Giả khoảng cách tương đối kobayashi

ành lþ Brody èi vîi t½nh hyperbolic cõa khæng gian phùc 8 1.7.. B i to¡n °c tr÷ng cho t½nh nhóng hyperbolic cõa c¡c khæng gianphùc hyperbolic ¢ v ang ÷ñc nhi·u nh to¡n håc quan t¥m nghi¶

Ngæ Thà B½ch Thõy

GIƒ KHOƒNG CCH T×ÌNG ÈI KOBAYASHI

LUŠN V‹N TH„C Sž KHOA HÅC TON HÅC

Th¡i Nguy¶n - 2012

Ngæ Thà B½ch Thõy

GIƒ KHOƒNG CCH T×ÌNG ÈI KOBAYASHI

Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch

Mð ¦u ii

1.1 Khæng gian phùc 1

1.2 Phõ ch¿nh h¼nh 2

1.3 Khæng gian ph¥n thî 3

1.4 Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi 4

1.5 Khæng gian phùc hyperbolic 6

1.6 ành lþ Brody èi vîi t½nh hyperbolic cõa khæng gian phùc 8 1.7 Khæng gian phùc nhóng hyperbolic 12

1.8 a t¤p h¦u phùc 18

1.9 Khæng gian taut 21

Ch÷ìng 2 Gi£ kho£ng c¡ch t÷ìng èi Kobayashi 22 2.1 ành ngh¾a 22 2.2 Mët sè t½nh ch§t cõa gi£ kho£ng c¡ch t÷ìng èi Kobayashi 23 2.3 Mët sè ùng döng cõa gi£ kho£ng c¡ch t÷ìng èi Kobayashi 36 2.4 Gi£ kho£ng c¡ch t÷ìng èi Kobayashi tr¶n a t¤p h¦u phùc 50

B i to¡n °c tr÷ng cho t½nh nhóng hyperbolic cõa c¡c khæng gianphùc hyperbolic ¢ v  ang ÷ñc nhi·u nh  to¡n håc quan t¥m nghi¶ncùu v  ¢ câ nhi·u k¸t qu£ quan trång trong gi£i t½ch phùc º gi£i quy¸t

b i to¡n n y, Kobayashi ¢ ÷a ra kh¡i ni»m gi£ kho£ng c¡ch t÷ìng èiKobayashi v  tø â ¢ chùng minh ÷ñc mët ti¶u chu©n ành l÷ñng chot½nh nhóng hyperbolic cõa c¡c khæng gian phùc thæng qua gi£ kho£ng c¡ch

n y Möc ½ch cõa · t i n y l  tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· gi£ kho£ngc¡ch t÷ìng èi Kobayashi tr¶n a t¤p phùc còng mët sè ùng döng cõa nâtrong b i to¡n °c tr÷ng cho t½nh nhóng hyperbolic cõa c¡c khæng gianphùc Luªn v«n bao gçm 2 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc chu©n bà v· gi£ kho£ng c¡chKobayashi, khæng gian phùc hyperbolic v  c¡c khæng gian phùc nhónghyperbolic còng c¡c t½nh ch§t cõa chóng Ngo i ra luªn v«n cán tr¼nh b y

ành lþ Brody èi vîi t½nh hyperbolic, a t¤p h¦u phùc v  khæng giantaut l  c¡c ki¸n thùc c¦n thi¸t cho vi»c tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ cõa ch÷ìng2

Ch÷ìng 2 l  nëi dung ch½nh cõa luªn v«n Ch÷ìng n y tr¼nh b ymët sè k¸t qu£ v· gi£ kho£ng c¡ch t÷ìng èi Kobayashi tr¶n khæng gianphùc v  mët sè ùng döng cõa nâ trong nghi¶n cùu t½nh nhóng hyperboliccõa c¡c khæng gian phùc Ngo i ra, chóng tæi cán tr¼nh b y mët sè c¡ck¸t qu£ ban ¦u v· gi£ kho£ng c¡ch t÷ìng èi Kobayashi tr¶n a t¤p h¦u

Qua ¥y, t¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n PGS

TS Ph¤m Vi»t ùc, ng÷íi ¢ ÷a ra · t i v  tªn t¼nh h÷îng d¨n t¡cgi£ trong suèt qu¡ tr¼nh vi¸t luªn v«n çng thíi t¡c gi£ công gûi líi c£m

