Hàm green đa phức với cực logarit tại vô cùng và định lý xấp xỉ của siciak

Một số kết quả về hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi, đó là sự tổng quát hoá của hàm Green đa phức với cực hữu hạn, đã được nghiên cứu bởi Lelong, Klimek, Demailly, Z

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––

NGUYỄN THỊ THU HÀ

HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI CỰC

LOGARIT TẠI VÔ CÙNG VÀ

ĐỊNH LÝ XẤP XỈ CỦA SICIAK

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––

NGUYỄN THỊ THU HÀ

HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI CỰC

LOGARIT TẠI VÔ CÙNG VÀ

ĐỊNH LÝ XẤP XỈ CỦA SICIAK

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu tham khảo trong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS TS Phạm Hiến Bằng, nhân dịp này cho phép tôi được gửi lời cám ơn chân thành tới thầy cùng những kinh nghiệm quý báu mà thầy đã tạo điều kiện trong quá trình tôi hoàn thành bản luận văn này

Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện

thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Công nghệ Giao thông Vận tải cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

iii

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Phương pháp nghiên cứu 1

4 Bố cục của luận văn 2

Chương 1 : CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Hàm đa điều hòa dưới 3

1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại 8

1.3 Hàm cực trị tương đối 9

1.4 Đa thức, tính thuần nhất và tập cân 13

Chương 2 : HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI CỰC TẠI VÔ CÙNG VÀ ĐỊNH LÝ XẤP XỈ CỦA SICIAK 18

2.1 Lớp Lelong 18

2.2 Hàm Green đa phức với cực logarit tại vô cùng 25

2.3 Tính liên tục của hàm Green đa phức 28

2.4 Định lý xấp xỉ của Siciak 32

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hàm Green đa phức đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết thế

vị phức, nó đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu như: Siciak, Zaharjuta, Lelong, Klimek, Zeriahi, Dan Coman, Magnusson, và đạt được nhiều kết quả sâu sắc về hàm Green đa phức và xấp

xỉ các hàm chỉnh hình Đó là sự tổng quát hoá kết quả của Siciak- Zaharjuta trong £ ¥ và trong trường hợp đại số Một số kết quả về hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi, đó là sự tổng quát hoá của hàm Green đa phức với cực hữu hạn, đã được nghiên cứu bởi Lelong, Klimek, Demailly, Zaharjuta,

E Amar , P.J Thomas, Dan Coman

Ở đây chúng tôi chọn đề tài "Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng và định lý xấp xỉ của Siciak"

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên

cứu về hàm Green đa phức với cực tại vô cùng và định lý xấp xỉ của Siciak

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm

đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại Một số kết quả về đa thức, tính thuần nhất và tập cân

- Trình bày một số kết quả của Benedikt Steinar Magnusson năm 2007

về hàm Green đa phức với cực tại vô cùng và định lý xấp xỉ của Siciak

3 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức

- Sử dụng các kết quả của Benedikt Steinar Magnusson

2

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và phần phụ lục

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối Cuối chương này trình bày một số kết quả về đa thức, tính thuần nhất và tập cân

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu

về hàm Green đa phức với cực tại vô cùng và định lý xấp xỉ của Siciak

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm đa điều hòa dưới

1.1.1 Định nghĩa Cho W là một tập con mở của £ và n u :W® - ¥ ¥é , )

Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương

Một số tính chất quan trọng của những hàm đa điều hoà dưới có thể được suy ra từ kết quả tiếp theo Tương tự như trường hợp của những hàm điều hoà

dưới, ta gọi nó là định lý xấp xỉ chính cho những hàm đa điều hoà dưới

1.1.3 Định lý Cho W là một tập con mở của £ và n u Î P SH( )W Nếu

Do định lý Fubini, nó bằng vế phải của đẳng thức trên

Bây giờ chúng ta có thể chứng minh định lý

Chứng minh Theo Mệnh đề 2.5.2 ( )i [3], u *l e Î C¥ (W Ta có e)

u *l e Î P SH We Sử dụng lập luận đó như trong Bổ đề 2.5.3 [3], đối với mỗi

biến riêng, chúng ta có thể chứng minh (bằng qui nạp theo j ) ước lượng sau :

