Đồng nhất thức của đa thức fibonacci đa thức lucas và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCPHẠM THU HẰNG ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA ĐA THỨC FIBONACCI, ĐA THỨC LUCAS VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCPHẠM THU HẰNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THU HẰNG

ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA ĐA THỨC

FIBONACCI, ĐA THỨC LUCAS VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THU HẰNG

ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA ĐA THỨC

FIBONACCI, ĐA THỨC LUCAS VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS VŨ HOÀI AN

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1 Đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas 4

1.1 Dãy số Fibonacci, dãy số Lucas 41.1.1 Định nghĩa và ví dụ dãy Fibonacci và dãy Lucas 41.1.2 Một số tính chất của dãy Fibonacci và dãy Lucas 91.2 Đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas 11

2 Ứng dụng đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas

2.1 Các đồng nhất thức trong toán học phổ thông 372.2 Ứng dụng đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lu-

cas đối với số nguyên 44

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với TS Vũ Hoài An, đãtrực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiêncứu vừa qua

Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán - Tin,Phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế , các bạn học viên lớp Cao họcToán K7D trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, và các bạn đồngnghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập

và nghiên cứu tại trường

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thânluôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luậnvăn

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót

và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của cácthầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Thái Nguyên, 2015 Phạm Thu Hằng

Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Dãy số Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử

0 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằngtổng hai phần tử trước nó Hơn nữa, sau 4 số đầu tiên trong dãy, tỷ lệ của một

số bất kỳ với số liền trước gần bằng 1,618 Đây là tỉ lệ vàng và được ứng dụngtrong nhiều ngành khoa học và mỹ thuật

Dãy số Lucas khác dãy số Fibonacci ở hai phần tử thứ nhất và thứ hai, còncông thức truy hồi thì giống nhau Do vậy, dãy số Lucas có những tính chấtkhác dãy số Fibonacci Kí hiệu dãy số Fibonacci, dãy số Lucas lần lượt là Fn

Tìm hiểu, nghiên cứu Fn(x), Ln(x) là công việc có ý nghĩa Chẳng hạn,nếu ta thiết lập được đồng nhất thức của Fn(x), Ln(x) thì ta thiết lập đượcđồng nhất thức của Fn, Ln Mặt khác, đa thức Fn(x), Ln(x) sẽ có ứng dụngtrong Toán học phổ thông: đây là chủ đề bồi dưỡng học sinh giỏi, nó xuất hiệnnhiều trong báo Toán học Tuổi trẻ, trong các tài liệu toán nâng cao, trong các

đề thi học sinh giỏi

Trong [2], Nguyễn Thu Trang đã nghiên cứu số Fibonacci, dãy số Lucas.

Sự liên hệ giữa phương trình Diophantine với dãy số Fibonacci, dãy số Lucas

đã được đề cập trong [1] Trong [5], Wang Ting Ting và Zhang Wenpeng đãthiết lập các đồng nhất thức chứa đa thức Fibonacci, đa thức Lucas và đưa racác ứng dụng của nó Các đồng nhất thức liên quan đến đạo hàm được trình

bày trong [4] Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi xem xét vấn đề: Đồng

nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas và ứng dụng

2 Mục đích, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu

Mục đích của luận văn là tổng hợp và trình bày một số đồng nhất thức của

đa thức Fibonacci, đa thức Lucas trong , [3], [4] và [5] Ngoài ra, chúng tôi đãđưa ra phương pháp ứng dụng các đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đathức Lucas trong toán học phổ thông Cụ thể là: Khi có một đồng nhất thứccủa đa thức Fibonacci, đa thức Lucas, ta cho biến số nhận giá trị 1, thì ta cómột hệ thức đối với dãy Fibonacci, dãy Lucas

Hơn nữa, ta có thể thiết lập các đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đathức Lucas bằng cách kết hợp giữa các đẳng thức hoặc bất đẳng thức trongtoán học phổ thông với các đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thứcLucas đã có Khi đó ta lại cho các biến nhận giá trị 1 và nhận được các hệthức với dãy Fibonacci, dãy Lucas

3 Nội dung nghiên cứu

Luận văn trình bày các kết quả trong [4], [5] và ứng dụng của nó trongtoán phổ thông Cụ thể là:

của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas: từ Ví dụ 2.2.1 đến Ví dụ 2.2.10.

- Trình bày Ví dụ 2.2.11, 2.2.12 minh họa cho phương pháp ứng dụng:khi có một đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas, ta cho biếnnhận giá trị 1 thì nhận được đồng nhất thức đối với dãy Fibonacci, dãy Lucas

4 Cấu trúc luận văn

Luận văn được chia thành hai chương với nội dung chính như sau:

Chương 1 trình bày đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas.Chương 2 trình bày ứng dụng đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đathức Lucas đối với số nguyên trong toán học phổ thông

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015

Phạm Thu Hằng

Email: bongtombeo@gmail.com

1.1 Dãy số Fibonacci, dãy số Lucas

1.1.1 Định nghĩa và ví dụ dãy Fibonacci và dãy Lucas

Định nghĩa 1.1.1 Dãy {Fn} các số Fibonacci được định nghĩa bởi hệ thứctruy hồi sau

Fn = Fn−1+ Fn−2, n ≥ 2, (1.1)với các giá trị ban đầu

F0 = 0, F1 = 1

Ví dụ 1.1.1 Theo định nghĩa, ta có dãy Fibonacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,

Ví dụ 1.1.2 Dãy số Fibonacci và quy luật tự nhiên:

a) Sự sắp xếp các cánh hoa trên một bông hoa

b) Số lượng các đường xoắn ốc (hoặc đường chéo)

Hình 1.1: Hoa một cánh Hình 1.2: Hoa hai cánh.

Hình 1.3: Hoa ba cánh Hình 1.4: Hoa năm cánh

Hình 1.5: Hoa tám cánh Hình 1.6: Hoa 13 cánh.Không chỉ ở số cánh hoa, dãy số Fibonacci còn hiện hữu một cách đángngạc nhiên hơn bạn nghĩ Khi bạn quan sát nhị của bông hoa hướng dương,nhìn từ tâm ra, theo hai hướng cùng chiều và ngược chiều kim đồng hồ, bạn

sẽ thấy các đường xoắn ốc Và có một điều lạ là, số đường xoắn ốc đó luôn

là một số thuộc dãy Fibonacci theo từng cặp: 21 và 34, hoặc 34, 55, hoặc 55,

89, hoặc 89 và 144

Tương tự, khi bạn quan sát một hạt thông (nón thông): số đường xoắn ốctheo các hướng khác nhau luôn là các cặp số thuộc dãy số bí ẩn: 8 và 13; 5 và

Nhiều loài cây biểu hiện dãy số Fibonacci trong số lượng các “điểm pháttriển” (nút) mà nó có Khi một cây mọc cành non, thì cành đó phải lớn lênmột thời gian, trước khi đủ khỏe để bản thân nó có thể sinh cành non mới.Nếu mỗi tháng cây mọc cành mới tại các nút ấy, thì chúng ta có hình vẽ minhhọa như trên Số lượng các nút mỗi thời điểm luôn là một con số Fibonacci.Một ví dụ: Cây Romanesque Brocolli / Súp lơ trắng (hoặc Romanesco)trông và có vị giống như lại giữa brocolli và súp lơ Mỗi Hoa con đều giốnghệt nhau nhưng nhỏ hơn Điều này làm cho các xoắn ốc dễ nhìn thấy.

d) Số Fibonacci và sự mọc của lá xanh từ thân cây

Nhiều loài cây cũng có cách mọc lá tuân theo các số Fibonacci Nếu chúng

ta quan sát kỹ sẽ thấy lá cây mọc trên cao thường xếp sao cho không che khuất

lá mọc dưới Điều đó có nghĩa là mỗi lá đều được hưởng ánh sáng và nướcmưa, cũng như nước mưa sẽ được hứng và chảy xuống rễ đầy đủ nhất dọctheo lá, cành và thân cây

Nếu từ một lá ngọn làm khởi đầu, xoay quanh thân cây từ trên xuống dưới,

lá sang lá, đếm số vòng xoay đồng thời đếm số chiếc lá, cho đến khi gặp chiếc

lá mọc đúng phía dưới lá khởi đầu, thì các số Fibonacci xuất hiện

Nếu chúng ta đếm xoay theo hướng ngược lại, thì sẽ được một con số vòng

xoay khác (ứng với cùng chừng ấy lá).

Kỳ lạ là: Con số vòng xoay theo 2 hướng, cùng với số lá cây mà chúng tagặp khi xoay, tất cả sẽ tạo thành 3 con số Fibonacci liên tiếp nhau!

Ví dụ: Trong ảnh cây dưới, lấy lá (x) làm khởi điểm, ta có 3 vòng quaythuận chiều kim đồng hồ trước khi gặp lá (8) nằm đúng phía dưới lá (x), hoặc

là 5 vòng nếu quay theo ngược chiều kim đồng hồ Vượt qua tổng cộng 8 lá

3, 5, 8 là 3 số liên tiếp trong dãy Fibonacci

Các chiếc lá được đánh số khi quay vòng quanh thân từ trên xuống dưới,bắt đầu từ (x) rồi đến 1,2,3, Kinh ngạc thay, mỗi chiếc lá liền kề cách nhaukhoảng 222.5, tức là chính xác 0,618 vòng tròn 0,618 chính là 1/Φ ( khácvới hoa hướng dương là 1 − 1/Φ)

Chiếc lá (3) và (5) là những chiếc lá phía dưới gần lá khởi điểm (x) nhất,rồi xuống tiếp nữa là lá (8) rồi (13)

Fi = Fn+2− 1,

b)

nXi=0

Li = Ln+2 − 1

Định lí 1.1.2 a) Tổng các số Fibonacci với chỉ số lẻ

n−1Xi=0

F2i+1 = F2n

b) Tổng các số Fibonacci với chỉ số chẵn

nXi=0

F2i = F2n+1− 1

Định lí 1.1.3 a) Tổng các số Lucas với chỉ số lẻ

n−1Xi=0

L2i+1 = L2n − 2

b) Tổng các số Lucas với chỉ số chẵn

nXi=0

L2i = L2n+1+ 1

Định lí 1.1.4.

a)

nXi=0

iFi = nFn+2 − Fn+3 + 2,

b)

nXi=0

iLi = nLn+2− Ln+3 + 4

Định lí 1.1.5.

a)

nXi=0

Fi2 = FnFn+1,

b)

nXi=0

L2i = LnLn+1+ 2

Định lí 1.1.6 (Đẳng thức Cassini) Với n > 1, ta có

a) Fn−1Fn+1 − Fn2 = (−1)n,

b) L2n− Ln−1Ln+1 = 5(−1)n

2n

n − k

(−1)n−k

F4k(h+1)(x)

F2k(x) ;(c)

nXk=0

2n + 1

n − k

F2(2k+1)(h+1)(x)

L2k+1(x) ;(d)

2n + 1

n − k

(−1)n−kL2(2k+1)(h+1)(x)

!n

=

nXk=0

nk

2n

2n

n − k

(−1)n−k x2k +

1

x2k

!, (1.4)

2n + 1

n − k

(−1)n−k x2k+1− 1

2n

2n

n − k

(−1)n−kF2k(2m+1)(x), (1.8)

F2m+12n+1(x) =

1(x2 + 4)n

nXk=0

2n + 1

n − k



F(2m+1)(2k+1)(x), (1.9)và

L2n+12m+1(x) =

nXk=0

2n + 1

n − k

(−1)n−kL(2m+1)(2k+1)(x) (1.10)Với số nguyên h > 0 bất kỳ, trong (1.7) ta lấy tổng trên m

2n

n − k

 hXm=0

2n n−k

2n n−k

Lưu ý rằng các đồng nhất thức

α4kh+2k − α4kh+6k + β4kh+2k − β4kh+6k = −(α4kh+4k − β4kh+4k)(α2k − β2k)

= −(x2 + 4)F4kh+4kF2k.và

2n

Điều này chứng minh đồng nhất thức (a) của Định lý 1.2.1

Tương tự, từ công thức (1.8), (1.9) và (1.10) ta suy ra ba đồng nhất thứccòn lại của Định lý 1.2.1

Định lí 1.2.2 Với các số nguyên dương h và n bất kì, ta có các đồng nhất

2n

n − k

F2k(2h+1)(x) − F2k(x)

F2k(x) ;(B)

"

h

(2n)!

(n!)2+

nXk=1

2n

n − k

(−1)n−k

2n + 1

n − k

(−1)n−k

L(2k+1)(2h+1)(x) − L2k+1(x)

L2k+1(x) ;(D)

nXk=0

2n + 1

n − k

(−1)n−k

F(2k+1)(2h+1)(x) − F2k+1(x)

L2k+1(x) .

Chứng minh. Trong (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) ta lấy x = α2m, ta suy ra cácđồng nhất thức

L2n2m(x) =

(2n)!

(n!)2 +

nXk=1

2n

2n

n − k

(−1)n−kL4km(x)



,(1.13)

L2n+12m (x) =

nXk=0

2n + 1

n − k



L2m(2k+1)(x), (1.14)và

L2n+12m (x) =

1(x2 + 4)n

nXk=0

2n + 1

n − k

(−1)n−kF2m(2k+1)(x) (1.15)

2n

n − k

 hXm=1(α4km + β4km)

= h

(2n)!

(n!)2 +

nXk=1

2n

2n

2n

2n

Tương tự, từ công thức (1.13), (1.14) và (1.15) ta suy ra ba đồng nhấtthức còn lại của Định lý 1.2.2.

Bây giờ, chúng ta trình bày đa thức Fibonacci - Lucas tổng quát - dạngthứ nhất đã được đề cập trong [4]

Định nghĩa 1.2.2 Đa thức Fibonacci - Lucas tổng quát - dạng thứ nhất được

định nghĩa bởi hệ thức

bn(x) = xbn−1(x) + bn−2(x), n ≥ 2,với điều kiện b0(x) = 2b và b1(x) = s, ở đó b và s là các số nguyên

Ví dụ 1.2.1 b0(x) = 2b, b1(x) = s, b2(x) = sx + 2b, b3(x) = sx2 +2bx + s

Chú ý:Cho b = 0, s = 1, ta có b0(x) = 0, b1(x) = 1 Khi đó bn(x) là đa thứcFibonacci

Cho b = 1, s = x, ta có b0(x) = 2, b1(x) = x Khi đó bn(x) là đa thứcLucas

Nếu x = 1 thì bn(1) là dãy Fibonacci - Lucas tổng quát

Hàm tổng quát của đa thức Fibonacci là

∞Xn=0Fn(x)tn = t(1 − xt − t2)−1 (1.16)

Hàm tổng quát của đa thức Lucas là

∞Xn=0

Ln(x)tn = (2 − xt)(1 − xt − t2)−1 (1.17)Công thức tổng đối với đa thức Fibonacci là

Fn(x) =

[n−1

Xk=0

n − k − 1

k



xn−1−2k, (1.18)

n − k

n − kk

bn(x)tn =

2b(1 − xt) + st(1 − xt − t2) . (1.20)

Hệ thức liên hệ giữa đa thức Fibonacci - Lucas tổng quát và đa thức Fibonacci

- Lucas là

bn(x) = sFn(x) + b(2 − xt)Ln(x) (1.21)Tiếp theo chúng tôi trình bày một số đồng nhất thức của đa thức Fibonacci -Lucas tổng quát trong [4]

Định lí 1.2.3.

