Bài giảng và bài tập môn học giải tích một biến số

Bài số 1 Giới hạn và tính liên tục của hàm số + Khi tìm giới hạn, ta chỉ quan tâm đến các giá trị “x dần tới x0” chứ không phải xét khi x=x0.. Do đó f x có thể không xác định tại x=x0 n

Bài số 1 Giới hạn và tính liên tục của hàm số

+ Khi tìm giới hạn, ta chỉ quan tâm đến các giá trị “x dần tới x0” chứ không phải xét khi x=x0

Do đó ( )f x có thể không xác định tại x=x0 nhưng phải xác định tại các điểm thuộc lân cận của điểm đó

− không xác định tại x= Ta lập bảng tính các giá trị của ( )1 f x

khi x→ Từ đó xem ( )1 f x dần đến giá trị nào

Hàm số có giới hạn bằng 0,5 khi x→x0 = 1

Sử dụng định nghĩa, chỉ ra rằng

2 1

5 Phương pháp tính giới hạn

+ Các giới hạn không vô định thường cho ra ngay kết quả

+ Khi gặp các dạng vô định ta phải khử

+ Sử dụng giới hạn kẹp

+ Sử dụng một số giới hạn cơ bản sau:

♦ lim khi 1

0 khi 0 1

u u

a a

a a

a u

a u

a u

1

x

x x

→ − − ; 3

0

sin 5lim

1

x x

x e

→ −

v khi u, v tiến đến vô cùng

* Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho một lượng vô cùng lớn thích hợp

→+∞

++

c Dạng ∞ − ∞ là lim(u−v) khi u, v tiến đến vô cùng

* Phương pháp: - Nhân chia với lượng liên hợp để đưa về dạng ∞

Ví dụ 15: Tìm

2 2 2

2

1lim

1

x x x

x x

2sin 2

2

2sin

1 2

x

x

x x

I Giới hạn một phía

1.a Định nghĩa: Giới hạn của f(x) khi x→a, x< (hoặc a x→a, x> ) nếu tồn tại gọi là giới a

hạn trái (hoặc giới hạn phải)

Ký hiệu: lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

ln(1 sin 3 )

x x

2

1tanlim

x x f x f x

Hàm số y = f(x) liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền D

Chú ý: Từ định nghĩa 1, ta thấy để y = f(x) liên tục tại điểm x0 cần đến 3 điều kiện:

x x f x f x

Nhận xét:

+ Các đa thức, hàm phân thức, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit là các hàm

số liên tục trên miền xác định của nó

+ Hàm số y = f(x) liên tục trên (a, b) thì đồ thị của nó là một đường cong trơn trên khoảng này (tức là không bị gãy, không bị đứt đoạn)

+ Ta thấy hàm số liên tục tại mọi điểm x≠ 2

♦ Hàm số y = f (x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi nó vừa liên tục trái, vừa liên tục phải tại x0

Ví dụ 6: Tìm a để hàm số sau liên tục trên R

2

sin 2 0( )

2 Điểm gián đoạn của hàm số

Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x = a nếu tại x = a hàm số không liên tục

♦ Nếu tồn tại ( ), ( )f a+ f a− và ( )f a+ ≠ f a( −) thì x = a được gọi là điểm gián đoạn loại 1

♦ Điểm gián đoạn khác (không phải loại 1) gọi là gián đoạn loại 2

Ví dụ 9: Tìm và phân loại điểm gián đoạn của các hàm số sau:

1

x x

Ví dụ 10: Khảo sát sự liên tục của hàm số và tính chất điểm gián đoạn:

2( )

1 1

x x

+ Hàm khả vi là hàm số khả vi tại mọi điểm trong tập xác định của nó

0

0 0

+Một hàm có thể liên tục tại một điểm mà không khả vi tại điểm đó

+ Một hàm số không liên t c tại x0 thì sẽ không khả vi tại điểm đó

2 MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ĐÃ HỌC

Cách 2: Đạo hàm 2 vế ( , ) 0F x y = theo biến x, với y= y x( ) Sau đó rút ra 'y

Ví dụ 7 Tính đạo hàm của các hàm ẩn sau:

Ví dụ 8: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 3 2

( )( ) ( ) '( )

dx

3 Ứng dụng của vi phân trong tính gần đúng

Xét hàm số y= f x( ) khả vi trong lân cận của x0∈( , )a b Theo công thức số gia của hàm khả

