Chuyên đề: Dấu của tam thức bậc hai và ứng dụng Toán THPT

Tài liệu gồm hai phần chính:1. Xét dấu tam thức bậc hai.2. Một số dạng toán ứng dụng: Giải phương trình tích, giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, tìm tập xác định của hàm số, tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước, ...

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG 1: Xét dấu tam thức bậc hai f x( )ax2bx c a  0

Phương pháp: Tính :  b2 4ac

Nếu  0 thì f x( ) luôn cùng dấu với a, nghĩa là af x( ) 0,   x

Nếu  0 thì f x( ) luôn cùng dấu với a, với mọi

2

b x a



2

b

af x x

a



  

Nếu  0 thì f x( ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và giả sử x1 < x2, ta có bảng xét dấu

ax2 +bx + c Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

Bài tập 1: Xét dấu các tam thức sau:

a) 2x23x6, b) 4x212x 9,

c) 3x27x10, d)  x23x

Giải

a) Tam thức bậc hai f x( ) 2 x23x6, có a = 2 > 0,   39 0 

Do đó 2x23x 6 0,  x

b) Tam thức bậc hai f x( )4x212x 9, có a = -4 < 0,   ' 0

4 12 9 0,

2

     

3

dấu sau

X - 103 1 +

2

3x 7x 10  0  0 

3

f x   x     

10

3

f x   x  

 ;

10

1

x

f x

x







 







d) Tam thức bậc hai  x23x, có hai nghiệm x0,x3

X - 0 3 +

-x2 + 3x  0  0 

f x( ) 0  x   ;0  3: ; f x( ) 0  x0;3; f x( ) 0  x 0 x3

Bài tập 2: Xét dấu các biểu thức sau:

a) f x( )x22mx m 2 2, b) f x( )x3 3x22,

c) f x( )x4 5x24, d) ( ) 3 4 22 2

x x

f x

 



    Giải

a) Xét f x( ) x22mx m 2 2 có a = -1 > 0,  ' 2 0 Như vậy f x( ) 0,   x

b) Ta có f x( )x3 3x2 2 (x1)(x2 2x 2)

Và x1 0  x1 ; x2  2x 2 0  x 1 3 x 1 3

Ta có bảng xét dấu

X - 1 3 1 1 3 + 1

x  x + 0 - - 0 +

( )

f x - 0 + 0 -

0 +

f x( ) 0  x    ;1 3  1;1 3

, f x( ) 0  x1 3;1  1 3;

,

c) Xét f x( )x4 5x2 4 (x21)(x2 4)

Ta có:

1

x x

x





    

4 0

2

x x

x





    



Bảng xét dấu

X -  2  1 1 2 +

x2-1

+ + 0  0  

2 4

x   0    0 

( )

f x  0  0  0  0 

f x( ) 0  x  2; 1   1; 2 , f x( ) 0  x    ; 2  1;1  2; ,

( ) 0

f x   x 2 hoặc x 1 hoặc x 1 hoặc x 2

d) Ta xét dấu tử và mẫu của phân thức

( )

f x

ra dấu của f x( )

Ta có x4 x2 2 ( x21)(x22) và x32x2 x 2 ( x1)( x2 x 2)

2

x x

x

 

   



 ;

2 0

2

x

x x

x





      



Bảng xét dấu

X   - 2 1 1 2 2 

-x2 + x + 2 - - 0 + + + 0

-f(x) + 0 -  +  - 0 +  _

f x   x       , f x( ) 0  x  2; 1   1; 22; ( ) 0

f x   x  2 hoặc x  2, f x( ) không xác định khi x 1, x 1, x 2

2 Một số dạng toán ứng dụng: Giải phương trình tích, giải phương trình chứa ẩn ở

mẫu, tìm tập xác định của hàm số, tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước,

Ta xét một và bài tập minh họa

Bài tập 3 Chứng minh rằng:

4

b) Phương trình x2 mx m 2m 3 0 vô nghiệm với mọi m  

Giải

4

4

   

2 4

2

m

 

      

' 0, m

    , suy ra phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Phương trình x2 mx m 2m 3 0 có  m2 4(m2m3)3m2 4m12

Vì 3m2 4m12 là một tam thức bậc hai có 'm 4 3632 0 nên

2

3m 4m 12 0, m

       