∞X

n=0

bn(x)tn = [2b(1 − xt) + st] ext

∞Xm=0

= [2b(1 − xt) + st]

∞Xn=0

tn

nXm=0

 nm



xn−mtm

= [2b(1 − xt) + st]

∞Xn=0

nXm=0

nXm=0

(xt)nn!

∞Xm=0

n=0

nbn(x)tn−1 = [2b(1−xt)+st](x+2t)(1−xt−t2)−1+(s−2bx),

(1 − xt − t2)

∞Xn=0

nbn(x)tn−1 = (x + 2t)

∞Xn=0

∞Xn=0

nbn(x)tn+1 =

∞Xn=0

nbn(x)tn+1+

+

∞Xn=02bn(x)tn+1 + (s − 2bx)

b0n(x)tn = t

∞Xn=0

b0n(x)tn − 2bt

∞Xn=0

b0n(x)tn −

∞Xn=0

xb0n(x)tn+1

−

∞Xn=0

b0n(x)tn+2

= t

∞Xn=0

bn(x)tn+1 − 2bt

Đồng nhất các hệ số của t ta nhận được

b0n(x) = xb0n−1(x) + bn−1(x) + b0n−2(x), n ≥ 2

Lấy đạo hàm đối với t, ta có

b0n(x)tn−1 + 2b(1 − xt − t2)−1

#,

b0n(x)tn−1+ 2b(x + 2t)(1 − xt − t2)−1,

b0n(x)tn−1

+

∞Xn=02b0n(x)tn+ 2b(x + 2t)(1 − xt − t2)−1.Đồng nhất các hệ số của tn−1 ta nhận được

xb0n(x) = 2b0n+1(x) + nbn(x) − (2n + 2)bn(x)

= 2b0n+1(x) + (n − 2n − 2)bn(x),

xb0n(x) = 2b0n+1(x) − (n + 2)bn(x) (1.28)

n − mm

= [2b(1 − xt) + st]

∞Xn=0

tn

nXm=0

 nm



xn−mtm

= [2b(1 − xt) + st]

∞Xn=0

nXm=0

nXm=0

(n + m)!

m!n! x

n t2m+n

= [2b(1 − xt) + st]

∞Xn=0

[n

Xm=0

(n − m)!

m!n! x

n−2mtn.Đồng nhất các hệ số của tn ta nhận được

bn(x) = 2b

[n

Xm=0

Ví dụ 1.2.2 m0(x) = 2s, m1(x) = 1+s, m2(x) = (1+s)x+2s, m3(x) =(1 + s)x2 + 2sx + (1 + s)

Chú ý: Cho s = 0, ta có m0(x) = 0, m1(x) = 1 Khi đó mn(x) là đa thứcFibonacci Nếu x = 1 thì mn(1)là dãy Fibonacci tổng quát - dạng thứ hai.Phương trình đặc trưng của hệ thức (1.30) là λ2 − xλ − 1 = 0,

(n + k)n! .

(t2)kk! .

= [2s(1 − xt) + (1 + s)t]

∞Xn=0

tn

nXk=0

nk



xn−ktk

= [2s(1 − xt) + (1 + s)t]

∞Xn=0

nXk=0

nXk=0

(n + k)!

k!n! x

n t2k+n

= [2s(1 − xt) + (1 + s)t]

∞Xn=0

(xt)nn!

∞Xk=0

(n + k)n! .

