Các pp giải một phương trình vô tỉ

DẠY CÁCH GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH VÔ Tỉ CHO NHIỀU ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH Trong một lớp học trình độ học sinh rất không đồng đều ,do vậy việc lên kế hoạch cho một tiết dạy để tất cả học sinh tr

DẠY CÁCH GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH VÔ Tỉ CHO NHIỀU ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH

Trong một lớp học trình độ học sinh rất không đồng đều ,do vậy việc lên kế hoạch cho một tiết dạy để tất cả học sinh trong lớp đều thu về một lượng kiến thức phù hợp với khả năng của mình là một điều rất khó ,tôi luôn cố gắng làm bằng được điều đó Bài viết này rất mong sự chia sẻ của quý đồng nghiệp đối với mong muốn trên của tôi Sau đây là một tiết dạy “Cách giải một phương trình vô tỉ “mà theo tôi là hiệu quả.

Bài toán 1:

Giải phương trình:

3 −x2 − 2x =x2 + 2x+ 3

Bài giải:

Đối với học sinh trung bình bước đầu cảm nhận về phương trình vô tỉ có thể có cách suy nghỉ,muốn giải được phương trình có chứa căn thức bậc hai ta cần bình phương hai vế và kèm theo điều kiện để phá căn ,do đó các

em đó có thể hình thành cách giải như sau :

Cách :1

Ta có:

2

x

ïỵ

đúng

Đặt x2 + 2x=t do đó (1)⇔t2 + 7t+ 6 = 0 ⇔t= − 1vt= − 6

Với t = -1 ta có x2 + 2x= − 1 ⇔ x2 + 2x+ 1 = 0 ⇔ x= − 1

Với t = -6 ta có x2 + 2x= − 6 ⇔ x2 + 2x+ 6 = 0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = -1

Nếu em học sinh kỉ tính,thấu đáo hơn thì em sẽ đặt điều kiện cho t trong cách giải 1 Trong cách đặt điều kiện ,nếu một học sinh hiểu theo lô gic ,mệnh đề thì sẽ đặt điều kiện như sau: x2+2x t= ⇔x2+2x t− =0

để tồn tại x khi và chỉ khi ' 1∆ = + ≥⇔ ≥ −t t 1còn nếu nhìn ở góc độ đánh giá theo BĐT thì thì ta có thể đặt điều kiện như sau: x2+2x t= ⇔x2+2x+ = +1 t 1⇔(x+1)2 = + ⇒ ≥ −t 1 t 1.Trong việc tìm điều kiện của của t thì có lợi gì?và nếu không có điều kiện của t thì cách giải 1 có gì sai không?

Không có điều kiện của t thì cách giải 1 không sai và nếu thêm điều kiện của t thì việc giải nó gọn hơn cụ thể ta đã loại trường hợp t=-6.

Với một ý thức quan sát nghiêm túc ,một ý thức muốn hoàn thiện,một nhu cầu thẩm mỹ từ cách giải 1 sẽ cho chúng

ta nghỉ đến cách giải 2

Cách 2:

Ta có: 3− −x2 2x = x2+2x+3 ⇔ 3 (− x2+2 )x =x2+2x+3(2)

Đặt x2+2x t= ,do đó (2) 3 3 3 02

t

t t

t t t

+ ≥



⇔ − = + ⇔  − = + +

3

t

≥ −



⇔  + + =



3

1

t

t

t vt

≥ −



⇔  = − = − ⇔ = −

Với t = -1 ⇒x2+2x= − ⇔1 (x+1)2 = ⇔ = −0 x 1

Vậy x=-1 là nghiệm của phương trình

Với xu hướng của cách giải 2,bạn đừng vội vàng thì bạn sẽ có cách giải thứ 3

Cách3:

Ta có: 3− −x2 2x =x2+2x+3⇔ 3− −x2 2x = − − −(3 x2 2 ) 6x + (3)

Đặt 3−x2−2x =t t( ≥0),do đó (3) ⇔ = − +t t2 6 ⇔ + − = ⇔ =t2 t 6 0 t 2vt= −3(loại)

