Một số ứng dụng của lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn

Lý thuyết biểu diễn nhóm không chỉ là một phần quan trọng trong đại số hiện đại mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong lý thuyết số, tổ hợp và cả vật lý.. Mục đích của luận văn là đọc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

*****************

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Lời nói đầu 2

1 Một số ví dụ về nhóm và tác động nhóm 4

1.1 Nhóm ma trận 4

1.2 Tác động nhóm 5

1.3 Nhóm đối xứng 8

2 Các khái niệm đại số cơ sở của phép biểu diễn nhóm 10 2.1 Phép biểu diễn tuyến tính 10

2.2 Biểu diễn tương đương 12

2.3 Các ví dụ 13

2.4 Tổng và tích tenxơ của phép biểu diễn - Phép biểu diễn thương 16 2.4.1 Tổng của phép biểu diễn 16

2.4.2 Tích tenxơ của phép biểu diễn 17

2.4.3 Phép biểu diễn đối ngẫu 18

2.4.4 Phép biểu diễn thương 18

2.5 Phân tích bất khả quy của một phép biểu diễn 19

2.6 Đặc trưng của phép biểu diễn hữu hạn 23

3 Biểu diễn của nhóm hữu hạn và công thức Frobenius 24 3.1 Đặc trưng hệ trực chuẩn 24

3.2 Biểu diễn chính quy 28

3.3 Hệ trực chuẩn các đặc trưng và số các biểu diễn bất khả quy 29 3.4 ứng dụng 32

Tài liệu tham khảo 35

Lời nói đầu

Lý thuyết biểu diễn nhóm có nguồn gốc từ lý thuyết đặc trưng củanhóm abel được phát biểu cho các nhóm cyclic bởi Gauss, Dirichlet và sau

đó mở rộng sang cho nhóm abel hữu hạn bởi Frobenius và Stickelberger Lýthuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn được phát biểu vào cuối thế kỷ XIX trongcác công trình của Frobenius, Schur và Burnside

Nói một cách đơn giản, lý thuyết biểu diễn nhóm nghiên cứu các cách

mà một nhóm tác động trên không gian véctơ bằng các tự đẳng cấu tuyếntính Lý thuyết biểu diễn nhóm không chỉ là một phần quan trọng trong đại

số hiện đại mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong lý thuyết số, tổ hợp

và cả vật lý

Mục đích của luận văn là đọc hiểu và trình bày lại một số kiến thức cơbản trong lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn và trình bày chứng minh củaB.Zagier công thức Frobenius

Bố cục của luận văn của chúng tôi gồm ba chương:

Chương 1 Một số ví dụ về nhóm và tác động nhóm Trong chương nàychúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản như: Nhóm ma trận, tác độngnhóm, nhóm đối xứng Những kiến thức này sẽ được sử dụng trong phần cònlại của luận văn

Chương 2 Các khái niệm đại số cơ sở của phép biểu diễn nhóm Trongchương này chúng tôi trình bày các khái niệm và một số ví dụ đơn giản đểminh hoạ cho các khái niệm của phép biểu diễn nhóm

Chương 3 Biểu diễn của nhóm hữu hạn và công thức Frobenius Đây làchương chính của luận văn Trong chương này chúng tôi trình bày lại một

số kết quả cơ bản của lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn và đặc biệt làchúng tôi dã trình bày lại một chứng minh của công thức Frobenius thôngqua lý thuyết biểu diễn nhóm

Qua đây, tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu xắc tới người thầy,người hướng dẫn khoa học của mình, TS Vũ Thế Khôi, nhờ sự hướng dẫn

chỉ bảo tận tình và nghiêm khắc của thầy mà luận văn đã được hoàn thànhmột cách khoa học và đúng tiến độ Xin chân thành cảm ơn các thầy cô côngtác tại Viện Toán, tại các trường Đại học thuộc Đại học Thái Nguyên đã trựctiếp giảng dạy và quan tâm Xin cảm ơn anh Phạm Hồng Nam, giảng viênkhoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, cảm ơn bạn bè đồngnghiệp và gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập

và nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009

Học ViênTrần Danh Tuyên

aii = −1, ∀i = p + 1, n Và xác định nhóm unita:

U (n) := {A ∈ Mn(C); tAA = En}

SO(n) := {A ∈ O(n); detA = 1}.