Bài số 4

Đạo hàm hàm lượng giác ngược Đạo hàm cấp cao

I Hàm ngược và đạo hàm hàm ngược

1 Định nghĩa: Cho hs y= f x( ), nếu phương trình (đối với biến x) y= f x( ) có nghiệm duy nhất x=ϕ( )y thì ta nói y=ϕ( )x là hàm ngược của hàm số y= f x( ) Kí hiệu : 1

B2 Hoán đổi vai trò của x và y, ta được hàm ngược y=ϕ( )x

Chú ý : đồ thị của hàm y= f x( ) và y=ϕ( )x đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất y =

x

Ví dụ : Tìm hàm ngược của hàm số 3

y= x −

3 Các hàm lượng giác ngược

a) Hàm số ngược của hàm y=sinx:

b) Hàm ngược của hàm cosine :

1( )

Cho hs ( )f x xác định trong khoảng (a, b) Giả sử y= f x( ) có đạo hàm 'y = f '( )x và '( )f x

có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của '( )f x là đạo hàm cấp hai của hàm f(x)

( )

n

n k

+ Đạo hàm lần nữa 2 vế của (2), chú ý rằng y và y’ là hàm của x, ta có:

d f là vi phân cấp một của vi phân cấp (n-1):

1( )

BÀI SỐ 5 CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

I BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

1 Định nghĩa: Hàm số y= f x( ) xác định trên đoạn [a,b], ta nói :

hoặc min ( )[a,b] f x =min f(a), f(b), f(c){ }

Chú ý : 1) Nếu hàm số y= f x( ) liên t c trên D, và trên đó nó có duy nh t m t c c tr

+ Nếu cực trị đó là c c ti u thì đó cũng là GTNN của hàm số trên miền đó

+ Nếu cực trị đó là c c đ i thì đó cũng là GTLN của hàm số trên miền đó

2) ♦ Nếu hàm số y= f x( ) đồng biến trên [a b, ] thì

[ , ] [ , ]

a b

a b f x = f b f x = f a ♦ Nếu hàm số y= f x( ) nghịch biến trên [a b, ] thì

[ , ] [ , ]

a b

a b f x = f a f x = f b 3) Hàm số y= f x( ) liên tục trên [a b, ] thì luôn tồn tại GTLN và GTNN trên miền đó

Ví dụ 1: Tìm hai số dương mà tổng của số thứ nhất và 2 lần bình phương số thứ 2 bằng 12, tích của chúng đạt giá trị lớn nhất

Các bước giải bài toán GTLN, NN trong thực tế

B1 Đọc kỹ đề bài, xác định các đại lượng đã biết, chưa biết, điều kiện đã cho Biểu diễn trên lược đồ (nếu có thể)

B2 Đặt ký hiệu cho các đại lượng chưa biết và đại lượng LN, NN (giả sử gọi là Q) Biểu diễn

Q qua các đại lượng khác

B3 Sử dụng mối quan hệ giữa các biến để chuyển Q về hàm 1 biến số

+ Chúng ta phải tìm GTLN của: A 2xy=

với điều kiện : 2 2 2

dx khi đi qua 2

2

a

x= suy ra GT cực đại của A

+ Giá trị tương ứng của y là 2

Ví dụ 4: Một cái dây dài L được cắt thành hai đoạn Một đoạn bị nối thành dạng hình vuông và

đoạn kia thành hình tròn Cái dây sẽ bị cắt như thế nào sao cho tổng diện tích bao gồm bởi 2 đoạn dây:

Gi i:

+ Giả sử x là cạnh của hình vuông và r là bán kính của hình tròn ( x> ) , 0

+ Khi đó tổng diện tích của hai hình được tạo thành là

Ví dụ 6: Một nhà máy sản xuất các hộp đựng xà phòng hình trụ nhận a đơn đặt hàng đối với các hộp có thể tích được chỉ rõ V 0 Với kích thước nào thì diện tích toàn phần của một cái hộp như vậy sẽ đạt GTNN ?

II ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Nhận xét hình học : Giữa hai điểm bất kỳ P và Q trên đồ thị của hàm số khả vi, tồn

tại ít nhất một điểm c nằm giữa a và b (a < c < b) thoả

mở (a,b) và nếu f(a) = f(b) = 0 thì khi đó tồn tại ít nhất một số c nằm giữa a và b thoả mãn f’(c)

= 0

2 điểm, thì khi đó sẽ có ít nhất một điểm của đường cong này nằm giữa 2 điểm trên mà tại đó tiếp tuyến có phương nằm ngang

0

y

x 2 1

+ Ta có (0)f = f(1)= 0

+ Do đó tồn tại x0∈(1, 0) sao cho f '(x0)= , tức là 0 2

ax +bx + = c

Vậy ta được cần chứng minh

2 Định lý 2 (Định lý giá trị trung bình) Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và khả vi trên

(a,b), khi đó tồn tại ít nhất một số c nằm giữa a và b thoả mãn:

x e

+ Quá trình này tiếp tục từng bước thì chúng ta sẽ giảm thiểu số mũ tới 0 hoặc tới một số

âm, và ta nhận được điều cần chứng minh

→∞ = với mọi hằng p> 0

Giải:

Nh n xét : khi x → +∞ thì ln x tăng chậm hơn mọi hàm mũ dương của x cho dù hàm mũ

I NGUYÊN HÀM ( TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH )

1 Định nghĩa: Cho hàm số ( )f x xác định trong khoảng (a, b)

Hàm số ( )F x gọi là nguyên hàm của ( )f x nếu thoả mãn d F x( ) f x( )

12 ∫tan u du = −ln cosu + c 13 ∫cot u du =ln sin u + c

14.∫sec u du =ln sec u + tan u + c 15 ∫csc u du = −ln csc u + cot u + c

II TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1 Diện tích hình thang cong

Bài toán: Tìm diện tích của một miền nằm dưới đồ thị của hàm số liên t c y= f x( ) với

a ≤ ≤ , nằm giữa hai đường thẳng đứng x = a và x = b, nằm phía trên trục hoành x b

Cách tính :

+ Cho n∈N*, chia đoạn [a b, ] thành n phần bằng nhau: x 0 = a < x 1 < x 2 < … < x n = b

+ Ta được n đoạn con: ∆ , x k

k a

f x dx≥

∫Nếu f x( )≤g x( ),∀ ∈x [a,b] thì ( ) ( )

f x dx≤ g x dx

Hình 6.11 : Tổng dưới Hình 6.12 : Tổng trên

Nếu m≤ f x( )≤M,∀ ∈x [a,b] thì :

b a

b a

F x =∫ f t dt, ∀ ∈x [a,b] thì:

x a

3 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH

Định lý (Công thức Newton - Lepnit): Nếu ( )f x là hàm liên tục trên đoạn [a, b], và F(x) là

một nguyên hàm bất kỳ của f(x) thì:

b

b a a

f x dx=F x =F b −F a

III Các phương pháp tính tích phân

1 Sử dụng công thức Newton – Lepnit :

b

b a a

a= = ⇒∫ f x dx=∫β f t t dt

α

Dạng 2 : Đặt t=ϕ( )x ⇒dt=ϕ'( )x dx

( ), ( ) ( ) ( )

b a

1

x e dx x

Dạng : I =∫e ax ( )K x dx trong đó K x( )∈{sinax, cosbx}

1 Tích phân các hàm số lượng giác

Xét tích phân dạng I =∫ f(sin , cos )x x dx

Phương pháp chung: Đặt = tan

2

x t

Nếu f( sin , cos )− x x = −f(sin , cos )x x đặt t = cosx

Nếu f(sin , cos )x − x = −f(sin , cos )x x đặt t = sinx

Đặc biệt: =∫ sinm cosn

Nếu n lẻ: Đặt t = sin x.

Nếu m lẻ: Đặt t = cosx

Nếu n và m cùng chẵn, không âm:

Sử dụng công thức góc chia đôi

Nếu n và m cùng chẵn, ít nhất một trong hai số âm: Đặt t = tan x

2 Tích phân các hàm phân thức hữu tỷ

Ý tưởng: phân tích hàm phân thức hữu tỷ đã cho thành tổng các phân thức đơn giản

hơn (gọi là các phân thức đơn giản)

( )( )

Ví dụ 4 Tìm =

+

dx I

BÀI GIẢNG SỐ 8: TÍCH PHÂN SUY RỘNG

1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng  +∞

a, , khả tích trên mọi đoạn a, tvới mọi số hữu hạn t > a

Ví dụ 4: Xét sự hội tụ và phân kỳ của tích phân: +∞

ax

II Trường hợp hàm số tích phân không bị chặn

1 Định nghĩa: Cho hs f(x) không bị chặn trên đoạn hữu hạn [a, b] Giả sử f(x) bị chặn và khả

tích trong đoạn [a, b−t], t > 0 bé tuỳ ý và f(x) không giới nội khi x →b−(x = b gọi là điểm bất thường)

Nếu giới hạn là hữu hạn, tích phân suy rộng hội tụ Nếu giới hạn là vô cùng hoặc không tồn tại, tích phân suy rộng phân kỳ

Tương tự, ta định nghĩa cho tích phân suy rộng với x = a là điểm bất thường:

→ +

?1

dx x

Ví dụ 8: Chứng minh rằng tích phân ∫

1 0

p

dx

x hội tụ nếu hằng số p < 1 và phân kỳ nếu p≥ 1

Tổng quát: Tích phân suy rộng = α

b x Tích phân suy rộng Riemann loại 2

III Tiêu chuẩn so sánh

Định lý 1: Nếu 0≤f x( )≤g x( ),∀x trong lân cận của điểm bất thường b (b có thể bằng vô cùng) Khi đó:

+ Vậy tích phân đã cho hội tụ

Định lý 2 Cho f x( )≥0, ( )g x ≥0 , ∀ ∈ x a b, ) tức là b là điểm bất thường (b có thể bằng vô

x là tích phân Riemann với α = >2 1 nên hội tụ

+ Theo định lý 2 suy ra tích phân đã cho hội tụ

Hệ quả: Cho f x( ), ( )g x ≥0 khả tích trên [a,b), b là điểm bất thường (b có thể bằng vô cùng)

y b t

3 Cách vẽ đường cong

Tương tự như khảo sát hàm số y = f(x), chỉ khác ở chỗ ta xét đồng thời hai hàm x(t), y(t) theo

sự biến thiên của t

Ví dụ 1. Vẽ đường cong  = =



2 3

Cách 2 : Khảo sát sự biến đổi của x và y khi t biến đổi = 3 2 = 3

+ H ng thể hiện bằng góc θ (radian), được đo từ chiều dương trục Ox Góc này được

mô tả theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu θ dương và theo chiều kim đồng hồ nếu θ âm,

như trong lượng giác

+ Khoảng cách được tính bởi khoảng cách định hướng r đo từ gốc dọc tới điểm cuối

Tọa độ cực của điểm P là : ( )r,α thì P cũng có các tọa độ cực là: (r,α+k2π)

Gốc tọa độ O(0, θ ), với mọi θ

Hướng θ = 0 (hướng dương trục Ox ) được gọi là trục cực

Thuật ngữ “kho ng cách đ nh h ng” tức là r có thể là số âm khi mà với hướng θ cho

trước, khi ta chuyển ngược qua gốc một khoảng r theo hướng ngược lại

Cụ thể: Q = 2, / 6( π ) và R= −2, / 6( π ), là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

Khi sử dụng các công thức này cần phải cẩn thận xác đ nh chính xác d u của r và chọn

θ thích hợp với góc phần tư mà điểm ( )x y, nằm trên

Ví dụ 2. Toạ độ vuông góc của điểm P(−1, 3 , Q) (1,− 3 Tìm toạ độ cực của các điểm này )

+ Mà một điểm P = ,( )r θ có nhiều cặp toạ độ khác nhau nên P n m trên đ th nếu m t

c p to đ b t kì trong các toạ độ của điểm đó thoả mãn phương trình

Ví dụ 4 Chứng minh rằng điểm (1, / 2 và điểm π ) (0, / 2 đều nằm trên đồ thị của π ) = 2θ

3 Vẽ đường cong trong tọa độ cực

B1 Tìm MXĐ, TGT, tính tuần hoàn của r = ( )r θ , suy ra miền phẳng chứa đường cong

θ = α

α

r = α α

B2 Xét tính đối xứng của đường cong:

Nếu θ r( )= −r( θ) thì đồ thị đối xứng qua trục cực

Nếu θ r( )= − −r( θ) thì đồ thị đối xứng qua θ = ±π

+ Các dạng khác của đường hình tim:

r =a(1−cosθ), r =a(1+sinθ),r =a(1−sinθ)

