PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ ĐỘ TIN CẬY THEO THỜI GIAN CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG PHÁT SINH HÀM MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT PSD

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA LÊ TẤN THANH BÌNH PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ ĐỘ TIN CẬY THEO THỜI GIAN CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG PHÁT SINH HÀM MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT PSD LUẬN VĂN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

LÊ TẤN THANH BÌNH

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN

VÀ ĐỘ TIN CẬY THEO THỜI GIAN CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG

PHÁT SINH HÀM MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT PSD

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

Đà Nẵng, năm 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

LÊ TẤN THANH BÌNH

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN

VÀ ĐỘ TIN CẬY THEO THỜI GIAN CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG

PHÁT SINH HÀM MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT PSD

Chuyên ngành : Kỹ thuật Xây dựng công trình DD&CN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Lê Tấn Thanh Bình

PHÁT SINH HÀM MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT

Học viên: Lê Tấn Thanh Bình Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng công trình Dân dụng và Công nghiệp

Mã số: 60.58.02.08 Khóa: K32 Trường Đại học Bách khoa – ĐHĐN

Tóm tắt - Nghiên cứu đánh giá độ tin cậy của kết cấu khi kể đến các yếu tố ngẫu

nhiên như vật liệu làm kết cấu, tải trọng tác dụng… là một trong những nhiệm vụ

được quan tâm trong các nghiên cứu hiện nay Tuy nhiên, các nghiên cứu hiện nay

ở Việt Nam chỉ tập trung đánh giá độ tin cậy tổng thể, chưa đánh giá theo thời

gian tác động của tải trọng Thực tế, các hàm tải trọng và độ bền của kết cấu chịu

tác động của rất nhiều yếu tố khác nhau và biến đổi theo quy luật ngẫu nhiên Vì

vậy, việc ứng dụng quá trình ngẫu nhiên trong cơ học được xem xét, áp dụng

trong việc tạo tải trọng ngẫu nhiên và phân tích dao động ngẫu nhiên của kết cấu

Trong phạm vi luận văn này, các hệ kết cấu được mô hình hóa bởi hệ một bậc tự

do tuyến tính và phi tuyến và hệ nhiều bậc tự do chịu tác động của tải trọng động

ngẫu nhiên được tạo ra bởi phương pháp hàm mật độ phổ công suất Từ đó, tiến

hành tích đáp ứng kết cấu và độ tin cậy theo thời gian tác động của tải trọng gió

bằng phương pháp mô phỏng Monte Carlo (MCS) và phương pháp tiến hóa hàm

mật độ xác suất (PDEM) và so sánh kết quả tính toán

Từ khóa – độ tin cậy; dao động ngẫu nhiên; tải trọng động ngẫu nhiên;

phương pháp mô phỏng Monte Carlo; phương pháp tiến hóa hàm mật độ xác

suất

TIME-DEPENDENT RANDOM VIBRATION AND RELIABILITY

ANALYSIS OF STRUCTURES SUBJECTED TO SEISMIC LOAD

GENERATED BY THE POWER SPECTRAL DENSITY FUNCTION

Abstract – The study on the reliability of structures when considering several

random factors such as structural materials, applied load is one of the main

concerns in the present study However, the current research in Vietnam only

focuses on the overall reliability, and not consider the impact of the

time-dependent loading In actual, the loading function and structural strength are

influenced by many different factors and vary according to the random regulation

Therefore, the application of random process in mechanics need to be considered

and applied in random load generation and random vibration analysis of the

structure In this thesis, structural systems are modeled by a linear and nonlinear

single-degree of freedom system and multi-degree of freedom system subjected to

random dynamics load generated by the Power Spectral Density Function Based

on this, the response and time-dependent reliability of structures subjected to wind

load are evaluated by using the Monte Carlo simulation method (MCS) and

probability density evolution method (PDEM) and comparing the results of

calculations

Key words – reliability; random vibration; random dynamics load; Monte Carlo

simulation method; probability density evolution method

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Bố cục đề tài 2

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỚI THAM SỐ ĐẦU VÀO NGẪU NHIÊN 3

1.1 SƠ LƯỢC VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC

SUẤT 3

1.1.1 Biến ngẫu nhiên 3

1.1.2 Hàm mật độ xác suất, hàm phân bố xác suất 3

1.1.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 10

1.2 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 14

1.2.1 Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên 14

1.2.2 Các đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên 15

1.2.3 Vấn đề nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên trong miền tần số 17

1.3 ĐỊNH NGHĨA BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỚI THAM SỐ ĐẦU VÀO NGẪU NHIÊN 18

1.3.1 Nhắc lại phương trình vi phân động lực học 18

1.3.2 Những yếu tố ngẫu nhiên ảnh hưởng đến đáp ứng của kết cấu 19

1.3.3 Bài toán phân tích dao động ngẫu nhiên và độ tin cậy của kết cấu 20

1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 22

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG, ĐỘ TIN CẬY CỦA KẾT CẤU THEO THỜI

GIAN 23

2.1 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN TỪ HÀM MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT PSD 23

2.1.1 Khái niệm hàm mật độ phổ công suất 23

2.1.2 Phương pháp mô phỏng tải trọng ngẫu nhiên 25

2.2 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN CỦA KẾT CẤU 30

2.2.1 Hệ kết cấu một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss 30

2.2.2 Dao động ngẫu nhiên của hệ kết cấu nhiều bậc tự do chịu tải trọng bất

kỳ 34

2.3 PHÂN TÍCH ĐỘ TIN CẬY CỦA KẾT CẤU KHI CHỊU TẢI TRỌNG

ĐỘNG 38

2.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 41

3.1 VÍ DỤ 1 - HỆ MỘT BẬC TỰ DO CHỊU KÍCH ĐỘNG ỒN TRẮNG

GAUSS 42

3.1.1 Mô hình hệ kết cấu một bậc tự do 42

3.1.2 Mô hình tải trọng kích thích và đáp ứng của kết cấu 42

3.1.3 Dao động ngẫu nhiên của kết cấu 44

3.1.4 Phân tích độ tin cậy của kết cấu 45

3.2 VÍ DỤ 2 – NHÀ NHIỀU TẦNG CHỊU TẢI TRỌNG GIÓ 48

3.2.1 Tác động của gió lên công trình xây dựng 48

3.2.2 Mô hình tải trọng gió 49

3.2.3 Mô tả kết cấu 52

3.2.4 Kết quả phân tích 53

3.3 KẾT LUẬN CHƯƠNG 56

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)

BBN : Biến ngẫu nhiên

PTHH : Phần tử hữu hạn

CDF : Cumulative Distribution Function – Hàm phân phối tích lũy

PDF : Probability Density Function – Hàm mật độ xác suất

PMF : Probability Mass Function – Hàm khối xác suất

PSD : Power Spectral Density – Mật độ phổ công suất

PDEM : Probability Density Evolution Method – Phương pháp tiến hóa hàm mật độ

xác suất

FPK : Fokker – Planck Kolmogorov

bảng Tên bảng Trang

Số hiệu

1.2 CDF của biến ngẫu nhiên X với (a) N = 10, (b) N = 50, và (c) N

1.3 Mối quan hệ giữa PDF và CDF của một biến ngẫu nhiên 07 1.4 Minh họa hàm PDF (a) và hàm PDF có điều kiện tương ứng b) 09 1.5 Mô hình tính toán hệ nhiều bậc tự do chịu tải trọng động đất 18 1.6 Định nghĩa các biến cho một hệ khung 20 1.7 Sơ đồ liên kết của các biến cho một mô hình tải trọng và một

2.5 Phản ứng xung và đầu ra của bộ lọc được thiết kế trong ví dụ

3.1 Mô hình các kết cấu một bậc tự do: Tuyến tính (trái),

3.3 Minh họa kích ứng ngẫu nhiên và đáp ứng kết cấu 43 3.4 Kết quả chuyển vị trung bình và độ lệch chuẩn tương ứng 44 3.5 Sơ đồ khối đánh giá xác suất phá hủy theo MCS 45