A(n) := {D(a1, , an); a1, , an ∈ C∗} là ma trận đường chéo với cácphần tử a1, , an nằm trên đường chéo

• Trong trường hợp G tác động trái trên χ ta cũng gọi χ là G−tập trái

•Tác động nhóm được gọi là bắc cầu nếu mọi cặp x, x0 ∈ χthì tồn tại g ∈ Gsao cho x0 = g ã x

• Với mọi x0 ∈ χ ta xác định được tập con G ã x0 của χ:

G ã x0 := {g ã x0; g ∈ G},

G ã x0 được gọi là G quỹ đạo(chứa x0)

• Với mọi x0 ∈ χ ta xác định được nhóm con của χ

Gx0 := {g ∈ G, g ã x0 = x0}

và được gọi là nhóm đẳng hướng hay nhóm ổn định của x0

Ví dụ 1.2.2 Cho G = GL(n, C) và χ ⊆ Cn, ta xác định được một tác độngtrái trên χ bởi ánh xạ:

G ì χ → χ(A, x) 7→ A ã xvới mọi x ∈ Cn

Định nghĩa 1.2.3 Một tập χ được gọi là không gian thuần nhất nếu có mộtnhóm G tác động bắc cầu trên χ

Định nghĩa 1.2.4 Với mọi G−tập, ta xác định χ/G hay χGlà tập các G−quỹ

đạo trong χ và χG là tập các điểm bất động của G, nghĩa là tập các phần tử

x ∈ χ sao cho g ã x = x với mọi g ∈ G

Chú ý: Nếu χ có cấu trúc đại số, ví dụ nếu χ là không gian véc tơ thìtrong trường hợp này ánh xạ:

λ :G → χ

x 7→ g ã x

là tuyến tính với mỗi g ∈ G

Định nghĩa 1.2.5 Cho χ và χ0 là các G−tập trái và f : χ → χ0 là một ánhxạ ánh xạ f được gọi là đẳng biến hay G−đồng cấu nếu với mọi g ∈ G và

x ∈ χ, ta có :

g ã f (x) = f (g ã x)

Cho H là một nhóm con của G, ta định nghĩa nhóm con của G trong Hlà

NG(H) := {g ∈ G; gHg−1 = H}

Rõ ràng NG(H) là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G trong H và nhómAut(G/H) là đẳng cấu với NG(H)/H Ta cũng xác định được nhóm conchuẩn tắc CG(H) := {g ∈ G; ghg−1 = h, ∀h ∈ H}, được gọi là nhóm tâmhoá của H trong G

Trong trường hợp đặc biệt H = G nhóm tâm hoá xác định bởi:

là đồng cấu nhóm Trong đó {−1, 1} là nhóm con của nhóm nhân R∗ =

R \ {0} Kerε là nhóm con chuẩn tắc và được gọi là nhóm luân phiên

• Một nhóm hoán vị luôn phân tích được thành tích của các xích nghĩa làmột hoán vị (i1, , ir) với ij 7→ ij+1 với j < r và ir 7→ i1 nếu r > 1 và là

VÝ dô 1.3.4 Cho n = 3 v×

3 = 1 + 1 + 1

3 = 2 + 1

3 = 3nªn n = 3 cã ph©n ho¹ch lµ (1, 1, 1); (2, 1); (3) Suy ra S3 cã ba líp liªnhîp lµ:

C1 = {id}

C2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}

C3 = {(1, 2, 3), (1, 3, 2)}

π(gg0) = π(g)π(g0), ∀g, g0 ∈ G.

AutV được kí hiệu bởi GL(V ) là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của V Trong trường hợp V là một C- không gian véc tơ hữu hạn chiều vớidim V = nthì ta nói π có bậc là n hoặc π là phép biểu diễn n chiều Cho B = (v1, , vn) là một cơ sở của V thì với mọi F ∈ AutV được biểudiễn trong cơ sở B bởi một ma trận khả nghịch A cấp n ì n, A := MB(F ),

ta có một đẳng cấu của các không gian véc tơ V ' Cn và đẳng cấu nhómAutV ' GL(n, C) Do đó ta có một phát biểu khác tương đương với địnhnghĩa trước

Định nghĩa 2.1.2 Một phép biểu diễn tuyến tính n chiều của một nhóm G

là một phép liên kết mỗi g ∈ G với một ma trận π(g) = A(g) ∈ GL(n, C)thoả mãn:

A(gg0) = A(g)A(g0), ∀g, g0 ∈ G

Vì mọi đồng cấu nhóm biến phần tử đơn vị của nhóm này thành phần tử

đơn vị của nhóm kia, nên rõ ràng π biến ma trận En thành phần tử đơn vị ecủa nhóm G và rõ ràng ta có π(e) = idV trong trường hợp tổng quát

Nếu G là nhóm ma trận G ⊂ GL(n, C) như trong phần 1.1, chúng ta cómột phép biểu diễn tự nhiên π0 cho bởi:

π0(A) = Avới mỗi A ∈ G

Định nghĩa 2.1.3 Cho π là một phép biểu diễn tuyến tính của G trong V π

được gọi là biểu diễn bất khả quy nếu nó không có không gian con π− bấtbiến V0 trong V

Một không gian con V0 ⊂ V là π− bất biến nếu ta có

π(g)(v0) ∈ V0, ∀g ∈ G, ∀v0 ∈ V0.Trong trường hợp, π0 := π |V0 là một phép biểu diễn của G trong V0 thì

π0 được gọi là phép biểu diễn con

Do đó ta nói rằng π là biểu diễn bất khả quy nếu π không có phép biểudiễn con thực sự

• Cho V là không gian unita phức, nghĩa là V được trang bị một tích vôhướng:

V −−→ VF 0

π(g)



y





yπ0(g)

V −−→ VF 0

π và π0 được gọi là tương đương nếu có một đẳng cấu F : V → V0 bện π và

π0 trong trường hợp đó viết là π ∼ π0

Nhận xét: Không gian của những toán tử bện giữa π và π0 là một khônggian véc tơ trên trường C Nó được định nghĩa bởi HomG(V, V0) hoặcC(V, V0) Hơn nữa chúng ta thường sử dụng kí hiệu C(V ) := C(V, V )và

Ví dụ 2.3.1 Cho G là nhóm các ma trận thì G có phép biểu diễn tự nhiên

π0, nghĩa là với mỗi nhóm ma trận thực (phức) G ⊂ GL(n, C) có biểu diễntrong V = Cn liên kết với mọi A ∈ G Rõ ràng phép biểu diễn tự nhiên làunita với G = SO(n) hoặc SU(n) nhưng trong trường hợp tổng quát thì nóhoặc không là unita hoặc không là bất khả quy, điều đó được suy ra từ ví dụsau:

Ví dụ 2.3.2 Cho G = S3, xét các phần tử của S3 là: id = (1), x := (1, 2),

ω = e1z1 + e2z2 + e2z2 ∈ Vtrong đó e1 = t(1, 0, 0), e2 = t(0, 1, 0), e3 = t(0, 0, 1) và z1, z2, z3 ∈ C thì

π0 được cho bởi

π0(g)ω =X

i

eg(i)zi = Xeizg−1 (i)

Như đã biết π0 là phép biểu diễn unita, nhưng không bất khả quy:

