Tài liệu hướng dẫn giải một số bài tập giải tích nhiều biến số

Nếu gia tốc của một hạt chuyển động là a = aj, trong đó a là một hằng số không đổi, tìm R thông qua hai tích phân kế tiếp theo t và chứng minh quỹ đạo của hạt là một parabola; một đường

Bộ môn giải tích

*************

tµi liÖu h−íng dÉn gi¶I mét sè bµi tËp

gi¶I tÝch nhiÒu biÕn sè

(Tài liệu lưu hành nội bộ)

Hµ NéI –Tháng 3 năm 2008

LỜI NÓI ĐẦU

Trong quá trình đổi mới giảng dạy theo tín chỉ của Trường Đại học Thủy lợi, khi làm quen với các giáo trình tiên tiến của thế giới có thể xuất hiện những khó khăn đối với các sinh viên không chỉ về kiến thức mà đôi khi cả về phương pháp học Thông qua việc học giáo trình giải tích nhiều biến số của MIT đã khẳng định những khó khăn trên là có thật Để tháo gỡ phần nào những khó khăn này và tạo điều kiện cho sinh viên học tập đạt

kết quả tốt, Bộ môn Giải tích đã đầu tư thời gian và công sức để biên soạn “Tài liệu hướng

dẫn giải một số bài tập” trong giáo trình Giải tích nhiều biến số của Simmon Cuốn tài liệu

này giúp sinh viên tháo gỡ một phần khó khăn trong việc tìm ra lời giải bài toán, tuyệt nhiên không phải là đáp án hoàn chỉnh cho từng dạng bài toán cũng như không thể thay thế cho giờ bài tập trên lớp Hy vọng cuốn tài liệu này sẽ đáp ứng một phần nguyện vọng học tốt của sinh viên

Thời gian hoàn thành tài liệu được không nhiều nên có thể không tránh khỏi những

sơ xuất, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc

Mọi ý kiến xin gửi về:

Bộ môn Giải tích - Trường đại học Thủy Lợi Hà Nội

E.mail: thaonx@wru.edu.vn (hoặc thaonxbmai@yahoo.com)

Hà Nội, tháng 3 năm 2008

PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo

Hướng dẫn giải từng mục

PGS.TS Phó Đức Anh : Mục 17.4, 18.5, 18.6, 18.7

TS Nguyễn Hữu Thọ: Mục 19.1, 19.2 Ths Nguyễn Thị Vân: Mục 19.3, 19.5, 19.6 Ths Phan Thanh Lương: Mục 19.7, 19.8 Ths Nguyễn Quý Lăng: Mục 19.9, 19.10, 20.1 Ths NCS Trịnh Tuân: Mục 20.2, 20.4

Ths Đào Tấn Quy: Mục 20.3, 20.5, 20.8 Ths Phan Thị Thanh Huyền: Mục 20.6, 20.7, 21.1 Ths Nguyễn Đức Hậu: Mục 21.2, 21.3

Ths Lê Thị Minh Hải: Mục A22, A23

17.4 Giải tích hàm số véc tơ một biến……… ……… ……….1

18.5 Mặt trụ Mặt trụ tròn xoay ……… 2

18.6 Mặt bậc hai ……… 5

18.7 Hệ tọa độ cầu Hệ tọa độ trụ ………9

19.1 Hàm số nhiều biến ……… …… 11

19.2 Đạo hàm riêng ……… 15

19.3 Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong ……… … 20

19.5 Đạo hàm theo hướng và Gradient ……… ……… 23

19.6 Quy tắc dây chuyền đối với đạo hàm riêng ……… … …26

19.7 Bài toán giái trị cực đại và cực tiểu ……… 31

19.8 Cực trị có điều kiện Nhân tử Largrange ……… 38

19.9 Phương trình Laplace Phương trình truyền nhiệt Phương trình truyến sóng ……… 44

19.10 Đạo hàm hàm Nn ……… 48

20.1 Tính thể tích bằng tích phân lặp ……… 50

20.2 Tích phân bội hai và tích phân lặp ……… ……… 54

20.3 Ứng dụng vật lý của tích phân bội hai ……… ………… 56

20.4 Tích phân bội hai trong toạ độ cực ……… 58

20.5 Tích phân bội ba ………65

20.6 Tọa độ trụ ……… ……… 70

20.7 Tọa độ cầu Lực hấp dẫn ……… ……… 75

20.8 Diện tích của mặt cong ……….78

21.1 Tích phân đường trong mặt phẳng ……… 82

21.2 Sự không phụ thuộc vào đường Trường bảo toàn ………87

21.3 Định lý Green ……….90

A22 Tích phân mặt và định lý phân nhánh ……….96

A23 Định lý Stoke ……… 98

Phụ lục: Đính chính một số lỗi in ấn trong giải tích nhiều biến số……… 102

17.4 GIẢI TÍCH CỦA HÀM VÉC TƠ MỘT BIẾN

1 Hãy miêu tả hình học quỹ tích điểm cuối của R nếu R = A + tB, nếu cả A và B

không bằng 0 và B không song song với A Hãy vẽ hình đó

HD: Gọi tọa độ A(xA; yA ); B(xB; yB ); R(x; y ), thế thì: x = xA + txB; y = yA + tyB Quỹ tích

điểm cuối của R là một đường thẳng ∆ có phương trình x = xA + txB; y = yA + tyB (t∈ℜ là

tham số) (Bạn đọc tự vẽ hình.)