3.7 Xác suất phá hủy và độ tin cậy theo thời gian 48 3.8 Sự hình thành cơn xoáy tác dụng vào kết cấu 48 3.9 Định nghĩa tải trọng gió và hướng gió 49 3.10 Minh họa vận tốc gió và cường độ rối 50

3.15 Mật độ xác suất chuyển vị đỉnh ở các thời điểm khác nhau 54 3.16 Kết quả phân tích độ tin cậy của kết cấu theo thời gian ứng với

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Hiện nay ở nước ta, trong tính toán kết cấu công trình thường sử dụng hỗn hợp các phương pháp: phương pháp ứng suất cho phép, phương pháp hệ số an toàn và phương pháp trạng thái giới hạn cùng với mô hình thiết kế truyền thống Theo mô hình thiết kế này tải trọng và độ bền tính toán được mặc định theo các tiêu chuẩn thiết kế hiện hành trong suốt thời gian khai thác của công trình Nhưng thực tế các hàm tải trọng và độ bền chịu tác động của rất nhiều yếu tố khác nhau và biến đổi theo quy luật ngẫu nhiên Vì vậy quan niệm về quan hệ giữa tải trọng và sức chịu tải của công trình trong quá trình làm việc của mô hình thiết kế truyền thống ngày càng trở nên lạc hậu

Xu hướng tiến bộ hiện nay là thiết kế công trình theo lý thuyết ngẫu nhiên và phân tích độ tin cậy Thật vậy, chúng giữ vai trò rất quan trọng do tính liên ngành và khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, công nghệ, kinh doanh và quản lý hiện đại Các kết cấu công trình xây dựng (nhà xưởng, cầu cống, cảng biển ), trong quá trình sử dụng bình thường, sẽ chịu tác động ngẫu nhiên của các tải trọng động (ví dụ như gió bão, động đất…) Bên cạnh đó, chúng ta cần phải kể đến đồng thời các yếu tố ngẫu nhiên của vật liệu làm kết cấu, của kích thước và của tải trọng tác dụng Điều này dẫn đến ứng xử đầu ra của kết cấu cũng dao động ngẫu nhiên, và sẽ có một số trường hợp ứng xử đầu ra vượt quá giới hạn cho phép (ngưỡng thiệt hại) được định trước như: chuyển vị vượt quá chuyển vị cho phép, ứng suất vượt quá ứng suất cho phép, v.v Xác suất các trường hợp ứng xử đầu ra vượt quá giới hạn cho phép được gọi là xác suất không an toàn của kết cấu hay xác suất phá hủy kết cấu Khi đó, việc xác định xác suất phá hủy của kết cấu khi có sự dao động ngẫu nhiên của các yếu tố đầu vào được gọi là bài toán phân tích độ tin cậy cho kết cấu

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mô phỏng tải trọng ngẫu nhiên từ hàm mật độ phổ công suất và phân tích dao động ngẫu nhiên và độ tin cậy theo thời gian của kết cấu chịu tải trọng động

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Kết cấu chịu tải trọng động ngẫu nhiên phát sinh hàm mật độ phổ công suất PSD

- Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên và độ tin cậy của kết cấu chịu tải trọng động

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp lý thuyết:

+ Phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên của kết cấu: Dao động ngẫu nhiên của kết cấu chịu kích động ồn trắng Gauss và chịu tải trọng động (gió, động đất) + Các phương pháp phân tích độ tin cậy: Phương pháp mô phỏng Monte-Carlo

và phương pháp tiến hóa hàm mật độ xác suất

- Phương pháp số: Xây dựng các chương trình trong phần mềm Matlab

5 Bố cục đề tài

Mở đầu

1) Tính cấp thiết của đề tài

2) Mục tiêu nghiên cứu

3) Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4) Phương pháp nghiên cứu

Chương 1: Tổng quan về bài toán phân tích kết cấu với tham số đầu vào ngẫu nhiên

1.1 Sơ lược về biến ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác suất

1.2 Quá trình ngẫu nhiên

1.3 Định nghĩa bài toán phân tích kết cấu với tham số đầu vào ngẫu nhiên

2.2 Phân tích dao động ngẫu nhiên của kết cấu

2.3 Phân tích độ tin cậy của kết cấu khi chịu tải trọng động

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỚI THAM SỐ

ĐẦU VÀO NGẪU NHIÊN

1.1 Sơ lược về biến ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác suất

1.1.1 Biến ngẫu nhiên

Đi ̣nh nghĩa 1.1: Mô ̣t biến ngẫu nhiên (BNN) là một hàm giá trị thực của các

phần tử của một không gian mẫu S Cho một phép thử E với không gian mẫu S, biến ngẫu nhiên X ánh xạ mỗi kết quả có khả năng xảy ra ξ ∈ S, với một số thực duy nhất X(ξ) Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị hữu hạn hoặc vô hạn đếm được thì X được gọi là BNN rời rạc Ngược lại, nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị là hợp một

số khoảng trên trục số thì X được gọi là BNN liên tục

1.1.2 Hàm mật độ xác suất, hàm phân bố xác suất

a) Hàm khối xác suất (Probability Mass Function - PMF)

Đi ̣nh nghĩa 1.2: Hàm khối xác suất PX(x), của một biến ngẫu nhiên rời rạc X là một hàm phân phối xác suất cho mỗi giá trị có thể của biến ngẫu nhiên X Xác suất mà biến ngẫu nhiên X nhâ ̣n giá trị xác định x là giá trị của hàm khối xác suất cho x Đó là,

PX(x) = P(X = x)

Hàm khối xác suất liên hệ với một biến ngẫu nhiên X phải tuân theo các thuộc tính nhất định Thứ nhất, vì PX(x) là xác suất, nó phải là không âm và không lớn hơn 1

Thứ hai, nếu tổng các PX(x) trên tất cả miền của x, thì điều này cũng giống như tổng

các xác suất của tất cả các kết quả trong không gian mẫu, phải bằng 1 Xét về mă ̣t toán học, chúng ta có thể kết luận rằng:

tập {0, 1/N, 2/N, , (N − 1)/N} với xác suất bằng nhau Tức là, hàm khối xác suất của

X là:

1, ,2,1,0,

N N

k

Đây là loại biến ngẫu nhiên được ta ̣o thành bởi các bộ tạo số "ngẫu nhiên" trong các ngôn ngữ bậc cao, chẳng hạn như Fortran và C, và trong các gói toán học như MATLAB, MathCAD và Mathematica Trong những trường hợp này, N được lấy phải

một số khá lớn để xuất hiện số ngẫu nhiên có thể là bất cứ số nào trong phạm vi liên

tục [0,1] Xét trường hợp hữu ha ̣n là N → ∞ để biến ngẫu nhiên thực sự ở bất cứ điểm

nào trong khoảng [0,1] Kết quả của phép lấy giới ha ̣n lúc này là:

1

k P

      

Khi đó, xảy ra việc mỗi điểm có xác suất bằng 0 Tuy nhiên, điều gì đó đã xảy ra

không thật sự đúng Vấn đề này là phổ biến đối với các biến ngẫu nhiên liên tục và rõ

ràng là hàm xác suất khối không phải là cách biểu diễn thích hợp cho một biến ngẫu

nhiên như vậy

b) Hàm phân phối tích lũy (Cumulative Distribution Function – CDF)

Một biến ngẫu nhiên liên tục thường có một xác suất bằng 0 khi lấy một giá trị cụ

thể, chúng ta tránh đề câ ̣p đến các xác suất như vậy Thay vào đó, các biến cố có dạng

Từ định nghĩa này, có thể suy ra một số tính chất của các hàm phân phối tích lũy

được tóm tắt như sau:

    1 FX    0 , FX    1 (1.5a)  2 0F X x  1 (1.5b)  3 Víi x1x2, F x x 1 F X  x2 (1.5c)  4 Víix1x2, Px1 X x2F X  x2 F X  x1 (1.5d)