Đặt V1 := (e1 + e2 + e3)C là không gian con bất biến của V

Thật vậy:

π0(g)(e1 + e2 + e3) = eg(1)+ eg(2)+ eg(3) = e1 + e2 + e3

do đó π0 |V1= π1 là phép biểu diễn tầm thường trong V1 Cho

với mọi g ∈ S3 nên V3 là không gian con bất biến

Đặt a := e1ξ + e2 + e3ξ2 và b := e1 + e2ξ + e3ξ2 với ξ = e2πi/3, ta dễdàng chứng minh được a, b là cơ sở của V3 Đặt π2 := π0 |V3 ta cũng chỉ rarằng π2 là bất khả quy

Nhận xét: Tất cả các phép biểu diễn trong S3 là tương đương với π1, π2

hoặc π0

Ví dụ 2.3.3 Cho χ là G−tập với G tác động trái x 7→ g ã x và V = F(χ)

là không gian véc tơ của các hàm phức f : χ → C thoả mãn với f ∈ V thì

fg ∈ V trong đó fg xác định bởi:

fg(x) = f (g−1x)

Nhận xét: Hàm (λ(g)f)(x) := f(g−1x) xác định một phép biểu diễn λcủa G trong V

Chứng minh Thật vậy, (gg0) ã x = g ã g0 ã x và suy ra

λ(gg0)f (x) = f ((gg0)−1ã x) = f (g0−1g−1ã x) = f (g0−1 ã g−1 ã x)và

λ(g)λ(g0)f (x) = λ(g)fg0(x) = fg0(g−1 ã x) = f (g0−1ã g−1 ã x)

x ã (gg0) = x ã g ã g0

do đó suy ra

ρ(gg0)f (x) = f (x ã (gg0)) = f (x ã g ã g0)và

2.4.1 Tổng của phép biểu diễn

Cho (π, V ) và (π0, V0) là các phép biểu diễn (tuyến tính) của nhóm G thìtổng trực tiếp π ⊕ π0 của π và π0 được cho bởi:

(π ⊕ π0)(g)(v ⊕ v0) := π(g)v ⊕ π0(g)v0, ∀v ⊕ v0 ∈ V ⊕ V0

Cho V = Cn, V0 = Cm và π(g) = A(g) ∈ GL(n, C) , π0(g) = A0(g) ∈GL(m, C)thì ta có:

(π ⊕ π0)(g) = A(g) 0

0 A0(g)



∈ GL(n + m, C) (2.8)

2.4.2 Tích tenxơ của phép biểu diễn

Cho (π, V ) và (π0, V0) là các phép biểu diễn của nhóm G và V ⊗ V0 tíchtenxơ của V và V0 thì tích tenxơ π ⊗ π0 của π và π0 được cho bởi:

(π ⊗ π0)(g)(v ⊗ v0) := π(g)v ⊗ π0(g)v0, ∀v ⊗ v0 ∈ V ⊗ V0

Cho V = Cn, V0 = Cm và π(g) = A(g) ∈ GL(n, C), π0(g) = A0(g) ∈GL(m, C)thì tích tenxơ cho bởi tích Kronecker của ma trận A(g) và A0(g):

(π ⊗ π0)(g) =a1,1A0(g) ã ã ã a1,nA0(g)

an,1A0(g) ã ã ã an,nA0(g)



∈ GL(nm, C) (2.9)Chú ý: Nếu V có một cơ sở là (ei)i∈I và V0 có một cơ sở là (fj)j∈J thì

