2.17 Chứng minh rằng

Thay a bởi 1 ta được

1

Trong trường hợp a = b ta có ngay bất đẳng cần phải chứng minh.

Trong trường hợp a 6= b Do vai trò của a và b như nhau nên ta giả sử a < b (trongtrường hợp b < a ta chứng minh tương tự)

Xét hàm số y = arccot x, với x ∈ (a; b)

Do hàm y = arccot x liên tục trên [a; b], khả vi trong (a; b) nên theo định lí grangge tồn tại c ∈ (a; b) sao cho

1

≤ 1

Do đó

|arccot b − arccot a| ≤ |b − a| , ∀a, b

Vậy ta có bất đẳng thức phải chứng minh

Bài toán 2.19 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với mọi α, β > 0 ta luôn có

arccot (α sin A + β ) + arccot (αsinB + β ) + arccot (αsinC + β )

√3

arccot (α sin A + β ) + arccot (α sin B + β ) + arccot (α sinC + β )

!

Từ (2.8) và (2.9) suy ra ta có điều phải chứng minh

arccot (α sin A + β ) + arccot (α sin B + β ) + arccot (α sinC + β )

√3

!

Chương 3 Một số dạng toán liên quan

Trong phần này chỉ đề cập một số bài toán cực trị liên quan đến hàm số lượnggiác

Bài toán 3.1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Bài toán 3.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có

Lời giải. Vì x ∈

h

2inên y ≥ 0

Lời giải. Trước hết nhận xét rằng:

i) Nếu g(t) là hàm số liên tục và đồng biến trong [0, y], thì mọi x sao cho 0 ≤ x ≤ y,

- Với x = y hoặc x = 0 thì (3.1) hiển nhiên đúng.

Từ đây dễ dàng suy ra (3.2)

Xét hàm số g(t) = sint + t Ta thấy g(t) là hàm liên tục và đồng biến trong [0, y],

nên theo (3.1) với mọi x sao cho 0 ≤ x ≤ y, ta đều có

Vậy giá trị lớn nhất của f (x, y) là 0 ứng với x = 0, y ≥ 0 tùy ý hoặc x = y

Bài toán 3.7 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

o

Lời giải.

đều thuộc D Như vậy

max

Bài toán 3.8 Xét dãy số thực {xn} (n = 1, 2, , 2018) thỏa mãn điều kiện

π

2Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

2018

∑i=1

2

2018

∑i=1

2

2018

∑i=1

3.2 Phương pháp lượng giác trong đại số và hình học

Trong phần này ta xét một số ứng dụng của các hệ thức lượng giác để giải quyếtcác dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức trong đại số và hình học Tiếp theo,trình bày các bài toán cực trị và phương trình liên quan bằng cách đặt ẩn phụ lượnggiác

3.2.1 Phương pháp lượng giác trong đẳng thức

Bài toán 3.9 Cho x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 thỏa mãn điều kiện sau

tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = 1

⇔ tan α (tan β + tan γ) = 1 − tan β tan γ

Lời giải. Đặt x = tan α, y = tan β , z = tan γ với α, β , γ ∈0;π

2



Do x + y + z = xyz nên

tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ

⇔ tan α + tan β = tan γ (tan α tan β − 1)

1

cos γsin β

cos β

sin γcos γ

sin β sin γTương tự ta có

sin γ sin αvà

sin α sin βKhi đó vế trái của đẳng thức cần chứng minh bằng

Suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 3.11 Cho xy 6= −1, yz 6= −1, zx 6= −1 Chứng minh rằng

.Khi đó

Ta có tan a + tan b = tan(a + b)(1 − tan a tan b) nên

tan(α − β ) + tan(β − γ) + tan(γ − α)

= tan(α − β + β − γ) [1 − tan(α − β ) tan(β − γ)] + tan(γ − α)

= tan(α − γ) + tan(γ − α) tan(α − β ) tan(β − γ) + tan(γ − α)

= tan(α − β ) tan(β − γ) tan(γ − α)

Suy ra điều phải chứng minh

Lời giải. Đặt x = tan α, y = tan β , z = tan γ với α, β , γ ∈−π

π2



Do x + y + z = xyz nên tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ

Lời giải. Vì 0 < a, b, c < 1 nên ta đặt

γ + [cos(α + β ) + cos(α − β )] cos γ = 1

⇔ cos(α + β )[cos(α − β ) + cos γ] + cos γ[cos γ + cos(α − β )] = 0

⇔[cos(α + β ) + cos γ][cos γ + cos(α − β )] = 0

2

)

⇔α + β = π − γ

⇔α + β + γ = π

Khi đó đẳng thức cần chứng minh được viết về dạng

cos α cos β cos γ + 1 = cos γ sin α sin β + cos α sin β sin γ + cos β sin γ sin α

⇔ cos γ cos(α + β ) − sin(α + β ) sin γ + 1 = 0

⇔ cos(α + β + γ) + 1 = 0

⇔ cos(α + β + γ) = −1 điều này đúng do α + β + γ = π

Vậy bài toán được chứng minh



Ta có

tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = 1

⇔1 − tan α tan β = (tan α + tan β ) tan γ (3.14)Nếu tan α tan β = 1 thì tan α + tan β = 0 hoặctan γ = 0.

Vậy tan α tan β 6= 1 Khi đó từ (3.14) ta có

=(tan α − cot α)(tan β − cot β ) + (tan β − cot β )(tan γ − cot γ)

+ (tan γ − cot γ)(tan α − cot α)

=4 cot 2α cot 2β + 4 cot 2γ(cot 2α + cot 2β )

=4 cot 2α cot 2β − 4 cot(2α + 2β )(cot 2α + cot 2β )

(do 2γ = π − (2α + 2β ) + k2π)

3.2.2 Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức

Bài toán 3.15 Cho a, b, c, d liên hệ bởi

Chứng minh rằng

|a| + |b| ≤ 1

Lời giải. Điều kiện có nghĩa: |c| ≤ 1, |d| ≤ 1

Vậy |a| + |b| ≤ 1 (điều phải chứng minh)

Bài toán 3.16 Cho u, v, x, y thỏa mãn điều kiện

2 (điều phải chứng minh)

Bài toán 3.17 Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

Lời giải. Từ giả thiết a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1

Suy ra tồn tại góc α, β , γ ∈ [0; π] và α + β + γ = π với

2

Bài toán trở thành, chứng minh rằng

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi α = β = γ hay a = b = c =

√3

rb

3.2.3 Phương pháp lượng giác trong phương trình, bất phương trình

Để lượng giác hóa các phương trình đại số ta sử dụng các nhận xét sau:

3) Với mỗi số thực x tồn tại các số α với −π

π

0 ≤ α ≤ 2π sao cho x = cos α, y = sin α

Ngoài ra còn một số dấu hiệu cơ bản nhằm giúp phát hiện được phương pháplượng giác hóa nhanh hơn

- Nếu biến x thỏa mãn điều kiện |x| ≤ a(a > 0) thì khi đó có thể lượng giác hóa

π2

ihoặc đặt x = a cos α với α ∈ [0; π]

tan α, b = tan β khi đó A = tan(α + β )

- Nếu có ba số a, b, c mà a + b + c = abc thì ta có thể đặt a = tan α, b = tan β ,

3.2 Phương pháp lượng giác đại số hình học

Trong phần ta xét số ứng dụng hệ thức lượng giác để giải quyếtcác dạng toán đẳng thức bất đẳng thức đại số hình học Tiếp theo,trình... hình học Tiếp theo,trình bày tốn cực trị phương trình liên quan cách đặt ẩn phụ lượnggiác

3.2.1 Phương pháp lượng giác đẳng thức< /b>

Bài toán 3.9 Cho x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ thỏa mãn... chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy α = β = γ hay a = b = c =

√3

rb

3.2.3 Phương pháp lượng giác phương trình, bất phương trình

Để lượng giác hóa phương trình