Bây giờ chúng ta sẽ trình bày vài hệ quả của định lý xấp xỉ chính

1.1.5 Hệ quả Cho W và ¢ W là những tập mở trong £ và n £ , tương ứng k

Nếu u Î P SH( )W và f :W ® W là một ánh xạ chỉnh hình, thì u f¢ o là đa điều hoà dưới trong ¢W

Chứng minh Nếu u và - u là đa điều hoà dưới, thì u Î C2( )W Bởi vậy

1.1.7 Hệ quả Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền

bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của £n và

( )

u Î P SH W, thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z Î W

( ) sup lim sup ( )

y y

E Ð £ được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm

a Î E đều có một lân cận V của a và một hàm u Î P SH( )V sao cho

E ÇV Ð z Î V u z = - ¥

Cho W là một tập con mở trong £n Ta nói rằng một ánh xạ chỉnh hình

f W® £ là không suy biến trong W nếu trong mỗi thành phần liên thông

của W có thể tìm được một điểm z sao cho hạng của ¶z f là m

6

Vì z a det¶z f là một hàm chỉnh hình, A là đa cực nên A có độ đo Lebesgue bằng không Hạn chế của ánh xạ f trên W\ A là mở (do định lý ánh xạ ngược) và liên tục nên ta có

ïïïïî

là đa điều hoà dưới trong W Nếu u là đa điều hoà và bị chặn trong \ FW , thì

u là đa điều hoà trong W Nếu W là liên thông, thì W\ F cũng liên thông

xác định một hàm đa điều hòa dưới

Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử ¢W liên thông Nếu G

là tập con mở compắc tương đối trong ¢W , thì tập mở f- 1( )G là compac tương đối trong W Vì thế, theo định lý xấp xỉ chính chỉ cần chỉ ra mệnh đề là đúng đối với các hàm đa điều hòa dưới liên tục

Giả sử u Î CÇP SH( )W Nếu a và b là các số thực sao cho a < b, thì

Do đó v Î P SH(W¢\ f A( )) Vì v liên tục và ( )f A là tập đa cực nên tính

đa điều hòa dưới của v suy ra từ Định lý 1.1.12

8

1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại

1.2.1.Định nghĩa Cho W là một tập con mở của £ và : n u W® ¡ là hàm đa điều hoà dưới Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của W, và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho

( )

v Î P SH G và v £ u trên ¶G , đều có v £ u trong G

Ký hiệu M P SH( )Wlà họ tất cả các hàm đa điều hoà dưới cực đại trên W Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại

1.2.2 Mệnh đề Cho WÐ £n là mở và u W® ¡ là hàm đa điều hoà dưới :

Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

( )i Với mỗi tập con mở compact tương đối G của W và với mỗi hàm v Î P SH( )W,

nếu lim inf( ( ) ( )) 0,

x

® - ³ với mọi x Î ¶ G , thì u ³ v trong G ;

( )ii Nếu v Î P SH( )W và với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ð W sao cho u - v ³ - e trong W\ K , thì u ³ v trong W

(iii Nếu ) v Î P SH( )W, G là một tập con mở compact tương đối của W, và

là tập con compact của W Bởi vậy có thể tìm được tập mở G chứa E và

compact tương đối trong G Theo ( ) i ta có

2

u ³ v + h trong G , điều đó mâu

thuẫn với a Î E

Phần còn lại được suy ra từ khẳng định:

= ìï

Î Wïî

là đa điều hoà dưới trong W theo các giả thiết ( )iii , ( ) iv , ( ) v , và ( ) i

1.2.3 Mệnh đề Cho W là một tập con mở của £ và n u Î M P SH( )W Nếu

B là một hình cầu mở sao cho B  W thì

B

u là giới hạn của một dãy giảm những hàm đa điều hoà dưới cực đại liên tục trong B

Chứng minh Cho G là tập con mở compact tương đối của W chứa B Khi

đó, có thể tìm được một dãy giảm { }j ( ) ( )

j B

B u j

v Î M P SH B với mọi j , v j Î P SH( )G và dãy v giảm đến một j

hàm v Î P SH( )G Hiển nhiên, v ³ u trong G Cũng vậy, v º u trong G \ B

Vì u cực đại nên ta có v £ u trong B Từ đó lim j( ) ( )

được gọi là hàm cực trị tương đối đối với E trong W

Hàm (u E,W)* là đa điều hoà dưới trong W

Xét trường hợp đặc biệt khi E là đóng trong W Ta có u E,W trùng với hàm

10

Perron - Bremermann \ ,

E

yW - (ở đây c E là hàm đặc trưng của E )

Thực vậy, giả sử u Î P SH( \W E) âm sao cho:

âm và nửa liên tục trên trong W Hơn nữa, nó là hàm đa điều hoà dưới trong W

do Định lý 1.1.2 Như vậy u £ v £ u E,W trong W\ E Từ đó \ , ,

E

yW - £ Wtrong W\ E Bất đẳng thức ngược lại là hiển nhiên

Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối

Chứng minh Nếu r < 0 là một hàm vét cạn đối với W, thì với số M > 0 nào

đó, M r < - 1 trên E Như vậy M r £ u E,W trong W Rõ ràng, lim ( ) 0

w r

và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm

1.3.4 Mệnh đề Nếu WÐ £n là siêu lồi và K Ð W là một tập compact sao cho

r là hàm xác định của W sao cho r < - 1 trên K Khi đó r £ u trong W Chỉ

cần chứng minh rằng với mỗi e Î (0,1) tồn tại v Î C( )W Ç Sao cho F

u- e£ v £ u trong W Thật vậy, lấy e Î (0,1) Þ tồn tại h > 0 sao cho

h e

tại mỗi điểm trong W

1.3.5 Mệnh đề Cho WÐ £n là tập mở liên thông, và E Ð W Khi đó các điều kiện sau tương đương:

( )i u E*,Wº 0;

( )ii Tồn tại hàm v Î P SH( )W âm sao cho E Ð {z Î W: ( )v z = - ¥ }

Chứng minh: ( )i Þ ( )ii Bây giờ giả sử u E*,Wº 0 Theo Mệnh đề 2.6.2 [3], tồn tại một điểm a Î W sao cho u E,W( )a = 0 Bởi vậy, với mỗi j Î ¥ , có thể chọn

một v Î j P SH( )W sao cho

v < v < - và ( )v a j > - 2- j Đặt

12

Chú ý rằng ( )v a > - 1, v âm trong W, và

E

v = - ¥ Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều hoà dưới Vì v ¹ - ¥ nên ta kết luận v Î P SH( )W

( )ii Þ ( )i là hiển nhiên Thật vậy, nếu v như ở trên ( ) ii , thì e v £ u E,W với mọi

0

e > , từ đó u E,W= 0 hầu khắp nơi trong W Như vậy u E*,Wº 0

1.3.6 Mệnh đề Cho W là tập con mở liên thông của £ Giả sử n j

j

E = UE ,

trong đó E Ð W với j j = 1, 2, Nếu * , 0

j E

0( j )

u Î P SH W sao cho u £ 0 trên

xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa 1

1.4 Đa thức, tính thuần nhất và tập cân

1.4.1 Định nghĩa Tập E Ð C n được gọi là n - tròn nếu với mỗi a Î E , mọi điểm n

z Î £ sao cho a = z trong E, là đường tròn nếu với mỗi a Î E ,

K = z Î £ p z £ p với mọi đa thức p

1.4.2 Bổ đề Nếu K là một tập con compact cân của £ , thì n

( )

K

K = z Î £ Q z £ Q với mọi đa thức thuần nhất Q trên £ n

Chứng minh Để chứng minh vế phải bao hàm trong Kˆ ta lấy b thuộc vế phải

và một đa thức P khác hằng Khi đó ta có thể viết

0

d j j

=

= å , trong đó Q là j một đa thức thuần nhất bậc j hoặc đồng nhất 0 Với mỗi z Î K áp dụng bất đẳng thức Cauchy

14

( ) ! ( , )

