Sử dụng phần mềm geometers sketchpad làm công cụ hỗ trợ trong dạy học giải một số bài toán về hàm số và đồ thị

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HOÀNG BÍCH SỬ DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD LÀM CÔNG CỤ HỖ TRỢ TRONG DẠY, HỌC, GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC T

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN HOÀNG BÍCH

SỬ DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD LÀM CÔNG CỤ HỖ TRỢ TRONG DẠY, HỌC, GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, NĂM 2013

NGUYỄN HOÀNG BÍCH

SỬ DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD LÀM CÔNG CỤ HỖ TRỢ TRONG DẠY, HỌC, GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN ĐÌNH BÌNH

THÁI NGUYÊN, NĂM 2013

Danh mục chữ cái viết tắt trong luận văn

Mục lục

Mở đầu ……… 4

1 Lý do chọn đề tài ……… 4

2 Mục đích nghiên cứu ……… 5

3 Phương pháp nghiên cứu ……… 5

4 Cấu trúc của luận văn ……… 5

Chương 1: Tổng quan về phần mềm GSP cơ sở lý luận của việc sử dụng phần mềm GSP trong giải toán ……… … 6

1.1 Giới thiệu về phần mềm GSP……… 6

1.1.1 Giới thiệu sơ bộ chức năng của phần mềm ……… 7

1.1.2 Các đối tượng hình học và công cụ của phần mềm ……… 8

1.1.3 Quan hệ giữa các đối tượng hình học ……… 9

1.2 cơ sở khoa học của việc sử dụng phần mềm GSP làm công cụ hỗ trợ trong việc giải toán……… ……… 11

1.2.1 Cơ sở hình học sơ cấp ẩn chứa trong GSP ……… 11

1.2.2 Vấn đề sử dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad trong dạy học … 15 Chương 2: Sử dụng phần mềm GSP để thiết kế một số mô hình làm công cụ hỗ trợ việc dạy, học, giải một số bài toán về hàm số và đồ thị trong chương trình THPT……… ……… 17

Ví dụ 2.1 Giới hạn của hàm số ………….……… 17

A Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm ……… 18

B Giới hạn phải, giới hạn trái của hàm số tại một điểm ……… 21

Ví dụ 2.2 Sử dụng GSP giải bài toán tương giao của hai đồ thị hàm số … 23

Ví dụ 2.3 Dự đoán điểm cố định mà họ đồ thị hàm số có chứa tham số luôn đi qua……… 29

Ví dụ 2.4 Sử dụng phần mềm GSP trong một số bài toán biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình……… 37

Ví dụ 2.5 Sử dụng phần mềm GSP trong một số bài toán về quỹ tích……… 40

Kết luận ……… 49

Phụ lục ……… 50

Tài liệu tham khảo ……… 58

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay với sự phát triển như vũ bão của Khoa học kỹ thuật mà đặc biệt là CNTT đã khiến cho diện mạo đời sống xã hội của con người có những thay đổi tuyệt vời CNTT đã xâm nhập vào tất cả mọi lĩnh vực của đời sống Ta khó có thể tìm thấy ở trong lĩnh vực công việc nào mà ở một khía cạnh nào đó mà ta không thấy sự hiện diện của chiếc máy tính và mạng Internet Đặc biệt là trong hoạt động giáo dục, có người nói rằng

"mảnh đất giáo dục" chính là tấm gương phản chiếu của mỗi bước phát

triển của khoa học kỹ thuật mà trong đó có CNTT CNTT được sử dụng phổ biến trong mọi cấp học, mọi nhà trường, và nó đã tạo ra bước đột phá mới trong việc nâng cao chất lượng giáo dục

Toán học có mối liên hệ mật thiết với Tin học Toán học mang lại

cơ sở lý luận cho Tin học, ngược lại Tin học lại chính là một công cụ đắc lực phục vụ cho việc dạy và học Toán

Hiện nay trên thế giới đã có nhiều phần mềm dạy học toán như Maple, Cabri, GSP, v.v Các phần mềm này đã phần nàođó giúp giáo viên và học sinh đạt được hiệu quả cao hơn trong việc dạy và học Toán Tuy nhiên việc lựa chọn phần mềm nào phù hợp và sử dụng nó một cách hiệu quảcũng là một vấn đề không mấy dễ dàng đối với không ít giáo viên

và học sinh hiện nay Vì tất cả các lý do trên, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài

"Sử dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad làm công cụ hỗ trợ trong dạy, học, giải một số bài toán về hàm số và đồ thị"

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phần mềm GSP ứng dụng trong giải một số bài toán

về hàm số và đồ thị trong chương trình THPT

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc sử dụng phần mềm GSP trong giải toán

- Nghiên cứu tài liệu về phần mềm GSP, tài liệu về hàm số trong chương trình THPT

Nghiên cứu thực nghiệm

- Sử dụng phần mềm GSP để thiết kế một số mô hình làm công

cụ hỗ trợ việc dạy, học, giải một số bài toán về hàm số và đồ thị trong chương trình THPT

4 Cấu trúc của luận văn

Luận văn bao gồm 2 chương vàphụ lục:

Chương 1 Tổng quan về phần mềm GSP cơ sở lý luận của việc sử dụng phần mềm GSP trong giải toán

Chương 2 Sử dụng phần mềm GSP để thiết kế một số mô hình làm công cụ hỗ trợ việc dạy, học, giải một số bài toán về hàm

số và đồ thị trong chương trình THPT

Phụ lục trình bày một hướng dẫn sử dụng phần mềm GSPcơ bản

1.1 Giới thiệu về phần mềm GSP

Phần mềm Geometer’s ketchpad do một nhà toán học Mỹ là Nicholas Jackiw thiết kế vào những năm 90 Geometer's Sketchpad được

sử dụng rộng rãi trong việc giảng dạy ở nhiều trường trung học cơ sở

ở Hoa Kỳ và Canada Phiên bản thương mại đầu tiên của Geometer's Sketchpad phát hành năm 1991 bởi Key Curriculum Press sau một thời gian thử nghiệm ở Hoa Kỳ Geometer's Sketchpad từng nhận được nhiều giải thưởng công nghiệp và từng có mặt trong các bài thuyết trình của John Sculley (giám đốcApple Computer) và Bill Gates (giám đốc Microsoft) về những công nghệ giáo dục tốt nhất Hiện tại phần mềm này được coi là phần mềm mô phỏng hình học động số một thế giới

Phần mềm này được cung cấp cho các trường phổ thông Việt Nam trong khuôn khổ dự án “Thực hành phát triển nghiệp vụ”_PDL (Professional devolopment Laboratory) ký kết giữa hãng IBM và Bộ giáo dục_Đào tạo Cho đến nay đã có rất nhiều giáo viên và nhà trường phổ thông đang sử dụng phần mềm này trong việc giảng dạy và học tập

1.1.1 Giới thiệu sơ bộ chức năng của phần mềm

- Rất mạnh về chức năng Các chức năng của phần mềm này không thua kém gì so với phần mềm rất nổi tiếng khác là Cabri Geometry

- Phiên bản mới nhất 4.06 của phần mềm đã bổ sung khá nhiều tính năng mới hay như khả năng tạo nhiều document trong một tệp, khả năng tạo nhiều các công cụ macro, chức năng print preview,

- Tuy nhiên cũng phải kể đến một nhược điểm nhỏ của phần mềm

là chưa hỗ trợ dựng đối tượng hình học là đường conic và chức năng thể hiện trên Internet bằng Applet còn chưa mạnh

- Tóm lại phần mềm Geometer Sketchpad là sự lựa chọn lý tưởng

cho các nhà trường Việt Nam dùng như một công cụ hỗ trợ học và dạy môn Toán Đối tượng sử dụng phần mềm là giáo viên và học sinh

Màn hình làm việc của phần mềm

Hình 1.1: Màn giao diện làm việc của GSP

Ta cần chú ý nhất đến khu vực Thực đơn và Hộp công cụ của

phần mềm

- Thực đơn là nơi thực hiện hầu như tất cả các lệnh và chức năng

chính của phần mềm Mỗi lệnh có một chức năng riêng biệt và tác động lên các đối tượng hình học đã được chọn trước đó trên màn hình làm việc của phần mềm