V ⊗ V0 có cơ sở là (ei ⊗ fj)(i,j)∈IìJ

Bằng quy nạp ta có thể định nghĩa được tích tenxơ của nhiều hơn hai nhân

tử và tích tenxơ luôn có hai tính chất giao hoán và kết hợp

Ví dụ 2.4.1 Cho V là một không gian véc tơ ba chiều với cơ sở là (e1, e2, e3)thì ta có:

ei1 eip := X

g∈S p

eig(1) ⊗ ⊗ eig(p), i1 ≤ ã ã ã ≤ ip

ei1 ∧ ∧ eip := X

g∈S p

sign g eig(1) ⊗ ⊗ eig(p), i1 < < ip.Chú ý:

•Nếu V là không gian 3 chiều thì SpV có thể đồng nhất với không gian conC[u, v, w]p các đa thức thuần nhất bậc p của các không gian 3 biến Nếu π

là phép biểu diễn của G trong V thì ánh xạ ei 7→ π(g)ei cảm sinh một phépbiểu diễn tuyến tính Spπ và ∧pπ trong SpV tương ứng ∧pV

• Một tính chất quan trong của cấu trúc của phép biểu diễn với chiều hữuhạn tới phép biểu diễn chiều tự nhiên π0 và tới phép biểu diễn bất khả quybởi tích Tenxơ và quy về các tổng của các thành phần bất khả quy

2.4.3 Phép biểu diễn đối ngẫu

Cho V∗ là không gian đối ngẫu của C-không gian véc tơ V thì:

V∗ = Hom(V, C) = {ϕ : V → C, ϕ là C - tuyến tính}

Nếu dim V∗ < ∞ thì dim V∗ = dimV Đặt ϕ(v) =:< ϕ, v > với mọi

ϕ ∈ V∗ và v ∈ V Nếu dim V = n với một cơ sở là (e1, , en) thì dodim V∗ = n nên tồn tại một cơ sở (e∗

1, , e∗n) của V∗ được xác định như sau:

< e∗i, ej >= δij(= 1 , i = j và = 0 , i 6= j)khi đó ta gọi (e∗

1, , e∗n) là cơ sở đối ngẫu của V∗

Định nghĩa 2.4.2 Cho π là một phép biểu diễn của G trong V thì phép biểudiễn đối ngẫu π∗ trong V ∗ được xác định bởi:

(π∗(g)ϕ)(v) := ϕ(π(g−1)v), ∀ϕ ∈ V∗, v ∈ V

2.4.4 Phép biểu diễn thương

Cho (π1, V1) là phép biểu diễn con của phép biểu diễn (π, V ) của G Khi

đó phép biểu diễn thương trong V/V1 kí hiệu là π π được xác định như sau:

π(g) = π(g) + V1, ∀g ∈ G

Nhận xét: Ta dễ thấy:

π(g) = 0 + V1 ⇔ π(g) = π1(g)và

π(g) 6= 0 + V1 ⇔ π(g) 6= π1(g)Một tính chất chính của phép biểu diễn là chúng ta có thể phân tích đượcchúng thành các phép biểu diễn bất khả quy Phần tiếp theo chúng ta sẽ giớithiệu về phân tích bất khả quy được của một phép biểu diễn

2.5 Phân tích bất khả quy của một phép biểu diễn

Nhắc lại rằng một phép biểu diễn (π, V ) là bất khả quy nếu nó không cóphép biểu diễn con thực sự nào

Định nghĩa 2.5.1 Cho (π, V ) là một phép biểu diễn, (π, V ) được gọi là phântích được nếu tồn tại một không gian con bất biến V1 ⊂ V với phần bù bấtbiến V2, nghĩa là V = V1 ⊕ V2 Thì khi đó ta có π = π1 + π2 trong đó π1 làphép biểu diễn G trong V1 và π2 là phép biểu diễn G trong V2

Định nghĩa 2.5.2 Cho (π, V ) là một phép biểu diễn, (π, V ) được gọi là khảquy đầy đủ nếu mọi phép biểu diễn con không tầm thường của (π, V ) đều

có phần bù bất biến

Định lý 2.5.3 ([4], Định lý 1.1) Cho (π, V ) là một phép biểu diễn của nhómhữu hạn G và (π1, V1)là một phép biểu diễn con Khi đó tồn tại phần bù bấtbiến V2