2 Tính vị trí quỹ tích của R nếu R = ati + b(1-t)j trong đó a và b là các hằng số khác

không?

3 Chứng minh quỹ tích điểm đầu cuả R = ti + (mt+b)j là đường y=mx+b

HD: Áp dụng kết quả bài tập1, ta có: x = t; y = b + tm (t∈ℜ là tham số) Khử t đi sẽ có y = mx+b (Đường thẳng có hệ số góc m và đi qua điểm (0; b)

4 Tìm quỹ tích điểm cuối của R = (1+t)i + (t 2 +2t+3)j ?

Trong bài tập từ 5 đến 9, R là vị trí của một điểm chuyển động tại thời điểm t Trong mỗi trường hợp hãy tính vận tốc, gia tốc và tốc độ

ĐS: Vectơ vận tốc: V = dR/dt = i + 3(t2 –1)j Vectơ gia tốc A = V’ = dV/dt = 6tj Tốc độ

tại thời điểm t là: 2 2

1 9(+ t −1)

8 R = (cos2t)i + (sint)j

9 R = (tant)i + (sec t)j

ĐS: Vectơ vận tốc: V = dR/dt = sec 2 t( i + sint j) Vectơ gia tốc A = V’ = dV/dt = 6tj Tốc

độ tại thời điểm t là:

sec t 1 sin+ t

10 Nếu véc tơ vị trí của một hạt chuyển động là R = (acoskt)i + (bsinkt)j, trong đó a,b,k

là các hằng số dương thì vật chuyển động trên ellip: x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1 Chứng minh rằng a = –

k 2R và miêu tả lực F tạo ra chuyển động này

11 Nếu gia tốc của một hạt chuyển động là a = aj, trong đó a là một hằng số không đổi, tìm R thông qua hai tích phân kế tiếp theo t và chứng minh quỹ đạo của hạt là một

parabola; một đường thẳng hoặc một điểm đơn

HD: Ta có v = at.j + v0 , R = (at2 /2).j + v 0 t + R 0 Khi đó: x = vx.t +Rx ; y = at2/2 + vy.t +Ry, trong đó : (vx, vy) = v và (Rx, Ry) = R Khử t trong hai phương trình trên, ta sẽ có hệ thức

giữa y và x Trường hợp vx = 0, hạt sẽ chuyển động theo một đường thẳng vuông góc với trục x Trường hợp a = 0, hạt cũng chuyển động theo một đường thẳng Trường hợp a = 0,

vx = vy =0, hạt đứng yên, các trường hợp khác còn lại hạt chuyển động theo một đường pa

ra bôn

12 Nếu một hạt chuyển động không có lực tác động, nghĩa là a = 0, chứng minh rằng

vật đó chuyển động với vận tốc không đổi theo một đường thẳng Đây là định luật thứ nhất

về chuyển động của Newton

HD: Mặt trụ parabôlic, các đường sinh thẳng đứng (song song hoặc trùng với Oz) Giao với

(xOy) theo đường (P): 2

x

y= (Bạn đọc tự vẽ hình.)

2. y2 + z4 2 =16

3. x=siny

HD: Mặt trụ có các đường sinh thẳng đứng (song song hoặc trùng với Oz) Giao với (xOy)

theo đường hình sin: x=siny (Bạn đọc tự vẽ hình.)

,tan π π

HD: Mặt trụ có các đường sinh thẳng đứng (song song hoặc trùng với Oz) Giao với (xOy)

theo đường:

22

,tan π π

9. Các đường sinh của mặt trụ song song với trục y Giao của chúng với mặt phẳng xz

là đường tròn với tâm (0,0,a) và bán kính a Vẽ mặt trụ và tìm phương trình của nó

HD: Mặt trụ có phương trình: x2 + (z–a)2 = a2 (Bạn đọc tự vẽ hình.)