- Hộp công cụ chứa 6 công cụ với các chức năng riêng biệt và độc

lập với nhau

1.1.2 Các đối tượng hình học và công cụ của phần mềm

Hộp công cụ luôn hiện bên trái của màn hình làm việc chính của phần mềm

Công cụ Chọn (Selection) có chức năng dùng để chọn và dịch

chuyển các đối tượng hình học trên màn hình Có thể chọn một hoặc

nhiều đối tượng khác nhau Nháy chuột tại vị trí trống trên trang có chức năng hủy chọn tất cả

Công cụ Điểm (Point) có chức năng khởi tạo các đối tượng Điểm

Điểm là một trong những đối tượng hình học cơ bản nhất của phần

mềm Công cụ Compa (Compass) dùng để khởi tạo các đối tượng

là Đường tròn Đường tròn cũng là một đối tượng hình học cơ

bản của phần mềm

Công cụ Đoạn thẳng có chức năng khởi tạo các đối tượng hình

học là Đoạn, Tia hoặc Đường thẳng Mỗi đoạn, tia hoặc đường

thẳng tối thiểu phải đi qua 1 điểm

Công cụ Text (Text Tool) có chức năng tạo nhãn cho đối tượng

hình học hoặc tạo các hộp chứa chữ trên màn hình

Công cụ Macro (Scripting, Custom) là công cụ dùng để tạo ra

các công cụ dựng hình khác của phần mềm

Ngoài các đối tượng cơ bản vừa nêu trên (điểm, đường tròn, đoạn thẳng, nhãn), phần mềm còn có thể tạo ra được các đối tượng hình học khác như:

- Cung tròn (là một phần của vòng tròn)

- Vùng, miền trong của một hình

- Các đối tượng đo (ví dụ số đo chiều dài, đo góc, tính toán, )

- Hàm số và đồ thị

Các đối tượng hình học sau phức tạp hơn sẽ được trình bày trong các bài viết sau

1.1.3 Quan hệ giữa các đối tượng hình học

Quan hệ giữa các đối tượng hình học là khái niệm cơ bản nhất của mọi phần mềm hình học động tương tự như Geometer sketchpad Toàn bộ các đối tượng hình học được tạo ra trong phần mềm có thể kết nối với

nhau theo các quan hệ toán học chặt chẽ Chính sự kết nối toán học này làm cho các đối tượng hình học trở nên "động" và đó chính là toàn bộ sức mạnh của phần mềm

Quan hệ giữa các đối tượng hình học là quan hệ phụ thuộc Một đối tượng B được sinh ra sẽ phụ thuộc một cách toán học vào đối tượng A Như vậy A phải được khởi tạo trước

Ta nói: là đối tượng "cha" của đối tượng hay là đối tượng

"con" của đối tượng

là các đối tượng Tự do

Đối tượng đoạn thẳng được khởi tạo là đoạn nối giữa hai điểm

và Đoạn là đối tượng "con" của hai đối tượng điểm

Trung điểm là điểm giữa của đoạn Như vậy điểm có quan

hệ chăt chẽ là "trung điểm" của là đối tượng"con"của đoạn

Hay ngược lại ta nói: các điểm là "cha" của đoạn Đoạn

là "cha" của điểm

Ta đã quan sát thấy: một đối tượng "cha" có thể có nhiều đối tượng "con", và ngược lại một đối tượng "con" có thể có nhiều "cha"

Hình 1.2 : Dựng đoạn thẳng từ hai điểm cho trước, dựng trung

điểm của đoạn

Hiểu rõ các quan hệ và ý nghĩa toán học của các đối tượng hình học

là chìa khóa quan trọng nhất để hiểu được phần mềm Geometer Sketchpad và các phần mềm tương tự khác

M A

B

1.2 cơ sở khoa học của việc sử dụng phần mềm GSP làm công cụ

hỗ trợ trong việc giải toán

Hiện nay đã có khá nhiều phần mềm vẽ hình được sử dụng trong dạy, học và làm toán Một trong những phần mềm được nhiều thầy cô giáo và học sinh lựa chọn sử dụng đó là phần mềm GSP Có nhiều lý do,

có thể kể ra một số lý do sau

1.2.1 Cơ sở hình học sơ cấp ẩn chứa trong GSP

Có thể nói rằng phần mềm GSP được xây dựng dựa trên cơ sở của hình học sơ câp Nó cho phép tạo ra các đối tượng hình học cơ bản như điểm, đường thẳng Từ các đối tượng hình học cơ bản đó, phần mềm cho phép xác lập nên các mối quan hệ giữa các đối tượng hình học cơ bản đó

Ví dụ như từ hai điểm phân biệt, cho phép dựng được đoạn thẳng nhận hai điểm đó là hai đầu mút, hay dựng được duy nhất một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước, hoặc có thể dựng được đường tròn có tâm là một điểm và đi qua điểm còn lại Phần mềm cho phép xây dựng các mối quan hệ hình học cơ bản như quan hệ thuộc, quan hệ song song, cắt nhau, vuông góc, …

Từ các đối tượng, quan hệ đã có, phần mềm cho phép xác lập các đối tượng mới, quan hệ mới Khi ta tác động làm thay đổi vị trí tương đối của các đối tượng thì vẫn bảo toàn được các mối quan hệ, do đó nó bộc lộ tính bất biến mà bản chất của hình học la nghiên cứu các đối tượng dựa trên tính bất biến của các mối quan hệ của đối tượng

Do phần mềm xây dựng dựa trên các đối tượng và các mối quan hệ

cơ bản của hình học sơ cấp nên hình vẽ trong phần mềm GSP rất gần gũi với các hình mà HS đã quen biết trên giấy Do đó nó rất phù hợp với tư duy của HS Muốn vẽ hình một cách chính xác thì HS vẫn phải cần đến tư duy toán học, phải tuân thủ theo đúng các quy tắc dựng hình bằng thước

kẻ và com-pa như các em vẫn làm trên giấy Ta xét ví dụ sau

Ví dụ 1.1

Sử dụng phần mềm GSP để dựng hình bình hành từ ba điểm

không thẳng hàng cho trước

Để vẽ được hình bình hành một cách chính xác Ta cần phải làm như sau

- Nối các cạnh Lần lượt từ hai điểm ta làn lượt dựng hai đường thẳng lần lượt song song với hai cạnh và bằng cách chọn điểm , rồi chọn cạnh , tiếp theo là dùng công cụ dựng đường

thẳng song song (Construct Parallel Line) Sau khi dựng được hai

đường thẳng lần lượt song song với cạnh rồi Ta lấy giao điểm của

hai đường thẳng đó ( Intersection) Khi đó giao điểm đó chính là điểm

là đỉnh cuối cùng của hình bình hành

Hình 1.3 : Dựng hình bình hành

Chú ý rằng với cách vẽ hình như trên thì thi ta thay đổi vị trí tương đối của điểm hoặc các điểm thì điểm cũng thay đổi theo và vẫn giữ nguyên quan hệ với các điểm sao cho vẫn là hình bình hành

Ta tiến hành như sau

- Dựng đường tròn và điểm nằm ngoài đường tròn

- Dựng đoạn thẳng

- Dựng điểm là trung điểm của

- Dựng đường tròn tâm , bán kính

- Xác định giao điểm của hai đường tròn và

- Hai giao điểm đó chính là hai điểm

- Dựng hai đường thẳng lần lượt đi qua hai điểm và ta được hai tiếp tuyến cần dựng

Hình 1.4 : Dựng hai tiếp tuyến của đường trong kẻ từ

nằm ngoài đường tròn

* Nhận xét với phép dựng hình như trên khi ta thay đổi vị trí tương đối của điểm hoặc thay đổi đường tròn thì hai tiếp điểm cũng thay đổi theo nhưng mối quan hệ vẫn đảm bảo là tiếp tuyến của

* Giải thích cách dựng trên

- Giả sử ta đã dựng được hai điểm thỏa mãn là tiếp điểm Suy

ra hai điểm nhìn đoạn thẳng dưới một góc bằng Do đó hai điểm nằm trên đường tròn đường kính Mà là hai tiếp điểm nên phải nằm trên Vậy chính là giao điểm của hci đường tròn và với là trung điểm của Từ đó ta có cách dựng như trên

Qua hai ví dụ dựng hình đơn giản ở trên ta thấy rằng phần mềm GSP rất phù hợp làm công cụ hỗ trợ cho việc dạy toán, học toán, làm toán Khi sử dụng phần mềm GSP thì người sử dụng không mất đi tư duy

toán học, không ỷ lại vào phần mềm, hay nói khác đi là GSP không làm thay tất cả mà chỉ đơn giản là một công cụ hỗ trợ cho người sử dụng mà thôi Ngoài ra phần mềm GSP có thể tạo ra môi trường hình học động để

từ đó giúp cho HS có thể quan sát, đưa ra những dự đoán mới cho bài toán, hoặc có thể thống kê, phân tích số liệu tính toán để phát hiện ra hướng chứng minh tổng quát cho bài toán Ta xét ví dụ sau

Ví dụ 1.3

Cho điểm di chuyển trên đường tròn đường kính Trên đường thẳng lấy điểm sao cho Hãy tìm quỹ tích điểm khi thay đổi trên đường tròn đường kính

Hình 1.5 Dự đoán quỹ tích điểm

1.2.2 Vấn đề sử dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad trong dạy học

Hiện nay công nghệ phần mềm phát triển rất mạnh, trong đó các phần mềm giáo dục cũng đạt được những thành tựu đáng kể như: bộ Office, Cabri, Crocodile, SketchPad, GSP, Maple, Mathenatica,

ChemWin, LessonEditor, VioLet… hệ thống WWW, Elearning và các phần mền đóng gói, tiện ích khác

Dùng phần mềm GSP có thể đạt được một số hiệu quả sau:

Thể hiện một khái niệm hoặc một ý tưởng mới trong toán học Khám phá sâu hơn khái niệm hoặc khám phá ở những góc độ khác nhau của khái niệm

Từng bước hướng dẫn giúp HS xây dựng các cấu trúc và hiểu được mối liên hệ giữa các thành phần

HS dùng mô hình trả lời các câu hỏi trên phiếu học tập hoặc trên máy tính

GV sử dụng các mô hình dẫn dắt thảo luận trong quá trình dạy học

HS thao tác trên mô hình hình thành tri thức

HS làm việc tạo những đối tượng mới trên mô hình theo yêu cầu của GV và phản hồi với GV trong quá trình dạy học

HS sử dụng GSP giải quyết các bài tập lớn hoặc các thách thức

Sử dụng GSP đồng thời với các chương trình khác hoặc với các vật thể thao tác được

Kiểm tra các giả thiết đặt ra hoặc kiểm chứng một kết quả nào đó Như vậy phần mềm GSP có thể đem lại nhiều điều mới mẻ cho GV và

HS trong quá trình dạy và học Ở một phương diện nào đó nó góp phần nâng cao hiệu quả của giáo dục Tuy nhiên việc sử dụng phần mềm GSP nói riêng cũng như các phần mềm dạy học khác cần phải linh hoạt, tránh lạm dụng công nghệ trong dạy học.Trong trường hợp phần mềm dạy học không hơn gì chiếc bảng đen hay trang sách giáo khoa thì không nên dùng

Chương 2

Sử dụng phần mềm GSP để thiết kế một số

mô hình làm công cụ hỗ trợ việc dạy, học, giải một số bài toán về hàm số và đồ thị trong chương trình THPT

Phần mềm GSP có nhiều tính năng có thể ứng dụng trong dạy học môn toán Ứng dụng GSP trong đại số, giải tích, hình học phẳng, hình học không gian Chương này trình bày một số ví dụ về việc sử dụng phần mềm GSP để thiết kế một số mô hình làm công cụ hỗ trợ việc dạy, học, giải một số bài toán về hàm số và đồ thị trong chương trình THPT

Ví dụ 2.1 Giới hạn của hàm số

Trong chương trình toán THPT, giới hạn nói chung, giới hạn của hàm số nói riêng là những khái niệm nền tảng của chương trình giải tích, tuy nhiên lại rất trừu tượng, mang tính hàn lâm cao Khi dạy - học phần này thì cả GV và HS đều thấy khó khăn Khó khăn của GV ở chỗ thiếu, hoặc rất khó tạo ra những công cụ trực quan làm giảm bớt tính kinh viện của khái niệm, đưa bài giảng gần gũi với HS hơn, làm cho HS dễ tiếp nhận kiến thức hơn Khó khăn của HS trong việc tiếp cận với khái niệm

Đa số HS khi được hỏi đều trả lời không hiểu rõ khái niệm Mặc dù trong SGK hiện hành đã không còn sử dụng ngôn ngữ của toán cao cấp để định nghĩa khái niệm giới hạn nữa, mà dùng cách mô tả mang tính trực quan khái niệm giới hạn Tuy nhiên HS nhiều khi vẫn gặp khó khăn khi tiếp cận với khái niệm khó này

Khi sử dụng phần mềm GSP trong dạy học phần giới hạn đã phần nào mang lại hiệu quả, HS cảm thấy hiểu bài hơn

A Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

* Hoạt động 1: Hình thành khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

- GV kéo thanh trượt n cho giá trị n thay đổi, n ngày càng tăng Hướng dẫn HS quan sát sự thay đổi giá trị của dãy số x n ,x n 1 1

- GV tiếp tục cho HS quan sát sự di chuyển của điểm M x y ; trên

đồ thị của hàm số Dựa trên hình ảnh đồ thị HS nhận thấy rằng khi điểm

;

M x y di chuyển thì ngày càng gần đến điểm M0 2;1

* Hoạt động 2: Củng cố khái niệm

- Để củng cố khái niệm vừa hình thành GV yêu cầu HS quan sát thêm mô hình giới hạn của hai hàm số 1

x

x c

Hình 2.2 Mô hình giới hạn

0

1lim os 0

x

x x

B Giới hạn phải, giới hạn trái của hàm số tại một điểm

i Cơ sở lý thuyết

Định nghĩa:

* Cho hàm số y f x xác định trên khoảng x b0;

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y f x khi x x nếu 0với dãy số xn bất kỳ, x0 x n b và x n x , ta có 0 f xn L Kí hiệu :

0

lim

* Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a x ; 0

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y f x khi x x nếu 0với dãy số xn bất kỳ, a x n x và 0 x n x , ta có 0 f xn L Kí hiệu :

0

lim

ii Mục tiêu:HS nắm được khái niệm giới hạn một bên (giới hạn phải,

giới hạn trái) của hàm số tại một điểm

iii Biện pháp thực hiện

GV mở file 3ghhs.gsp

Hình 2.4 Mô hình giới hạn một bên của hàm số

Để minh họa cho khái niệm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái của hàm số, GV cho HS quan sát mô hình đồ thị của hàm số

2

11

gần số 1 và x n 1 thì điểm Mtrên đồ thị chạy ngày càng gần đến điểm A

Ta nói hàm số h x có giới hạn bên phải Tương tự minh họa cho trường hợp giới hạn bên trái của hàm số Trong trường hợp này, HS có thể nhận thấy giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số h x là không bằng nhau

* Kết luận: Qua việc sử dụng phần mềm GSP, tạo mô hình trực quan đã phần nào đó giúp HS tiếp cận khái niệm giới hạn của hàm số dễ dàng hơn Qua đó góp phần nâng cao hiệu quả của việc giảng dạy của

GV

Ví dụ 2.2 Sử dụng GSP giải bài toán tương giao của hai đồ thị hàm số

có đồ thị lần lượt là C1 ; C2 Hãy biện luận số giao điểm của hai đồ thị trên

* Cơ sở lý thuyết

Giả sử điểmM x M;y M là giao điểm của hai đồ thị C1 ; C2 suy ra điểm M x M;y M nằm trên cả C1 và C2 do đó tọa độ của điểm thỏa mãn đồng thời cả hai biểu thức y f x và y g x Điều này chứng tỏ

;

x y là nghiệm của hệ phương trình

1 2

và C2 Hãy nêu phương pháp tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị C1

và C2 Áp dụng, hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

3

3 2

i Cơ sở lý thuyết

Sử dụng cách giải tổng quát đã nêu trong bài toán ở trên

ii Biện pháp thực hiện

- Trong ví dụ này để giải quyết câu hỏi thứ nhất, GV có thể vẽ đồ thị của hai hàm số tùy ý Tuy nhiên để tiện trả lời cho ý thứ hai, ta có thể

vẽ luôn đồ thị của hai hàm số y f x x3 3x 2vày g x x 2

trên cùng một hệ trục tọa độ bằng công cụ vẽ đồ thị hàm số (Graph)

Hình 2.5 Mô hình tương giao của hai đồ thị

- Ta sẽ vẽ đồ thị hai hàm số trên đoạn IJ Lấy điểm M x;0 tùy

trên đoạn IJ Dùng công cụ tính toán Number - Caculate để tính

- Dùng công cụ vẽ điểm Graph - Plot as (x, y) ta sẽ vẽ được điểm

,

F G chạy trên hai đồ thị C1 và C2

- Dụng công cụ tạo nút lệnh di chuyển Edit - Action Buttons - Movement, cho điểm chạy trên đồ thị, HS có thể quan sát thấy được

rằng tại các giao điểm của C1 và C2 thì xảy ra điểmF và G trùng nhau

tức là f x g x Từ đó suy ra tọa độ giao điểm của hai đồ thị C1 và 2

C là nghiệm của hệ phương trình

1 2

ii Biện pháp thực hiện

- Tương tự như Ví dụ 1 ta sử dụng cộng cụ Graph để vẽ đồ thị hàm

vẽ đồ thị hàm số y g x m bằng cách lấy điểmM trên trục tung,

dùng công cụ dựng đường thẳng song song Construct - parallel Line với

trục hoành Di chuyển điểmM ta được đường thẳng y g x m thay đổi

Hình 2.6 Mô hình biện luận số nghiệm của phương trình

- Khi đường thẳng y g x m thay đổi, HS dễ dàng nhận ra các trường hợp đường thẳng y g x mcắt đồ thị hàm số y f x thay đổi, dẫn tới HS có thể biện luận số nghiệm của phương trình f x m

một cách đơn giản Do đó việc giải quyết ý thứ hai của bài toán trở nên dễ dàng

a, Hãy biện luận số nghiệm của phươn trình x2 x 2 3x k

b, Với giá trị nào của k thì đường thẳng d cắt P tại hai điểm k

phân biệt nằm về hai phía của trục hoành

c, Với giá trị nào của k thì đường thẳng d cắt P tại hai điểm k

phân biệt nằm về cùng một phía với trục hoành Khi đó hai điểm đó nằm

về phía nào của trục hoành

Trong ví dụ trên ta có thể dùng phần mềm GSP để kiểm tra lại kết quả của bài toán Ta thực hiện như sau

- Dùng công cụ Graph để vẽ đồ thị P của hàm số y x2 x 2

- Dùng công cụ Number Calculate để tạo ra tham số k Sau đó dùng công cụ Graph để vẽ đường thẳng d k:y 3x k Cho k thy đổi, ta

sẽ quan sát được sự thay đổi vị trí tương đối của đường thẳng d Từ đó k

có thể dễ dàng kiểm tra kết quả của bài toán

Hình 2.7 Hai giao điểm nằm về hai phía của trục hoành

Hình 2.8 Hai giao điểm nằm cùng một phía với trục hoành

Ví dụ 2.3Dự đoán điểm cố định mà họ đồ thị hàm số có chứa tham số luôn đi qua

*Bài toán:

Trong mặt phẳngOxy cho hàm sốy f x m, (mlà tham số ), có

đồ thị là C m Hãy tìm điểm cố địnhM x y0; 0 mà C m đi qua với mọi

1 Mọi điểm trên đồ thị C m của hàm số đều di chuyển khi đồ thị

di chuyển Trong trường hợp này thì ta nói họ đồ thị C m của hàm số không có điểm cố định

2 Khi đồ thị C m thay đổi thì có một hoặc một vài điểm trên đồ thị không thay đổi khi đó ta nói đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi

+ Cách giải

Giả sử M0 x y0; 0 là một điểm cố định của C m :y f x m, Điều này xảy ra khi và chỉ khiy0 f x m0, m 1 Ta coi phương trình (1) là phương trình vô định với biến làm Điều này xảy ra khi và chỉ khi