Với t = 2 ⇒ −3 x2 −2x= ⇔4 x2+2x+ = ⇔ = −1 0 x 1

Vậy x = -1 là nghiệm của phương trình

Các cách giải trên đều đưa về phương trình x2+2x+ = ⇔ +1 0 (x 1)2 =0có gợi cho bạn sự trò mò hay hướng giải nào không?.Còn tôi lại giải như sau:

Cách 4:

Ta có: 3−x2−2x =x2+2x+3 ⇔ 4 (− +x 1)2 =(x+1)2+2 (4)

Đặt (x+1)2 =t t( ≥0),do đó (4) ⇔ 4− = +t t 2⇔ − = +4 t (t 2)2 ⇔ + =t2 5t 0

⇔ =t 0vt= −5(loại)

Với t = 0 ⇒ +(x 1)2 = ⇔ = −0 x 1

Vậy x = -1 là nghiệm của phương trình

Ta thấy t2+ =5t 0(t≥0)có nghiệm duy nhất nên ta có ý định CM phương trình (4) có nghiệm duy nhất bằng cách nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.

Cách 5:

Ta có: 3− −x2 2x =x2+2x+3 ⇔ 4 (− +x 1)2 =(x+1)2+2 (4)

Đặt 2

(x+1) =t t( ≥0),do đó (4) ⇔ 4− = +t t 2(5)

ĐK: 0≤ ≤t 4

Ta thấy t = 0 là nghiệm của phương trình (5)

Với 0< ≤t 4⇒ 4− <t 2và t + 2 > 2,do đó (5) vô nghiệm trên trên miền 0< ≤t 4

Vậy t = 0 là nghiệm duy nhất của (5)

Với t = 0 ⇒(x+1)2 = ⇔ = −0 x 1

Một cách nhìn thông thoáng hơn,mềm mại hơn,chiến lượt hơn bạn có thể giải theo cách thứ 6.

Cách 6:

Đặt: 3− −x2 2x =u u( ≥0) x2+2x+ =3 v v( ≥0).Khi đó ta có:u = v và u2+ =v 6

Ta có hệ phương trình: 2 0 2

6

u v

u v

u v

= ≥



⇔ = =

 + =



Với u=v=2 ta có:

2 2

1

x

 − − =

 + + =



Vậy phương trình có một nghiệm x = - 1

Bài toán 2 : (ĐH Khối D-2005)

Giải phương trình: 2 x+ + 2 2 x+ - 1 x+ = 1 4 (*)

Giải:

Cách 1:

Ta có: 2 x+ + 2 2 x+ - 1 x+ = Û 1 4 2 x+ + 2 2 x+ = 1 x+ + vì hai vế đều dương nên bình phương hai vế ta được 1 4 phương trình tương đương 4(x+ + 2 2 x+ 1) = + +x 1 8 x+ + 1 16 Û 3x= Û 9 x= 3

Cách 2:

Đặt t= x+ 1 (t ³ 0),khi đó (*)Û 2 t2 + + 1 2 -t=4 t Û 2 t+1 - t= Û 4 2 + = Ût 4 t = 2

Với t= 2 ta có: x +1=2 Û x=3

Cách 3: (Đ án của bộ)

Ta có: 2 x+ + 2 2 x+ - 1 x+ = Û 1 4 2 ( x+ + 1 1) 2 - x+ = Û 1 4 2( x+ + - 1 1) x+ = Û 1 4 x+ = Û 1 2 x= 3 Cách 4:

Đặt 2= a >0 khi đó (*) Û a x+ + 2 2 x+ - 1 x+ = 1 a2 Û a2 - a x+ + 2 2 x+ + 1 x+ = 1 0

(*) Û D = + +x 2 2 x+ - 1 4 x+ = 1 x+ - 1 1

2 2 1 1 1 2 2 1 1 1

v

Với a =2 ta có x+ + 2 2 x+ - 1 x+ = 1 3 (1) hoặc x+ + 2 2 x+ + 1 x+ = 1 5(2)