10. Các đường sinh của mặt trụ song song với trục x Giao của chúng với mặt phẳng xz

là một parabol với đỉnh tại (0,0,0) và tiêu điểm (0,0,-p) Vẽ mặt trụ và tìm phương trình của

(y−b 2 +z2 =a2 a<b quanh:

(a) trục z

(b) trục y

Vẽ cả hai trường hợp

13 Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình của mặt tròn xoay tạo ra khi quay

đường cong cho trước quanh trục xác định, và vẽ các mặt cong:

(d) HD: 9x2 + y4 2 =36 là phương trình của một đường ellip nằm trong mặt phẳng xy,

có độ dài hai bán trục a = 2; b = 3 Khi quay quanh trục y, đường ellip tạo nên một mặt ellipxôit tròn xoay:

x=y +z

14. Hướng bất kì trong không gian không song song với mặt phẳng xy có thể đặc trương

bởi véc tơ V = ai + bj+k (Tại sao?) Nếu một đường cong C trong mặt phẳng xy có phương

trình f(x, y) = 0; hãy chỉ ra rằng phương trình mặt trụ sinh bởi một đường thẳng chuyển

động nhưng luôn song song với V và cắt C ( Hình 18.31) là

ĐS: f(x –2z; y –3z) = (x –2z)2 + (y –3z)2 – 6(x–2z) = 0 hay là: x2 + y2 +13z2 – 4xz – 6yz –6x +12z = 0

16. Tìm phương trình mặt trụ sinh bởi một đường thẳng cắt parabol 2

HD: Giao của mặt cong với (yOz) là (P): z = 4y2; với (xOz) là (P’): z = 4x2; Đây là mặt

parabôlôít tròn xoay, tiếp xúc với (xOy) tại gốc O(0;0;0) Giao tuyến giữa mặt cong và mặt

phẳng z = a2 (a>0) là một đường tròn tâm I(0;0; a2) bán kính a/2, nằm trong mặt phẳng song song với (xOy) (Bạn đọc tự vẽ hình.)

4. x2 −4y2 +z2 =4

5. −4x2 +y2 −9z2 =36

HD: Giao của mặt cong với (yOz) là (H): y2/36–z2/9 = 1; với (xOy) là (H): y2/36–x2/9 = 1;

với (xOz) là tập rỗng Đây là mặt hypecbôlôít hai tầng không tròn xoay, có trục y, mặt này

không có điểm chung với (xOz) Giao tuyến giữa mặt cong và mặt phẳng y = a(|a| ≥ 6) là một đường ellip có tâm nằm trên trục y, hai trục đối xứng lần lượt song song với trục x và trục z Độ dài các bán trục theo x và theo y lần lượt là: 2 2

HD: Mặt kẻ parabôlôít hypecbôlic Giao của mặt này với (yOz) là (P): z = –2y2; với (xOz)

là (P): z = x2; với (xOy) là hai đường thẳng y = ±x/ 2 (Xem hình vẽ với trục x hướng từ trái qua phải, trục y hướng từ ngoài vào trong, trục z thẳng đứng, hướng

HD: Mặt cong không giao với (yOz) (tức là mặt phẳng x = 0); Giao với (xOz) theo

hypécbôn (H1): x2–4z2 = 4; với (xOy) là (H2): x2–4y2 = 4; Đây là mặt Hypecbôlôít 2 tầng

tròn xoay (nhận trục z làm trục đối xứng)

10. 2 9 2 4 2 36

=

−+ y z

HD: Mặt kẻ (Parabôlôít Hypecbôlic) Giao tuyến với mặt phẳng xy là cặp đường thẳng: y =

± 2x; với mặt phẳng xz là parabôn: z = –4x2; với mặt phẳng yz là một parabôn: z = y2 Bạn đọc tự vẽ hình dựa trên hình 18.37 trang 50 với b = 1; a = –4

14. 2 2 2 2 4 1 0

=+

−

−

−+ y z x y

x

15 Tìm giao điểm của đường thẳng

4

26

2 2 2

=++ y z

x

HD: Chuyển phương trình đường thẳng về dạng tham số: x = 6 + 3t; y = –2 – 6t; z = 2 + 4t;

Thế vào phương trình mặt ellipsoid sẽ được: t = 0 và t = –1 Tìm được hai giao điểm: M1(6; –2; 2) và M2(3; 4; –2)

16. Chỉ ra rằng mặt phẳng 2x–2z–y=10 giao với paraboloid

492

2 2

y x

z= + tại một điểm duy nhất và tìm điểm đó

17.

(a) Xét ellipsoid 2 1

2

2 2

2

2

=++

c

z b

y a

x

và tìm diện tích A(k) của thiết diện hình ellip trong mặt phẳng nằm ngang z = k Gợi ý: πAB là diện tích của 1 elip với các bán trục AB (b) Sử dụng công thức tìm được ở (a) để tìm thể tích của ellipsoid bằng tích phân HD: a) Thiết diện là một hình ellip có đường biên:

b) Do tính đối xứng, V = 2

0

4( )

z = + là 1 elip, gợi ý: Tính z từ các phương trình trên HD: 1– x2 = x2 + y2 tương đương với: 2x2 + y2 = 1, chiếu xuống mặt (xOy) sẽ có đường (E)

8 x y

z = − − là một đường tròn HD: 3x2 + 5y2 = 8 – 5x2 – 3y2 tương đương với: x2 + y2 = 1, chiếu xuống mặt (xOy) sẽ có đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = 1

22. Cho hai phương trình x2+3y2−z2+3x=0và2x2 +6y2 −2z2 −4y=3 tạo thành một hệ với giao của chúng là một đường cong không gian Chỉ ra rằng đường cong này nằm trong một mặt phẳng, gợi ý: Chiếu xuống từng mặt phẳng toạ độ

23 Sử dụng phương pháp trong mục 15.6 để tìm bản chất của đồ thị z = xy, vẽ mặt cong

HD: Thực hiện phép quay hệ trục (xOyz) quanh Oz một góc π/4 để thành (x’Oy’z’) Phép biến đổi tương ứng là: x = (x’– y’)/ 2 ; y = (x’+ y’)/ 2 ; z = z’ Khi đó phương trình mặt

cong sẽ là: 2z’ = x’2 – y’2 Mặt cong có dạng parabôlôit hypécbôlic (Xem hình 18.37 trang 50)

Mặt kẻ là mặt cong S có tính chất tại mỗi điểm P trên S có một đường thẳng đi qua P và nằm trên S Tất cả mặt nón, mặt trụ, hypelboloid một tầng, hypelbol paraboloid đều là các mặt kẻ, trong đó ellipsoid hipelboloid 2 tầng elliptic paraboloid thì không

24. Chỉ ra rằng hypelboloid một tầng x2 + y2 −z2 =1 là một mặt kẻ, kéo theo

(a) Giao của mặt cong trong mặt phẳng xy là đường tròn C có phương trình x2+ y2 =1 Cho P0 = (x0,y0,0) là 1 điểm trên C Chỉ ra rằng đường thẳng L có phương trình x=x0+y0t, y=y0-x0t, z=t đi qua P0 và nằm trên mặt cong

(b) Giả sử P=(x,y,z) là một điểm tuỳ ý trên mặt cong, chỉ ra rằng đường thẳng L trong phần (a) đi qua P với một điểm thích hợp P0= (x0,y0,0) Vì vậy khi P0 dịch chuyển theo C thì đường thẳng L xác định mặt cong*

25 Chỉ ra rằng mặt parabôlôit hypécbôlic 2 2

y x

z =− + là một mặt kẻ bằng cách chứng tỏ rằng: nếu P 0 =(x0,y0,y02 −x02) là một điểm bất kỳ trên mặt này thì đường thẳng

t x y x

y z t y y

x=x y= y z= y −x nghĩa là đường thẳng đi qua P0 Hơn nữa,

ta có y2−x2 =(y0+t)2−(x0+t)2 =(y02−x02) 2(+ y0−x t0) =zvới mọi t bất kỳ, tức là đường thẳng nằm trọn trên mặt cong

Hai họ đường thẳng tạo thành mặt kẻ hai lần trong bài tập 25 và 26 được chỉ ra trong Hình 18.38

Hình 18.38 Mặt kẻ hai lần

• Họ đường thẳng x= x0 + y0t,y = y0 −x0t,z=−t cũng bao phủ hoàn toàn mặt cong nên hypelboloid một tầng được gọi là mặt kẻ 2 lần

• Họ đường thẳng x=x0+t,y= y0 +t,z=(y02−x02)+2(y0 −x0)t cũng bao phủ hoàn toàn mặt cong nên hypelbol paraboloid cũng là mặt kẻ 2 lần

18.7 HỆ TỌA ĐỘ CẦU HỆ TỌA ĐỘ TRỤ

1 Tìm toạ độ trụ của các điểm có toạ độ vuông góc sau:

x ĐS: Mặt cầu tâm tại gốc tọa độ, bán kính R = 4, có phương

trình trong hệ tọa độ trụ là: r2 + z2 =16 (Bạn đọc tự vẽ hình.)

6. x2+y2 =6z

z y

x + = ĐS: Mặt nón tròn xoay có đỉnh tại gốc tọa độ, nhận trục z làm

trục đối xứng, có phương trình trong hệ tọa độ trụ là: r2 = z2 (Bạn đọc tự vẽ hình.)

=

− y

x

9. x2+y2−2y=0 ĐS: Mặt trụ tròn xoay chứa trục z và các đường sinh đều

vuông góc với mặt phẳng (xy), có đường chuNn là đường tròn nằm trong mp(xy) tâm (0,1) bán kính 1, có phương trình trong hệ tọa độ trụ là: r = 2sinθ (Bạn đọc tự vẽ hình.)

13. x2 + y2 +z2 =16 ĐS: Mặt cầu tâm tại gốc tọa độ, bán kính R = 4, có

phương trình trong hệ tọa độ cầu là: ρ = 4 (Bạn đọc tự vẽ hình.)

