Vấn đề duy nhất hàm phân hình khi hai đa thức chứa đạo hàm chung nhau một giá trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀO VIỆT HÙNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT HÀM PHÂN HÌNH KHI HAI ĐA THỨC CHỨA ĐẠO HÀM CHUNG NHAU MỘT GIÁ TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 201

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO VIỆT HÙNG

VẤN ĐỀ DUY NHẤT HÀM PHÂN HÌNH KHI HAI ĐA THỨC CHỨA ĐẠO HÀM CHUNG NHAU MỘT GIÁ TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO VIỆT HÙNG

VẤN ĐỀ DUY NHẤT HÀM PHÂN HÌNH KHI HAI ĐA THỨC CHỨA ĐẠO HÀM CHUNG NHAU MỘT GIÁ TRỊ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Trần Phương

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả

nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ

công trình nào khác Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo sự

trung thực và chính xác, tuân thủ các qui định về quyền sở hữu trí tuệ

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015

Tác giả

Đào Việt Hùng

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Trần Phương, người đã tận tình hướng dẫn

để tôi có thể hoàn thành khóa luận này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Đại học Thái Nguyên đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đã giúp đỡ và chia sẻ với tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác giả

Đào Việt Hùng

Mục lục

1 Một số kiến thức cơ bản 3

1.1 Các kiến thức cơ bản trong lý thuyết Nevanlinna 3

1.1.1 Các hàm Nevanlinna và tính chất 3

1.1.2 Các định lý cơ bản 7

1.1.3 Quan hệ số khuyết 9

1.2 Một số tính chất của hàm chung nhau hàm nhỏ 10

1.2.1 Khái niệm mở đầu 10

1.2.2 Một số tính chất 13

2 Vấn đề duy nhất hàm phân hình qua đa thức chứa đạo hàm 23 2.1 Trường hợp đa thức chứa đạo hàm bậc nhất chung nhau một hàm nhỏ 23

2.2 Trường hợp đa thức chứa đạo hàm bậc nhất chung nhau một giá trị có trọng số 36

Mở đầu

Bài toán xác định duy nhất một hàm phân hình trên C thông qua ảnhngược của các tập hữu hạn đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán họctrên thế giới: G.Pólya, R Nevanlinna, F.Gross Với mỗi a ∈ C∪ {∞},

E(ai, f ) = E(ai, g) ∀i = 1, 5

trong đó ai là các giá trị phân biệt, thì f và g phải trùng nhau

Một vấn đề tự nhiên được đặt ra bởi Gross ([5]) vào năm 1976: tồn tạimột tập hợp hữu hạn S, điều kiện E(S, f ) = E(S, g) kéo theo f ≡ g?Năm 1995, H.X Yi ([13]) trả lời câu hỏi của Gross cho trường hợp hàmnguyên và năm 1998, G Frank và M Reinders xem xét cho hàm phânhình Trong thực tế, câu hỏi của Gross có thể được phát biểu như sau:khẳng định tồn tại hay không đa thức P sao cho với bất cứ cặp hàm phânhình khác hằng f và g ta có f ≡ g nếu P (f ) và P (g) chung nhau mộtgiá trị một giá trị CM? Một cách tự nhiên, ta đưa ra câu hỏi sau: tồntại hay không đa thức chứa đạo hàm d sao cho với bất cứ cặp hàm phân

hình khác hằng f và g ta có f ≡ g nếu d(f ) và d(g) chung nhau một giátrị CM? Đã có một số công trình công bố theo hướng nghiên cứu này.Chẳng hạn, I Lahiri và R Pal ([8]), A Benerjee và S Mukhejee ([3]),

C Meng ([9]), Các tác giả đã đưa ra các điều kiện đại số để hai hàmphân hình đồng nhất bằng nhau khi hai đa thức chứa đạo hàm bậc nhấtcủa chúng chung nhau một giá trị

Với mục đích tìm hiểu một số kết quả nghiên cứu theo hướng này,chúng tôi chọn đề tài “Vấn đề duy nhất hàm phân hình khi hai đathức chứa đạo hàm chung nhau một giá trị” Mục đích chính củaluận văn là trình bày lại một số kết quả nghiên cứu gần đây của C Meng([9]) và S Shahoo and S Seikh ([10]) về các điều kiện đại số xác địnhduy nhất hàm phân hình qua đa thức chứa đạo hàm bậc nhất Luận văngồm hai chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản, trình bày những kiến thức cơ

sở, cần thiết cho việc chứng minh những kết quả trong chương 2 như: lýthuyết phân bố giá trị Nevanlinna, hàm phân hình chung nhau một giátrị

Chương 2: Vấn đề duy nhất hàm phân hình qua đa thức chứa đạohàm, trình bày một số điều kiện đại số để hai hàm phân hình là trùngnhau khi hai đa thức chứa đạo hàm bậc nhất của chúng chung nhau mộtgiá trị

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác Giả

Đào Việt Hùng

Khi đó log x = log+x − log+(1/x).

Cho f là một hàm phân hình trên C, r > 0, với mỗi ϕ ∈ [0; 2π], ta có

log |f (reiϕ)| = log+|f (reiϕ)| + log+

1

f (reiϕ)

1

f (reiϕ)

+ log+|a| + log 2,

trong đó cf là hệ số khác 0 nhỏ nhất trong khai triển Taylor của hàm f

trong lân cận điểm 0, c1/(f − a) là hệ số khác 0 nhỏ nhất trong khai triểnTaylor của hàm 1/(f − a) trong lân cận điểm 0

Nhận xét 1.1 Ta thường dùng (2) của Định lý cơ bản thứ nhất dướidạng

T (r, 1

f − a) = T (r, f ) + O(1),

trong đó O(1) là đại lượng bị chặn khi r → ∞

Cho f là một hàm phân hình, r > 0 Kí hiệu

và gọi là hàm giá trị phân nhánh của hàm f Hiển nhiên Nram(r, f ) ≥ 0

Định lý 1.3 (Định lý cơ bản thứ hai) Giả sử f là hàm phân hình kháchằng trên C, a1, · · · , aq ∈ C, (q > 2) là các hằng số phân biệt, khi đó vớimỗi ε > 0, bất đẳng thức

đúng với mọi r ≥ r0 nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn.

kể bội, θf(a) gọi là bậc của bội của số khuyết

Nhận xét 1 Nếu f (z) = a vô nghiệm thì N (r, 1

f − a) = 0 với mọi r

suy ra δf(a) = 1 Chẳng hạn f (z) = ez thì δf(0) = 1

2 Nếu N (r, 1

f − a) = o(T (r, f )) khi đó δf(a) = 1 Như vậy số khuyết

bằng 1 khi số nghiệm của phương trình quá ít so với cấp tăng của nó

3 Với mỗi hàm phân hình f và a ∈ C, ta luôn có

0 6 δf(a) 6 δfk(a) 6 Θf(a) 6 1

Định lý sau cho ta một tính chất của số khuyết, thường được gọi là bổ

đề quan hệ số khuyết

Định lý 1.4 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C Khi đó tập hợpcác giá trị của a mà Θf(a) > 0 cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có

1.2 Một số tính chất của hàm chung nhau hàm nhỏ

1.2.1 Khái niệm mở đầu

Cho f là một hàm phân hình,a là một hàm nhỏ củaf Kí hiệuE(a, f )

là tập các không điểm kể cả bội của f − a, E(a, f ) là tập các không điểmphân biệt của f − a

Định nghĩa 1.5 Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, nếu

E(a, f ) = E(a, g) thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ a CM, nếu

E(a, f ) = E(a, g) thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ a IM1

Chú ý rằng, trong định nghĩa trên nếu a là một giá trị hữu hạn thì tanói f và g chung nhau giá trị a

thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a “IM”

Ta dễ dàng chứng minh được nếu f vàg chung nhau hàm nhỏ (giá trị)

a CM thì chúng chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a “CM”, chung nhau hàmnhỏ (giá trị) a IM thì chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a “IM” Do đó có thểnói điều kiện “CM” (“IM”) lỏng hơn điều kiện CM (tương ứng IM)

1 CM là viết tắt của counting multiplicities nghĩa là kể cả bội, IM là viết tắt của ignoring multiplicities nghĩa là không kể bội.

Cho a là một hàm nhỏ hoặc a ∈ C ∪ {∞}, ta kí hiệu Ek(a, f ) là tậptất cả các không điểm của f − a với một không điểm bội m được tính m

lần nếu m ≤ k và k + 1 lần nếu m > k Năm 2001, I Lahiri ([7]) đưa rakhái niệm

Định nghĩa 1.7 Nếu Ek(a, f ) = Ek(a, g) thì ta nói f và g chung nhaugiá trị a với trọng số k

Từ định nghĩa ta có nếu f và g chung nhau giá trị a với trọng số k thì

z0 là không điểm của f − a với bội m(≤ k) nếu và chỉ nếu nó là khôngđiểm của g − a với bội m(≤ k) và z0 là không điểm của f − a với bội

m(> k) nếu và chỉ nếu nó là không điểm của g − a với bội n(> k), với

m không nhất thiết bằng n Ta viết f, g chung nhau (a, k) có nghĩa là

f, g chung nhau giá trị a với trọng số k Rõ ràng nếu f và g chung nhau

(a, k) thì f và g chung nhau (a, p) với tất cả số nguyên p : 0 ≤ p < k

Từ định nghĩa ta thấy f và g chung nhau a giá trị a IM (hoặc CM) nếu

và chỉ nếu f và g chung nhau (a, 0) (hoặc (a, ∞))

Cho f và g chung nhau giá trị a “IM” và k là một số nguyên dươnghoặc ∞ Kí hiệu NEk)(r, a; f, g) là hàm đếm không kể bội tại các a−điểmchung của f và g với bội bằng nhau và không lớn hơn k NO(k(r, a; f, g)

là hàm đếm không kể bội tại các a−điểm chung của f và g và cả hai bộivới bội không nhỏ hơn k Gần đây, Lin giới thiệu kí hiệu chung nhau yếuvới trọng số như sau:

Định nghĩa 1.8 Với a ∈ C∪ {∞}, nếu k là một số nguyên dương hoặc

thì ta nói f và g chung nhau yếu giá trị a với trọng số k Ta viết f, g

chung nhau “(a, k)” nghĩa là f, g chung nhau yếu giá trị a với trọng số

cũng được định nghĩa tương tự

Định nghĩa 1.10 Với mỗi số nguyên k(≥ 2),N (r, a; f | = k) kí hiệu làhàm đếm rút gọn của các a−điểm của f với bội đúng bằng k

Định nghĩa 1.11 Cho p là một số nguyên dương hoặc vô cực Ta kíhiệu Np(r, a; f ) là hàm đếm các a−điểm của f với mỗi a−điểm bội m

được tính m lần nếu m ≤ p và p lần nếu m > p Như vậy

Np(r, a; f ) = N (r, a; f ) + N (r, a; f | ≥ 2) + · · · + N (r, a; f | ≥ p)

Định nghĩa 1.12 Cho m là một số nguyên dương và Em)(a; f ) =

Em)(a; g)với mỗi a ∈ C Choz0 là một không điểm củaf − a với bộip và

là một không điểm của g − a với bộiq Ta kí hiệu NL(r, a; f ) là hàm đếm

các a- điểm của f và g với p > q ≥ m + 1, N(m+1E (r, a; f ) là hàm đếm rútgọn các a- điểm của f và g với p = q ≥ m + 1, vàNf >m+1(r, 1; g) là hàmđếm rút gọn của f và g với p ≥ m + 2 và q = m + 1 Ta cũng kí hiệu

và q = 0 Tương tự, ta cũng có thể định nghĩa NL(r, a; g),N(m+1E (r, a; g)

và Ng≥m+1(r, a; g|g 6= a)

Định nghĩa 1.13 Cho a, b ∈ C ∪ {∞} Ta kí hiệu N (r, a; f |g =b)(N (r, a; f |g 6= b)) là hàm đếm các a−điểm của f tính theo số bội

và là các b−điểm (không là các b−điểm) của g

Định nghĩa 1.14 Cho a, b ∈C∪ {∞} và p là một số nguyên dương Ta

kí hiệu N (r, a; f | ≥ p|g = b)(N (r, a; f | ≥ p|g 6= b) là hàm đếm rút gọncác a−điểm của f với bội ≥ p và là các b−điểm (không là các b−điểm)của g

1.2.2 Một số tính chất

Trong phần này, ta sẽ giới thiệu và một số tính chất của hàm phânhình hình, cần thiết cho việc chứng minh các định lý chính trong Chương2

Bổ đề 1.7 ([7]) Cho F và G là hai hàm phân hình khác hằng, nếu F và

G chung nhau (1, 2) thì xảy ra một trong các trường hợp sau:

(1) T (r, F ) ≤ N2



r, 1F



+ N2



r, 1G



+ N2(r, F ) + N2(r, G)+ S(r, F ) + S(r, G),

T (r, G) ≤ N2



r, 1F



+ N2



r, 1G



+ N2(r, F ) + N2(r, G)+ S(r, F ) + S(r, G),

(2) F ≡ G;

(3) F G ≡ 1

Đẳng thức trên đúng với giả thiết hn+1 6≡ 1 Nếu hn+1 = hn+4 ≡ 1, thì

ta có phương trình tầm thường 0 = 0 Vậy ta phải giả sử rằng n + 1

không chia hết cho 3 Đặt d = (n + 1, n + 4) Ta có thể viết n + 1 =

dm1, n + 4 = dm2, với m1, m2 là hai số nguyên dương và m1 < m2 Vậy

uk, k = 1, 2, · · · n + 1 Từ f3 không có cực điểm đơn, dẫn đến h − uk = 0

không có nghiệm đơn với k = 1, 2, · · · , n + 1 Như vậy

Θ(uk; h) ≥ 1/2 với k = 1, 2, · · · , n + 1(≥ 5),

điều này không thể xảy ra Vì vậy h là hằng hằng số Nếu h 6= 1 thì dẫnđến vô lý Vậy h = 1 và f ≡ g Bổ đề được chứng minh Với hai hàm phân hình F và G, ta sẽ xây dựng hàm H như sau:



+ N2(r, F ) + N2



r, 1G



+ N2(r, F ) + N2



r, 1G

Bổ đề 1.13 ([14]) Cho F và G là hai hàm phân hình khác hằng sao cho

F và G chung nhau giá trị 1 IM Nếu H ≡ 0 thì

T (r, F ) ≤N



r, 1F



+ N (r, F ) + N



r, 1G

Bổ đề 1.14 ([15]) Cho F và G là hai hàm phân hình khác hằng sao cho

F và G chung nhau giá trị 1 IM Thì ta có



+ N2



r, 1G



+ N2(r, F ) + N2



r, 1G



+ N2(r, G)



+ S(r, F ) + S(r, G)

Bổ đề 1.17 ([10]) Cho f là một hàm phân hình khác hằng và cho

an(z)(6≡ 0), an−1(z), · · · , a0(z)là các hàm phân hình sao cho T (r, ai(z)) =S(r, f ) với i = 0, 1, 2 · · · , n thì ta có:

Bổ đề 1.20 ([10]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng Nếu

Bổ đề 1.25 ([10]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và

α(6≡ 0, ∞) là một hàm nhỏ của f và g Cho n và m là hai số nguyêndương sao cho n > 3m + 1 thì

fnP (f )f0gnP (g)g0 6≡ α2,

số khác 0 và li là số nguyên dương, i = 1, 2, · · · , s Cho z0(α(z0) 6= 0, ∞)

là không điểm của f với bội p thì ta nói z0 là cực điểm của g với bội q

trong đó N0(r, 0; g0) biểu thị hàm đếm rút gọn của các không điểm của

g0 mà không là các không điểm của gP (g)

Theo định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna, ta có:

S(r, F0) và S(r, G0) có thể thay thế tương ứng bởi S(r, f ) và S(r, g).Chứng minh Theo Bổ đề 1.17 ta có:

và d1, d2, · · · , dm là các nghiệm của phương trình P (z) = 0

Chứng minh Ta chỉ chứng minh (i), (ii) được suy ta tương tự Sử dụng

Định lý cơ bản thứ nhất và Bổ đề 1.17 ta có:

T (r, F ) = T



r, 1F



+ O(1) = N (r, 0; F ) + m



r, 1F

Bổ đề sau đây được chứng minh dựa vào Bổ đề 1.26

Bổ đề 1.28 ([10]) Cho F và G được định nghĩa trong Bổ đề 1.26, trong

đó m và n(> m + 2) là các số nguyên dương Ta có F0 = G0 suy ra

F ≡ G

Chương 2

Vấn đề duy nhất hàm phân hình qua đa thức chứa đạo hàm

2.1 Trường hợp đa thức chứa đạo hàm bậc nhất chung nhau

một hàm nhỏ

Năm 1976, F Gross ([5]) đưa ra câu hỏi: tồn tại một tập hợp hữu hạn

S, điều kiện E(S, f ) = E(S, g) kéo theo f ≡ g? Năm 1995, H.X Yi trảlời câu trả lời bằng việc chứng minh định lý sau

Định lý 2.1 ([13]) Tồn tại tập S gồm 7 phần tử, điều kiện E(S, f ) =E(S, g) kéo theo f ≡ g với bất kỳ cặp hàm nguyên khác hằng f và g.Đối với hàm phân hình, Năm 1998, G Frank và M.Reinders chứngminh định lý:

Định lý 2.2 ([4]) Tồn tại tập S gồm 11 phần tử, điều kiện E(S, f ) =E(S, g) kéo theo f ≡ g với bất kỳ cặp hàm phân hình khác hằng f và g.Trong thực tế, câu hỏi của Gross có thể được phát biểu như sau: khẳngđịnh tồn tại hay không đa thức P sao cho với bất cứ cặp hàm phân hìnhkhác hằng f và g ta có f ≡ q nếu P (f ) và P (g) chung nhau một giá trịmột giá trị CM? Một cách tự nhiên, ta đưa ra câu hỏi sau: tồn tại haykhông đa thức chứa đạo hàm d sao cho với bất cứ cặp hàm phân hình

khác hằng f và g ta có f ≡ g nếu d(f ) và d(g) chung nhau một giá trịCM?

Một số công trình đã thực hiện theo hướng này Năm 2006, I Lahiri

và R Pal tìm được một đa thức d thỏa mãn câu hỏi trên, các tác giả đãchứng minh:

Định lý 2.3 ([8]) Chof vàg là hai hàm phân hình khác hằng và n(≥ 14)

là một số nguyên Nếu

E3)(1, fn(f3 − 1)f0) = E3)(1, gn(g3 − 1)g0)

thì f ≡ g

Năm 2009, C Meng chứng minh:

Định lý 2.4 ([9]) Chof vàg là hai hàm phân hình khác hằng và n(≥ 14)

là một số nguyên sao cho n + 1 không chia hết cho 3 Nếu

Chương 2

Vấn đề hàm phân hình qua đa thức chứa đạo hàm< /h2>

2.1 Trường hợp đa thức chứa đạo hàm bậc chung

một hàm nhỏ

Năm 1976, F Gross ([5])... a giá trị hữu hạn tanói f g chung giá trị a

thì ta nói f g chung hàm nhỏ (giá trị) a “IM”

Ta dễ dàng chứng minh f vàg chung hàm nhỏ (giá trị)

a CM chúng chung hàm nhỏ (giá. .. cặp hàm phân hình khác f g.Trong thực tế, câu hỏi Gross phát biểu sau: khẳngđịnh tồn hay không đa thức P cho với cặp hàm phân hìnhkhác f g ta có f ≡ q P (f ) P (g) chung giá tr? ?một giá trị CM? Một