Chứng minh rằng a>2.. Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài vectơ ur uuur=MA+ uuurMB+ uuuurMC , trong đó M là điểm thay đổi trên đường thẳng BC.. Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm
Trang 1TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 2
NĂM HỌC: 2020 - 2021
Môn thi: TOÁN - Lớp 10 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang - gồm 10 câu
Câu 1 Tìm tập xác địnhcủa hàm số
y
x x
−
+
Câu 2 Cho phương trình
x +ax+ +a x +ax+ + =
với a là tham số
a. Giải phương trình với a= −2
b. Khi phương trình
( )1
có nghiệm thực duy nhất Chứng minh rằng a>2
Câu 3 Cho hàm số
( ) 2
y= f x =ax +bx c+
có đồ thị như hình vẽ bên
Tìm các giá trị nguyên của tham số m
để phương trình ( ) ( ) ( )
f x + m− f x + − =m
có 6 nghiệm phân biệt
Câu 4 Giải phương trình
2
3 3x− +2 6 x− +1 7x− +10 4 3x −5x+ =2 0
Câu 5 Giải bất phương trình
x− − ≥ x− − x+
Câu 6 Giải hệ phương trình:
2
Câu 7 Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2AD
, BC = a
Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài vectơ
ur uuur=MA+ uuurMB+ uuuurMC
, trong đó M là điểm thay đổi trên đường thẳng BC
Câu 8 Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài cạnh AB biết cạnh
AC =a
, và góc giữa hai véc tơ GBuuur
và
uuur
GC
là nhỏ nhất
Số báo danh
………
Trang 2Câu 9 Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ADC Chứng minh rằng OE⊥CD
Câu 10 Với x∈( )0;1
, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
P
− + −
−
-Hết -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU
Có 06 trang
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN 2 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN 10
1
Tìm tập xác địnhcủa hàm số
y
x x
−
Hàm số xác định khi và chỉ khi
0
x x
− − ≥ +
Hoặc
0
5 0
x x x
−
+
+ ≠
0,5
(5 ) (5 ) 0
0,5
5 x 5
Vậy tập xác định của hàm số là
( 5;5]
D= −
2
Cho phương trình
x +ax+ +a x +ax+ + =
với a là tham số
a, Giải phương trình với a= −2
b, Khi phương trình
( )1
có nghiệm thực duy nhất Chứng minh rằng a>2
2,0
a, với a= −2
phương trình
( )1 thành
2
0,5
Trang 3( )2
1 1 0 2
x
x
x
=
b, Xét phương trình ( 2 )2 ( 2 ) ( )
x +ax+ +a x +ax+ + =
Đặt
2 1,
t=x + +ax
khi đó
( )
x + + − =ax t
và phương trình đã cho trở thành:
( )
t + + =at
Phương trình
( )1
có nghiệm khi a và t thỏa mãn:
2 4 0
và
2 4 4 0
a − + ≥t
a − ≥ ⇔ ≤ −a
hay a≥2
0,5
Nếu a≤ −2
thì
( )3
có nghiệm
0,
t>
khi đó
2 4 4 0,
a − + >t
suy ra
( )2
có hai nghiệm
phân biệt, mâu thuẫn với giả thiết
( )1
có nghiệm duy nhất
Nếu a=2
thì phương trình
( )3
có nghiệm
1,
t= − khi đó điều kiện
2 4 4 0
a − + ≥t
không được thỏa mãn
Vậy a>2
0,5
3
2,0
Ta có:
3
f x
= −
0,5
Từ đồ thị hàm số y= f x( )
ta suy ra đồ thị hàm số y= f x( )
như sau:
0,5
+ Phương trình
( ) 1
f x = −
Để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình
( ) 3
f x = −m
phải có
4 nghiệm phân biệt
0,25
Trang 41 3 m 3 0 m 4
⇔ − < − < ⇔ < <
Kết hợp m là số nguyên nên m∈{1;2;3}
4
Giải phương trình:
2
3 3x− +2 6 x− +1 7x− +10 4 3x − + =5x 2 0 2,0