14. x2+y2+z2 +4z=0

15. x2+y2+z2 −6z=0 ĐS: Mặt cầu tâm tại (0, 0, 3), bán kính R = 3, tiếp xúc

với mặt phẳng xy tại gốc tọa độ và có phương trình trong hệ tọa độ cầu là: ρ = 6cosφ (Bạn đọc tự vẽ hình.)

16. x2+ y2 =9

4 x y

z= − − ĐS: Mặt parabôlôít tròn xoay có đỉnh tại (0, 0, 4), giao

với mặt phẳng xy là đường tròn tâm O, bán kính R = 2, giao với mặt phẳng yz là parabôn:

z = 4 – y2, giao với mặt phẳng xz là parabôn: z = 4 – x2 và có phương trình trong hệ tọa độ cầu là: ρ2

sin2φ + ρcosφ = 4 (Bạn đọc tự vẽ hình.)

18. 2 2 2 3 2 2 2

)(

)(x +y +z = x +y

19.1 HÀM NHIỀU BIẾN

Tìm miền xác định

1

x y

xy y

x

f

2)

1)

,

,

(

z y x z

y

x

f

++

=

Hướng dẫn:

+ Hàm số xác định ⇔x2 + y2 +z2 > , tức là x, y và z không đồng thời băng 0 0

+ MXĐ là phần không gian xyz không tính gốc tọa độ

16)

)0,0(),(0

)0,0(),()

,

y x

y x y

x

xy y

x f

liên tục tại gốc toạ độ Gợi ý: Sử dụng x=rcosθ, y=rsinθ chuyển về hệ toạ độ cực

Trong các bài tập sau hãy biểu diễn các hàm bằng cách vẽ một số đường mức cố gắng hình dung mặt cong từ đồ thị trắc địa

+ Với mỗi c, đường mức x2+2y2 = là c

- Ellip có trục lớn thuộc trục x nếu c > 0

- tập rổng nếu c < 0

- điểm gốc nếu c = 0

+ Bản đồ trắc địa: Với c > 0, tập hợp tất cả các đường mức chính là bản đồ trắc địa + Mặt cong giao với mặt xz theo giao tuyến là đường Parabol z = x2 (bề lõm quay theo chiều dương trục z), giao với mặt yz theo giao tuyến là đường Parabol z=2y2(bề lõm quay theo chiều dương trục z)

+ Như vậy mặt cong là parabiloid elliptic

17 z=x−y

Hướng dẫn:

+ Với mỗi c đường mức x y c− = là đường thẳng:

- đi qua (|c| ; 0) ; (0, -|c|) nếu c > 0

- đi qua (- |c| ; 0) ; (0, |c|) nếu c < 0

- phân giác x - y=0 (phân giác (I) của mặt xy)

+ Bản đồ trắc địa: tập hợp tất cả các đường mức chính là bản đồ trắc địa

+ Mặt đã cho là mặt phẳng chứa đường phân giác (I) của mặt xy có hướng đi lên theo hướng dương trục x, đi xuống theo hướng ngược lại

19 z=x2 −y

Hướng dẫn:

+ Với mỗi c đường mức y= x2 + là Parabol nhận trục y là trục đối xứng, bề lõm quay c

lên trên:

- đỉnh nằm phía trên trục x khi c > 0

- đỉnh nằm phía dưới trục x khi c < 0

- đỉnh nằm ngay trên trục x khi c = 0

+ Bản đồ trắc địa: tập hợp tất cả các đường mức chính là bản đồ trắc địa

+ Mặt cong giao với mặt yz theo giao tuyến y+z=0 : là phân giác (II) của mặt phẳng yz) + Mặt cong giao với mặt xz theo giao tuyến là Parabol z= x2

+ Vậy mặt đã cho là mặt trụ Parabolic có đường sinh cùng phương với đường phân giác (II) của mặt yz, mặt đó được tạo bởi các đường thẳng cùng phương với đường sinh và tựa trên đường Parabol y = x2(Parabol này nằm trong mặt phẳng xy)

+ Với mỗi c đường mức y c

x = là :

- đường thẳng y=cx (x≠ ) thuộc góc phần tư (I) và (III) nếu c > 0 0

- đường thẳng y=cx (x≠ ) thuộc góc phần tư (II) và (IV) nếu c < 0 0

- là trục hoành x (trừ điểm gốc) khi c = 0

+ Bản đồ trắc địa: tập hợp tất cả các đường mức chính là bản đồ trắc địa

+ Khi ta đi trên mặt cong bắt đầu từ điểm rất gần gốc tọa độ theo đường xoắn ốc

ngược chiều kim đồng hồ và khi x, y chạy trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba thì mặt cong có hướng đi lên và nằm ở phía trên mặt phằng xy ; còn khi x, y chạy trong góc phần

tư thứ hai và thứ tư, còn ta di chuyển trên mặt cong từ điểm rất gần gốc tọa độ cùng chiều

kim đồng hồ thì mặt cong có hướng đi xuống đồng thời nằm ở phía dưới mặt phẳng xy Chú