Từ (*) &(1) ta có: x + = -1 2 vo â nghiệm

Từ (*) &(2) ta có: 3 x+ = Û 1 6 x+ = Û 1 4 x= 3.Thay vào (*) thỏa Vậy x=3 là nghiệm của phương trình

NHỮNG GỢI Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Trong quá trình để giải loại toán này chúng ta cần chú ý đến các tính chất sau:

1*.Các tính chất về đẳng thức:

+)A=B Û A C+ =B+C ( "C);+)A=B Û a A=a B ( " ¹a 0);+)A=B ³ 0 Û A n =B n ( " Ỵn Z) +)

0

A= B Û A=B³

2.*Các tính chất về bất đẳng thức:

+)A>B Û A C+ >B+C ( "C);+)A B A B >0 <0

é >

ê

> Û ê <

ê

nếu nếu ;+)A>B ³ 0 Û A n >B n ( " Ỵn N) +)

0

A> B Û A>B ³

3*.Các dạng phương trình vô tỉ thường gặp:

D1: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0

f x g x

f x

ïïï

ïïỵ hoặc g(x) 0 ;D2:

2

( ) ( )

f x =g x Û íìï ïï =

ïïỵ g(x) 0

( ) 0 ;

f x

ïï

ïïỵ g(x) 0; và h(x) 0 ;D4:

2

f x =g x Û f x =g x

3.*Các dạng bất phương trình vô tỉ thường gặp:

D1: f x( )> g x( )Û íìïïïf x( )>g x( )

ïïỵ g(x) 0 ;D2:

( ) ( )

f x >g x Û íìïïïï > ìïïïíï ³

³

ïỵ

hoặc g(x) < 0 g(x) 0

D3:

2

( ) ( )

f x <g x Û íìïïï <

( ) 0 ;

f x

ïï

ïïỵ g(x) 0; và h(x) 0

( ) 0 ;

f x

ïï

ïïỵ g(x) 0; và h(x) 0 D6:

2

f x >g x Û f x >g x

D7: f x( ) <g x( ) Û f x( ) <g x2 ( )

4.Định lí về dấu tam thức bậc hai:

I)ĐỊNH LÍ :

Cho tam thức bậc hai f x( )=ax2+bx c+ (a 0)≠ và 2

4

∆ = −

Nếu  < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ( ( ) 0 x)a f x > ∀

Nếu  = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x

2

b a

−

≠ ( ( ) 0 x -b)

2a

a f x > ∀ ≠

Nếu  > 0 thì f(x) = 0 có hai nghiệm x1,x2 giả sử x1<x2 khi đó f(x) cùng dấu với hệ số a

x∀ ∉ x;x ] và f(x) trái dấu với a x (x∀ ∈ x

BẢNG TÓM TẮT:

Dấu của biệt thức  Dấu của f(x)

 = 0 ( ) 0 x -b và f(-b) 0

 > 0 f(x)=0 có hai nghiệm x1<x2 +a f x ( ) 0> ∀ ∈ ∞ x ( , )- x1 ∪( ,x2 +∞)

+a f x ( ) 0< ∀ ∈ x ( , )x x1 2

II.ĐỊNH LÝ ĐẢO:

Cho tam thức bậc hai 2

f x =ax +bx c+ ≠ và một số thực α Nếu ( ) 0 a f α < thì tam thức bậc hai có hai

nghiệm và α nằm giữa hai nghiệm đó.

Hệ quả 1:Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai f x( )=ax2+bx c+ =0 (a 0)≠ có hai nghiệm phân biệt là tồn tại α sao cho ( ) 0a f α <

Hệ quả 2: Cho tam thức bậc hai f x( )=ax2 +bx c+ (a 0)≠ và hai số thực ,α β Điều kiện cần và đủ để phương

trình f(x)= có hai nghiệm trong đó một nghiệm nằm trong khoảng ( , )α β ,nghiệm kia nằm ngoài đoạn [ , ]α β á là

( ) ( ) 0

f α f β <

*Dạng 1:Sử dụng ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai.

Ví dụ 1:Giải phương trình (x+4)2 + + =x 1 9 x2+9x+9

Giải:

Ta có: (x+4)2 + + =x 1 9 x2+9x+ ⇔9 x2+9x+ −9 9 x2+9x+ + =9 8 0(1)

Đặt : t= x2 +9x+9(t≥0)

Khi đó (1) ⇔ + + = ⇔ =t2 9 8 0t t 1vt=8

Với t= 1 ⇒x2+9x+ = ⇔ = −9 1 x 1vx= −8

Vậy phương trình có 4 nghiệmx=-1,x=-8,x=− −9 2301vàx=− +9 2301

*Dạng 2.Sử dụng ẩn phụ đưa về phương trình tích

a>Sử dụng một ẩn phụ:

Ví dụ 2:Giải phương trình x2+ x+ =1 1(2)

Giải:Đặt t= x+1ĐK:t≥0

Khi đó phương trình (2) có dạng (2 1)2 1 ( 1)( 2 1) 0 0, 1, 1 5, 1 5

Vì t≥0 nên loại 1 5

2

t= − −

Với t=0 thì x = -1

Với t=1thì x =0

Với t=− +12 5 thì x=1−2 5.Vậy phương tình đã cho có 3 nghiệm x = -1,x=0 và 1 5

2

x= −

b>Sử dụng hai ẩn phụ

Ví dụ 3:Giải phương trình 2(x2 −3x+ =2) 3 x3 +8(T2/252)

Giải:

ĐK:

2

3

8 0

hay

x

 − + ≥  ≤ ≥ − ≤ ≤

+ ≥



Đặt u= x2 −2x+4,v= x+2(u>0,v≥0)

Khi đó phương trình đã cho tương đương 2(u2 −v2) 3= uv⇔ −(u 2 )(2v u v+ = ⇔ −) 0 u 2v=0(Vì 2u+v>0)

Do đó ta có x2−2x+ −4 2 x+ = ⇔2 0 x2−2x+ =4 4x+ ⇔ = ±8 x 3 13

So sánh với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x= ±3 13

*Dạng 3:Sử dụng ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp

Ví dụ 4:Giải phương trình 2x2 −3x+ =2 x x3 −2(4)

Giải:ĐK:x≥ 23

PT(4)⇔2x2 −(3x− =2) x x3 −2

Đặt y= 3x−2(y≥0).Ta có :2x2 −y2 =xy(5).PT(5) là phương trình đẳng cấp đối với xvà y

Đặt y=tx thì (5)⇔2x2−t x2 2=tx2 ⇔x2(2− − = ⇔ − − =t2 t) 0 2 t2 t 0(Vì x≥ 23) Ta tìm được t = 1 ;t=-2 Với t=1 thì x= y do đó 3x− = ⇔2 x x2−3x+ = ⇔ =2 0 x 1vx =2

Với t=-2 thì y=-2x mà x≥ 23 nên y<0 (loại)

So sánh với ĐK ta có nghiệm của phương trình là x=1 và x= 2

*Dạng 4:Sử dụng ẩn phụ đưa về phương trình của ẩn phụ đó,còn ẩn ban đầu coi là tham số

Ví dụ 5:Giải phương trình 6x2 −10x+ −5 (4x−1) 6x2 −6x+ =5 0(6)

Giải:Đặt 6x2 −6x+ =5 t t( ≥0)

PT(6) có dạng t2 −(4x−1) 4t− x=0.Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn t (x là tham số )

(4x 1) 16x (4x 1)

∆ = − + = + Tìm được t=-1 (loại) và t=4x

Với t=4x thì 6x2 −6x+ =5 4x⇔ 6x x≥20−6x+ =5 16x2

3 59 6

x=− +

Vậy PT(6) có nghiệm 3 59

6

x= − +

*Dạng 5.Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình có chứa ẩn cũ hoặc toàn là ẩn mới

Ví dụ 6:Giải phương trình:x+3(2 3 )− x2 2 =2(7)(T2/246)

Giải:Đặt y= −2 3x2 thay vào (7) ta cóx+3y2 =2

Vậy (7)