Để minh họa cu ̣ thể hơn về tính chất của CDF, hãy quay trở lại máy phát số ngẫu

nhiên máy tính tạo ra các giá trị N có thể có từ tâ ̣p {0, 1/N, 2/N, , (N − 1)/N với xác

suất bằng nhau CDF cho biến ngẫu nhiên cụ thể này có thể được mô tả như sau Thứ

nhất, FX(x) = 0 vớ i mo ̣i x <0, vì biến ngẫu nhiên không thể lấy giá trị âm Tương tự,

FX(x) = 1 vớ i mo ̣i x ≥ (N-1)/N vì biến ngẫu nhiên không thể lớn hơn (N-1)/N Tiếp

theo, xét một giá trị x trong khoảng 0≤x<1/N Trong trường hợp này, P(X ≤ x) = P(X = 0) vì giá trị duy nhất trong dãy đã xác định mà biến ngẫu nhiên này

có thể nhận được là X = 0 Do đó, FX(x) = P(X = 0) = 1/N cho 0 ≤ x <1/N Tương tự,

Hình 1.1 CDF của biến ngẫu nhiên X

Trong Hình 1.2(a) và 1.2(b), CDF được đưa ra vớ i các giá trị cụ thể N = 10 và

N = 50 Ta cần thấy rõ rằng những đồ thi ̣ này nằm trong giới hạn khi N tiến đến vô

hạn, kết quả CDF trong Hình 1.2(c) Hàm số của CDF này là:

1 0

0 0

x

x x

x x

Trong trường hợp hữu ha ̣n này, biến ngẫu nhiên X là một biến ngẫu nhiên liên tục và lấy các giá trị trong dãy [0,1] với xác suất bằng nhau hay được gọi là một biến ngẫu nhiên phân bố đều

Hình 1.2 CDF của biến ngẫu nhiên X vơ ́ i (a) N = 10, (b) N = 50, và (c) N → ∞

Đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc, CDF có thể được viết dưới dạng hàm khối xác suất Xem xét một biến ngẫu nhiên tổng quát X, có thể lấy các giá trị từ tập rời rạc {x1, x2, x3, } CDF cho biến ngẫu nhiên này là:

c) Ha ̀ m mật độ xác suất (Probability Density Function- PDF)

Mặc dù CDF được giới thiệu ở trên là một công cụ toán học để mô tả một biến ngẫu nhiên về mặt thống kê, tuy nhiên la ̣i khá rườm rà để làm việc với nhiều CDF Ví

dụ, trong mục này chúng ta sẽ thấy biến ngẫu nhiên quan trọng nhất và thường được

sử dụng nhiều nhất, biến ngẫu nhiên Gauss, có hàm CDF không thể biểu diễn dưới dạng đóng Hơn nữa, thông thường sẽ khó để suy ra các tính chất khác nhau của một biến ngẫu nhiên từ CDF của nó Để giải quyết những vấn đề này, hàm mật độ xác suất (PDF) thường được sử dụng để thay thế và thuận tiện hơn

Định nghĩa 1.4: Hàm mật độ xác suất (PDF) của biến ngẫu nhiên X được xác

đi ̣nh ở điểm x:

0

Plim

F x

Do đó, người ta thấy rằng PDF của một biến ngẫu nhiên là đa ̣o hàm của CDF của

nó Ngược lại, CDF của một biến ngẫu nhiên có thể được biểu diễn như là tích phân

củ a PDF của nó Đă ̣c điểm này được minh họa trong Hình 1.3

Hình 1.3 Mối quan hệ giữa PDF và CDF của một biến ngẫu nhiên

Từ định nghĩa của PDF trong công thức (1.9), rõ ràng rằng PDF là một hàm số

không âm, mặc dù nó không bị hạn chế là nhỏ hơn 1 giống như CDF Từ các tính chất

của CDF, chúng ta cũng có thể suy luận một số tính chất quan trọng của PDF Một số







 (1.12d)  5   P 

b X a

 (1.12e)

d) Phân phô ́i xác suất có điều kiê ̣n và hàm mật độ xác suất có điều kiện

Tương tự như khái niệm xác suất có điều kiện của biến cố, ta có thể dễ dàng nói

về phân phối hay hàm mâ ̣t đô ̣ của biến ngẫu nhiên có điều kiê ̣n của một vài biến cố A

Giống như nghiên cứu ban đầu về các loa ̣i biến ngẫu nhiên trong phần đầu chương

này, chúng ta sẽ thuâ ̣n tiê ̣n hơn khi bắt đầu với khái niê ̣m về CDF có điều kiê ̣n

d1) Hàm CDF có điều kiện

Định nghi ̃a 1.5: Hàm phân phối tích luỹ có điều kiện của một biến ngẫu nhiên X

vớ i điều kiện sự kiện A đã xảy ra là:

Định nghĩa này yêu cầu phải biết trước rằng xác suất của biến cố A phải khác 0

Các tính chất của CDF được liệt kê trong các công thức (1.5a - 1.5d) cũng áp

dụng cho CDF có điều kiện, dẫn đến các tính chất sau đây của CDF có điều kiện:

 1 F X A|   0,F X A|    1 (1.14a)

  2 0  FXA  x  1 (1.14b)

 3 Víi x1x2: F X A|  x1 F X A|  x2 (1.14c)

 4 Víi x1x2: Px1X x A2 F X A|  x2 F X A|  x1 (1.14d) Giả sử rằng đối với một số biến ngẫu nhiên X, biến cố có điều kiện có dạng

CDF có điều kiện là 0 Đối với x > b sự kiện a < X ≤ b là một tập hợp con

của {X ≤ x} và vì vậy P(X ≤ x, a < X ≤ b) = P(a < X ≤ b) sao cho CDF có điều

kiện là 1 Khi a<x ≤ b, thì {X ≤ x} ∩ {a <X ≤ b} = a <X ≤ x và P(X ≤ x, a <X ≤ b) = P(a <X ≤ x) Điều này có thể được viết dưới dạng CDF (không

điều kiện) của X là P(a <X ≤ x) = FX(x) - FX(a) Tương tự, P(a <X ≤ b) = FX(b) - FX(a)

b x a a F b F

a F x F

a x x

F

X X

X X

b X a X

1

0

| (1.16)

Cũng như các biến ngẫu nhiên thông thường, thường thuận tiện hơn khi làm việc

với PDF có điều kiện thay vì một CDF có điều kiện Định nghĩa của PDF có điều kiện

là một mở rộng đơn giản của các định nghĩa trước đây cho một PDF

d2) Hàm PDF có điều kiện

Định nghĩa 1.6: Hàm mật độ xác suất có điều kiện của một biến ngẫu nhiên X có

điều kiện trên một số sự kiện A là:

Cũng giống như CDF có điều kiện, không khó để chứng minh rằng tất cả các đă ̣c

điểm của các PDF thông thường đều áp dụng cho các PDF có điều kiện Cu ̣ thể,

Hơn nữa, kết quả trong phương trình (1.16) có thể được mở rộng đến PDF có

điều kiện bằng cách áp dụng phương trình (1.18b) Điều này dẫn đến công thức chung

sau cho PDF có điều kiện của một biến ngẫu nhiên X khi sự kiện điều kiện A = {a ≤ X <b}:

Hình 1.4 Minh họa hàm PDF (a) và hàm PDF có điều kiện tương ứng b)

Tóm lại, PDF có điều kiện có cùng dạng hàm (nhưng được thu nhỏ bởi xác suất

của sự kiện điều kiện) trong phạm vi của x mà điều kiện được thỏa mãn và PDF có

điều kiện bằng 0 ta ̣i bất kỳ nơi nào điều kiện không thõa mãn Kết quả này được minh

họa trong Hình 1.4

Nói chung, xem xét một tập hợp các biến cố đô ̣c lâ ̣p và loa ̣i trừ lẫn nhau A1,