ìn c¡c th¦y cæ cõa Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢

âng gâp þ ki¸n º t¡c gi£ ho n th nh b£n luªn v«n n y Cuèi còng l  líic£m ìn ¸n gia ¼nh v  b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ ëng vi¶n gióp ï t¡c gi£trong suèt thíi gian håc tªp

Th¡i Nguy¶n, n«m 2012

Håc vi¶nNgæ Thà B½ch Thõy

Mët iºm a ∈ X ÷ñc gåi l  iºm ký dà cõa X n¸u nâ khæng l  iºmch½nh quy Tªp c¡c iºm ký dà cõa X ÷ñc k½ hi»u l  Xsin.

ành lþ

Trong khæng gian phùc X tªp c¡c iºm ch½nh quy Xreg l  mët at¤p phùc mð v  tªp c¡c iºm ký dà Xsin l  mët khæng gian phùc vîiInt Xsin = ∅

1.1.3 ành lþ Hironaka v· gi£i ký dà

Gi£ sû X l  khæng gian phùc Khi â, vîi måi x ∈ X tçn t¤i l¥n cªn

mð U chùa x, tçn t¤i a t¤p gi£i t½ch M v  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh π : M → Ul¶n U sao cho

π−1(x) gåi l  thî tr¶n x cõa phõ π

èi vîi mët K - ph¥n thî v²ctì π : E → X, E ÷ñc gåi l  khæng gian

to n thº, X ÷ñc gåi l  khæng gian ¡y, v  ta th÷íng nâi E l  mët ph¥nthî v²ctì tr¶n X Ta cán kþ hi»u ph¥n thî v²ctì tr¶n l  (E, π, X)

1.3.2 Ph¥n thî ch¿nh h¼nh

N¸u E, X l  c¡c khæng gian phùc v  π l  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh, to n ¡nh,

v  ph²p çng phæi h l  ¡nh x¤ song ch¿nh h¼nh th¼ ph¥n thî v²ctì ÷ñcgåi l  ph¥n thî ch¿nh h¼nh

1.3.3 Ph¥n thî k²o lòi

Gi£ sû π : E → Y l  mët ph¥n thî v²ctì v  f : X → Y l  ¡nh x¤ ch¿nhh¼nh giúa c¡c khæng gian phùc Khi â câ ph¥n thî v²ctì f−1E, π0, X
,trong â

¾a b¡n k½nh r, D l  ¾a ìn và trong C

Gi£ sû X l  mët khæng gian phùc, x v  y l  hai iºm tòy þ cõa X.Hol(D, X) l  tªp hñp t§t c£ c¡c ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh tø D v o X, ÷ñc trang

bà tæpæ compact mð X²t c¡c d¢y iºm p0 = x, p1, , pk = y cõa X, d¢yc¡c iºm a1, a2, , ak cõa D v  d¢y c¡c ¡nh x¤ f1, , fk trong Hol(D, X)thäa m¢n

trong â Ωx,y l  tªp hñp t§t c£ c¡c d¥y chuy·n ch¿nh h¼nh nèi x v  y trong

N¸u f : X → Y l  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa hai khæng gian phùc th¼ f

l m gi£m kho£ng c¡ch èi vîi gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi, ngh¾a l 

dX(x, y) ≥ dY(f (x), f (y)) ∀x, y ∈ X

Hìn núa, dX l  gi£ kho£ng c¡ch lîn nh§t tr¶n X thäa m¢n måi ¡nh x¤ch¿nh h¼nh f : D → X l  gi£m kho£ng c¡ch

1.4.2.2 ành lþ

èi vîi b§t ký c¡c khæng gian phùc X, Y , ta câ

dX×Y (x, y), (x0, y0)
= maxdX(x, x0), dY(y, y0) vîi måi x, x0 ∈ X v  måi y, y0 ∈ Y

1.4.2.3 H» qu£

èi vîi a ¾a Dn = D × × D, ta câ

dDn (x1, , xn), (y1, , yn)
= max

i dD(xi, yi) 1.4.2.4 ành lþ

Gi£ sû X l  khæng gian phùc Khi â, gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi

dX(p, q) = 0 ⇐⇒ p = q, ∀p, q ∈ X

Nhªn x²t Tø ành ngh¾a v  t½nh ch§t gi£m kho£ng c¡ch qua c¡c ¡nh x¤ch¿nh h¼nh ta câ t½nh hyperbolic cõa khæng gian phùc l  mët b§t bi¸nsong ch¿nh h¼nh

1.5.2 ành lþ Barth

Gi£ sû X l  khæng gian phùc li¶n thæng N¸u X l  hyperbolic th¼ dX

sinh ra tæpæ tü nhi¶n cõa X

Chùng minh

Ta câ khæng gian phùc X l  compact àa ph÷ìng vîi tæpæ ¸m ÷ñc,

do â nâ metric hâa ÷ñc bði ành lþ metric hâa Ur÷xìn V¼ vªy câ h m

kho£ng c¡ch ρ x¡c ành tæpæ tü nhi¶n cõa X ta ph£i chùng minh dX v 

ρ l  so s¡nh ÷ñc, tùc l  vîi {xn} ⊂ X ta câ

ρ(xn, x) → 0 ⇐⇒ dX(xn, x) → 0 khi n → ∞

Do dX li¶n töc n¶n tø ρ(xn, x) → 0 suy ra dX(xn, x) → 0 khi n → ∞.Ng÷ñc l¤i, gi£ sû dX(xn, x) → 0 m  ρ(xn, x) 6→ 0 khi n → ∞ Khi âtçn t¤i s > 0 sao cho câ d¢y con (v¨n k½ hi»u l  {xn}) m  c¡c xn n¬mngo i ρ-c¦u t¥m x, b¡n k½nh s

Nèi xn vîi x bði mët d¥y chuy·n ch¿nh h¼nh Gåi γ l  £nh cõa c¡c tr­c

àa trong ¾a qua d¥y chuy·n tr¶n, γ : [a, b] → X

X²t h m t 7→ ρ(γ(t), x), ¥y l  mët h m li¶n töc do â tçn t¤i t0 ∈ [a, b]sao cho ρ(γ(t0), x) = s Vªy iºm yn = γ(t0) n¬m tr¶n m°t c¦u t¥m x b¡nk½nh s (èi vîi metric ρ) Tø â theo ành ngh¾a gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi

1.6 ành lþ Brody èi vîi t½nh hyperbolic

cõa khæng gian phùc

1.6.1 Bê · tham sè hâa Brody

Gi£ sû X l  khæng gian phùc vîi h m ë d i F Vîi f thuëc Hol(DR, X),

ta ành ngh¾a h m u = f∗F2

R2ds2 R

tr¶n DR N¸u u(0) > c > 0 th¼ tçn t¤i mët

¡nh x¤ g ∈ Hol(DR, X) sao cho

Tø biºu thùc cõa ut(z) ð tr¶n, ta th§y vîi méi t ∈ [0, 1) th¼ ut(z) → 0

tr¶n bi¶n cõa DR v  do â sup

z∈DR

ut(z) ¤t ÷ñc t¤i ph¦n trong cõa DR.D¹ th§y U(t) li¶n töc trong [0, 1) V¼ ut(0) = u(0).t2 > ct2 > 0, ta câ

U (t) > c vîi måi t õ g¦n 1

M°t kh¡c U(0) = 0, do â tçn t¤i r ∈ (0, 1) sao cho U(r) = c Gåi

z0 ∈ DR l  iºm m  t¤i â c = sup

vîi mët h¬ng sè c > 0 n o â ÷ñc gåi l  mët ÷íng th¯ng phùc.

n.Theo ành ngh¾a cõa FX, ta t¼m ÷ñc mët d¢y t«ng c¡c ¾a çng t¥m

DRn b¡n k½nh Rn, lim

n→∞Rn = ∞ v  mët d¢y c¡c ¡nh x¤ fn ∈ Hol(DR n, X)sao cho f0

ds2R

n = 4R

2

ndzdz(R2

Theo a), hå c¡c ¡nh x¤ gn ∈ Hol(DRn, X) l  çng li¶n töc, ch½nh x¡chìn, do

h2 ∈ Hol(DR 2, X)