Chứng minh Cho <, >0 là một tích vô hướng trong V vì luôn tồn tại ít nhấtkhông gian V ' Cn Ta xác định một tích vô hướng G−bất biến là:

< v, v0 >:= X

g∈G

< π(g)v, π(g)v0 > ∀v, v0 ∈ G

Đặt V2 := {v ∈ V, < v, v1 >= 0, ∀v1 ∈ V1} Rõ ràng V2 là không gian con

bù của V1 và V2 là π bất biến:

Cho v ∈ V2, g ∈ G, ta có:

< π(g)v, v1 >=< π(g−1)π(g)v, π(g−1)v1 >=< v, π(g−1)v1 >= 0nếu v1 ∈ V1 thì suy ra π(g−1)v ∈ V2 Suy ra V2 là π(g−1)−bất biến

Chú ý: Cho G là nhóm tuỳ ý và (π, V ) là phép biểu diễn unita của G thìvới mọi phép biểu diễn con (π1, V1) có phần bù bất biến (π2, V2) thì giốngnhư chứng minh trên suy ra:

có thể không dừng

Định nghĩa 2.5.5 Cho (π, V ) là phép biểu diễn, π được gọi là hữu hạn nếumọi dãy không gian con π−bất biến Vi lồng nhau của V đều hữu hạn

Chú ý: Trong trường hợp này tồn tại một dãy không gian con bất biếnlồng nhau

V = V0 ⊃ V1 ⊃ ⊃ Vn = {0}

thoả mãn phép biểu diễn πi trên Vi/Vi+1 là bất khả quy Theo định lý Holder độ dài của các dãy không gian con bất biến lồng nhau tối đại, xác

Jordan-định duy nhất và được gọi là tương đương lớp của π

Định lý 2.5.6 (( Bổ đề Schur ), [4], Định lý 1.2) Nếu hai phép biểudiễn tuyến tính (π, V ) và (π0, V0) là bất khả quy, thì với mọi toán tử bện

F ∈ C(π, π0) hoặc bằng 0 hoặc khả nghịch Nếu V = V0, π = π0 vàdim V = nthì F là một đồng dạng nghĩa là F = λid với mọi λ ∈ C Chứng minh i) Ta có F : V → V0 với

π0(g)F (v) = F (π(g)v), ∀g ∈ G, v ∈ V (∗)thì

KerF = {v ∈ V, F (v) = 0}

là không gian con π−bất biến của V bởi vì với v ∈ KerF ⇒ F (v) = 0 từ(∗) suy ra

F (π(g)v) = π0(g)F (v) = 0nghĩa là π(g)v ∈ KerF

Hoàn toàn tương tự ImF = {F (v), v ∈ V là một không gian con bất biếncủa V0 Do tính bất khả quy của π suy ra KerF = {0} hoặc KerF = V và

do tính bất khả quy của π0 ta có ImF = {0} hoặc ImF = V0 Suy ra F là

M A(g) = A(g)M, ∀g ∈ G.

Khi đó M là ma trận vô hướng, M = λEn, λ ∈ C

Hệ quả 2.5.8 ([4], Hệ quả ) Nếu tồn tại ma trận, khác vô hướng, giao hoánvới tất cả ma trận của phép biểu diễn unita chiều hữu hạn π thì phép biểudiễn là khả quy

Hệ quả giúp ta chứng minh tính bất khả quy trong một số trường hợp Bổ

đề Schur dùng để chứng minh một số trường hợp cơ bản cả trong trường hợpchiều vô hạn

Định lý 2.5.9 ([4], Định lý 1.4) Phép biểu diễn bất khả quy chiều hữu hạntuỳ ý của một nhóm Aben là 1−chiều

Chứng minh Cho (π, V ) là phép biểu diễn của G khi đó: