Về toán tử đơn điệu trong không gian hilbert

Bên cạnh các kết quảđặc biệt có ý nghĩa về mặt lý thuyết, toán tử đơn điệu là một trong nhữngcông cụ được sử dụng nhiều và rất có hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụngchẳng hạn như bất đ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tintrích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013Người viết Luận văn

Nguyễn Thị Na

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sựhướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của GS Lê Dũng Mưu (Viện Toán học ViệtNam) Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lờitri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy côgiảng dạy lớp Cao học K19 (2011- 2013) Trường Đại học Sư Phạm - Đại họcThái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạođiều kiện cho tôi hoàn thành khóa học

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người

đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013Người viết Luận văn

Nguyễn Thị Na

Mục lục

1.1 Định nghĩa và ví dụ 2

1.2 Một số tính chất quan trọng 5

2 Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đại 16 2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 16

2.1.1 Tập lồi và hàm lồi 16

2.1.2 Dưới vi phân 18

2.1.3 Ánh xạ đa trị 21

2.1.4 Toán tử đơn điệu 25

2.2 Tổng của các toán tử đơn điệu cực đại 34

3 Phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu cực đại 41 3.1 Giới thiệu bài toán và các trường hợp riêng quan trọng 41

3.2 Thuật toán và sự hội tụ 43

3.2.1 Thuật toán điểm gần kề 43

3.2.2 Sự hội tụ 44

Mở đầu

Toán tử đơn điệu là một trong những lĩnh vực của giải tích hiện đại đã vàđang được nhiều nhà toán học hàng đầu thế giới nghiên cứu, đặc biệt phải kểđến như Browder F.E, Rockafellar R.T, Minty G.J Bên cạnh các kết quảđặc biệt có ý nghĩa về mặt lý thuyết, toán tử đơn điệu là một trong nhữngcông cụ được sử dụng nhiều và rất có hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụngchẳng hạn như bất đẳng thức biến phân Nó giúp ích cho việc nghiên cứu ánh

xạ dưới gradient và gradient, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm chorất nhiều các lớp bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bàitoán tối ưu

Đề tài của luận văn là về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert thực

và ứng dụng của nó trong việc khảo sát bài toán bao hàm thức đơn điệu cựcđại và một số bài toán có liên quan Vì thế đây là một đề tài vừa có ý nghĩa

về mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao

Nội dung của bản luận văn được trình bày trong ba chương Chương 1 giớithiệu một cách hệ thống lại các định nghĩa, ví dụ và một số tính chất quantrọng của không gian Hilbert thực Chương 2 gồm hai phần chính Phần thứnhất nêu lên định nghĩa và giới thiệu các tính chất cơ bản của toán tử đơnđiệu Phần thứ hai trình bày về tổng của hai toán tử đơn điệu cực đại Chương

3 giới thiệu bài toán bao hàm thức đơn điệu cực đại và hai trường hợp riêngquan trọng là bài toán cực tiểu hàm lồi và bài toán bất đẳng thức biến phânđơn điệu, cuối chương nêu thuật toán điểm gần kề và khảo sát sự hội tụ tớinghiệm của thuật toán này trong việc giải bài toán bao hàm thức đơn điệucực đại

Chương 1

Các kiến thức về không gian Hilbert

Các không gian Hilbert là những trường hợp riêng quan trọng của khônggian Banach (hay còn gọi là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ với

trong các áp dụng của giải tích hàm tuyến tính vào lý thuyết và kĩ thuật.Trong chương này ta nhắc lại một số kiến thức cơ sở về không gian Hilberttrên trường số thực R Các kiến thức trong chương được lấy từ các tài liệu[2], [4], [7]

Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz)

sau

Định lý 1.2 (xem [4]) Mọi không gian tiền Hilbert H đều là không giantuyến tính định chuẩn, với chuẩn được xác định bởi công thức

||x|| =

q

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng

Nhận xét 1.2 Với kí hiệu mới này, bất đẳng thức Schwarz được viết lạithành

Như vậy một không gian tiền Hilbert xem như không gian định chuẩn cóthể đầy đủ hoặc không đầy đủ

Ví dụ 1.4 Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên khoảng

||x + y||2 = hx + y, x + yi = ||x||2 + ||y||2 + hx, yi + hy, xi,

||x − y||2 = hx − y, x − yi = ||x||2 + ||y||2 − hx, yi − hy, xi

cạnh của hình bình hành bằng tổng bình phương hai đường chéo

2 Từ định lý trên ta thấy, muốn đưa được tích vô hướng vào một khônggian định chuẩn thì không gian này phải thỏa mãn điều kiện hình bình

vô hướng Điều này được thể hiện qua định lý sau

||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2)

khi đó nếu đặt

hx, yi = p(x, y) = 1

4 ||x + y||2 − ||x − y||2
thì h., i là một tích vô hướng trên H và ta có

hx, xi = ||x||2, ∀x ∈ H

kiện trong định nghĩa về tích vô hướng

nghĩa là điều kiện 2 được chứng minh

Bằng quy nạp ta kiểm tra được

và bằng lý luận quen thuộc ta có

Chứng minh Dùng phép bổ sung đầy đủ của một không gian định chuẩn ta

||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2)

lim

n→∞hxn, yniH = hx, yiH

Định lý được chứng minh

Điểm mới chính yếu của không gian Hilbert so với không gian định chuẩn

là ở đó khái niệm tích vô hướng bao hàm các khái niệm về tính trực giao, trựcchuẩn, góc giữa các vectơ Trong phần sau chúng ta nhắc lại định nghĩa,tính chất của các khái niệm đó và một số ví dụ minh họa

• Hai phần tử x, y ∈ H được gọi là trực giao với nhau nếu hx, yi = 0 và

• Hệ E = {e1, e2, · · · , } ⊂ H được gọi là hệ trực chuẩn nếu E là hệ trực

||x1 + x2 + · · · + xn||2 = ||x1||2 + ||x2||2 + · · · + ||xn||2

∀x1, x2, · · · , xn ∈ S

tuyến tính Ngược lại từ một hệ đếm được các phần tử độc lập tuyến tính,

ta có thể xây dựng được một hệ trực giao theo phương pháp trực giao hóa

dưới dạng

mỗi x ∈ H, hình chiếu trực giao yn của x lên không gian con Mn có dạng

Chứng minh Muốn chứng minh chuỗi Fourier hội tụ ta chỉ cần chứng minhbất đẳng thức Bessel đúng.

bởi hệ các vectơ {e1, e2, · · · , en}

i=1hx, eiiei ∈ Mn và zn ∈ Mn⊥ sao cho

1 E = {e1, e2, · · · , } là một cơ sở trực chuẩn đầy đủ,

{en, n ∈ N} Theo Định lý 1.9 ta có

z ⊥ en nên hz, eni = 0 với mọi n ∈ N.

nên theo Hệ quả 1.2 ta có chuỗi P∞

Định lý 1.13 [4, F Riesz] Với mỗi véc tơ a cố định thuộc không gian Hilbert

Định lý trên cho phép thiết lập tương ứng một - một giữa các phiếm hàm

của nó

Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H, Với mỗi

F.Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục, tồn tại duy

Chương 2

Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đại

Như đã biết, toán tử đơn điệu là một công cụ hữu ích trong việc nghiên cứuánh xạ nghiệm, giải tích biến phân Chương này sẽ trình bày một số kháiniệm và tính chất của toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại, tổng của các toán

tử đơn điệu cực đại Các kiến thức trong chương chủ yếu được lấy từ các tàiliệu [1], [3], [5], [6], [7], [8], [9], [11]

∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C

lần lượt được kí hiệu và xác định bởi các công thức

NC(x) := {w ∈ H : hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C} ,

C0 := {w ∈ H : hw, xi ≤ 0, ∀x ∈ C} ,

intA := {x ∈ H : ∃ε > 0, x + εB ⊂ A}

riA := {x ∈ affA : ∃ε > 0, (x + εB) ∩affA ⊂ A}

định nghĩa về hàm lồi như sau

nghĩa bởi công thức

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1]

• Lồi ngặt trên C nếu

Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của giải tích lồi là khái niệmdưới vi phân hàm lồi, dưới đây ta nhắc lại định nghĩa và một số tính chất củadưới vi phân hàm lồi

hx∗, x − ¯xi ≤ f (x) − f (¯x), ∀x ∈ H

∂f (¯x) := {x∗ ∈ H∗ : hx∗, x − ¯xi ≤ f (x) − f (¯x), ∀x ∈ H}

Ví dụ 2.2 (Hàm lồi thuần nhất dương)

đó) thì bao hàm thức trên sẽ xảy ra dấu bằng, tức là

∂(f1 + f2 + · · · + fm)(x) = ∂f1(x) + ∂f2(x) · · · + ∂fm(x), ∀x ∈ H

là argminx∈Cf (x) và được xác định bởi

x∈C f (x)

Trước khi trình bày các kiến thức về toán tử đơn điệu chúng ta nhắc lạimột số khái niệm cơ bản của ánh xạ đa trị và giới thiệu một số ví dụ minhhọa.

Y (F (x) có thể là tập rỗng)

Ví dụ 2.3 Xét phương trình đa thức

xn + a1xn−1 + · · · + an−1x + an = 0

thực

trong đó C là tập hợp số phức

thức

gphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} ,domF = {x ∈ X : F (x) 6= ∅} ,

Ví dụ 2.4 Với ánh xạ đa trị trong ví dụ trên ta có

gphF = (a, x) ∈ Rn ×C : xn + a1xn−1 + · · · + an−1x + an = 0 ,

Định nghĩa 2.11 Ánh xạ ngược F−1 : Y → 2X của ánh xạ đa trị F : X →

F−1(y) = {x ∈ X : y ∈ Y ∩ F (x)}

F (x0) ⊆ V, ∀x0 ∈ U

F (x) ∩ V 6= ∅, tồn tại lân cận mở U của x sao cho

x = 0 vì với mọi tập mở (a, b) ⊃ [−1, 1] = F (0), tồn tại lân cận của 0 chẳnghạn (−1, 1), ta có

Ví dụ 2.6 Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi

, khi đó không tồn tại lân



quan trọng trong giải tích toán học Trong mục này chúng ta sẽ giới thiệu

Hausdorff

được kí hiệu và xác định bởi

d(x, C) := inf

y∈C||x − y||

d(x, C) = ||x − z||

Định nghĩa 2.13 (Khoảng cách Hausdorff)

Với A, B ⊂ H là hai tập đóng bất kì và khác rỗng, khoảng cách Hausdorff

ρ(A, B) := max {d(A, B), d(B, A)} ,

Định nghĩa 2.14 (Ánh xạ liên tục Lipschitz)

• Nếu L < 1 thì ta nói F là ánh xạ co trên C

Để minh họa cho định nghĩa trên ta xét ví dụ sau

Do đó

ρ(F (x, 0), F (x0, 0)) ≤ √

2||(x, 0) − (x0, 0)||, ∀(x, 0), (x0, 0) ∈ C

tử đơn điệu nếu

một toán tử đơn điệu

Thật vậy

Định nghĩa 2.17 Toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là

∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y), x 6= y : hu − v, x − yi > 0

∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y) : hu − v, x − yi ≥ α||x − y||2

Nhận xét 2.3

F (x, 0) := (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ x

Thật vậy

h(x, u) − (y, v), (x, 0) − (y, 0)i

Thật vậy, ta có

(T − I)(x, 0) = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ x} := F (x, 0)

Tính chất của toán tử đơn điệu đơn trị thể hiện qua Mệnh đề sau

Mệnh đề dưới đây cho thấy tính chất của toán tử đơn điệu đa trị

Mệnh đề 2.2 (Phép toán bảo toàn tính đơn điệu)

1 T : H → 2H là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi T−1 : H → 2H là toán tửđơn điệu

λ1T1 + λ2T2

S(x) = A∗T (Ax + b)

Chứng minh (1) Theo định nghĩa, toán tử T là đơn điệu khi và chỉ khi

hay

hx − y, u − vi ≥ 0, ∀u, v ∈ domT−1, ∀x ∈ T−1(u), ∀y ∈ T−1(v)

v ∈ (λ1T1 + λ2T2)(y) = λ1T1(y) + λ2T2(y)

Lấy ui ∈ Ti(x), vi ∈ Ti(y), (i = 1, 2) sao cho

(3) Lấy

Chọn

u1 ∈ T (Ax + b), v1 ∈ T (Ay + b)

sao cho

u = A∗u1, v = A∗v1

hv − u, y − xi = hA∗v1 − A∗u1, y − xi

= hv1 − u1, (Ay + b) − (Ax + b)i ≥ 0

Ax + b 6= Ay + b

hv1 − u1, (Ay + b) − (Ax + b)i > 0

Suy ra

hv − u, y − xi > 0

hỏi đặt ra là điều ngược lại có đúng không? Để trả lời câu hỏi đó ta nhắc lạiđịnh nghĩa và tính chất về toán tử đơn điệu tuần hoàn sau đây

ta có

hx1 − x0, y0i + hx2 − x1, y1i + · · · + hxm − xm−1, ym−1i + hx0 − xm, ymi ≤ 0

Ngược lại toán tử đơn điệu là trường hợp riêng của toán tử đơn điệu tuần

T (x) ⊆ ∂f (x), ∀x ∈ Rn

Chứng minh Điều kiện đủ.

theo định nghĩa dưới vi phân hàm lồi

toán tử đơn điệu tuần hoàn

f (y) > α + hy − x, x∗i

Thật vậy, Do α < f (x) nên theo tính chất của cận trên đúng sẽ tồn tại cáccặp (xi, yi) ∈ gphT và số nguyên dương m, i = 1, 2, · · · , m thỏa mãn

Một toán tử đơn điệu có thể được mở rộng lên thành toán tử đơn điệu cựcđại dựa vào mệnh đề sau

Định lý 2.3 [7, Định lý 20.21] Với mọi toán tử đơn điệu T : H → 2H luôn

Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Mệnh đề được chứng minh

đơn điệu cực đại

Mệnh đề 2.5 Toán tử đa trị T : H → 2H là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi

λ > 0 Khi đó T là toán tử đơn điệu cực đại khi và chỉ khi I + λT là toán tửtràn, hay

rge(I + λT ) = H

T (x) = ∂f (x)

là toán tử đơn điệu cực đại

hd(x) = f (x) + 1

2||x||2 − hd, xi

Ta có hd(.) là tổng của một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới với một

lồi mạnh, chính thường, nửa liên tục dưới

tử đơn điệu cực đại

T (U ) = ∪ {T (u) : u ∈ U }

Từ định nghĩa toán tử đơn điệu cực đại ta thấy nếu T : H → 2H là toán

T−1(x∗) = {x : x∗ ∈ T (x)}

là toán tử đơn điệu

R(T ) = dom(T−1) = ∪ {T (x) : x ∈ H)}

được xác định như sau

(T1 + T2)(x) = T1(x) + T2(x) = {x∗1 + x∗2 : x∗1 ∈ T1(x), x∗2 ∈ T2(x)}

là đơn điệu

có là toán tử đơn điệu cực đại hay không? Cho đến hiện tại kết quả quantrọng nhất đó là định lý sau của Browder

toán tử đơn điệu cực đại

biểu và chứng minh định lý chúng ta sử dụng các khái niệm và mệnh đề sau

2||x||2

hx, J(x)i = ||x||2 = ||J (x)||2

∀x, y ∈ domT, u ∈ T (x), v ∈ T (y), x 6= y : hJ(x) − J(y), x − yi > 0

đó với mỗi λ > 0, R(T + λJ ) là toàn bộ H, toán tử (T + λJ )−1 là đơn trị,

và tôpô yếu

hx, x∗i ≥ 0 với ||x|| > α, x ∈ domT, x∗ ∈ T (x)

điệu cực đại

Sau đây chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh kết quả chính của vấn đềđược nêu ở trên

1 domT1 ∩ intdomT2 6= ∅

Nếu cần có thể tịnh tiến, ta giả sử rằng

là toán tử đơn điệu

R(T1 + T2 + J )

x∗ ∈ R(T1 + T2 + J )

Hiển nhiên S1 + S2 là toán tử đơn điệu đơn trị, liên tục từ tôpô mạnh vàotôpô yếu sao cho

kính α1 > 0, tâm là gốc tọa độ nên

|hS2(x∗) − S2(y∗), y∗i| ≤ 2α1||y∗|| (2.26)

Mặt khác, từ (2.21) suy ra S2−1 bị chặn địa phương tại 0 Do đó tồn tại các

bị chặn Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng dạng thu hẹp của định lý cũngbao hàm dạng tổng quát

với dom(T2 + Bα) là tập bị chặn Vì thế toán tử

T1 + (T2 + Bα) = (T1 + T2) + Bα

minh định lý cho trường hợp tổng quát

Định lý được chứng minh xong

Kết luận chươngTrong chương này sau khi trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm lồi vàtoán tử đa trị trong không gian Hilbert, chúng ta đã tổng hợp lại các kết quả

cơ bản về toán tử đa trị đơn điệu và đơn điệu cực đại Các vấn đề chính đượcgiới thiệu ở chương này là

1 Tính chất đơn điệu và đơn điệu cực đại của toán tử dưới vi phân của hàmlồi đóng, chính thường nửa liên tục dưới

2 Các tính chất cơ bản của toán tử đơn điệu cực đại, các điều kiện để mộttoán tử là đơn điệu cực đại

3 Xét tính đơn điệu cực đại của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại

Chương 3

Phương pháp điểm gần kề giải bao

hàm thức đơn điệu cực đại

Nội dung của chương này là giới thiệu bài toán bao hàm thức đơn điệu cựcđại và một số trường hợp riêng quan trọng, đồng thời xây dựng phương phápđiểm gần kề giải bài toán Các kiến thức trong chương được lấy từ các tài liệu

[7], [10]

đại, khi đó bài toán bao hàm thức đơn điệu cực đại được phát biểu như sau

T (z) = 0

Về mặt hình thức bài toán này khá đơn giản, tuy nhiên nó bao hàm đượcnhiều lớp bài toán quan trọng khác thuộc nhiều lĩnh vực như bài toán cựctiểu hàm lồi, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán điểmbất động Dưới đây chúng ta trình bày hai trường hợp riêng điển hình nhấtcủa bài toán bao hàm thức đơn điệu cực đại

Bài toán cực tiểu hàm lồi

0 ∈ T (z) sẽ trở thành bài toán

Tìm z ∈ H sao cho f (z) = minx∈Hf (x)

và được gọi là bài toán cực tiểu hàm lồi

Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu

T (z) =

(

và được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu

đẳng thức biến phân đơn điệu (VI)

Tìm z ∈ C sao cho −T0(z) ∈ C0 và hT0(z), zi = 0.

ta có thể thay thế việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu bằng

Trong chương này, chúng ta trình bày thuật toán điểm gần kề để tìm nghiệm

cho

z ∈ (I + ckT )(u)

là toán tử không giãn, tức là

z = Pk(z) = (I + ckT )−1(z)

khi và chỉ khi

z ∈ (I + ckT )(z) = z + ckT (z)

hay 0 ∈ ckT (z) Do đó z là không điểm của ánh xạ T

trình bày như sau

(∀k = 1, 2, · · ·) và điểm bắt đầu z0 ∈ H

• Bước k : Xây dựng dãy điểm zk ⊂ H bằng cách : tại bước lặp thứ k ta