A2, , AN Giả sử chúng ta có thể tiếp cận các CDF có điều kiện FX|An(x), trong đó

n = 1, 2, , N và muốn tìm CDF không có điều kiện FX(x) Theo định lý của tổng xác

Do đó, CDF của X (không điều kiện) có thể được tìm được bằng cách xây dựng

một tổng trọng số của CDF có điều kiện với các trọng số được xác định bởi xác suất

mà mỗi biến cố điều kiện là đúng sự thật Bằng cách lấy các đa ̣o hàm của cả hai vế của

phương trình trước, kết quả tương tự cũng thu được đối với các hàm PDF có điều kiện,

Ta cũng có thể quan tâm đến việc tìm mọi thứ theo chiều ngược lại Đó là, giả sử chúng ta quan sát thấy rằng biến ngẫu nhiên đã lấy giá trị của X = x Liệu xác suất của biến cố An có thay đổi không? Để trả lời điều này, chúng ta cần tính P(An|X = x) Nếu

X là một biến ngẫu nhiên rời rạc, ta có:

1.1.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

a) Ky ̀ vọng của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.7: Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên X có PDF, f X (x), là

 X xf  x dx

Các thuật ngữ số trung bình, trung bình mẫu, kỳ vọng và mô men bậc 1 là tất cả các tên khác cho khái niệm giá trị kỳ vọng Hơn nữa, dấu gạch ngang trên đầu ký tự thường được sử dụng để biểu thị giá trị dự kiến để biểu tượng X được hiểu là có nghĩa giống như E[X] Một ký hiệu thông dụng khác là μX=E[X]

Đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc, PDF có thể được viết bằng hàm xác suất khối,

        

k

k k

k P x x X

Do đó, giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc chỉ đơn giản là một giá trị trung bình của các giá trị mà biến ngẫu nhiên có thể đạt được, được tính trọng số bởi hàm khối xác suất của mỗi giá trị

b) Ky ̀ vọng của hàm biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.8: Với một biến ngẫu nhiên X với PDF fX(x), giá trị kỳ vọng của một hàm g(X) của biến ngẫu nhiên đó được cho bởi:

x g X

k

g E

1 1

Nói cách khác, kỳ vọng là một phép tính tuyến tính và toán tử kỳ vọng (expectation operator) có thể được trao đổi (theo thứ tự) với bất kỳ phép toán tuyến tính nào khác

Chứng minh: Cách chứng minh trực tiếp nhờ vào tính chất tuyến tính của toán

c) Các mô men và phương sai của biến ngẫu nhiên

c1) Định nghĩa mô men của biến ngẫu nhiên

Định nghi ̃a 1.9: Mô men bậc n của một biến ngẫu nhiên X được xác định là:

n k n

x P x X

Mô men không đơn giản là vùng dưới PDF và do đó phải bằng 1 đối với bất kỳ biến ngẫu nhiên nào Những mô men được sử dụng phổ biến nhất là những mô men bậc một và bậc hai Mô men bậc một là những gì chúng ta đã đề cập ở phần trên, như

là giá tri ̣ trung bình, trong khi mô men bậc hai là bình phương giá tri ̣ trung bình Đối với một số biến ngẫu nhiên, mômên bậc hai có ý nghĩa quan tro ̣ng hơn mô men bậc một

c2) Mô men trung tâm và phương sai của biến ngẫu nhiên

Xét một biến ngẫu nhiên Y có thể được biểu diễn bằng tổng Y = a + X của một phần xác định (tức là không ngẫu nhiên) là a và một phần ngẫu nhiên X Hơn nữa, giả

sử phần ngẫu nhiên có xu hướng rất nhỏ so với phần xác đi ̣nh Nghĩa là, biến ngẫu nhiên Y có khuynh hướng biến đổi nhỏ về một giá trị không đổi a Như vậy có thể là trường hợp này có một tín hiệu cố định bị hỏng do nhiễu Trong trường hợp này, ta có

thể viết Yn = (a + X)n ≈ an Trong trường hợp này, mô men bậc n của Y sẽ bị chi

phối bởi phần cố định Tức là, khó xác định tính ngẫu nhiên trong Y bằng cách nhìn vào những mô men Để khắc phục điều này, ta có thể sử dụng khái niệm những phân phối chuẩn

Định nghi ̃a 1.10: Mô men trung tâm bậc n của một biến ngẫu nhiên X được xác

X

Với phân phối chuẩn, giá tri ̣ trung bình được trừ khỏi biến trước khi tính mô men

để loại bỏ sự chênh lê ̣ch giữa những mô men cao hơn giá tri ̣ trung bình Giống như những mô men thông thường, mô men trung tâm bậc 0 là E[(X - μX)0] = E[1] = 1 Ngoài ra, mô men trung tâm bậc 1 là E[(X − µX )0]= E[1]= 1.Vì vậy, mô men trung tâm bậc thấp nhất thực sự có ý nghĩa là mô men bậc 2 Phân phối chuẩn này có tên đặc biệt là phương sai và chúng ta thường sử dụng ký hiệu σ2

X để biểu diễn biến thiên của biến ngẫu nhiên X

Một đa ̣i lượng phổ biến khác liên quan đến mô men bậc hai của biến ngẫu nhiên

là độ lệch chuẩn, được xác định là căn bậc hai của phương sai,

Định nghĩa 1.11: Hệ số bất đối xứng hay độ xiên (skewness) là:

   

3 3

X

X s

X E c

4 4

X

X k

X E c

d) Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên liên quan chặt chẽ đến biến đổi Fourier của PDF của biến ngẫu nhiên đó, do đó hàm đặc trưng cung cấp một loại đại diện

"miền tần số" của một biến ngẫu nhiên

Định nghi ̃a 1.12: Hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên, X, được cho bởi:

Biến đổi Fourier của hàm fX(x) sẽ là Ф (-ω) Với mối quan hệ giữa PDF và hàm

số đặc trưng, chúng ta có thể nhận được PDF của một biến ngẫu nhiên từ hàm đặc trưng của nó thông qua một phép biến đổi Fourier ngược:

Chứng minh: Các phép tính kỳ vọng và đạo hàm đều là tuyến tính và do đó thứ

tự của các phép tính này có thể được hoán đổi

Nhân hai bên vớ i -j và tính tại ω = 0 cho kết quả cần tìm

Định lý 1.2 cho thấy tính hữu du ̣ng của hàm đă ̣c trưng Một khi hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên đã tính được, viê ̣c tính giá tri ̣ trung bình của biến ngẫu nhiên

là rất đơn giản Ngoài ra, bằng cách lấy đa ̣o hàm bậc k của hàm đặc trưng và tính tại

ω = 0, một biểu thức tỉ lệ thuận với mô men bậc k của biến ngẫu nhiên được tạo ra

d

d j X

1.2 Quá trình ngẫu nhiên

1.2.1 Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.13: Một quá trình ngẫu nhiên là một hàm của các phần tử của một

không gian mẫu S và một biến t độc lập khác Cho một phép thử E, với không gian

mẫu S, quá trình ngẫu nhiên, X(t), xác định tất cả các kết quả có thể với ζ ∈ S, tạo ra hàm của t, x(t,ζ), dựa trên một số nguyên tắc nhất định

1.2.2 Các đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên

Giống như các biến ngẫu nhiên, chúng ta có thể mô tả toán học một quá trình ngẫu nhiên dưới dạng một hàm phân phối tích luỹ, một hàm mật độ xác suất, hoặc

một hàm xác suất khối Trong thực tế, cho một quá trình ngẫu nhiên, X(t), được lấy mẫu tại một số điểm xác định trong thời gian, t = t k, kết quả là một biến ngẫu nhiên,

X k = X (t k ) Biến ngẫu nhiên này có thể được mô tả dưới dạng PDF, f X (x k ;t k) Một biến thời gian bổ sung đã được thêm vào PDF Điều này là cần thiết do thực tế là PDF của mẫu của quá trình ngẫu nhiên có thể phụ thuộc vào thời điểm quá trình được lấy mẫu Nếu muốn, CDF hoặc PMF có thể được sử dụng thay vì PDF để mô tả mẫu của quá trình ngẫu nhiên