Cù ti¸p töc nh÷ vªy, ta thu ÷ñc c¡c ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh

hk ∈ Hol(DR k, X), k = 1, 2, ,

m  méi hk l  th¡c triºn cõa hk−1

Tø â ta câ ¡nh x¤ h ∈ Hol(C, X) l  th¡c triºn cõa måi hk

B¬ng c¡ch chu©n hâa h th½ch hñp ta thu ÷ñc h∗E2 ≤ dzdz V¼ vªy tçnt¤i ÷íng th¯ng phùc h : C → X ành lþ ÷ñc chùng minh 

iºm x0 ∈ X n¸u vîi méi ε > 0, tçn t¤i δ > 0 sao cho vîi måi x ∈ X,d(x, x0) < δ, th¼

d(f (x), f (x0)) < ε vîi måi f ∈ F

Hå F ÷ñc gåi l  çng li¶n töc tr¶n X n¸u F l  çng li¶n töc t¤imåi iºm x ∈ X

1.7.2 ành lþ Ascoli èi vîi hå çng li¶n töc

Gi£ sû X l  tªp con compact cõa mët khæng gian metric, v  Y l  mëtkhæng gian metric ¦y Gi£ sû F l  tªp con cõa tªp c¡c ¡nh x¤ li¶n töcC(X, Y ) Khi â F l  compact t÷ìng èi trong C(X, Y ) n¸u v  ch¿ n¸uhai i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n

i) F l  hå çng li¶n töc tr¶n X

ii) Vîi méi x ∈ X, tªp hñp Fx = f (x)

f ∈ F l  compact t÷ìng èi

trong Y

1.7.3 ành ngh¾a

Gi£ sû X l  khæng gian con phùc cõa khæng gian phùc Y X ÷ñc gåi

l  nhóng hyperbolic trong Y n¸u vîi måi x, y ∈ X, x 6= y luæn tçn t¤ic¡c l¥n cªn mð U cõa x v  V cõa y trong Y sao cho

dX X ∩ U, X ∩ V
> 0

1.7.4 ành lþ

Gi£ sû X l  khæng gian con phùc cõa khæng gian phùc Y Khi â c¡c

i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng

HI1 X l  nhóng hyperbolic trong Y

HI2 X l  hyperbolic v  n¸u {xn}, {yn} l  c¡c d¢y trong X thäa m¢n

xn → x ∈ ∂X, yn → y ∈ ∂X, dX(xn, yn) → 0 th¼ x = y

HI3 Gi£ sû {xn}, {yn} l  c¡c d¢y trong X thäa m¢n

xn → x ∈ X, yn → y ∈ X

Khi â, n¸u dX(xn, yn) → 0 khi n → ∞ th¼ x = y

HI4 Cho h m ë d i H tr¶n Y , tçn t¤i h m li¶n töc, d÷ìng ϕ tr¶n Ysao cho vîi måi f ∈ Hol(D, X) ta câ

f∗(ϕH) ≤ HD,trong â HD l  chu©n hyperbolic tr¶n ¾a ìn và D

HI5 Tçn t¤i h m ë d i H tr¶n Y sao cho vîi måi f thuëc Hol(D, X)

N¸u x ∈ X, y ∈ ∂X V¼ y 6∈ X n¶n tçn t¤i dX - c¦u B(x, s) m  y 6∈B(x, s) Do yn → y n¶n yn 6∈ B(x, s) vîi n õ lîn M°t kh¡c, dX(xn, x) → 0suy ra xn ∈ B(x, s/2) i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t dX(xn, yn) → 0.Vªy tr÷íng hñp n y khæng x£y ra Do â HI3 ÷ñc chùng minh.

HI3 ⇒ HI4 Gi£ sû K l  tªp con compact cõa Y Tr÷îc h¸t ta chùngminh tçn t¤i h¬ng sè C > 0 sao cho vîi méi f ∈ Hol(D, X) ta câ

f∗(CH) ≤ HD t¤i méi iºm cõa f−1(K)

Gi£ sû ng÷ñc l¤i, suy ra tçn t¤i d¢y {fn} ⊂ Hol(D, X), tçn t¤i zn ∈

fn−1(K) ⊂ D sao cho |dfn(zn)| → ∞ V¼ D l  thu¦n nh§t èi vîi nhâmAut(D), n¶n ta câ thº gi£ thi¸t zn = 0, tùc l 

|dfn(0)| → ∞ khi n → ∞

Do K compact, ta câ thº gi£ sû

n ≥ n0(r) Theo ành lþ Ascoli, do fn(0) → y, tçn t¤i d¢y con cõa {fn

D r}hëi tö ·u tr¶n méi tªp con compact cõa Dr i·u n y m¥u thu¨n vîi

|dfn(0)| → ∞ Vªy (∗) ÷ñc chùng minh

°t

yk = fnk(0), xk = fnk(zk)

Ta câ thº l§y zk sao cho xk n¬m trong mët tªp con compact chùa U Tø

â, b¬ng c¡ch l§y d¢y con n¸u c¦n ta câ thº gi£ thi¸t xk → x, x 6= y Khi

â

dX(xk, yk) ≤ dD(0, zk) → 0 khi k → ∞

i·u n y m¥u thu¨n vîi HI3

B¥y gií gi£ sû K1 ⊂ K2 ⊂ l  d¢y c¡c tªp con compact cõa Y thäa

Do â, câ h m li¶n töc, d÷ìng ϕ tr¶n Y thäa m¢n ϕ ≤ Ci tr¶n Ki Vªy,

f∗(ϕH) ≤ HD vîi måi h m ë d i H tr¶n Y

HI4 ⇒ HI5 Hiºn nhi¶n khi ta l§y h m ë d i ch½nh l  ϕH

HI5 ⇒ HI1 Gi£ sû x, y ∈ X v  x 6= y L§y

U = BH(x, s), V =BH(y, s)

l  c¡c h¼nh c¦u b¡n k½nh s ùng vîi kho£ng c¡ch sinh bði h m ë d i H

Do H l  h m ë d i v  x 6= y, n¶n ta câ thº l§y s > 0 õ nhä sao cho

BH(x, 2s) ∩BH(y, 2s) = ∅ L§y x0 ∈ U ∩ X v  y0 ∈ V ∩ Y ta câ

dX(x0, y0) ≥ dH(x0, y0) ≥ s > 0

Thªt vªy, tø HI5 suy ra dH câ t½nh ch§t gi£m kho£ng c¡ch vîi måi

f ∈ Hol(D, X), theo t½nh ch§t lîn nh§t cõa gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi

ta câ dX ≥ dH Tø â suy ra X l  nhóng hyperbolic trong Y

1.7.5 Nhªn x²t

N¸u câ h m kho£ng c¡ch δ tr¶n X thäa m¢n

dX(p, q) ≥ δ(p, q), ∀p, q ∈ Xth¼ X l  nhóng hyperbolic trong Y

1.7.6 ành lþ (Kiernan)

Gi£ sû X l  khæng gian con phùc, compact t÷ìng èi trong khæng gianphùc Y Khi â X l  nhóng hyperbolic trong Y n¸u v  ch¿ n¸u Hol(D, X)

l  compact t÷ìng èi trong Hol(D, Y ).

dfn(zn)v ≥ n

b) Hå Hol(Y, X) ÷ñc gåi l  hå chu©n t­c n¸u méi d¢y fi

∞ i=1 trongHol(Y, X) chùa mët d¢y con ho°c l  hëi tö ·u tr¶n méi tªp con compactho°c l  ph¥n ký compact

c) Khæng gian phùc X ÷ñc gåi l  taut n¸u hå Hol(Y, X) l  hå chu©nt­c vîi méi khæng gian phùc Y

B¬ng c¡ch sû döng ành lþ Hironaka v· gi£i ký dà, Kaup [Ka] ¢ chùngminh ÷ñc r¬ng khæng gian phùc X l  taut khi v  ch¿ khi hå Hol(Dn, X)

l  chu©n t­c vîi måi n ≥ 1 Sau â Barth [Ba] ¢ chùng tä r¬ng n¸u khænggian phùc X l  taut th¼ X l  hyperbolic v  n¸u X l  hyperbolic ¦y th¼