ý rằng mặt cong không có điểm nào thuộc mặt phẳng yz

23 2 2

y x

Hướng dẫn:

+ Với mỗi c, đường mức là

- Hypecbol vuông với tiêu điểm thuộc trục x nếu c > 0

- Hypecbol vuông với tiêu điểm thuộc trục y nếu c < 0

- Là hai đường thẳng y= ±x nếu c = 0

+ Bản đồ trắc địa: tập hợp tất cả các đường mức chính là bản đồ trắc địa

+ Mặt cong giao với mặt xz theo giao tuyến là Parabol z =x2

+ Mặt cong giao với mặt yz theo giao tuyến là Parabol z = −y2

+ Nhận thấy: Trong tất cảc các mặt phẳng x=k (song song với mặt phẳng yz) các giao tuyến là các Parabol có bề lõm theo hướng âm của trục z và các đỉnh của chúng tựa trên

Parabol z= x2 Càng gần gốc tọa độ mặt cong tăng theo x và giảm theo y (Ta sẽ đi trên mặt cong có hướng đi lên khi rời gốc theo hướng dương hoặc hướng âm của trục x, và có hướng xuống dưới khi rời gốc theo hướng dương hoặc âm của trục y,) Vậy mặt cong là mặt yên ngựa (Paraboloid Hyperbolic) và gốc tọa độ là điểm yên ngựa của mặt đó

Vẽ một vài mặt mức rồi từ đó xác định hướng khi giá trị của hàm số tăng

25

1694),

,

(

2 2 2

z y x z

y

x

c< , là điểm gốc toạ độ khi c= Khi c > 0 và tăng dần thì mặt Ellipsoid nở dần ra 0

+ Vậy khi c thay đổi ta chỉ loại bỏ duy nhất gốc O

3 1(3 1)

+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 3

x z

xy z

+ Thay vào phương trình ta có điều phải chứng minh

Kiểm tra lại

29 Chỉ ra rằng mỗi hàm số sau thỏa mãn phương trình Laplace 2 2

xy x y y

19.3 MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CONG

Trong các bài tập 1 đến 10, tìm mặt phẳng tiếp xúc với các mặt cong cho trước tại các điểm tương ứng

1 z=(x2 +y2)2, (1,2,25)

Hướng dẫn : dùng công thức (4)

+) ' ( 2 2) ' ( 2 2)

4,

+) Đạo hàm 2 vế phương trình theo biến x: y2 +2y.z.z'x+ z'x.x2 +2zx=0

+) Thay x=1, y=2,z=3 vào phương trình ⇒ ( )

13

102

,1

'

−

=

x z

+) Đạo hàm 2 vế phương trình theo biến y: 2xy+z2 +2y.z.z'y + z'y.x2 =0

+) Thay x=1, y=2,z =3 vào phương trình ⇒ z'y(1,2)=−1

+) Tiếp diện mặt cong tại (1,2,3)là

x + + = Chỉ ra rằng mặt phẳng tiếp xúc tại điểm này vuông góc với véc tơ bán kính tại điểm đó, đồng thuận với định nghĩa được đưa ra trong hình học

Hướng dẫn

+) 2x+2z.z x' =0 2y+2z.z'y =0

+) Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại (x o , y o , z o), z o' >0 là

(x y )i z (x y )j k z

z

y i z

x

o o o

2 '

c

z z b

y c

z z a

o

o o

o y o

o o

o

x

z b

y c y

x z z a

x c y

x

2 '

2

2 '

,,

o

o

z b

y c x x z a

x c z

2 2

2

⇔ .2 + .2 + .2 =1

c

z z b

y y a

x

15 Góc giữa hai mặt cong tại một điểm nào đó là góc dương nhỏ nhất giữa các pháp tuyến

với mặt cong tại điểm đó Tìm góc giữa = xy −1

+) Véctơ pháp tuyến của mặt z =e xy tại (0 , 1 , 0) là N1 =i −k

+) Véctơ pháp tuyến của mặt 2 2

ln x y

y x

y i

y x

x

+

++

.,

cos

2 1

2 1 2

N N

N N N

N

N1, 2 =60

⇒

17 Nếu phương trình của một mặt cong có dạng 

0 '

0

0 ' 0 0 0

0 '