2 2

2 3 (8)

2 3 (9)

 = −



⇔  = −

 Trừ vế theo vế (8) và(9) ta có:

2 2

x y− = − y −x ⇔ x y− − x− y =

Với x-y=0⇔ =x y thay vào (8) ta có: 3x2 + − = ⇔ = −x 2 0 x 1vx= 23

Với 1-3x-3y=0 ⇔ =y 1 3−3 x thay vào (9) ta có: 9 2 3 5 0 1 21 1 21

x − x− = ⇔ =x − vx= +

Ví dụ 7:Giải phương trình :4 27− +x 4 5+ =x 4(10)

Giải:Đặt a= 427−x b; =4 5+x a b( ; ≥0)

Thay vào (10) ta có:a+b=4.Ta lại có:a4 +b4 =32.Từ đó ta có hệ phương trình: + =a b a4+ =b44 32

Giải hệ tìm được a b= =2(thoả mãn ĐK).Từ đó suy ra x= 11

*Dạng 6.Sử dụng các BĐT để đánh giá đưa về điều kiện xảy ra dấu “=”

Ví dụ 8:Giải phương trình x2 −2x+ = − +5 x4 2x2 +1(11)

Giải:Ta có: x2 −2x+ = −5 (x 1)2 + ≥ ⇒4 4 x2 −2x+ ≥ ∀5 2 x và − +x4 2x2+ = −1 2 (x2 −1)2 ≤ ∀2 x

Do đó (11)  − =x x2− =1 01 0⇔ =x 1 Vậy phương trình có nghiệm x = 1

*Dạng 7.Sử dụng tính chất ∀ − ≤ ≤ ⇒ ∃ ∈x: 1 x 1 α [0,2π]sao cho sinα = x ,để đưa về phương trình lượng giác

Ví dụ 9:Giải phương trình: 4 x− 2006 + 4 2007 − =x 1

Giải:

ĐK:2006 £x£ 2007 Þ 0 £ 4x- 2006 £ 1 0 và £ 4 2007 - x£ 1

Ví dụ 10:

Giải phương trình : x+ - 3 x- 1 = 2 2 - x(1)

Giải:

ĐK:

3 0

x

x

ìï + ³

ïï

ïï - ³ Û £ £

íï

ïï - ³

ïïỵ

Khi đó (1) Û x+ = 3 x- 1 2 2 + - xÛ x+ = - 3 x 1 4 + x- 1 2 - x+ - 8 4x

2

3

2

So sánh với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: 1, 3

2

x= x=

Ví dụ 11:

Giải phương trình : x+ x+ = 2 2x- 2

Giải:

Ta có:

2

2 4( 1) (1) (1)

1

x

-ïï

Û íï ³

ïïỵ

Đặt t= x+ 2 Þ x=t -2 (t 2 ³ 3)

Khi đó :(1) Û t2 + -t 2 = 4(t2 - 3) 2 Û 4t4 - 25t2 - +t 38 = Û 0 (t- 2)(4t3 + 8t2 - 9t- 19) = 0(2)

Với t ³ 3 ta co ù 4t3 + 8t2 - 9t- 19 =t t(4 2 - 9) 8 + t2 - 19 0 >

Do đó (2) Û -t 2 = Û 0 t= 2 (thỏa)

Với t = 2 Þ x= 2.Vậy phương trình có một nghiệm x =2

Một số ví dụ về bất phương trình vô tỉ

Ví dụ 1: (ĐH KA-2004)

Giải bất phương trình : 2( 2 16) 3 7

x

-+ - >

-Giải:

Đk:x ³ 4 ,khi đó BPT đã cho tương đương với bpt 2(x2 - 16) > 10 2 - x

+Nếu x >5 thì bpt thỏa mãn vì Vt dương ,vp âm

+Nếu 4 £x£ 5thì bpt 2(x2 - 16) 10 2 > - xÛ 2(x2 - 16) (10 2 ) > - x2 Û x2 - 20x+ 66 0 < Û 10 - 34 < <x 10 + 34

Þ - < £ Vậy nghiệm của bpt là: x >10 - 34

Chú ý:

2

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )

( ) 0 ( ) ( )

f x

g x

f x g x

g x

f x g x

éì ïïêï ³ íêï <

êïïỵê

> Û êìêíïêïï ³

ïê >

ïêïỵë

Ví dụ:2 (ĐH Khối A-2005)

Giải bất phương trình : 5x- 1 - x- 1 > 2x- 4

Giải:

ĐK:x ³ 2khi đó ta có:

5x- 1 - x- 1 > 2x- 4 Û 5x- 1 > x- 1 + 2x- 4 Û 5x- 1 > -x 1 2 + x- 1 2x- 4 2 + x- 4 Û x+ > 2 (x- 1)(2x- 4)

(x 2) (x 1)(2x 4) x 10x 0 0 x 10

Û + > - - Û - < Û < < Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bpt là:2 £x< 10

Ví dụ 3: (ĐH khối D-2002)

Giải bất phương trình :(x2- 3 ) 2x x2- 3x- 2³ 0

Giải:

Ta có:

2 2

2

0 v x 3

1 v x>2 1

2 1

x=-2

x

x

éì £ï ³

é ìïïêï - ³ êïê ïïí

v x=2

Chú ý:

( ) 0 ( ) ( ) 0

( ) 0 ( ) 0

( ) 0

g x

f x g x

f x

g x

g x

ê

ïêïỵë Bài tập rèn luyện:

Bài 1: (ĐH khối B-2006)

Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x2 +mx+ = 2 2x+ 1

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1) 2x- 1 +x2 - 3x+ = 1 0(KD2006) 2)3x+ 34 - 3x- 3 = 1(Bộ đề 12);3) 3 2x- 1 =x3 16 - 3 2x+ 1(Bộ đề 48)

4) (4x- 1) x2 + = 1 2x2 + 2x+ 1(Bộ đề 78);5) x3 + (1 - x2 3 ) =x 2(1 - x2 )(Bộ đề 108);6) 3x- 1 + 3x- 2 = 3 2x- 3

x

2

x

10)(x+ 1) x2 - 5 = +x 5;11) x3 35 - x x3 ( + 3 35 - x3 ) = 30;12) x3 + = 1 2 2 3 x- 1;13) 4 57 - x+ 4x+ 40 = 5

14) 3x- 2 + 3x+ = 3 3 2x+ 1;15) 3x+ - 1 3x- 1 = 6x2 - 1;16) x+ - 3 4 x- 1 + x+ - 8 6 x- 1 = 1

17) x+ - 2 3x+ = 1 1;18) x- 2 + 4 - x=x2 - 6x+ 11;19) 3x2 - 7x+ - 3 x2 - 2 = 3x2 - 5x- 1 - x2 - 3x+ 4

20) 3x2 + 6x+ + 7 5x2 + 10x+ 14 = - 4 2x x- 2

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

1) x+ 31 ³ 2x- 8 + 7 - x(CĐCNII-2005) ;2) 1 2

x- + - - ³ - ;3) x2 - 1(x+ ³ 1) 0 4)(x2 - 5x+ 6) x2 - 5 £ 0;5) 2 x- 1 - x+ > - 2 x 2;6) x+ ³ 3 2x- 8 + 7 - x;7) 2 x 4x 3 2

x

x

x

- - > ;10) x- 3 + 5 - x³ x2 - 8x+ 18

Các bạn hồn tồn cĩ thể nhẩm nghiệm trước khi giải,việc này rất cĩ ý nghĩa , vì nĩ giúp cho các bạn định hướng được lời giải của mình ,ví dụ khi nhẩm nghiệm bạn cĩ thể đưa pt về phương trình tích bằng cách nhân lượng liên hợp (chú ý khi nhân thì biểu thức nhân vào phải khác 0)

Tôi muốn được chia sẽ với tất cả các bạn yêu thích toán cùng với quí thầy cô vì mục tiêu để được học hỏi từ quí vị nhiều hơn.Rất mong sự ủng hộ của quí vị