Về các định lý montel kobe ánh xạ riemann trong giải tích phức một biến

10 Chương 2 Tiêu chuẩn Montel về họ chuẩn tắc các hàm phân hình 13 2.1 Các định lí cơ bản thứ nhất và thứ hai trong Lý thuyết Nevan-linna... 1.2 Định lý Montel Tiêu chuẩn Montel được phá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

LƯU THỊ SONG

VỀ CÁC ĐỊNH LÝ MONTEL,K ¨OBE, ÁNH XẠ RIEMANN

TRONG GIẢI TÍCH PHỨC MỘT BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨNGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

Thái Nguyên, năm 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

LƯU THỊ SONG

VỀ CÁC ĐỊNH LÝ MONTEL,K ¨OBE, ÁNH XẠ RIEMANN

TRONG GIẢI TÍCH PHỨC MỘT BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨNGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa họcPGS TSKH TRẦN VĂN TẤN

Thái Nguyên, năm 2019

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TSKH.Trần Văn Tấn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy! Dù bậnnhiều công việc nhưng thầy vẫn dành thời gian hướng dẫn và giải đáp mọivấn đề một cách rõ ràng cho tôi Xin chân thành cảm ơn thầy vì đã tintưởng và hết lòng giúp đỡ tôi trong thời gian khó khăn vừa qua

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán thuộc trường Đạihọc Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới cácthầy cô giáo Khoa Toán - trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,nhất là các thầy cô trong tổ giải tích, các thầy cô luôn nhiệt tình giảng dạy

và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập, để tôi hoàn thànhluận văn của mình

Do thời gian và khả năng của bản thân còn hạn chế nên luận văn của tôikhông tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được ý kiếnđóng góp của các thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.Tôi xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

1.1 Định lý Arzela - Ascoli 2

1.2 Định lý Montel 4

1.3 Miền đơn liên 5

1.4 Định lý ánh xạ Riemann 6

1.5 Định lí K¨obe 10

Chương 2 Tiêu chuẩn Montel về họ chuẩn tắc các hàm phân hình 13 2.1 Các định lí cơ bản thứ nhất và thứ hai trong Lý thuyết Nevan-linna 13

2.2 Tiêu chuẩn họ chuẩn tắc kiểu Montel 14

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

những kết quả đẹp đẽ và quan trọng trong Giải tích phức một biến và liêntục thu hút được sự quan tâm của các nhà toán học Với mong muốn tìmhiểu chủ đề quan trọng này nên chúng tôi đã chọn đề tài này

2 Cấu trúc luận văn

Luân văn được chia làm hai chương: Ở Chương 1, luận văn trình bày vềĐịnh lí ánh xạ Riemann về sự tồn tại song ánh chỉnh hình giữa một miềnđơn liên (khác toàn thể) trong C với đĩa đơn vị Để trình bày vấn đề này,chúng tôi tham khảo các tài liệu [1, 2] Chương 2 đề cập tới một số tiêuchuẩn chuẩn tắc kiểu Montel Chúng tôi tham khảo [4] để cập nhật một sốkết quả gần đây về sự mở rộng Định lí Montel

Thái Nguyên, ngày 27 tháng 1 năm 2019

Tác giả

LƯU THỊ SONG

tại δ > 0 sao cho với mọi p, q ∈ Y và mọi f ∈ F thỏa mãn dX(p, q) < δ,

thì |f (p) − f (q)| < 

nKn = X

chuẩn tắc nếu và chỉ nếu:

(ii) Với bất kì p ∈ X, tồn tại hằng số Cp > 0 sao cho |f (p)| ≤ Cp vớimọi f ∈ F

Chứng minh 1 Điều kiện cần:

Khi đó, tồn tại  > 0 sao cho với mỗi n, ta có các điểm pn, qn ∈ K và một

hàmfn ∈ F sao cho dX(pn, qn) < 1

n và |fn(pn) − fn(qn)| ≥ .Do F là chuẩntắc, tồn tại một dãy con fnj mà hội tụ đều trên K đến giới hạn f0, thì phảiliên tục Chúng ta có thể chọn dãy con xa hơn ( mà ta lại gọi dãy {nj} với

pnj → p0 và qnj → q0 Nhưng từ dX(pnj, qnj) < n−1j → 0, kéo theo p0 = q0.Tuy nhiên, từ f0 liên tục

 ≤ lim sup

j→∞

|fnj(pnj) − fnj(qnj)| = |f0(p0) − f0(q0)| = 0,

dẫn đến điều mâu thuẫn

Để chỉ ra điều kiện cần của (ii), ta giả sử tồn tại p ∈ X sao cho tập các

hàm fn ∈ F với |fn(p)| > n Điều này mẫu thuẫn với giả thiết tồn tại mộtdãy con {fnj} hội tụ trên tập (compact) {p} ⊂ X Điều kiện cần của (i) và(ii) đã được chứng minh