,,

,

y

x f y

x y

x z y

x f y

x y

x f y

0 ' 0 0 0 0

0

0 0 0 0

0 ' 2 0

0 0

0 ' 0 0 0 0

0

0 ' 2 0

0 0

0 ' 0 0 0 0

x f y

x x

y

x f y

x y

x f

y

x f x z z y y

x f y

x x

y

x f y

x y

x f

y y y

x f y

x x

x y

x f y

x y

x f z

+) Mặt phẳng đi qua gốc toạ độ với (x0, y0, z o) là điểm bất kì thuộc mặt cong

19 Trong mặt nón của bài tập 18, xét tất cả các điểm có độ cao có cố định h nằm trên mặt

phẳng xy và vẽ các pháp tuyến tại những điểm này.Chỉ ra rằng tập các điểm là giao của các pháp tuyến với mặt phẳng xy tạo ra một đường tròn , và tìm bán kính của đường tròn

+) Giao của pháp tuyến với mặt Oxy là (x o +ax o , y o +ay o ,0)

2 2

2 2

2

1

h a

a ay

y ax

x y

=+

++

19.5 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG VÀ GRADIENT

1 Tìm gradient của f tại P

Hướng dẫn: Sử dụng tính chất (5)

++ .i + 2 2 2

2

z y x

y

++ .j + 2 2 2

2

z y x

z

++ .k

⇒ (gradf)(P)= i j k

9

49

49

2

−+

z

x i z

y

2

−+

⇒ (gradf)(P)= i j k

25

25

25

1

++

icosxyy

.sincos

.sincos − + − + −

⇒(gradf)(P)=i+ j+k

+) GTLN của

ds df

tại P = (gradf)( )P = 3

+) Mặt này là mặt mức của hàm f(x,y,z)= xyz

+) gradf = yzi+xzj+xyk

16

tốc độ biến thiên của T tại điểm (1, 2,1− ) theo hướng của véc tơ 4i− +j 2k Theo hướng

nào T tăng nhanh nhất tại điểm này? Tốc độ tăng lớn nhất đó là bao nhiêu?

( )( )

21

28

1 , 2 ,

Hướng dẫn : Sử dụng tính chất (4)

+) Mặt bậc hai này là mặt mức của hàm ( ) 2 2 2

,,y z ax by cz x

+) gradf =2axi+2byj+2czk

(gradf)(x0,y0,z0)=2ax0i+2by0j+2cz0k

⇒

+) Véctơ pháp tuyến của mặt tại điểm (x0,y0,z0) là 2ax0i+2by0j+2cz0k

+) Phương trình tiếp diện là

2ax0 x−x0 + by0 y−y0 + cz0 z−z0 = ⇔ ax0x+by0y+cz0z= d

19.6 QUY TẮC DÂY CHUYỀN ĐỐI VỚI ĐẠO HÀM RIÊNG

Trong các bài tập 1 đến 4, hãy tìm dw

dt theo hai cách

(a) bằng cách sử dụng quy tắc dây chuyền và biểu diễn tất cả các số hạng theo t

(b) đổi biến trước khi lấy đạo hàm

)sin.(

y x

y y x x

33

y x

x xy y

+)

332.33

2 2 2

3 2 2

2 2

3 2

y x

x xy t

y x

y y x dt

dw

−

++

w t

x x

442

w u

x x

t

+) (2 2) 3 2

442

2 + = +

=

∂

∂

7 Nếu f là một hàm nào đó (có đạo hàm liên tục) chứng minh rằng 2 2

( )

w= f x −y là một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng

u du

dw x

w

2 =

u du

dw y

w

2 =−

∂

∂

kq y

w x x

w y

9

Hướng dẫn

+) Đặt 2 2

y x

u= − ; 2 2

x y

v= − ⇒w= f(u,v)

v

w x u

w x

v v

w x

u u

w x

w

2.2

w y

v v

w y

u u

w y

w

2.2

∂

∂+

∂

∂

kq y

w x x

w y

w dw

∂

∂+

w t

y y

w t

x x

w t

∂

∂

∂

∂+

+)

u

z z

w u

y v

w u

x x

w u

∂

∂

∂

∂+

+) du

u

x dt t

x dx

∂

∂+

y dy

∂

∂+

z dz

∂

∂+

∂

∂

=

+) Dẫn đến dz

z

w dy y

w dx x

w dw

∂

∂+

∂

∂+

→ f(x y)

y

f y x

f

∂

∂+

y

f

−+

→ = 0

∂

∂+

∂

∂

y

f y x

f

+) y

x e y x

x y

→ f(x y)

y

f y x

f

∂

∂+

y x

x x

y x

y y

→ f (x y)

y

f y x

y x x

y x x y

Thế vào vế trái của đẳng thức (4) dẫn đến vế phải

15 Nếu α là hằng số và w= f x y( , ) ở đó x=ucosα −vsinα và y=usinα +vcosα , chứng minh rằng

w u

y y

w u

x x

w v

y y

w v

x x

w dx x

y y

w dx x

w dw

x x t

x y

y y

w x

w

x t

x y

y y

w x

w x

19 Kiểm tra công thức Leibnitz trong những trường hợp dưới đây:

Hướng dẫn : Công thức Leibnitz :

x dx

dv v x f dx

du u x f dy

d dy y x dx

= +

dx

d

3232

32

3 2 2

4 3

−+

=

+) Vế phải = ( ) ( ) f ( ) x y dy

x dx

dv x x f dx

du x x f

x

x

∫    ∂ ∂    +

+

−

2

, ,

1

2

− +

= +

+ + +

Vế trái = ( )

