Cách tính nhanh tổng nhiều phân số theo dạng (Có hướng dẫn làm từng dạng)

DẠNG TÍNH TỔNG NHIỀU PHÂN SỐDạng 1: Tổng của các phân số có tử số bằng nhau, mẫu số là tích của các số tự nhiên cách đều nhau.Cách làm:B1: Biến tử số bằng hiệu của hai thừa số ở mẫu (bằng cách tách hoặc nhân cả tử và mẫu với phân số bằng 1 tử số bằng mẫu số, tử số là số cần đưa vào)B2: Viết mỗi phân số thành hiệu của hai phân số có tử số là 1 và mẫu số lần lượt là các thừa số trong mẫu. VD: ; B3: Gạch các phân số bằng nhau nhưng trái dấuA1 = 1 + + +............+ A2 = 1 + + + +.......+ A3 = 1 + + + + ........+ A4 = 1 + + + +....+

DẠNG TÍNH TỔNG NHIỀU PHÂN SỐ Dạng 1: Tổng của các phân số có tử số bằng nhau, mẫu số là tích của các số tự nhiên cách

đều nhau.

Cách làm:

B1: Biến tử số bằng hiệu của hai thừa số ở mẫu (bằng cách tách hoặc nhân cả tử và mẫu với phân số bằng 1 - tử số bằng mẫu số, tử số là số cần đưa vào)

B2: Viết mỗi phân số thành hiệu của hai phân số có tử số là 1 và mẫu số lần lượt là các

thừa số trong mẫu VD:

2

1 1 2 1

1





5

1 3

1 ( 2

1 5 3

2 2

1 5 3

1 2

2 5 3

1



















 B3: Gạch các phân số bằng nhau nhưng trái dấu

A1 = 1 +

2

1

1

x +

3 2

1

x + +

100 99

1

x

A2 = 1 +

3

1

1

x +

5 3

1

x +

7 5

1

x + +

101 99

1

x

A3 = 1 +

2

1

+

4 2

1

x +

6 4

1

x + +

100 98

1

x

A4 = 1 +

11

9

2

x +

13 11

2

x +

15 13

2

x + +

101 99

2

x

A5 = 23x553x88x311113x14

A6 = 34x6 64x99x412124x15

A7 = 34x77x411114x15154x19 194x23234x27 A8 =

10 9

2 9 8

2

4 3

2 3 2

2 2 1

2 15 13

2 13 11

2 11 9

2 9 7

2 7

5

2

5

3

2

x x x

x x

x x

x x x

23 16

77 16

9

77 9 2

77 10 9

3

6 5

3 5 4

3 4 3

3 3 2

3 2

1

3

x x

x x x

x x x

x

15 11

4 11 7

4 7

3

4









x x

b, Tổng S có bao nhiêu số hạng?

Dạng 2: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu của phân số sau gấp mẫu số

của phân số liền trước n lần (n > 1).

Cách làm:

B1: Xem mẫu số của phân số sau gấp bao nhiêu lần mẫu số của phân số trước thì gấp tổng lên bấy nhiêu lần

B2: Lấy tổng vừa gấp trừ đi tổng ban đầu rồi chia cho hiệu số lần.

VD: B2 =

2187

1 729

1 243

1 81

1 27

1 9

1 3

1











 => 3  B2 - B2 = 1+ 3191271 811 2431 2791 - (

2187

1 729

1 243

1 81

1 27

1

9

1

3

1











 ) => B2 = (1-21871 ) : 2 =10932187

B1 = 

2

1

4

1

+ 81 + 161 + 321 + 641

B2 =

2187

1 729

1 243

1 81

1 27

1 9

1

3

1













B3 =

192

2 96

2 48

2 24

2 12

2 6

2

3

2













B4 = 

2

1

4

1

+ 81 + 161 + 321 + 641 + 1281 2561

B5 = 1+ 4585165 325 645

B6 = 2383323 1283 5123

B7 = 3+ 53253 1253 6253

B8 = 12801

40

1 20

1 10

1

5

1











B9 =

59049

1

81

1 27

1 9

1

3

1











Dạng 3: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của các phân số có thể viết

thành tích của các số tự nhiên cách đều sao cho thừa số thứ hai của mẫu trước chính là thừa

số thứ nhất của mẫu sau

Cách làm:

B1: Phân tích mẫu số thành tích của các số tự nhiên cách đều sao cho thừa số sau của mẫu

số trước là thừa số trước của mẫu số sau.

B2: Làm như dạng 1.

C2 = 61121 201 301 421 561 721 901

C5 =

340

1 238

1 154

1 88

1 40

1

10

1









C6 =

775

1

247

1 91

1

7

1









C7 = 96031 99991

63

1 35

1 15

1

3

1











S17 = 1+

45

1

10

1 6

1 3

1







 So sánh S17 với 2 (Nhân cả tử và mẫu với 2 rồi đặt 2 ra ngoài để đưa mẫu về dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp)

S24 =

10

4 3 2 1

1

4 3 2 1

1 3

2 1

1 2

1

1





























Dạng 4: Tổng nhiều phân số có mẫu số có thể viết thành tích của các số tự nhiên cách đều

sao cho thừa số thứ hai của mẫu trước chính là thừa số thứ nhất của mẫu sau và tử số kém mẫu số một số đơn vị

Cách làm:

B1: Viết tử số thành hiệu của mẫu số và một số đơn vị

B2: Tách mỗi phân số thành hiệu của hai phân số có mẫu số bằng nhau

B3: Nhóm các phân số có giá trị bằng 1 và các phân số còn lại thành hai nhóm

B4: Thực hiện nhóm thứ hai như Dạng 3.

C3 = 651211192030294241565572719089

(5 = 6 - 1; 11 = 12 - 1; ;89 = 90 - 1)

C4 = 9089 110109 1011

12

11 6

5

2

1













C8 =

9999

9997 9603

9601

63

61 35

33 15

13

3

1











(13 = 15 - 2; 33 = 35 - 2; ;9997 = 9999 - 2)

(Có thể thay tử ở dạng 3 để thành dạng 4)

Dạng 5: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích của 3 thừa số

Thừa số thứ 3 hơn thứ số thứ nhất n đơn vị và hai thừa số cuối của mẫu phân số liền trước là 2 thừa số đầu của mẫu phân số liền sau.

Cách làm:

B1: Viết tử số thành hiệu của thừa số cuối với thừa số đầu của mẫu (Nếu chưa có, cần biến đổi từ số thành hiệu hai thừa số đó - dựa vào dạng 1)

B2: Tách mỗi phân số thành hiệu hai phân số có mẫu số bằng nhau.

B3: Giản ước tử số với một thừa số ở mẫu

B4: Đưa về dạng 1.

Ví dụ: Tính

A = 1x34x5 3x54x7 5x74x9 7x94x119x114x13

= 15x3x1537x5x37 59x7x59 711x9x117 913x11x139

=

13 11 9 9 13 11 9 13 11 9 7 7 11 9 7 11 9 7 5 5 9 7 5 9 7 5 3 3 7 5 3 7 5 3 1 1 5 3 1 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x          = 11x3 31x531x5 51x7 51x7  71x971x9 9x1119x111 111x13 = 11x3  111x13 a, 1 36 7 3 76 9 7 96 13 9 136 15 13 156 19               b, 1 31 7 3 71 9 7 91 13 9 131 15 13 151 19               c, 96 981 100 14 12 10 1 12 10 8 1 10 8 6 1 8 6 4 1 6 4 2 1                   d, 33 365 40 15 12 8 5 12 8 5 5 8 5 2 5             2 - 1 1 1 1 1

3 12 30 60     8775nhân cả tử và mẫu với 2 đặt 2 ra ngoài => mẫu là tích 3 thừa số liên tiếp Dạng 6: Tính phân số mà tử số và mẫu số là các biểu thức: 2012 1 2011 2

5 2008 4 2009 3 2010 2 2011 1 2012 ) 2012

5 4 3 2 1 (

) 5 4 3 2 1 ( ) 4 3 2 1 ( ) 3 2 1 ( ) 2 1 ( 1                                    S10 = 1 1

1 1 1 2008 1 2007 2

4

2005 3

2006 2

2007 2008























S10 =

2009

1 2008

1

4 1 3 1 2 1 2008 2008 2009 2007 2007 2009

4 4 2009 3 3 2009 2 2 2009 1 1 2009                  = 2009 1 2008 1

4 1 3 1 2 1 1 2008 2009 1 2007 2009

1 4 2009 1 3 2009 1 2 2009 1 2009                  S 11 = 2010 1 2009 1

4 1 3 1 2 1 2009 1 2008 2

4 2006 3 2007 2 2008 2009            S12 = 1 199 2 198

197 3 198 2 199 1 200 1

5 1 4 1 3 1 2 1           S13 = 51 49 2

95 5 2 97 3 2 99 1 2 99 1 97 1

9 1 7 1 5 1 3 1 1 x x x x            S14 = 100 99 1

6 5 1 4 3 1 2 1 1 100 1

53 1 52 1 51 1 x x x x         * Một số bài toán tính nhanh phân số không thuộc 6 dạng trên. S17 = 1+ 45 1

10 1 6 1 3 1     So sánh S17 với 2 S18 = 19 1 18 1

8 1 7 1 6 1 5 1       So sánh S18 với 2 Bài 1: a - 1x10 12x93 36x810 8x345 9x552 10x1             b - 201x x(20122x319 3x1820)4x17(1x2 2x318x33x419 x21920x x201 ) Bài 2: Tính nhanh 1000 99 1000 87

1000

49 1000

37 1000

25 1000

13

1000

1















Bài 3: Tính nhanh

Bài 1 Tính:

A2 = 1 +

3

1

1

x +

5 3

1

x +

7 5

1

x + +

101 99

1

x

A3 = 1 +

2

1

+

4 2

1

x +

6 4

1

x + +

100 98

1

x

A4 = 1 +

11

9

2

x +

13 11

2

x +

15 13

2

x + +

101 99

2

x

A5 = 23x553x88x311113x14

A6 = 34x6 64x99x412124x15

4 4

4 4

4 4

A1 = 1 +

2

1

1

x +

3 2

1

x + +

100 99

1

x

4 3

2 3 2

2 2 1

2 15 13

2 13 11

2 11 9

2 9 7

2 7 5

2 5

3

2

x x x

x x

x x

x x x

A9 =

100 93

77

23 16

77 16

9

77 9 2

77 10 9

3

6 5

3 5 4

3 4 3

3 3 2

3 2

1

3

x x

x x x

x x x

x

15 11

4 11 7

4 7

3

4









x x

x

a, Tìm số hạng cuối cùng của S?

b, Tổng S có bao nhiêu số hạng?

Bài 2 Tính các tổng sau:

B1 = 

2

1

4

1

+ 81 + 161 + 321 + 641

B2 =

2187

1 729

1 243

1 81

1 27

1 9

1

3

1













B3 = 32 62122 242 482 962 1922

B4 = 

2

1

4

1

+ 81 + 161 + 321 + 641 + 1281 2561

B5 = 1+ 4585165 325 645

B6 = 2383323 1283 5123

B7 = 3+

625

3 125

3 25

3 5

3







B8 = 12801

40

1 20

1 10

1

5

1











B9 =

59049

1

81

1 27

1 9

1

3

1











Bài 3 Tính:

C1 = 

2

1

6

1

+ 121 + 1101

42

1 30

1 20

1









C2 = 61121 201 301 421 561 721 901

C3 = 651211192030294241565572719089

(5 = 6 - 1; 11 = 12 - 1; ;89 = 90 - 1)

C4 = 9089 110109 1011

12

11 6

5

2

1













C5 =

340

1 238

1 154

1 88

1 40

1

10

1









C6 =

775

1

247

1 91

1

7

1









C7 = 96031 99991

63

1 35

1 15

1

3

1











C8 =

9999

9997 9603

9601

63

61 35

33 15

13

3

1











(13 = 15 - 2; 33 = 35 - 2; ;9997 = 9999 - 2)Bài 4 S17 = 1+

45

1

10

1 6

1 3

1







sánh S17 với 2

S24 =

10

4 3 2 1

1

4 3 2 1

1 3

2 1

1 2

1

1





























Dạng 4: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích của 3 thừa số thứ

nhất n đơn vị và hai thừa số cuối của mẫu phân số liền trước là 2 thừa số đầu của mẫu phân

số liền sau:

Ví dụ: Tính

A = 1x34x5 3x54x7 5x74x9 7x94x119x114x13

= 15x3x1537x5x37 59x7x59 711x9x117 913x11x139

=

13 11 9

9 13

11 9

13 11

9 7

7 11

9 7

11 9

7 5

5 9

7 5

9 7

5 3

3 7

5 3

7 5

3

1

1

5

3

1

5

x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

= 11x3 31x531x5 51x7 51x7  71x971x9 9x1119x111 111x13

= 11x3  111x13

a, 1x36x5 3x76x9 7x96x139x136x1513x156x19

1 1

1 1

c,

100 98 96

1

14 12 10 1 12 10 8 1 10 8 6 1 8 6 4 1 6 4 2 1 x x x x x x x x x x x x       d, 33 365 40 15 12 8 5 12 8 5 5 8 5 2 5 x x x x x x x x     2 - 1 1 1 1 1

3 12 30 60     8775 nhân cả tử và mẫu với 2 đặt 2 ra ngoài => mẫu là tích 3 thừa số liên tiếp Dạng 5: Tính phân số mà tử số và mẫu số là các biểu thức: 2012 1 2011 2

5 2008 4 2009 3 2010 2 2011 1 2012 ) 2012

5 4 3 2 1 (

) 5 4 3 2 1 ( ) 4 3 2 1 ( ) 3 2 1 ( ) 2 1 ( 1                                    S10 = 2009 1 2008 1

4 1 3 1 2 1 2008 1 2007 2

4 2005 3 2006 2 2007 2008            S10 = 2009 1 2008 1

4 1 3 1 2 1 2008 2008 2009 2007 2007 2009

4 4 2009 3 3 2009 2 2 2009 1 1 2009                  = 2009 1 2008 1

4 1 3 1 2 1 1 2008 2009 1 2007 2009

1 4 2009 1 3 2009 1 2 2009 1 2009                  S 11 = 2010 1 2009 1

4 1 3 1 2 1 2009 1 2008 2

4 2006 3 2007 2 2008 2009            S12 = 1 199 2 198

197 3 198 2 199 1 200 1

5 1 4 1 3 1 2 1           S13 = 51 49 2

95 5 2 97 3 2 99 1 2 99 1 97 1

9 1 7 1 5 1 3 1 1 x x x x            S14 = 100 99 1

6 5 1 4 3 1 2 1 1 100 1

53

1 52

1 51

1

x x

x









* Một số bài toán tính nhanh phân số không thuộc 6 dạng trên.

S17 = 1+

45

1

10

1 6

1 3

1







 So sánh S17 với 2

S18 =

19

1 18

1

8

1 7

1 6

1

5

1











Bài 1:

a - 1x10 12x93 36x810 8x345 9x552 10x1

























b - 201x x(20122x319 3x1820)4x17(1x2 2x318x33x419 x21920x x201 )

Bài 2: Tính nhanh

1000

99 1000

87

1000

49 1000

37 1000

25 1000

13

1000

1















Bài 3: Tính nhanh