2 Điều kiện đủ

Do các giá trị {fn(p1)} nằm trong tập compact {ζ ∈ C||ζ| ≤ Cp1},ta có thểtìm dãy con thứ nhất n1,1 < n1,2 < < n1,k < sao cho dãy {fn1,k(p1)}

hội tụ, gọi giá trị giới hạn là f0(p1) Tiếp theo, từ tập các giá trị {fn1,k(p2)}

hai n2,1 < n2,2 < < n2,k < sao cho dãy {fn2,k} (gọi giá trị giới hạn là

f0(p2)), và dãy thứ hai chứa trong dãy thứ nhất Tương tự, chúng ta có thểtìm thấy vô hạn các dãy của dãy con

(i) Tồn tại giới hạn của dãy {fnj,k(pj)} (gọi giá trị giới hạn là f0(pj) );(ii) Với mỗi dãy con {nj,k} là tập con của dãy con trước {nj−1,k}

trong dãy {nj,k} với ` ≥ j Do đó, với dãy con các hàm {F` = fn`,`}, ta có

lim`→∞F`(pj) = f0(pj) với mọi j

K ⊂ X.Do dãy là liên tục đều trênK, với bất kỳ  > 0tồn tạiδ > 0sao cho

d(p, q) < δ bao hàm |F`(p) − F`(q)| <  Bây giờ, K ⊂ S

chuẩn trênK, và do đó dãy hội tụ đều trênK Định lý được chứng minh

1.2 Định lý Montel

Tiêu chuẩn Montel được phát biểu sau đây cho phép ta kiểm tra tính chuẩntắc của một họ thông qua tính bị chặn đều trên các tập con compact

CK > 0 sao cho |f (z)| ≤ Ck với mỗi f ∈ F và mọi z ∈ K Khi đó, họ F

là chuẩn tắc trên Ω

Chứng minh Theo Định lý Arzela - Ascoli, ta chỉ cần chứng minh rằng họ

đề về việc chứng minh rằng nếu một họ các hàm chỉnh hình trên một đĩa

bán kính R bởi M thì nó là liên tục đều trên mỗi hình tròn nằm trong miềnxác định.

Lấy r < R, và chọn ρ với r < ρ < R Nếu f là hàm chỉnh hình trên đĩa

D(a, R) và có mô-đun bị chặn bởi M, và nếu z, ω ∈ D(a, r), thì

|f (z) − f (ω)| =

12πi

=

z − ω2πi

Z

|ζ−a|=ρ

f (ζ)(ζ − z)(ζ − ω)dζ

Như vây, ta nhận được kết luận của Định lý

1.3 Miền đơn liên

tục Γ : [0, 1] × [0, 1] → X sao cho

(1) Γ(t, 0) = γ(t) với 0 ≤ t ≤ 1;

(2) Γ(0, s) = Γ(1, s) = Γ(0, 0) với 0 ≤ s ≤ 1;

(3) Γ(t, 1) = Γ(0, 1) = Γ(1, 1) với 0 ≤ t ≤ 1

ánh xạ hằng có ảnh là {x0}

Liên quan tới định lí ánh xạ Riemann, ta chỉ đề cập ở đây tới miền đơnliên trong C

liên thông

Điều kiện tôpô của miền đơn liên dẫn đến hệ quả trong giải tích sau:

Mệnh đề 1.2 Cho Ω ⊂ C là một miền đơn liên Nếu f là chỉnh hình trên

Ω và f (z) 6= 0 với mọi z ∈ Ω, thì khi đó tồn tại một nhánh chỉnh hình của

log f xác định trên Ω, có nghĩa, tồn tại một hàm chỉnh hình g dịnh nghĩa

ng(z)] là chỉnh hình và thỏa mãn

hn(z)n = f (z) với mọi z ∈ Ω

1.4 Định lý ánh xạ Riemann

đơn vị sao cho F (0) = 0, và F0(0) > 0 Khi đó, F (z) = z với mọi z ∈ D.

với mọiz, ω ∈ D Khi đó, F0(G(z))G0(z) = 1,và F0(0)G0(0) = 1.Mặt khác,

|F (z)| < 1, |G(z)| < 1với mọi z ∈ D, và F (0) = G(0) = 0nên điều này suy

Chứng minh Phát biểu (i) và (ii) là những phép toán đơn giản Như chúng

ta đã biết, mỗi phép biến đổi tuyến tính phân số là là ánh xạ một đối một

tròn đơn vị vào chính nó, sẽ kéo theo phát biểu (iii)

đều có dạng f (z) = eiθ1−ωz(z−ω), với ω nào đó thuộc D Thật vậy, xét g(z) =

(z−ω)

1−ωz,vớiω = f−1(0).Khi đó,g(D) = D và do đóg là một tự đẳng cấu chỉnhhình của D.Dog(ω) = 0vàf (ω) = 0nênf ◦g−1(0) = 0.Mặt khácf ◦g−1 làmột tự đẳng cấu chỉnh hình của D,nên theo Bổ đề Schwarz,f ◦g−1(z) = eiθz

với θ nào đó thuộc [0, 2π) Do đó f (z) = f ◦ g−1(g(z)) = eiθg(z) = eiθ (z−ω)1−ωz

và F0(z0) > 0

hai ánh xạ song chỉnh hình từ Ω đến D khi z0 đến 0, sau đó F2◦ F1−1 là ánh

xạ song chỉnh hình của hình tròn đơn vị biến 0 thành 0

f (z0) = 0 vàf0(z0) > 0 Ta chứng minh sự tồn tại song ánh chỉnh hình theo

ba bước

thế z2 = z2, mà g(z1) − g(z1) Bao hàm g(z1) = 0, và do đó z1 = a điều đókhông thể được.

ở đó δ > 0 Từ (ii) và (iii) khoảng biến thiên của hàm g không chứa điểm

F (z) =: φa◦ h(z) = a − h(z)

1 + ah(z).

Thì F (z0) = φa(a) = 0 Nếu ta nhân F với hằng số thích hợp của giá trị

Bước 2: Tồn tại F ∈ F sao cho F0(z0) = supf ∈Ff0(z0)

{fn} trong F sao cho limn→∞fn0(z0) = A Do họ F bị chặn đều trên Ω, nóchuẩn tắc, và do đó có dãy con {fnk}hội tụ đều trên tập con compact của Ω

hình Ta có, F (z0) = limk→∞fnk(z0) = 0 và F0(z0) = limk→∞fn0k(z0) = A

(Suy ra rằngA < +∞) Tương tự, nếuz ∈ Ω, |F (z)| = limk→∞|fnk(z)| ≤ 1

z ∈ Ω

Còn lại, để chỉ ra rằng F là một đối một Giả sử F (z1) = F (z2) = ω.Hàm {fnk(z) − ω} hội tụ đều trên Ω tới hàm F (z) − ω, với giả sử có hai

Không Suy ra, với k đủ lớn, fnk cũng có Không gần z1 và z2, bao hàm

z1 = z2 Do đó, F ∈ F

hàm z → φa ◦ F (z) là một đối một, các ánh xạ Ω tới D, không bao giờ

g, được định nghĩa và chỉnh hình trên Ω, sao cho g(z)2 = φa ◦ F (z) Thì

g : Ω → D, và khi chứng minh bước 1, suy ra được là g là một đối một.Hơn nữa, g(z0) = b với b2 = a

cho S ◦ g = φa◦ F Đặt G = φb ◦ g Khi đó, G là một đối một, các ánh xạ

Ω tới D, và thỏa mãn G(z0) = 0 Ta có thể viết g = φ−1b ◦ G = φb ◦ G, và

1.5 Định lí K¨ obe

Từ D ⊂ gn(D), chúng ta có U := ψ(D) ⊂ hn(D), và do đó (−U ) ∩ hn(D) =

∅.Do đó,hn là một dãy con hội tụ Do đó, từ|xn| = Rn ≤ 1, fn = xn(1+h2n)

Đặt a ∈ f (D) Từ nguyên lý argument cho bất kỳ z với f (z) 6= a,

` := 12π√

để f trên |z| ≤ r, phép nội xạ của bao hàm fnk

dụng, việc các bán kính có chặn dưới dương là đủ Tuy vậy, K¨obe giả thuyết

Để kiểm tra tính tốt nhất của chặn dưới nói trên, ta có thể xét hàm

Độc giả có thể kiểm tra,

Do đó, chúng ta thu được kết quả sau đây

Định lý 1.6 (Định lý K¨obe 14 ) Với mọi f ∈ S , ta có f (D) ⊃ D(0,14) Số

1

Để chuẩn bị cho việc nghiên cứu các tiêu chuẩn về họ chuẩn tắc kiểu Montel,

ở phần này, chúng ta đề cập tới một số khái niệm và kết quả cơ bản của Lí

điểm của f, và νf được xác định bởi νf(z) := min{νf(z), 1} Đặt Nf(r) :=

log+ ... ≤

ánh xạ có ảnh {x0}

Liên quan tới định lí ánh xạ Riemann, ta đề cập tới miền đơnliên C

liên thông

Điều kiện tôpô miền đơn liên dẫn đến hệ giải tích sau:... thiết lập dạng Định lý thứ hai cho

đa thức đạo hàm, kéo theo dạng Định lý Picard cho trường hợp

nhận giá trị hữu hạn khác vô hạn lần Tiêu chuẩn chuẩn tắc ứng vớiĐịnh lý Hayman đưa... F0(z0) >

hai ánh xạ song chỉnh hình từ Ω đến D z0 đến 0, sau F2◦ F1−1 ánh

xạ song chỉnh hình hình trịn đơn vị biến thành

f (z0)