B a r j

£ + = suy ra bÎ Kˆ Bao hàm ngược lại

là hiển nhiên được suy ra từ định nghĩa của bao đa thức Kˆ của K

1.4.3 Định lý Cho W là lân cận mở cân của gốc trong £ và f là một hàm n

chỉnh hình trên W, khi đó tồn tại các đa thức P j có bậc là j sao cho

0

j j

¥

=

= å

và chuỗi này hội tụ đều trên các tập con compact của W

Chứng minh Ta sẽ tìm r > 0 sao cho đa đĩa P( )0,r nằm trong W và khai

triển f thành chuỗi lũy thừa ( )

Với một tập con compact K Ð W , ta lấy t > 1 sao cho t K Ð W2 và

xác định hàm đa điều hòa dưới u j = P j 1/ j trên £ Do chuỗi hội tụ đều trên n

P z = t- P t z £ t- , do đó chuỗi å P j là hội tụ đều trên K

Bây giờ ta ký hiệu H+n là họ tất cả các hàm u Î P SH C( n) không âm và thuần nhất phức bậc 1, tức là u(l z)= l u z( ) với l Î C và z Î C n , và

không đồng nhất 0

16

1.4.4 Định lý Nếu u Î H+n thì tồn tại một họ { }u 0

{ }( \ 0 )

+ Ç

H C C sao cho u d ] u khi d ® 0

Chứng minh Gọi Cn n´ là không gian tất cả các ma trận phức cấp n ´ n và I

là ma trận đồng nhất trong Cn n´ Giả sử j Î C Cc¥ ( n n´ ) là tia đối xứng, không

2 0

và thay đổi bậc của tích phân Chú ý rằng u d là hàm thuần nhất nên liên tục tại

0 Nếu U Î L1loc(£n n´ ) thì ta định nghĩa

Nếu Z Î GL n( )£ , thì định thức thực của ánh xạ tuyến tính A a A Z là

detZ n, do đó đổi biến B = A Z ta được

Theo giả thiết u Î H+n Þ u xác định hàm U Î L1loc(£n n´ ) bởi U Z( ) = u Z( 1) ,

ở đó Z1 là cột đầu tiên của ma trận Z Ta có U d( Z)= u d (1Z suy ra )

{ }( n \ 0 )

u d Î C¥ £

Để chứng minh u d ] u khi d ® 0, ta đổi biến A trong công thức (1.1)

trong đó S là hình cầu đơn vị trong £n n´ Tính chất giá trị trung bình dưới của

u chỉ ra rằng tích phân ở bên trong là hàm tăng đối với d Từ đó suy ra

u d ] u khi d ® 0 W

18

Chương 2

HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI CỰC TẠI

VÔ CÙNG VÀ ĐỊNH LÝ XẤP XỈ CỦA SICIAK

Mục đích chính của chương này là trình bày các kết quả của Magnusson

về hàm Green đa phức với cực tại vô cùng và định lý xấp xỉ của Siciak

+

£ log ( , ,+ z1 z n) + C

Do đó u po + j bị chặn trên địa phương ở gần mỗi điểm có dạng

Lấy K = B( )0,e ´ S n là một tập con compact trong £ ở đó n  > 0 và C được chọn sao cho u op(z z o, / z )+ logz o £ C trên K, ta có:

U là bị chặn trên đều địa phương và u Î L*

Chứng minh Giả sử họ U không bị chặn trên đều địa phương Khi đó có thể tìm được hình cầu B a r Ð £( , ) n và dãy { }u j j

lim sup exp( j( ) j) 0

theo Bổ đề Hartog suy ra exp( ( )u z j - M j)£ 1 / 2 với mọi z Î B a r( , ) và mọi

j Î ¥ đủ lớn Nhưng khi đó ước lượng sau cùng mâu thuẫn với định nghĩa của

M ³ với mọi k Î ¥ Xét hàm số

u z

22

Theo Định lý Josefson, tồn tại W Î P SH £( N) sao cho

E

W = - ¥ và W £ 0trên B(0, )R Với mỗi số nguyên dương, ta đặt W

,(2

1) E

n E

V j

hòa dưới lớp C¥ trong L sao cho u d ] u

Chứng minh: Ta định nghĩa w d và u d như trong Định lý 1.1.3 Khi đó ta chỉ phải chứng minh u d Î L Ta có supp( )w d Ð B( )0,d và