+ Phương trình tổng quát của đường ốc sên

+ Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π , đồ thị đỗi xứng qua trục cực

+ MXĐ:

θ θ

Ví dụ 9. Đường cong r = sin 2a θ với a> 0 được gọi là một bông hồng bốn cánh

+ Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π

Với n lẻ, ta có đường hoa hồng n cánh

θ = π/4

r = 2a 2a

Bài số 10

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH

1 Diện tích hình phẳng

a Diện tích hình thang cong

Xét hình thang cong được giới hạn bởi :

y f x

a x b y

+ Diện tích mỗi hình chữ nhật nhỏ : dA = ydx = f(x) dx: là vi phân di n

b Diện tích giữa hai đường cong

Tính diện tích miền giới hạn bởi

Bước 2: Chọn vi phân diện tích theo:

+ hoặc dải thẳng đứng với chiều rộng dx

+ hoặc dải nằm ngang với chiều rộng dy

Bước 3: Tính ra vi phân diện tích dA, biểu thị dA theo biến x hoặc y

Bước 4: Lấy tích phân dA theo các cận của x hoặc y

Ví dụ 1 Tính diện tích miền phẳng được giới hạn bởi các đường y = x 2 và y = 4

Cách 1: Dùng dải thẳng đứng: x biến thiên từ - 2 đến 2

+ Chiều dài của dải là 4 – x 2

+ Diện tích của dải: dA = (4 – x 2 )dx

+ Vậy diện tích toàn miền là:

Cách 2 : Dùng vi phân diện tích nằm ngang: khi đó y biến thiên từ 0 đến 4

+ Chiều dài của dải là y – (– y ), nên dA = 2 y dy

+ Diện tích toàn miền là:

3

32 2

x 1 y

( -2, -1 )

-2

dy

y = 3- x.x

Ph n t vi phân di n tích : dA là diện tích của quạt mỏng với bán kính r và góc ở

Chú ý: Sử dụng tính đối xứng để tính diện tích sẽ làm cho bài toán đơn giản hơn và tránh

được sai xót, nhất là khi lấy cận của θ

Ví dụ 5. Tìm diện tích phần trong của đường tròn r = 6a cosθ và phần ngoài của đường hình

tim r =2 1a( +cosθ)

β α θ d

Α

δΑ =

2

1 r2

+ Vi phân thể tích dV là thể tích tiết diện với độ dày lát cắt mỏng

+ Thể tích vật thể tính theo phương pháp dịch chuyển lát cắt :

x dx

Miền phẳng giới hạn bởi y = f(x), x = a, x = b quay quanh trục Ox sẽ tạo nên một vật thể ba

chiều, được gọi là vật thể tròn xoay

Lát cắt là một đĩa mỏng hình đồng xu với bán kính y = f(x) Vì đĩa là hình trụ nên vi phân thể

Khi x biến thiên từ a đến b ta có thể tích:

Ví dụ 6. Tính thể tích hình cầu tạo bởi nửa đường tròn = 2 − 2

Ví dụ 8. Tính thể tích cái nêm được cắt ra từ hình trụ với bán kính đáy a bằng mặt phẳng đi

qua một đường kính đáy trụ và tạo với đáy trụ một góc 450

Giải : + Cắt vật thể bởi mp vuông góc với đường kính, tiết diện là một

tam giác vuông cân

y

Hình 7.8

Chú ý: Khi một dải quay quanh một trục nhưng cách trục một khoảng nào đó thì được một

đĩa với lỗ hổng ở trong, giống như cái bồn rửa Vi phân thể tích là thể tích của đĩa trừ đi trừ đi thể tích lỗ hổng:

Ví dụ 9: Tính thể tích của vật thể tạo thành khi quay miền giới hạn bởi = 2 = 2 =

Dải mỏng có một cạnh dx và một cạnh y quay quanh trục Oy sẽ tạo ra một vỏ hình trụ

y x

nhất quay quanh trục Oy

Giải:

Ví dụ 11. Một vật thể được tạo thành bằng cách khoan một lỗ hình trụ đường kính a có trục

xuyên tâm hình cầu bán kính a Tính thể tích vật thể này

Giải :