Tìm m để tam thức bậc hai không đổi dấu trên 

Phương pháp: Cho tam thức bậc hai f x( )ax2bx c a  0 Khi đó

0

a

f x   x   

 



0

a

f x   x   

 



0

a

f x   x   

 



0

a

f x   x   

 



(5) f x( ) không đổi dấu    0

Bài tập 4 Tìm m để f x( )x2(2m1)x m 2 luôn nhận giá trị dương

Giải Yêu cầu của bài toán là f x( ) 0,   x tức là

2 2

1 0

a

 





    



4

m  m  m   m

Bài tập 5 Tìm m để f x( ) ( m1)x22x1 luôn nhận giá trị âm

Giải Vì m = 1 thì f x( ) 2 x1 cũng có lấy giá trị dương nên m = 1 không thỏa yêu cầu

' 1 ( 1) 0

a m

m

  





    

1 2

m m













m 

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Bài tập 6 Tìm m để f x( ) ( m1)x2(2m1)x m 1 không dương với mọi x thuộc 

Giải Yêu cầu của bài toán là f x( ) 0,   x

Với m 1 thì f x( ) x 2 lấy cả những giá trị dương Vậy m 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m 1 Yêu cầu của bài toán là

1 0

' (2 1) 4( 1)( 1) 0

a m

  







1

m











1 5 4

m m













 m  54

4

Tìm tập xác định của hàm số

Bài tập 7 Cho f x( ) (m4)x2 (m 4)x 2m1 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

có tập xác định là 

Giải Hàm số có tập xác định là  khi và chỉ khi

g x( ) ( m4)x2 (m 4)x 2m    1 0, x (*)

Khi m  4 0  m 4 thì g x( ) 8 x9, lúc này g x( ) có thể nhận giá trị âm Vậy

4

Khi m 4 Điều kiện để (*) đúng là

2 ( 4) 4( 4)(1 2 ) 0

4 0

m



 





2 8 16 4( 2 2 7 4) 0 4

m

        



 





20

0 9

4

m m







  



  209 m0

9 m

  

Bài tập 8 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x2 2mx 2m3 có tập xác định là 

Giải Hàm số y x2 2mx 2m3 có tập xác định là  khi 2

x  

0 0

a



 



 





1 0

 





    Do m   m  3; 2; 1;0;1  

Vậy có 5 giá trị nguyên của mthỏa yêu cầu bài toán

Bài tập 9 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho với mọi x  , ta luôn có

2 2

1

x





(1)

Giải Do 2x2 1 0,  x nên

(1)  (m2)x2 2(m1)x4m 1 2x21

 f x( )mx2 2(m1)x4m0 (2)

Khi m 0: f x( ) 2 x có thể nhận giá trị âm nên m 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Khi m 0 Điều kiện để f x( ) 0,   x là

0

' ( 1) 4 0

a m

 





    



0

m











0

1 ( ; 1) ;

3

m m







     





 m13;

3

m 

Bài tập 10 Tìm các giá trị của m sao cho bất phương trình sau vô nghiệm

2 2

1

x





(1)

Giải Vì 3x2 1 0,  x nên

(1)  (m 3)x2  2(m1)x4m 1 3x21

 mx2 2(m1)x4m0 (2) Bất phương trình (2) vô nghiệm khi và chỉ khi

f x( )mx2 2(m1)x4m0,  x

Khi m 0 : f x( ) 2 x có thể nhận giá trị âm nên m 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Khi m 0: Điều kiện để f x( ) 0,   x là

0 ' ( 1) 4 0

a m

 





    



 2

0

m











0 1 1;

3

m m







  





 m 0;13

 

3

m

 

Bài tập 11 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m

a) (3 2 ) m x2(3m 2)x m 1 0 (1)

b) (3m1)x23(m1)x 1 0 (2)

Giải

2

0

2x   2 5x 1  1

5

2

m  ta có  (3m 2)24(2m 3)(m1) 17m2 32m16

Tam thức f m( ) 17 m2 32m16 0,   m nên (1) có nghiệm

Tóm lại pt (1) luôn có nghiệm với mọi m

b) Cách giải tương tự câu a

Bài tập 12 Xác định các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng

với mọi giá trị của x

a) 2

2

1 1

x mx

x x

 



2( 1) 9 4

x x

  



Giải

a) Vì 2x2 2x 3 0,  x nên

(1)  x2mx 1 2x2 2x3

 x2 (m2)x 4 0 (*)

(*) Nghiệm đúng với mọi x   khi:

 (m2)216 0  m24m12 0   6 m 2

b) Do  x28x 20 0,   x nên yêu cầu bài toán là

2

f x mx  m x m    x (**)

 Khi m 0 : f x( ) 2 x4 có nhận giá trị dương nên m 0 không thỏa mãn

 Khi m 0: (**)

0

m







       



0

m







  



0

m

m







     





; 2

m    

2

m  

Bài tập 13 Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m

m m(  2)x  1 m 1 (1)

Giải Ta có (1)  m m(  2)x m  2

(2)

 Khi m m ( 2) 0 

m   ( ;0) (2; ) (2)  xm m(m22)  xm1

 Khi m m ( 2) 0 

m (0; 2) :

(2)  2

( 2)

m x

m m





1

x m



 Khi m 2: (2)  0x 0  x  

 Khi m 0: (2)  0x 2  x  

Kết luận:

 Khi m   ( ;0) (2; ): Tập nghiệm là 1;

m







 Khi m (0; 2): Tập nghiệm là ; 1

m

 

 Khi m 2, m 0: Tập nghiệm là 

Bài 14 Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình

2

2

4 0

x

  





Giải

Ta có x2  4 0    2 x 2

Và

2

(x 1)(x  5x 4) 0 

có bảng xét dấu

1

x 1 x2 5x4  0 + 0  0 



2

2

4 0

x







1

x x x

  





   



 





x x

  



   



Vậy tập nghiệm S     2; 1 1;2

Do đó nghiệm nguyên của hệ là 1;1

Dùng tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp:

Để chứng minh bất đẳng thức f x y ( , ) 0, với mọi x, y ta đưa về dạng

A y x( ) 2 B y x C y( )  ( ) 0

Rồi chứng minh A y ( ) 0 và   0

Bài tập 15 Chứng minh rắng với mọi x y  , có

(x y )2 xy 1 (x y ) 3 (1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải Ta có

(1)  x2xy y 2 1 3x 3y  x2(y 3)x y 2 3y1

Đặt f x y( , )x2(y 3)x y 2 3y1 Ta xem f x y( , ) là tam thức bậc hai theo x Khi đó

 (y 3)2 4(y2 3y1)

= y2 2 3y 3 4y24 3y 4

= 3y22 3y1( 3y1)20

Vậy f x y( , ) 0, x y,   Ta có điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

3 1 0

3 2

y

y

x









1 3 1 3

y

x







 

 



Nhận xét: Từ lời giải trên ta thu được kết quả

 Phương trình hai ẩn

(x y )2 xy 1 (x y ) 3

3 3

x y  

 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức f x y( , ) là 0, đạt được khi và chỉ khi

( ; ) 1 ; 1

3 3

x y  

Bài tập 16 Chứng minh rắng với mọi x y  , ta có

2x2 y2 2xy 2y6x 5 0 (1)

Giải Ta có

(1)  2x2 2(y 3)x y 2 2y 5 0

Đặt f x( ) 2 x2 2(y 3)x y 2 2y5 Ta coi f x y( , )là tam thức bậc hai theo x Khi đó  ' (y 3)2 2(y2 2y5) y2 2y1 = (y1)20

Vậy f x y( , ) 0, x y,   Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 0 2( 3) 4

y y x

 









1 2

y x





 





Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Bài tập 17 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P19x254y216z236xy16xz 24yz

Giải Xét tam thức bậc hai theo biến x

f x( ) 19 x22(18y 8 )z x54y216z2 24yz

( ) (18 8 ) 19(54 16 24 )

324y2 288yz64z21026y2 304z2456yz

702y2168yz 240z2

Xét tam thức bậc hai theo biến y

g y( )702y2168yz 240z2

( ) (84 ) 702.240 161.424 0

Vậy g y( ) 0, y z,   Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

0 168

0 2( 702)

z

z y











Khi đó f x( ) 0, x y z, , Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

0 2(18 8 )

0 2.19

y z

y z x

 











 x  y z 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0 khi và chỉ khi x  y z 0

Bài tập 18 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số   2 2

5 9

f x

x x



 

Giải f x  có giá trị lớn nhất khi x2 5x9 có giá trị nhỏ nhất Mà x2 5x9 có giá trị nhỏ nhất là 11

4 (Tung độ đỉnh của parapol y x 2 5x9) Suy ra giá trị lớn nhất của f x là

8

11