(t2)kk! .

nmn(x)tn−1 = [2s(1 − xt) + (1 + s)t](x + 2t)(1 − xt − t2)−1

+ (1 + s − 2sx),

(1 − xt − t2)

∞Xn=0nmn(x)tn−1 = (x + 2t)

∞Xn=0mn(x)tn+ (1 + s − 2sx),

∞Xn=0

nmn(x)tn+1 =

∞Xn=0

nmn(x)tn

−

∞Xn=02mn(x)tn+1 + (1 + s − 2sx)

Đồng nhất các hệ số của t ta nhận được

(n + 1)mn+1(x) − xnmn(x) − (n − 1)mn−1(x) = xmn(x) + 2mn−1(x),(n + 1)mn+1(x) − (n + 1)mn−1(x) = (n + 1)xmn(x),

∞Xn=0

m0n(x)tn =[2s(1 − xt) + (1 + s)t](−1)(1 − xt − t2)−1(−t) − 2st,(1 − xt − t2)−1

∞Xn=0

m0n(x)tn = t

∞Xn=0

xm0n(x)tn+1 −

∞Xn=0

m0n(x)tn+2 = t

∞Xn=0

mn(x)tn+1 − 2st.Đồng nhất các hệ số của t ta nhận được

m0n(x) − xm0n−1(x) − m0n−2(x) = mn−1(x)

m0n(x) = xm0n−1(x) + mn−1(x) + m0n−2(x)

X

n=0

m0n(x)tn = (−2st)(1 − xt − t2)−1 + [2s(1 − xt) + (1 + s)t].t.(1 − xt − t2)−2,

m0n(x)tn−1 + 2s(1 − xt − t2)−1

#,

m0n(x)tn−1+ 2s(x + 2t)(1 − xt − t2)−1,

m0n(x)tn−1

+

∞Xn=02m0n(x)tn+ 2s(x + 2t)(1 − xt − t2)−1.Đồng nhất các hệ số của tn−1 ta nhận được

nmn(x) = xm0n(x) + 2m0n−1(x)

Đồng nhất các hệ số của tn ta nhận được

(n + 1)mn+1(x) = xm0n+1(x) + 2m0n(x),

xm0n+1(x) = (n + 1)mn+1(x) − 2m0n(x) (1.36)

xm0n(x) = 2m0n+1(x) + nmn(x) − (2n + 2)mn(x)

xm0n(x) = 2m0n+1(x) + (n − 2n − 2)mn(x),

xm0n(x) = 2m0n+1(x) − (n + 2)mn(x) (1.39)

n − kk

= [2s(1 − xt) + (1 + s)t]

∞Xn=0

tn

nXm=0

nk



xn−ktk

= [2s(1 − xt) + (1 + s)t]

∞Xn=0

nXm=0

nXm=0

(n + k)!

k!n! x

n t2k+n

= [2s(1 − xt) + (1 + s)t]

∞Xn=0

∞Xm=0

(n + k)!

k!n! x

nt2k−n.Đồng nhất các hệ số của tn ta nhận được

mn(x) = 2s

[n

Xk=0

(n − k)!

k!n − 2k! x

n−2k

n − kk

= [2s(1 − xt) + (1 + s)t]

∞Xn=0

tn

nXm=0

nk



xn−ktk

= [2s(1 − xt) + (1 + s)t]

∞Xn=0

nXm=0

nXm=0

∞Xm=0

(n + k)!

k!n! x

n

t2k−n.Đồng nhất các hệ số của tn ta nhận được

mn(x) = 2s

[n

Xk=0

(n − k)!

k!n − 2k! x

n−2k

(n − k)!

k!n − 2k! x

n−2k

Định lí 1.2.22 (Đẳng thức Catalan) Cho mn(x) là số hạng thứ n của đa thức

Fibonacci tổng quát - dạng thứ hai, khi đó

αr − βr

α − β =

(1 + s)mr(x) − 2smr+1(x)(1 + s)2 − 2s(1 + s) − 4s2 =

Hệ quả 1.2.1 (Đẳng thức Cassini) Cho mn(x) là số hạng thứ n của đa thức

Fibonacci tổng quát - dạng thứ hai, khi đó

αp−n − βp−n

α − β =

(1 + s)mp−n(x) − 2smp−n+1(1 + s)2 − 2s(1 + s) − 4s2 =

(1 + s)mp−n(x) − 2smp−n+1