PDF (hoặc CDF hoặc PMF) của một mẫu của một quá trình ngẫu nhiên được thực hiện tại một thời điểm bất kỳ đến một thời điểm khác sẽ biểu diễn một quá trình ngẫu nhiên, nhưng nó không phải là một mô tả đầy đủ Để xem điều này, xem xét hai mẫu, X1 = X(t1) và X2 = X(t2), được xét tại hai điểm tùy ý trong thời gian Hàm PDF

fX(x; t) mô tả cả X1 và X2, nhưng nó không mô tả mối quan hệ giữa X1 và X2 Đối với một số quá trình ngẫu nhiên, có thể hợp lý khi kỳ vọng rằng X1 và X2 có mối tương quan cao nếu t1 gần t2, ngược lại khi X1 và X2 sẽ hầu như không tương quan nếu t1 và t2

cách xa nhau Để mô tả các mối quan hệ của loại này, cần có một hàm PDF chung của hai mẫu Do đó, nó sẽ là cần thiết để xây dựng một PDF chung của các hình thức fX1,X2

(x1,x2; t1,t2) Đây được gọi là PDF bậc hai của quá trình ngẫu nhiên X(t)

Như vậy để mô tả đầy đủ quá trình ngẫu nhiên, cần phải chỉ định thứ tự PDF thứ

n cho một n tùy ý Nghĩa là, giả sử quá trình ngẫu nhiên được lấy mẫu tại thời điểm t1,

t2, ., tn, tạo ra các biến ngẫu nhiên X1 = X(t1), X2 = X(t2), , Xn = X(tn) Các hàm PDF chung của các mẫu n, fX1,X2 , ,Xn (x1, x2, , xn; t1, t2, , tn), cho một thời gian lấy mẫu tùy ý n và bất kỳ sẽ cho mô tả đầy đủ quá trình ngẫu nhiên Để làm cho ký

hiệu này trở nên nhỏ gọn hơn, các véc tơ X = (X1, X2, , Xn)T , x = (x1, x2, , xn)T ,

và t = (t1, t2, , tn)T được giới thiệu và tập hợp PDF thứ n được viết bằng fX (x;t)

a) Hàm trung bình

Định nghĩa 1.14: Các hàm trung bình của một quá trình ngẫu nhiên chỉ đơn giản

là giá trị kỳ vọng của quá trình Đối với các quá trình với thời gian liên tục được viết như trong các quá trình thời gian rời rạc, ký hiệu sau được sử dụng:

 n EX n xf X x n dx

b) Hàm tự tương quan

Định nghĩa 1.15: Hàm tự tương quan R XX (t1,t2) của một quá trình ngẫu nhiên

liên tục theo thời gian X(t), được xác định như là giá trị kỳ vọng của tích số X(t1)*X(t2):

hệ này, ta định nghĩa một biến chênh lệch thời gian, τ = t2 - t1, và hàm số tự tương quan

có thể được biểu diễn như sau:

t t EX  t X t  

Trong đó chúng ta đã thay thế t1 với t để đơn giản hóa các ký hiệu hơn nữa c) Hàm tự hiệp phương sai

Định nghĩa 1.16: Hàm tự hiệp phương sai C XX (t1, t2),) của một quá trình ngẫu

nhiên liên tục, X (t), được xác định là hiệp phương sai của X (t1) và X (t2):

 t1,t2 CovX   t1,X t2  E X t1  t1    X t2  t2  

Định nghĩa này dễ dàng được mở rộng với các quá trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc

Như với hàm hiệp phương sai cho các biến ngẫu nhiên, hàm tự hiệp phương sai

có thể được viết bằng các hàm tự tương quan và hàm trung bình:

Sử dụng thực tế là μN(t) = 0 Nếu tín hiệu mạnh so với nhiễu, phần xác định sẽ chiếm ưu thế trong hàm số tự tương quan và do đó RXX(t1, t2)sẽ không cho chúng ta biết nhiều về sự ngẫu nhiên trong quá trình X(t) Mặt khác, hàm tự hiệp phương sai là :

 t1,t2 R      t1,t2 s t1 s t2 R  t1,t2 C  t1,t2

Do đó, hàm tự hiệp phương sai cho phép chúng ta cô lập các nhiễu đó là nguồn ngẫu nhiên trong quá trình

d) Hàm tương quan chéo và hiệp phương sai chéo

Định nghĩa 1.17: Đối với một cặp các quá trình ngẫu nhiên X(t) và Y(t), hàm

tương quan chéo được xác định là:

1.2.3 Vấn đề nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên trong miền tần số

Đối với một tín hiệu liên tục xác định x(t) biến đổi Fourier được sử dụng để mô

tả nội dung quang phổ của nó Ta có biến đổi Fourier:

Điều rõ ràng nhất để làm là cố gắng để xác định các biến đổi Fourier của một quá trình ngẫu nhiên như là có lẽ:

 f X t e dt F X t

X  j ft 

 2 

Tuy nhiên, điều này dẫn đến một số vấn đề Trước hết, có vấn đề với sự tồn tại

Vì X(t) là một quá trình ngẫu nhiên, không nhất thiết phải đảm bảo rằng toàn bộ tồn tại cho mọi khả năng có thể thực hiện x(t) Tức là, không phải mọi quá trình thực hiện ngẫu nhiên có thể có một biến đổi Fourier Ngay cả đối với các quá trình hoạt động tốt theo nghĩa mọi thực hiện có một biến đổi Fourier đã được xác định rõ ràng, chúng ta vẫn còn với vấn đề là X(f) là một quá trình ngẫu nhiên Trong phần trên, chúng ta đã

mô tả các đặc tính thời gian của các quá trình ngẫu nhiên dưới dạng hàm số xác định

như hàm trung bình và hàm tự tương quan Trong một cách tương tự, chúng ta tìm

kiếm một mô tả xác định các đặc trưng quang phổ của một quá trình ngẫu nhiên

1.3 Định nghĩa bài toán phân tích kết cấu với tham số đầu vào ngẫu nhiên

1.3.1 Nhắc lại phương trình vi phân động lực học

Hiện nay, phương pháp PTHH là phương pháp cơ bản, hiện đại và rất thông dụng

dùng để mô hình hóa công trình Ý tưởng của phương pháp PTHH thực chất là dựa

trên một tập hữu hạn các điểm nút trên công trình với các tọa độ suy rộng định sẵn rồi

tìm cách tập trung khối lượng vào các điểm nút và biểu diễn trường chuyển vị của

công trình qua các tọa độ suy rộng này một cách hợp lý nhất để cuối cùng xây dựng

được một hệ rời rạc mô tả bằng phương trình vi phân thường đối với các tọa độ suy

rộng Sau khi tìm được các véc tơ chuyển vị nút, các đặc trưng và trạng thái ứng suất,

biến dạng của công trình tại bất kỳ điểm nào trên công trình đều có thể xác định được

Hình vẽ 1.5 minh họa cho hệ kết cấu có n tầng (n bậc tự do) chịu tải trọng động

đất sau khi rời rạc hóa bằng phương pháp phân tử hữu hạn

Hình 1.5 Mô hình tính toán hệ nhiều bậc tự do chịu tải trọng động đất

Theo lý thuyết động lực học, phương trình vi phân chuyển động của hệ kết cấu

được biểu diễn như sau:

( ) ( ) ( ) ( )

MX t CX t KX t F t

(1.64) Trong đó, X t( ), ( ), ( )X t X t lần lượt là các véctơ có kích thước n1 thể hiện các

đáp ứng chuyển vị, vận tốc, gia tốc theo thời gian (t); M C K, , là các ma trận có kích

thước n n của khối lượng, cản nhớt, độ cứng; Flà véc tơ n1 của tải trọng tác động

Trong trường hợp lực ngoại lực tác động là gia tốc nền của trận động đất, công

thức (1.64) sẽ trở thành:

( ) ( ) ( ) ( )

MX t CX t KX t  Mia t

(1.65)

Với i là véctơ đơn vị, thay thế cho chuyển vị đơn vị tại móng so với hướng tác

dụng của gia tốc nền; a t ( )là gia tốc nền

Trong trường hợp kể đến tính ngẫu nhiên của tải trọng (động đất, gió…) hay tồn tại trong các đặc tính của kết cấu (kích thước, vật liệu…), phương trình vi phân chuyển động của hệ kết cấu được biểu diễn như sau:

Dựa vào công thức (1.66) hoặc (1.67) chúng ta thấy rằng, chuyển vị X ( ) t là một quá trình ngẫu nhiên phụ thuộc vào Z

1.3.2 Những yếu tố ngẫu nhiên ảnh hưởng đến đáp ứng của kết cấu

Trong quá trình sử dụng, các kết cấu chịu nhiều loại tải trọng khác nhau Tải trọng tĩnh là dạng tải trọng bản thân, trọng lượng của vật thể đã có sẵn trên công trình hoặc tải trọng được đặt lên hệ một cách từ từ trong khoảng thời gian dài nhưng gây ra gia tốc biến dạng bé có thể bỏ qua lực quán tính Tải trọng động là dạng tải trọng phụ thuộc thời gian và gây nên gia tốc không thể bỏ qua Thực tế, hầu hết các tác động lên công trình là tải trọng động và mang tính ngẫu nhiên như tải trọng gió, bão hay động đất, sóng thần…

Hình 1.6 mô tả một hệ khung có đầu ngàm A, từ đó các biến sau được xác định:

Hình 1.6 Định nghĩa các biến cho một hệ khung

• Không gian ngẫu nhiên cơ bản: các biến ngẫu nhiên cơ bản là các biến đầu vào

A i và R m' cũng như các biến trạng thái chứa trong K j; đây là những các giá trị vật lý có thể tiếp cận trực tiếp ví dụ như kích thước hình học của công trình, và đặc tính cơ học cũng như sinh-hóa lý của vật liệu cấu thành và tải trọng tác dụng Chúng tạo thành không gian ngẫu nhiên cơ bản

• Không gian ngẫu nhiên đầu ra: các biến ngẫu nhiên đầu ra là các giá trị S k

được biểu diễn dưới dạng một hàm của các biến ngẫu nhiên cơ bản, thể hiện trạng thái

của kết cấu Chúng cũng là các biến tài nguyên R l được tạo thành từ R m' Chúng liên quan đến một điều kiện tin cậy thể hiện trạng thái phá hoại của kết cấu Chúng hình thành không gian ngẫu nhiên đầu ra

1.3.3 Bài toán phân tích dao động ngẫu nhiên và độ tin cậy của kết cấu

Các vật liệu hay các kết cấu cơ học được coi là các hệ thống bao gồm một đầu vào, một trạng thái và một đầu ra Sơ đồ tổ chức của các biến được cho trong Hình 1.7

Hình 1.7 Sơ đồ liên kết của các biến cho một mô hình tải trọng và một mô hình sức

kháng

Trong đó:

• Ai (t), i = 1, ,p – dữ liệu đầu vào của hệ thống cơ học, như là một hàm của thời

gian t, phụ thuộc vào tải trọng, tải trọng tác dụng lên hệ thống và chuyển vị,

A

d

P1

P2x

Trạng thái

Ứng suất (Yêu cầu)

'

Sức kháng (Tài nguyên)

Đầu vào

Mô hình sức kháng

<

cảnh cơ học, đây là các tham số của sức kháng vật liệu, các đặc trưng hình học của mặt cắt ngang và chuyển vị cho phép,

• K j (t), j = 1, , q – dữ liệu trạng thái của hệ thống cơ học (trừ các số liệu có thể

được đưa vào các biến đầu ra), được chia thành hai loại:

f

f j

K ( j f : dữ liệu do các quy định cụ thể) và

f

p j

K (j p : dữ liệu sử dụng theo thiết kế); sự tách biệt này rất hữu ích trong một ngữ cảnh thiết kế hoặc tối ưu hóa kết cấu Chúng chứa các đặc trưng hình học, đặc tính của vật liệu và các điều kiện biên

Một mô hình tính toán đầu tiên được sử dụng để mô phỏng (về tính vật lý, không

mang tính thống kế) một kết quả của các yêu cầu (các ứng suất) bao gồm k = 1, , r các biến đầu ra của mô hình, kí hiệu bởi S k (t) Nếu F (…) là một phép toán học của

mô hình cơ học, thì tồn tại một phương trình dưới dạng:

, ,  ,( i j f f j p p  , k) 0

(1.68)

Mô hình này có thể rất phức tạp, ví dụ, khi nó được tạo ra từ một phép mô phỏng

sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn Tương tự, một mô hình cơ học thứ hai được sử

dụng để xây dựng các kết quả của các tại nguyên bao gồm l = 1,…, s các biến R l (t)

Nói chung, mô hình này là đơn giản, và phương trình giữa R' và R thường được xác

định Tuy nhiên, sự tách biệt giữa các biến S và R, như thể hiện trong Hình 1.7, không

phải lúc nào cũng có thể, vì các biến nhất định có thể được tìm thấy cả trong mô hình tải trọng và mô hình sức kháng Đây là trường hợp mỏi của kết cấu khi tải trọng tác dụng theo thời gian làm giảm sức kháng của kết cấu

Một thiết kế đảm bảo tính an toàn trong trường hợp bất đẳng thức sau xảy ra:

G(Sk (t), R l (t)) > 0 ∀t ∈ [0, T ] (1.69)

Trong trường hợp đơn giản của sự tách biệt các biến, cho mỗi cặp quan trọng k, l:

S k (t) < R l (t) ∀t ∈ [0, T]

Trong đó:

[0, T] là thời gian cần thiết hoặc khoảng thời gian tham chiếu thiết kế

G (···) là hàm khả năng liên quan đến một nguyên lý hoạt động; nó thể hiện sự phá hoại của kết cấu Phương trình G (···) = 0 gọi là trạng thái giới hạn

Các biến A i, R m' và K j là các biến cơ bản, S k và R l là các biến đầu ra

Trong tính toán kết cấu, việc xác định các biến là đơn giản

Ví dụ, trong bài toán phương pháp phần tử hữu hạn:

• Đầu vào là véc tơ của ngoại lực {F},

• Một trạng thái được đặc trưng bởi ma trận độ cứng {K},

• Đầu ra được đặc trựng bởi véc tơ chuyển vị {q} và nghiệm phương trình {F} = {K}{q} theo giả thiết tuyến tính Các yếu tố khác như S k, lực, ứng suất,

biến dạng, v.v…, được tính toán từ {q}

1.4 Kết luận chương

Nhìn chung, dao động ngẫu nhiên thường gặp trong trong các bài toán kỹ thuật như kết cấu chịu tác động của tải trọng gió hay tải trọng động đất Do đặc điểm của các tải trọng này là ngẫu nhiên theo thời gian, nên các bài toán phân tích dao động được mô hình hóa dựa trên lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên Việc xây dựng

mô hình cho các bài toán nêu trên thường dẫn tới việc thiết lập và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến Do kích động là các lực ngẫu nhiên nên các đáp ứng như dịch chuyển, vận tốc cũng có tính chất ngẫu nhiên Bởi vậy, trong phân tích dao động ngẫu nhiên, kết quả của các đáp ứng được biểu diễn dưới dạng trung bình theo nghĩa xác suất

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG, ĐỘ TIN CẬY CỦA KẾT CẤU THEO THỜI GIAN

Dao động ngẫu nhiên thường gặp trong trong các bài toán kỹ thuật như kết cấu chịu tác động của tải trọng gió, động đất hay tải trọng sóng Do đặc điểm của các tải trọng này là ngẫu nhiên theo thời gian, nên các bài toán dao động được mô hình hóa dựa trên lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên Việc xây dựng mô hình cho các bài toán nêu trên thường dẫn tới việc thiết lập và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến

Do kích động là các lực ngẫu nhiên nên các đáp ứng như dịch chuyển, vận tốc cũng có tính chất ngẫu nhiên Bởi vậy, trong phân tích dao động ngẫu nhiên, kết quả của các đáp ứng được biểu diễn dưới dạng trung bình theo nghĩa xác suất Sự tồn tại nghiệm chính xác rất quan trọng, thứ nhất nó cho phép khẳng định tính đúng đắn của

mô hình được thiết lập khi đối chiếu với các số liệu đo đạc trong thực tế, thứ hai nó cho phép ước lượng được các thông số cần điều chỉnh và điều khiển trong các bài toán thiết sơ bộ, thiết kế chính xác hay kiểm tra

Tuy nhiên, do những hạn chế về phương pháp giải tích nên rất ít bài toán ngẫu nhiên phi tuyến có nghiệm chính xác Mặc dù các phương pháp số giúp cho các bài toán phi tuyến trở nên giải được, nhưng một hệ phi tuyến có thể cho kết quả bằng nghiệm số không có nghĩa là đã đáp ứng các yêu cầu thực tiễn khi phân tích hệ Ví dụ, đối với hệ có nhiều bậc tự do cần rất nhiều thời gian cho việc xây dựng mô hình tính toán chính xác, ngay cả đối với các hệ ngẫu nhiên có một bậc tự do gồm nhiều thông

số đầu vào thì khối lượng cần giải là rất lớn và mất nhiều thời gian tính toán

Trong chương này, sau khi trình bày phương pháp mô phỏng tải trọng ngẫu nhiên

từ hàm mật độ phổ công suất, tác giả sẽ trình bày hai trường hợp điển hình trong nghiên cứu dao động và độ tin cậy của kết cấu:

(i) Kết cấu một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss

(ii) Kết cấu nhiều bậc tự do chịu tải trọng bất kỳ

2.1 Phương pháp mô phỏng tải trọng ngẫu nhiên từ hàm mật độ phổ công suất PSD

2.1.1 Khái niệm hàm mật độ phổ công suất

Giả sử có một quá trình ngẫu nhiên X(t), định nghĩa một quá trình ngẫu nhiên bị cắt cụt (truncated) như sau :

t t t X t

Năng lượng của quá trình ngẫu nhiên này là:

 t dt X  t dt X

t

X t  2  2

0 0

Và do đó thời gian trung bình là:

0

2 2

12

f X E t P

t t

t t

S

t t

Do đó, hàm của tần số này mà chúng ta gọi đơn giản là SXX(f) có thuộc tính mà khi tích hợp trên tất cả các tần số, tổng công suất trong quá trình thu được Nói cách khác, SXX(f) có đơn vị công suất trên một đơn vị tần số và vì vậy nó là mật độ năng lượng hàm của quá trình ngẫu nhiên trong miền tần số Do đó, đại lượng SXX (f) được đặt tên mật độ phổ công suất (PSD) Tóm lại, chúng ta có định nghĩa sau của PSD

Định nghĩa 2.1: Đối với một quá trình ngẫu nhiên X(t), mật độ quang phổ công

S

t

t XX

(3) SXX(f ) là một hàm số chẵn (2.9c) (4) Công suất trung bình của quá trình ngẫu nhiên được cho bởi:

 f df S

P X  XX (2.9d)

2.1.2 Phương pháp mô phỏng tải trọng ngẫu nhiên

Vấn đề mô phỏng một tải trọng ngẫu nhiên theo thời gian (hay quá trình ngẫu

nhiên) X (t) với một PSD mong muốn S XX (f) Không khả thi để tạo ra một quá trình

thời gian ngẫu nhiên liên tục với máy tính Chúng ta có thể gọi định lý lấy mẫu để mô

tả quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục bằng các mẫu của nó Cho X k = X (kT s) là

mẫu thứ k của quá trình ngẫu nhiên lấy ở tốc độ lấy mẫu của R s = 1/T s Khi đó, với

điều kiện tốc độ lấy mẫu được chọn ít nhất gấp đôi băng thông tuyệt đối của X (t) (tức

là thành phần tần số không lớn hơn gấp đôi của S XX (f)), quá trình ngẫu nhiên có thể

được sao chép từ các mẫu của nó Do đó, vấn đề tạo ra một quá trình ngẫu nhiên có thể được chuyển thành một trong việc tạo ra một chuỗi các biến ngẫu nhiên Hàm tự tương

quan R XX (τ) có thể tạo ra các PSD mong muốn Nếu quá trình ngẫu nhiên được lấy mẫu ở tốc độ R s = 1/T s , thì mẫu thứ k và thứ m sẽ có một tương quan được xác định bởi

E [X k X m ] = R XX ((k - m)T s ) Do đó, nếu X = (X1, X2, , XN) là một dãy các mẫu của quá

trình ngẫu nhiên X(t), ma trận tương quan của các mẫu này sẽ có một cấu trúc Toeplitz (giả sử X(t) là quá trình dừng) dưới dạng:

02

1

0

20

XX s

XX s

XX s XX

s XX

XX s

XX s

XX

s XX

s XX XX

s XX

s XX s

XX s

XX XX

XX

R T

N R

T N R

NT R

T N R R

T R T

R

T N R T

R R

T R

TN R T

R T

R R

Một khi ma trận tương quan thích hợp được xác định, quá trình được phát triển trong phần cuối cùng có thể được sử dụng để tạo ra các mẫu với ma trận tương quan thích hợp

Cách tiếp cận này sẽ làm việc tốt với điều kiện là số lượng mẫu mong muốn không lớn Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, chúng ta cần phải mô phỏng một quá

trình ngẫu nhiên trong một khoảng thời gian dài Trong trường hợp đó, số mẫu N cần

trở nên lớn và do đó ma trận RXX cũng lớn

a) Phương pháp tiếp cận theo miền tần số

Nếu quá trình ngẫu nhiên được mô phỏng là một quá trình ngẫu nhiên Gauss, chúng ta có thể tiếp cận vấn đề bằng cách tạo ra các mẫu của quá trình ngẫu nhiên trong miền tần số Giả sử chúng ta muốn tạo ra một quá trình ngẫu nhiên X(t) của thời gian Td, trong khoảng thời gian (0, Td) và chúng ta không cần quan tâm nhiều đến những gì xảy ra đối với quá trình bên ngoài khoảng thời gian này Để bắt đầu, chúng ta

tạo ra một chu kỳ tín hiệuX t( )bằng cách lặp lại X(t) cứ mỗi T d giây như minh họa trong Hình 2.1

Hình 2.1 Việc thực hiện quy trình ngẫu nhiên X(t) cùng với sự gia hạn định kỳ

Vì X t( )có tính chu kỳ, nên nó có thể biểu diễn bằng một chuỗi Fourier như sau:

t kf j k

T f e

X t

X~ 2 0, 0 1

(2.11)

Do tính tuyến tính của việc xây dựng chuỗi Fourier, nếu Xk là các biến ngẫu nhiên Gauss có kỳ vọng bằng 0 (zero-mean), khi đó quá trình X~ t sẽ là một quá trình ngẫu nhiên Gauss có kỳ vọng bằng 0 Hơn nữa, quá trình ngẫu nhiên có chu kỳ X~ t

có phổ vạch được cho bởi:

       

k

k k

k X

,

Các s k có thể được lựa chọn để định hình quang phổ cho bất kỳ dạng mong

muốn Nếu PSD mong muốn của quá trình ngẫu nhiên là S XX (f), thì chúng ta có thể

chọn sao cho 2  

k xx o

s  S kf Hằng số tỉ lệ có thể được chọn sao cho tổng bậc của quá trình X~ t trùng với X(t) Cụ thể, giả sử rằng X(t) là một dải tần hạn chế sao cho

S XX (f) = 0 với | f | > W Khi đó, số lượng các số hạn trong chuỗi Fourier ở công thức

