Giải gần đúng hệ phương trình tích phân kì dị của một hệ phương trình cặp tích phân fourier

Nguy¹n Thà Ng¥n.. Tæi xin gûi líi c£m ìn tîi tr÷íng Trung håc phê thæng P¡c Khuængt¿nh L¤ng Sìn, nìi tæi cæng t¡c ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâahåc... Nguy¹n Thà Ng¥n... Ng÷ñc l¤

TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M



NGÆ THÀ THANH

GIƒI G†N ÓNG H› PH×ÌNG TRœNH TCH PH…N Kœ DÀ CÕA MËT H› PH×ÌNG TRœNH CP

TCH PH…N FOURIER

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Th¡i Nguy¶n - N«m 2015

TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M



NGÆ THÀ THANH

GIƒI G†N ÓNG H› PH×ÌNG TRœNH TCH PH…N Kœ DÀ CÕA MËT H› PH×ÌNG TRœNH CP

Líi cam oan

Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l  trungthüc v  khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c Tæi công xin cam oan r¬ngmåi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v  c¡cthæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2015

Ng÷íi vi¸t luªn v«n

Ngæ Thà Thanh

Líi c£m ìn

º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc

sü h÷îng d¨n v  gióp ï nhi»t t¼nh cõa TS Nguy¹n Thà Ng¥n Tæi xinch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n cæ gi¡o v  xin gûi líi tri ¥nnh§t cõa tæi èi vîi nhúng i·u cæ gi¡o ¢ d nh cho tæi

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m

-¤i håc Th¡i Nguy¶n còng c¡c Pháng- Ban chùc n«ng cõa tr÷íng -¤i håcS÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, khoa To¡n - tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m,c¡c Quþ Th¦y Cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K21 (2013- 2015) tr÷íng ¤ihåc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸nthùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc

Tæi xin gûi líi c£m ìn tîi tr÷íng Trung håc phê thæng P¡c Khuængt¿nh L¤ng Sìn, nìi tæi cæng t¡c ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâahåc Tæi xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi th¥n ¢ luæn ëngvi¶n, hé trñ v  t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n Xin tr¥n trång c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2015

Ng÷íi vi¸t luªn v«n

Ngæ Thà Thanh

Möc löc

1.1 Lîp h m Holder 3

1.2 Gi¡ trà ch½nh cõa t½ch ph¥n ký dà 5

1.2.1 Gi¡ trà ch½nh Cauchy 5

1.2.2 Gi¡ trà ch½nh cõa t½ch ph¥n ký dà 5

1.3 To¡n tû t½ch ph¥n ký dà trong khæng gian L2 ρ 6

1.3.1 Khæng gian L2 ρ 6

1.3.2 To¡n tû t½ch ph¥n ký dà 7

1.4 Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà lo¤i mët 7

1.5 C¡c a thùc Chebyushev 8

1.5.1 a thùc Chebyushev lo¤i mët 8

1.5.2 a thùc Chebyushev lo¤i hai 10

1.6 H» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh 12

1.7 Bi¸n êi Fourier cõa h m cì b£n gi£m nhanh 14

1.7.1 Khæng gian S cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh 14

1.7.2 Bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n 14

1.8 Bi¸n êi Fourier cõa h m suy rëng t«ng chªm 15

1.8.1 Khæng gian S0 cõa c¡c h m suy rëng t«ng chªm 15

1.8.2 Bi¸n êi Fourier cõa h m suy rëng t«ng chªm 16

1.8.3 Bi¸n êi Fourier cõa t½ch chªp 17

1.9 C¡c khæng gian Sobolev 17

1.9.1 Khæng gian Hs(R) 17

1.9.2 C¡c khæng gian Hs o(Ω), Hs o,o(Ω), Hs(Ω) 18

1.9.3 ành lþ nhóng 19

1.10 C¡c khæng gian Sobolev vectì 19

1.10.1 Kh¡i ni»m 19

1.11 Phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc 21

1.12 To¡n tû gi£ vi ph¥n vectì 22

2 Gi£i g¦n óng h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier 24 2.1 T½nh gi£i ÷ñc cõa h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier 24 2.1.1 Ph¡t biºu b i to¡n 24

2.1.2 ÷a v· h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier 25

2.1.3 T½nh gi£i ÷ñc cõa h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n (2.10) 26

2.1.4 ÷a ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà nh¥n Cauchy 29

2.1.5 ÷a h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà nh¥n Cauchy v· h» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh 33

2.2 Gi£i g¦n óng h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà cõa mët h»

ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier 382.2.1 ÷a h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà v· d¤ng khæng

thù nguy¶n 382.2.2 T½nh g¦n óng nghi»m cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh

t½ch ph¥n ký dà 40

Mð ¦u

Lþ thuy¸t c¡c ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà nh¥n Cauchy ¢ ÷ñc ho nthi»n ð nûa ¦u th¸ k¿ 20 Trong ba thªp ni¶n g¦n ¥y, nhi·u nh  to¡nhåc quan t¥m ¸n v§n · gi£i g¦n óng c¡c ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n d¤ng

Z b a

ϕ(t)

x − tdt +

Z b a

C¡c ph÷ìng ph¡p gi£i g¦n óng ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n d¤ng (1) baogçm c¡c ph÷ìng ph¡p c¦u ph÷ìng trüc ti¸p, ph÷ìng ph¡p nëi suy b¬ngph÷ìng ph¡p Lagrange, ph÷ìng ph¡p s­p x¸p thù tü, ph÷ìng ph¡p athùc trüc giao Vi»c gi£i mët sè h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà ÷ñcthüc hi»n t÷ìng tü gi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà, h» ph÷ìng tr¼nht½ch ph¥n k¼ dà ÷ñc bi¸n êi tø h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n G¦n ¥y,Nguy¹n V«n Ngåc v  Nguy¹n Thà Ng¥n ¢ quan t¥m nghi¶n cùu v· t½nhgi£i ÷ñc cõa mët sè h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier xu§t hi»n khigi£i b i to¡n bi¶n hén hñp cõa ph÷ìng tr¼nh i·u háa v  ph÷ìng tr¼nhsong i·u háa Vîi mong muèn ÷ñc t¼m hiºu h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥nk¼ dà v  gi£i g¦n óng h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà, chóng tæi chån ·

t i "Gi£i g¦n óng h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà cõa mët h» ph÷ìngtr¼nh c°p t½ch ph¥n t½ch ph¥n Fourier" Luªn v«n ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t

luªn, T i li»u tham kh£o gçm hai ch÷ìng nëi dung.

Ch÷ìng mët tr¼nh b y têng quan mët sè ki¸n thùc cì b£n v· lîp h mHolder, t½ch ph¥n k¼ dà, gi¡ trà ch½nh cõa t½ch ph¥n k¼ dà, to¡n tû t½ch ph¥nk¼ dà trong khæng gian L2

ρ, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà, h» væ h¤n c¡cph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh, c¡c a thùc Chebyushev, bi¸n êi Fouriercõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh, bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m suy rëngt«ng chªm, c¡c khæng gian Sobolev, c¡c khæng gian Sobolev vectì, phi¸m

h m tuy¸n t½nh li¶n töc, to¡n tû gi£ vi ph¥n vectì

Ch÷ìng hai tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ ch½nh cõa luªn v«n Möc 2.1 tr¼nh

b y v· t½nh gi£i ÷ñc cõa h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n xu§t hi»n khigi£i b i to¡n bi¶n hén hñp cõa ph÷ìng tr¼nh i·u háa, c¡c ành l½ 2.1.1,

ành l½ 2.1.3 tr¼nh b y v· t½nh tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m cõa h» ph÷ìngtr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier, ÷a h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourierv· h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà nh¥n Cauchy, sau â ÷a h» ph÷ìngtr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà nh¥n Cauchy v· h» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sètuy¸n t½nh Möc 2.2 chóng tæi thüc hi»n gi£i g¦n óng h» ph÷ìng tr¼nhc°p t½ch ph¥n k¼ dà cõa h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier vîi c¡cb÷îc: ÷a h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà v· d¤ng khæng thù nguy¶n;t½nh g¦n óng ma trªn h¤ch cõa h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà; thüchi»n gi£i g¦n óng h» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh ¢ ÷ñc

"ch°t cöt" ¸n N=6 , sau â t¼m nghi»m g¦n óng cõa h» ph÷ìng tr¼nht½ch ph¥n k¼ dà

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶nd÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa TS Nguy¹n Thà Ng¥n T¡c gi£ xin ÷ñc

b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c nh§t tîi cæ gi¡o h÷îng d¨n,tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o måi i·u ki»nthuªn lñi º t¡c gi£ ho n th nh ÷ñc kho¡ håc cõa m¼nh

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

1.1 Lîp h m Holder

ành ngh¾a 1.1.1 [3] Gi£ sû L l  ÷íng cong trìn v  ϕ(ξ) l  h m c¡c

iºm phùc ξ ∈ L Nâi r¬ng h m ϕ(ξ) thäa m¢n i·u ki»n Holder (i·uki»n Hλ) tr¶n ÷íng cong L n¸u vîi hai iºm b§t ký ξ1, ξ2 ∈ L ta câ b§t

¯ng thùc

|ϕ(ξ2) − ϕ(ξ1)| < A |ξ2 − ξ1|λ, (1.1)trong â A, λ l  c¡c h¬ng sè d÷ìng

N¸u λ > 1 th¼ tø i·u ki»n (1.1) suy ra ϕ0(ξ) ≡ 0 tr¶n L v  do âϕ(ξ) ≡ const, ξ ∈ L V¼ vªy ta luæn luæn cho r¬ng 0 < λ ≤ 1 N¸u λ = 1th¼ i·u ki»n Holder trð th nh i·u ki»n Lipschitz Rã r¬ng λ c ng nhä th¼lîp h m Hλ c ng rëng Lîp h m Holder hµp nh§t l  lîp h m Lipschitz.D¹ th§y r¬ng, n¸u c¡c h m ϕ1(ξ), ϕ2(ξ) thäa m¢n i·u ki»n Holdert÷ìng ùng vîi c¡c ch¿ sè λ1, λ2, th¼ têng, t½ch v  c£ th÷ìng (vîi i·uki»n m¨u thùc kh¡c khæng) công thäa m¢n i·u ki»n Holder vîi ch¿ sè

λ = min(λ1, λ2)

N¸u h m ϕ(ξ) câ ¤o h m húu h¤n tr¶n L th¼ nâ thäa m¢n i·u ki»nLipschitz i·u n y ÷ñc suy ra tø ành lþ v· sè gia húu h¤n Ng÷ñc l¤inâi chung khæng óng Th½ dö, h m

ϕ(ξ) = |ξ|, ξ ∈ R,thuëc lîp h m Holder tr¶n R, nh÷ng khæng câ ¤o h m t¤i ξ = 0

V½ dö 1.1.2 H m sè ϕ(x) = √x thäa m¢n i·u ki»n Holder v  ch¿

sè λ = 1/2 tr¶n måi kho£ng cõa tröc thüc N¸u nh÷ kho£ng â khængchùa gèc tåa ë th¼ ϕ(x) cán l  h m gi£i t½ch, do â thäa m¢n i·u ki»nLipschitz

D¹ th§y r¬ng h m sè ϕ(x) l  li¶n töc tr¶n o¤n 0 ≤ x ≤ 1

2 Nh÷ng v¼limx→0+xλlnx = 0, ∀λ > 0,

n¶n vîi måi A v  λ câ thº t¼m ÷ñc gi¡ trà cõa x sao cho

|ϕ(x) − ϕ(0)| =

1lnx

> Axλ.Nh÷ vªy, h m ϕ(x) tr¶n o¤n nâi tr¶n khæng thäa m¢n i·u ki»n Holder

ành ngh¾a 1.1.4 [3] K½ hi»u H(r)

α , 0 < α ≤ 1, r ≥ 0 l  lîp h m x¡c

ành tr¶n o¤n [a, b] câ ¤o h m c§p r thäa m¢n i·u ki»n Holder vîi sè

mô α

Kh¡i ni»m v· i·u ki»n Holder câ thº mð rëng cho h m nhi·u bi¸n vîi

sè bi¸n húu h¤n b§t ký º ìn gi£n ta x²t tr÷íng hñp h m hai bi¸n

ành ngh¾a 1.1.5 [3] H m hai bi¸n ϕ(ξ, τ) tr¶n D thäa m¢n i·u ki»nHolder n¸u vîi måi ξ1, ξ2, τ1, τ2 ∈ D câ b§t ¯ng thùc

|ϕ(ξ2, τ2) − ϕ(ξ1, τ1)| 6 A |ξ2 − ξ1|µ + B |τ2− τ1|ν,trong â A, B, µ, ν l  c¡c h ng sè d÷ìng; µ, ν 6 1

N¸u λ = min(µ, ν) v  C = max(A, B), th¼

|ϕ(ξ2, τ2) − ϕ(ξ1, τ1)| 6C[|ξ2 − ξ1|λ+ |τ2− τ1|λ]

Rã r ng l , n¸u ϕ(ξ, τ) thäa m¢n i·u ki»n Holder theo hén hñp (ξ, τ)th¼ nâ thäa m¢n i·u ki»n Holder theo ξ ·u theo τ v  thäa m¢n i·uki»n Holder theo τ ·u theo ξ

nâ nh÷ mët t½ch ph¥n suy rëng T½ch ph¥n tr¶n ÷ñc gåi l  t½ch ph¥n ký

dà Tuy nhi¶n, n¸u 1 = 2 th¼ tø (1.2) ta câ kh¡i ni»m v· gi¡ trà ch½nh cõat½ch ph¥n ký dà sau:

ành ngh¾a 1.2.1 [3] Gi¡ trà ch½nh theo Cauchy cõa t½ch ph¥n ký dà

trong â ϕ(x) thäa m¢n i·u ki»n Holder tr¶n o¤n [a, b] Chóng ta bi¸n

êi t½ch ph¥n tr¶n ¥y nh÷ sau

... bián ời Fourier F1 ữủc xĂc nhtrong S0 theo cổng thực

S0

CĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa bián ời Fourier

1 Ôo hm cừa cĂc bián ời Fourier. .. data-page="32">

2.1.2 ữa và hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier< /small>

Ta s giÊi hằ phữỡng trẳnh (2.1) - (2.3) bơng phữỡng phĂp bián êiFourier T¡c ëng bi¸n êi Fourier theo bi¸n x v o phữỡng trẳnh iÃu... phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d cừa mởt hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier< /h3>

2.1 Tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier

2.1.1 PhĂt biu bi toĂn

Xt