ĐKXĐ: x≥1
Ta có:
2
3 3x− +2 6 x− +1 7x− +10 4 3x − + =5x 2 0
0,5
3 2 2 1 1
3 2 2 1 4 ( )
⇔
( )
( )
x
x x
x x
x
−
− +
⇔ − + ÷÷=
− +
0,5
Vì
3 2 1
x
x x
− + > ∀ ≥
− +
nên
( )1 ⇔ x− = ⇔ =1 0 x 1
(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1
0,5
5
Giải bất phương trình
Điều kiện xác định:
5 2
x³
Bất phương trình tương đương:
x- + x+ ³ x- +
0,5
2x 1 2 (x 2)(x 1) 2x 1 4 2x 5
2 9 18 0
6 3
x x
é ³ ê Û
ê £
2 9 18 0
6 3
x x
é ³ ê Û
ê £ ë
Vậy nghiệm của bất phương trình là
6
x³ hoặc
5
3
2£ £x
0,5
Trang 5Giải hệ phương trình:
2
Hệ đã cho
2
2
⇔
2
2
⇔
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của hệ nên từ PT (*) đặt:
y t x
=
ta được PT:
0,25
1
2
t
t
=
=
Khi t = 1 ta có:
2
x y
Khi
1 2
t =
ta có:
1
2
2
0,5
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm
(x y; )
là
7
Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2AD
, BC=a
Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài
vectơ ur uuur=MA+2MBuuur+3MCuuuur
, trong đó M là điểm thay đổi trên đường thẳng BC
2,0
0
AC ∩ BD =
(trung điểm của
,
AC BD
)
0,5
Trang 6( )
u MAr uuur= + MBuuur+ MCuuuur= MA MCuuur uuuur+ + MBuuur+ MCuuuur
2MD 2MB 2MC 6MP
= uuuur+ uuur+ uuuur= uuur
(với P là trọng tâm ∆OBC
min min 6
ur ⇔ MP ⇔PM ⊥BC
Vì ∆OBC
cân tại O, nên P thuộc trung tuyến OH và
1
3
ur = PH = OH = Oh= a
(Khi M ≡H
)
0,5
8
Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài cạnh AB
biết cạnh AC =a
, và góc giữa hai véc tơ GBuuur
và
uuur
GC
là nhỏ nhất
2,0
Gọi
,
K D
lần lượt là trung điểm
,
AB AC
Gọi α
là góc giữa hai véc tơ GBuuur
và
uuur
GC
Ta có: cosα =cos(GB GCuuur uuur, ) =cos(uuur uuurDB KC, )
0,5
4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
BA BC CA CB
DB KC BD CK
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
( Do BA ⊥CA
)
0,5
2
BD CK ≤BD +CK = uuur uuurBA BC+ + CA CBuuur uuur+
1
4AB AC BC BA BC CA CB
= + + + uuur uuur+ uuur uuur
1
4AB AC BC BA CA
(Theo công thức hình chiếu véc tơ) 2
5
4BC
=
0,5
Trang 7Suy ra
4 5
cosα ≤ −
Dấu bằng xảy ra khi BD CK= ⇔ AB= AC =a
Ta có góc α
nhỏ nhất khi cosα
lớn nhất bằng
4 5
− Khi đó AB a=
0,5
9
Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D là trung điểm của
AB
, E là trọng tâm tam giác ADC Chứng minh rằng OE⊥CD 2,0
Ta có:
2
CDuuur= CA CBuuur uuur+ = OA OBuuur uuur+ − OCuuur
Do đó:
1
12
CD OEuuur uuur= OA OBuuur uuur+ − OCuuur OA OBuuur uuur+ + OCuuur
12CD OE 3OA OB 4OC 4OA OB 4OA OC
⇔ uuur uuur= + − + uuuruuur− uuuruuur
0,5
12CD OE 4.OA OB OC 4.OA CB 0
⇔ uuur uuur= uuur uuur uuur− = uuuruuur=
(Vì ∆ABC
cân tại A có O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên OA BC⊥
)
0,5
Do đó CD OEuuur uuur. = ⇔0 CD OE⊥
10
Với
( )0;1
x∈
, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
P
− + −
−
2,0
Đặt
1 , 0 1
t = −x < <t
ta được
( )
5 1 5
5
t
P
−
Áp dụng BĐT Cô si, ta có
( )
5 1
5 2 5 5 1
t t
P
−
−
0,5
Trang 8Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
5 5 4
t = −
0,5
Vậy
( ) 0;1 2 5 5
MinP = +
khi
7 5 5 8
x= − +
0,5