(2.11) là hoàn toàn xác định Gọi:

W

XX k

k

kf S

df f S kf

S X

E s

0 0

2 2

, 

Nói tóm lại, quá trình ngẫu nhiên có thể được mô phỏng bằng việc đầu tiên là tạo ra một chuỗi 2M+1 các biến ngẫu nhiên phức Gauss có kỳ vọng bằng 0 Mỗi biến ngẫu nhiên phải được thu nhỏ sao cho các phương sai được xác định trong phương

trình (2.14) Các mẫu của quá trình ngẫu nhiên trong miền thời gian có thể được xây

dựng cho bất kỳ khoảng thời gian mong muốn Δt theo công thức:

ik M

j f t k

k M



Nếu quá trình ngẫu nhiên là số thực, nó đủ để tạo ra M+1 các biến ngẫu nhiên

X0, X1, ., XM độc lập và sau đó tạo thành các biến ngẫu nhiên còn lại

X-1, X-2, , X-M sử dụng mối liên hệ đối xứng liên hợp Xk  X*k Trong trường hợp

này, X 0 cũng phải là số thực để có tổng cộng 2M + 1 biến ngẫu nhiên Gauss số thực

cần thiết (một cho X0 và hai cho mỗi Xk, k = 1, 2, ., M) để xây dựng nên một quá

trình ngẫu nhiên X(t)

Ví dụ 2.1: Giả sử chúng ta muốn tạo đoạn 5 msec của một quá trình ngẫu nhiên

Gauss thực có kỳ vọng không với một PSD được cho bởi:

3

/1

1

f f f

S XX





Trong đó, f3 = 1 kHz là tần số 3-dB của PSD Quá trình này có một băng thông

tuyệt đối hữu hạn Lấy băng thông là W = 6f3 sao cho khoảng 99,9% tổng công suất

trong quá trình được chứa trong |f| <W Do chúng ta muốn mô phỏng một khoảng thời

gian của Td = 5 msec, nên số lượng các hệ số chuỗi Fourier cần thiết được cho bởi

 d 30

M  WT  Hình 2.2 cho thấy một sự so sánh của PSD thực tế SXX(f) với kết quả

xấp xỉ quang phổ rời rạc Đồng thời, việc thực hiện một quá trình ngẫu nhiên được tạo

ra bởi phương pháp này được thể hiện trong Hình 2.3

Hình 2.2 So sánh PSD chính xác với xấp xỉ rời rạc cho ví dụ 2.1

Hình 2.3 Minh họa một quá trình ngẫu nhiên của ví dụ 2.1

b) Phương pháp tiếp cận theo miền thời gian

Một cách đơn giản để thay thế phương pháp tiếp cận miền tần số là thực hiện việc lọc miền thời gian trên một quá trình nhiễu trắng Gauss như minh họa trong

Hình 2.3 Giả sử nhiễu trắng Gauss với PSD S XX (f) = 1 được nhập vào một bộ lọc LTI

có thể được mô tả bởi hàm chuyển H (f) Khi đó, từ các kết quả trong phần trước, ta biết rằng PSD của quá trình đầu ra là S YY (f) = |H (f) |2 Do đó, để tạo ra một quá trình

ngẫu nhiên Gauss Y (t) với PSD S YY (f), chúng ta có thể xây dựng một quá trình trắng

và bỏ qua quá trình này thông qua một bộ lọc được thiết kế phù hợp Bộ lọc phải có độ lớn phản ứng thỏa điều kiện:

H f   S YY( )f (2.16) Phản ứng pha của bộ lọc không quan trọng và vì vậy bất kỳ phản ứng pha thuận tiện nào cũng có thể được đưa ra cho bộ lọc

Hình 2.4 Lọc miền thời gian để tạo ra một quá trình ngẫu nhiên Gauss màu

Kỹ thuật này đặc biệt thuận lợi khi với một PSD quy định S YY (f) có thể được viết như là tỷ số của hai đa thức trong f Sau đó, hàm chuyển thích hợp có thể được tìm

thấy thông qua kỹ thuật phân tích phổ Nếu PSD mong muốn là một hàm phức tạp hơn

của f sau đó thiết kế và (hoặc) thực hiện một bộ lọc để tạo ra PSD có thể gặp khó khăn

Trong trường hợp đó, có thể cần phải sử dụng một thiết kế bộ lọc xấp xỉ

Ví dụ 2.2: Trong ví dụ này, chúng ta thiết kế bộ lọc cần thiết để tạo ra quá trình

ngẫu nhiên được chỉ ra trong ví dụ 2.1 sử dụng phương pháp miền thời gian PSD được tính như sau:

3 4

/ 5 3 4

/ 3 3 4

/ 3

4 3 4

3

/ 1

f f

f f

2 3 4

/ 3 3 4

/ 3

2 3

2f f f j

f

f e

f f e f f

f f

Nhiễu trắng h(t) Nhiễu màu

Một khi bộ lọc tương tự thích hợp đã được thiết kế, bộ lọc phải được chuyển đổi sang một dạng thời gian rời rạc Nếu tốc độ lấy mẫu cao, sau đó có thể tìm được đáp ứng xung của bộ lọc thời gian rời rạc bằng cách lấy mẫu phản ứng xung của bộ lọc thời gian liên tục Đây là sự chuyển đổi bất biến được gọi là bất biến Tuy nhiên, do răng cưa xảy ra trong quá trình lấy mẫu phản ứng xung, đáp ứng tần số của bộ lọc số

sẽ không giống với bộ lọc tương tự gốc trừ khi bộ lọc tương tự hoàn toàn không giới hạn Tất nhiên, nếu bộ lọc tương tự xấp xỉ không giới hạn và nếu tốc độ lấy mẫu là rất lớn, sự phân biệt này có thể được giữ ở mức tối thiểu và bộ lọc số kết quả sẽ tạo ra một xấp xỉ rất tốt cho đáp ứng tần số mong muốn

Cách tiếp cận thay thế phổ biến để sản xuất một bộ lọc kỹ thuật số từ một thiết

kế tương tự là sử dụng một sự biến đổi song tuyến tính Tức là giả sử chúng ta có bộ lọc tương tự với hàm truyền Ha(s), một phép xấp xỉ số cho bộ lọc này, Hd(z) có thể thu

được như sau (giả sử một tần số lấy mẫu là f s):

1

12

z

z f s s H z H

s a

d (2.17)

Một lợi thế của sự biến đổi song tuyến tính là nếu bộ lọc tương tự ổn định, thì bộ lọc số cũng sẽ ổn định theo Cũng lưu ý rằng nếu bộ lọc tương tự là bộ lọc bậc n, thì bộ lọc số cũng sẽ có bậc không lớn hơn n

Ví dụ 2.3: Trong ví dụ này, chúng ta tìm ra phép xấp xỉ số cho bộ lọc tương tự

được thiết kế trong ví dụ 2.2 sử dụng phép xấp xỉ song tuyến tính Từ kết quả của ví dụ

đó, bộ lọc tương tự là bộ lọc Butterworth bậc 2 có hàm truyền được đưa ra bởi:

3 3 2

2 3

2 2 1 1 0

z b z b b s

Trong đó b0 = 1, b1 = 2, b2 = 1, a0 = 1 + √2γ + γ2, a1 = 2 - 2γ2, a2 = 1-√2γ + γ2

và γ = fs/(πf3) Hình 2.5 cho thấy một phản ứng xung của bộ lọc này cũng như việc thực hiện quá trình ngẫu nhiên được tạo ra bằng cách truyền tiếng ồn Gauss trắng thông qua bộ lọc này Đáp ứng xung của bộ lọc kéo dài khoảng 1msec (điều này có ý nghĩa vì băng thông là 1 kHz) Do đó, khi tạo quá trình lọc, ít nhất là mili giây đầu tiên của dữ liệu đầu ra phải được loại bỏ vì nội dung của bộ lọc số không đạt đến trạng thái

ổn định thống kê cho đến thời điểm đó