Gi£ kho£ng c¡ch t÷ìng èi

Kobayashi

Möc ½ch cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cõa gi£ kho£ngc¡ch t÷ìng èi Kobayashi còng mët sè ùng döng cõa nâ trong vi»c nghi¶ncùu t½nh nhóng hyperbolic cõa c¡c khæng gian phùc Sau ¥y ta luæn gi£thi¸t X l  khæng gian con phùc cõa khæng gian phùc Y

2.1 ành ngh¾a

K½ hi»u

FX,Y = f ∈Hol(D, Y ) f−1(Y \ X) gçm nhi·u nh§t mët iºm

Gi£ sû p, q l  hai iºm tòy þ thuëc X X²t d¢y c¡c iºm

p0 = p, p1, , pk = q cõa X, d¢y c¡c iºm a1, a2, , ak cõa D v  d¢yc¡c ¡nh x¤ f1, , fk trong FX,Y thäa m¢n

fi(0) = pi−1, fi(ai) = pi, ∀i = 1, , k

Tªp hñp α = p0, , pk, a1, , ak, f1, , fk

thäa m¢n c¡c i·u ki»n tr¶n

÷ñc gåi l  mët d¥y chuy·n ch¿nh h¼nh nèi p v  q trong X

trong â Ωp,q l  tªp hñp t§t c£ c¡c d¥y chuy·n ch¿nh h¼nh nèi p v  q trong

hai iºm cõa D ta nhªn ÷ñc b§t ¯ng thùc ng÷ñc l¤i 

2.2.4 ành lþ

Gi£ sû X, X0 t÷ìng ùng l  c¡c khæng gian con phùc compact t÷ìng

èi cõa c¡c khæng gian phùc Y , Y0 N¸u f : Y → Y0 l  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nhthäa m¢n f(X) ⊂ X0, th¼

dX0 ,Y 0 f (p), f (q)
≤ dX,Y(p, q), ∀p, q ∈ X

Hìn núa, dX,Y l  gi£ kho£ng c¡ch lîn nh§t tr¶n X trong c¡c gi£ kho£ngc¡ch câ t½nh ch§t gi£m qua c¡c ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh f ∈ FX,Y Tùc l , n¸u

δX l  gi£ kho£ng c¡ch tr¶n X thäa m¢n

δX f (a), f (b)
≤ dD(a, b) vîi a, b ∈ D v  f ∈ FX,Y,

X th¼ f ◦ α công l  d¥y chuy·n ch¿nh h¼nh nèi f(p), f(q) trong X0

B¥y gií ta chùng minh t½nh lîn nh§t cõa gi£ kho£ng c¡ch t÷ìng èiKobayashi L§y hai iºm p, q tòy þ trong X Gåi

thäa m¢n

fi(0) = pi−1, fi(ai) = pi.Khi â ta câ

δX(p, q) ≤ dX,Y(p, q)

2.2.5 ành lþ

Gi£ sû X ⊂ Y v  X0 ⊂ Y0 Khi â vîi p, q ∈ X v  p0, q0 ∈ X0 ta câ

dX×X0 ,Y ×Y 0 (p, p0), (q, q0)
= maxdX,Y(p, q), dX0 ,Y 0(p0, q0)

Chùng minh

V¼ ph²p chi¸u π : X × X0 → X l  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh n¶n π l  gi£mkho£ng c¡ch èi vîi c¡c gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n X × X0 v  tr¶n

GiÊ khoÊng cĂch tữỡng ối

Kobayashi< /h2>

Mửc ẵch cừa chữỡng ny l trẳnh by mởt số tẵnh chĐt cừa giÊ khoÊngcĂch tữỡng ối Kobayashi cịng mët sè ùng dưng cõa nâ vi»c nghi¶ncùu... chĐt giÊm khoÊng cĂch vợi mồi

f Hol(D, X), theo tẵnh chĐt lợn nhĐt cừa giÊ khoÊng cĂch Kobayashi

ta câ dX ≥ dH Tø â suy X l nhúng hyperbolic Y

1.7.5... f(q) X0

BƠy giớ ta chựng minh tẵnh lợn nhĐt cừa giÊ khoÊng cĂch tữỡng ốiKobayashi LĐy hai im p, q tũy þ X Gåi