2 2

4 3

4 2 3 3 3

2 2 3

d dy y x y x dx

∫

9 10

2

732

512

73

x x dx

d

−+

=

+) Vế phải = ( ) ( ) f ( ) x y dy

x dx

dv x x f dx

du x x f

x

x

∫    ∂ ∂    +

+

−

2

, ,

2 8

7

5

23

2.2

2

22

22

4 3 2 9 8 5

x

x

xy y x x x

++

−

=

5 8

9

2

73

2

5

x x

d ydy dx

2 =(4x−1)lnx

+) Vế phải

VP = ( ) ( ) f ( ) x y dy

x dx

dv x x f dx

du x

−

2

, ,

19.7 BÀI TOÁN GIÁ TRN CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU

Tìm điểm tới hạn và phân loại

D = B − AC = > M1là điểm yên ngựa

Tại M2( 2,8) − ,D = B2 − AC > 0 M2 là điểm yên ngựa

D = B − AC = chưa kết luận được

Tuy nhiên f = x4 + y4 ≥ 0 ∀ x y , Vậy hàm đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại M1(0,0)

Vậy (0, 0) là điểm yên ngựa

10 Chứng tỏ rằng một hình hộp chữ nhật với lắp đậy có thể tích cố định diện tích mặt đạt

nhỏ nhất nếu nó là hình lập phương

11 Chứng tỏ rằng một hình hộp chữ nhật với lắp đậy có diện tích mặt cố định thể tích đạt

giá trị lớn nhất nếu nó là hình lập phương

Hướng dẫn:

Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x y z x y z , , ( , , > 0)

Diện tích toàn phần của hình hộp là S = 2( xy + yz + zx )không đổi

13 Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của 2 3

u = xy z với điều kiện:

2 3

x + + = y z → = x − − → = y z u − − y z y z Tìm cực trị không điều kiện

z= y−x y− x có điểm yên ngựa tại (0,0)

(a) Kiểm tra (0,0) là điểm tới hạn

(b) Chứng tỏ rằng kiểm tra đạo hàm cấp hai triệt tiêu để khẳng định điểm tới hạn là một điểm yên ngựa là sai

(c) Chứng tỏ rằng điểm tới hạn này là điểm yên ngựa bằng việc kiểm tra trực tiếp dấu của hàm số tại lân cận điểm (0,0)

(d) Sự " chứng minh sai" của việc kiểm tra đạo hàm cấp hai đưa ra trong giáo trình này dựa trên ý tưởng điểm tới hạn P x y0( 0, 0) của z = f x y( , ) sẽ là điểm cực tiểu đối với mặt đó nếu mọi lát cắt theo phương thẳng đứng tại P0 nhận P0 như là một điểm cực tiểu Chứng minh rằng ý tưởng này sai bởi việc xét lát cắt theo phương thẳng đứng của ( 2)( 2)

16 Giải bài tập 15 nếu P nằm trên ellipsoid x22 y22 z22 1

a +b +c = Gợi ý: Sử dụng đạo hàm của hàm Nn

17 Giải bài tập 15 nếu P nằm trên paraboloid 2 2

20: Các mặt bên của hình hộp chữ nhật mở đo bằng 2 lần đơn vị là foot bình phương so với

mặt đáy Tìm mối liên hệ giữa các chiều của hình hộp lớn nhất mà thoả mãn giả thiết trên

21 Tìm phương trình của mặt phẳng chứa điểm (2,2,2) cắt góc phần tám thứ nhất một

24 Chứng minh rằng trong số các tam giác có chu vi cố định cho trước, tam giác đều có

diện tích lớn nhất Gợi ý: Đặt chu vi bằng 2s, sử dụng công thức Hêrông:

A= s s−a s−b s−c , và giá trị nhỏ nhất của lnA (Các bạn có thể giải bài toán này

không cần tính toán, chỉ đơn thuần bằng suy luận về nó?)

25 Chứng minh rằng trong số các tam giác nội tiếp một đường tròn cho trước, tam giác

đều có diện tích lớn nhất Gợi ý: Nếu α , β , γ là các góc ở tâm đối diện với các cạnh của tam giác, do vậy α +β +γ =2π , chú ý rằng diện tích của tam giác bằng một hằng số nhân với sinα +sinβ−sin(α +β)

Hướng dẫn: