Bài giảng kinh tế tài nguyên thiên nhiên natural resource economics

Lagrange có công trong việc đi đầu giải quyết phương pháp tính của bài toán tối ưu có ràng buộc với những số nhân phát sinh.. Còn phương pháp Đơn hình được Dantzig xây dựng trong năm 194

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PTNT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THUỶ LỢI

-

KHOA KINH TẾ VÀ QUẢN LÝ

BỘ MÔN KINH TẾ

BÀI GIẢNG KINH TẾ TÀI NGUYÊN THIÊN NHIÊN

(NATURAL RESOURCE ECONOMICS)

TS Trương Đức Toàn

Hà Nội – 2018

MỤC LỤC

Trang

CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU VỚI ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ,

KHAI THÁC TÀI NGUYÊN 1

1.1.GIỚI THIỆU CHUNG VỀ TOÁN TỐI ƯU 1

1.1.1 Lịch sử phát triển toán tối ưu 1

1.1.2 Dạng chung của bài toán tối ưu cơ bản 2

1.1.3 Phân loại toán tối ưu 3

1.1.4 Một số lý thuyết tối ưu được đề cập trong chương này 4

1.2.QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (QHTT) 4

1.2.1 Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính 5

1.2.2 Thiết lập mô hình bài toán QHTT qua thí dụ minh họa 6

1.2.3 Giải bài toán QHTT 9

1.3.LÝ THUYẾT QUY HOẠCH ĐỘNG (QHĐ) 22

1.3.1 Thành phần của một bài toán QHĐ 22

1.3.2 Đặc điểm chung của bài toán QHĐ - Phương trình truy toán 23

1.3.3 Thí dụ về bài toán QHĐ 24

1.4.GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT QUY HOẠCH PHI TUYẾN (QHPT) 29

1.4.1 Tối ưu phi tuyến không ràng buộc 29

1.4.2 Tối ưu phi tuyến ràng buộc 31

1.5.GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 37

1.5.1 Mô hình bài toán tối ưu đa mục tiêu 38

1.5.2 Một số phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu 38

1.6.TỐI ƯU HỆ THỐNG THỦY LỢI ĐA CHỨC NĂNG 40

1.6.1 Vấn đề xây dựng mô hình toán của bài toán 40

1.6.2 Vấn đề giải mô hình và tìm lời giải của bài toán 46

CHUYÊN ĐỀ 2: QUẢN LÝ KHAI THÁC TÀI NGUYÊN NƯỚC 50

2.1.THỰC TRẠNG KHAI THÁC VÀ SỬ DỤNG TÀI NGUYÊN NƯỚC 50

2.1.1 Nhu cầu, phương thức khai thác và hệ quả 50

2.1.2 Quản lý tổng hợp nguồn nước 56

2.2.TÍNH GIÁ NƯỚC 61

2.2.1 Giới thiệu 61

2.2.2 Một số khái niệm về giá, phí áp dụng đối với hàng hóa nước tưới tiêu lấy từ công trình thủy lợi 63

2.2.3 Khái niệm giá trị của nước 66

2.3.4 Một số phương pháp tính toán giá nước phục vụ sản xuất nông nghiệp 68

2.3.5 Một số kinh nghiệm tính toán xác định giá thành nước tưới tiêu trong và ngoài nước 78

2.3 ĐẦU TƯ HỆ THỐNG CẤP NƯỚC VÀ ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ DỰ ÁN 82

2.3.1 Đầu tư hệ thống cấp nước 82

2.3.2 Đánh giá hiệu quả dự án thủy lợi phục vụ tưới tiêu 84

CHUYÊN ĐỀ 3: QUẢN LÝ KHAI THÁC TÀI NGUYÊN THỦY SẢN 99

3.1.GIỚI THIỆU CHUNG 99

3.2.CÁC VẤN ĐỀ TRONG ĐÁNH BẮT THỦY SẢN HIỆN NAY 100

3.3.MÔ HÌNH HÓA NGUỒN THỦY SẢN 101

3.3.1 Hàm tăng trưởng sinh học 101

3.3.2 Hàm nỗ lực đánh bắt và sản lượng 103

3.3.3 Sản lượng duy trì tối đa 104

3.3.4 Mô hình khai thác tối ưu thủy sản 105

3.4.VẤN ĐỀ TIẾP CẬN TỰ DO 106

3.5.CÁC GIẢI PHÁP TRONG QUẢN LÝ THỦY SẢN 107

3.5.1 Hạn chế tiếp cận – Các bước đầu tiên 107

3.5.2 Điều chỉnh thực tế đánh bắt 108

3.5.3 Giới hạn trong đánh bắt 110

3.5.4 Quota cá nhân có thể chuyển nhượng – ITQ 110

3.6.TÍNH BẤT ĐỊNH TRONG QUẢN LÝ THỦY SẢN 114

CHUYÊN ĐỀ 4: TÀI NGUYÊN THIÊN NHIÊN VÀ TĂNG TRƯỞNG KINH TẾ 117 4.1.GIỚI THIỆU CHUNG 117

4.2.KHÍA CẠNH THỂ CHẾ VÀ NHÂN KHẨU HỌC 118

4.3.TÀI NGUYÊN THIÊN NHIÊN VÀ TĂNG TRƯỞNG:HAI VIỄN CẢNH 119

4.4.CÁC NỀN KINH TẾ TĂNG TRƯỞNG NHƯ THẾ NÀO? 122

4.5.TÍNH GIÁ TRỊ TÀI NGUYÊN THIÊN NHIÊN 125

4.6.KIỂM SOÁT VÀ QUẢN LÝ TÔ TÀI NGUYÊN 127

4.7.TÍNH BẤT ĐỊNH CỦA TÔ TÀI NGUYÊN Ở CÁC NƯỚC ĐANG PHÁT TRIỂN 130

4.8.ĐỊA TÔ VÀ CẢI CÁCH RUỘNG ĐẤT 131

4.9.ĐÁNH GIÁ DỰ ÁN 135

4.9.1 Giá trị sản lượng đầu ra và nhân tố đầu vào 135

4.9.2 Hạch toán các nhân tố tác động 137

4.9.3 Chỉ tiêu ra quyết định 137

CHUYÊN ĐỀ 5: CHÍNH SÁCH CÔNG TRONG QUẢN LÝ KHAI THÁC TÀI NGUYÊN THIÊN NHIÊN 140

5.1.MỤC TIÊU CỦA CHÍNH SÁCH CÔNG 140

5.1.1 Hiệu quả kinh tế 140

5.1.2 Tính công bằng 141

5.1.3 Tính linh hoạt 142

5.1.4 Tính cưỡng chế 143

5.2.CÁC LOẠI CHÍNH SÁCH CÔNG 143

5.2.1 Các chính sách dựa vào động cơ 143

5.2.2 Hoạt động công cộng trực tiếp 144

5.3.QUYỀN TÀI SẢN CÁ NHÂN 146

5.4.CÁC CHÍNH SÁCH THEO HƯỚNG CÓ SỰ BẢO HỘ CỦA CHÍNH PHỦ 150

5.4.1 Thuế 150

5.4.2 Trợ cấp 151

5.4.3 Kiểm soát trực tiếp 153

5.4.4 Sản xuất công cộng trực tiếp 154

5.4.5 Sự thất bại thị thường/sự thất bại của chính phủ 155

5.5.PHÂN CẤP VÀ TẬP TRUNG QUYỀN LỰC 158

CHUYÊN ĐỀ 6: TẦM NHÌN TƯƠNG LAI VỀ TÀI NGUYÊN THIÊN NHIÊN 160

6.1.TÍNH BỀN VỮNG CỦA SỰ PHÁT TRIỂN 160

6.1.1 Các kịch bản của phát triển theo thời gian 160

6.1.2 Các hàm ý cho phát triển bền vững 160

6.2.DÂN SỐ VÀ PHÁT TRIỂN 161

6.2.1 Sự gia tăng dân số thế giới 161

6.2.2 Ảnh hưởng của tăng dân số đến phát triển kinh tế 163

6.2.3 Tiếp cận kinh tế trong kiểm soát dân số 163

6.3.VIỄN CẢNH TƯƠNG LAI 164

6.3.1 Các vấn đề 164

6.3.2 Khái niệm hóa vấn đề 164

6.3.3 Các khía cạnh về thể chế 165

6.3.4 Phát triển bền vững 166

CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU VỚI ỨNG DỤNG

TRONG QUẢN LÝ, KHAI THÁC TÀI NGUYÊN

1.1 Giới thiệu chung về toán tối ưu

Lịch sử hình thành và phát triển toán tối ưu và phương pháp tính có thể được lược thuật tóm tắt dưới đây

Những người đã đặt nền móng cho toán tối ưu phải kể đến Newton, Lagrange và Cauchy Newton và Leibnitz đã đặt nền tảng cho phương pháp vi phân giải tích trong khi Bernoulli, Euler, Lagrange và Weirstrass đã xây dựng nền móng cho phương pháp tính toán sai số, độ biến động và giải quyết vấn đề cực tiểu của hàm số Lagrange có công trong việc đi đầu giải quyết phương pháp tính của bài toán tối ưu có ràng buộc với những số nhân phát sinh Cauchy là người đầu tiên công bố nghiên cứu ứng dụng phương pháp độ giảm dốc nhất để giải quyết các bài toán cực tiểu không ràng buộc Mặc

dù những đóng góp trên đây rất sớm, nhưng cho mãi đến giữa thế kỷ thứ 20 với sự trợ giúp đắc lực của máy tính số thì toán tối ưu mới thực sự phát triển với nhiều kỹ thuật và phương pháp mới và được áp dụng rộng rãi vào thực tế

Mãi đến những năm 1960 thì phương pháp số để giải quyết bài toán tối ưu không ràng buộc mới được phát triển ở nước Anh Còn phương pháp Đơn hình được Dantzig xây dựng trong năm 1947 để giải các bài toán Quy hoạch tuyến tính, năm 1957 Bellman công bố nguyên tắc tối ưu để giải các bài toán quy hoạch động đã đặt kim chỉ nam để xây dựng thuật toán giải các bài toán tối ưu có ràng buộc Năm 1951 Kuhn và Tucker đã đưa ra những điều kiện cần và đủ để có nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch và do đó

đã đặt nền móng để giải quyết các bài toán Quy hoạch phi tuyến sau này Đóng góp của Zoutendijk và Rosen trong những năm 1960 cho bài toán Quy hoạch phi tuyến là rất có

ý nghĩa Mặc dù chưa có được một phương pháp độc lập để giải mọi bài toán Quy hoạch phi tuyến, nhưng những nghiên cứu của Carroll, Fiacco và McCormick đã cho phép giải quyết nhiều vấn đề khó khăn của loại bài toán này thông qua những kỹ thuật giải đã biết của toán tối ưu không ràng buộc Trong những năm 1960 Duffin, Zener và Peterson đã xây dựng thuật toán Quy hoạch ràng buộc hình học Cùng thời gian này Gomory đã đi tiên phong trong toán Quy hoạch nguyên, một trong những lĩnh vực được quan tâm và phát triển nhanh nhất trong toán tối ưu do nhu cầu thực tiễn đối với lĩnh vực này Dantzig, Charnes và Cooper đã xây dựng kỹ thuật Quy hoạch xác suất và giải bài toán thông qua giả thiết về các thông số phụ thuộc và phân bố tần suất

Theo yêu cầu ngày càng cao của xã hội và mong muốn của con người, bài toán tối ưu nhằm một lúc thỏa mãn nhiều hơn một mục tiêu đã được phát triển với tên gọi Quy hoạch tối ưu đa mục tiêu Người đề ra bài toán đa mục tiêu sớm nhất là nhà kinh tế học

V Pareto với khái niệm "hiệu quả Pereto" nổi tiếng Vào năm 1944, Von Newmann và Morgenstern đã xây dựng quyết sách đa nhân dựa trên lý thuyết Đối sách Một thuật toán nổi tiếng để giải quyết một trong các dạng của bài toán tối ưu đa mục tiêu là Quy hoạch hướng đích, thuật toán này lúc đầu được xây dựng cho bài toán tuyến tính do Charnes và Cooper đề xướng trong năm 1961 Khái niệm cơ bản của lý thuyết trò chơi

được Neumann đặt cơ sở từ năm 1928 và từ đó nó được áp dụng để giải quyết các vấn

đề kinh tế, quốc phòng và gần đây là các bài toán thiết kế kỹ thuật (Rao, 1996)

Trong thập kỷ qua đã phát triển thêm một số dạng mới về thuật toán quy hoạch như: Thuật toán di truyền, thuật toán tối ưu mô phỏng và phương pháp hệ thần kinh cơ sở Thuật toán di truyền là phương pháp tìm kiếm dựa trên nguyên lý cơ học của quá trình chọn lọc tự nhiên và di truyền trong sinh học Thuật toán tối ưu mô phỏng lại dựa theo quá trình tối ưu của các chất rắn Còn phương pháp hệ thần kinh cơ sở thì giải quyết vấn

đề dựa trên năng lượng tiêu hao hiệu quả của hoạt động của hệ thần kinh trung tâm

1 Bài toán tìm cực tiểu và cực đại

Toán tối ưu là quá trình toán học nhằm tìm và nhận được lời giải hay kết quả tốt nhất của một bài toán trong các điều kiện ràng buộc của nó Mục tiêu tìm kiếm của bài toán tối ưu trong thực tế thường là: tối thiểu (Minimum) nguồn lực hay chi phí, hoặc tối đa (Maximum) lợi nhuận hay lợi ích có thể Trong rất nhiều trường hợp có thể thấy ngay rằng nghiệm X*

cho kết quả Minimum của hàm f(X) thì cũng với X* đó sẽ cho Maximum của hàm -f(X) Do đó trong toán tối ưu người ta thường chỉ nghiên cứu dạng bài toán tìm cực tiểu hoặc ngược lại

2 Bài toán tối ưu tổng quát và các khái niệm

Mọi bài toán tối ưu đều có thể được diễn giải dưới dạng tổng quát sau:

Hàm mục tiêu cần đạt được: Min (hoặc Max) của f(X) (1.1)

Thỏa mãn các ràng buộc: g j (X)=0 (1.2)

Miền của biến quyết định: x * <x i <x * (1.3)

Trong đó: x - véc tơ n biến chính (x1, x2, , xn), n=1, , n;

g(x) - véc tơ m phương trình ràng buộc, j=1, ,m;

x* - véc tơ giới hạn dưới của các biến chính x;

x* - véc tơ giới hạn trên của các biến chính x;

f(X) - hàm mục tiêu được tối ưu, thường thì Max f(X) tương đương với Min -f(X) và ngược lại

Nếu bài toán được mô tả dầy đủ như trên thì được gọi là bài toán tối ưu có ràng buộc, khi bài toán không có ràng buộc (1.3) thì được gọi là bài toán tối ưu không ràng buộc (Rao, 1996)

Khi bài toán tối ưu được thiết lập và diễn giải dưới dạng đầy đủ, thì tồn tại một số khái niệm và định nghĩa có liên quan như sau:

(a) Biến chính (hay biến quyết định)

Biến chính hay véc tơ biến chính là hai cách gọi ma trận n biến quyết định mà bài toán tối ưu phải tìm nhằm đạt được mục tiêu đặt ra và thỏa mãn các điều kiện ràng buộc kèm theo Như vậy thực chất của bài toán tối ưu là đi tìm ma trận (véc tơ) nghiệm:

2

n

xxX.x

(b) Ràng buộc

Trong rất nhiều bài toán, biến chính không thể nhận giá trị bất kỳ mà chúng bị giới hạn

và buộc phải thỏa mãn các điều kiện hay yêu cầu nào đó Các điều kiện và yêu cầu giới hạn trên đây được gọi chung là Điều kiện ràng buộc hay ngắn gọn hơn là Ràng buộc Ràng buộc thể hiện các giới hạn của hệ thống và của hàm mục tiêu được gọi là Ràng buộc mục tiêu Ràng buộc biểu thị giới hạn về vật lý của các biến chính được gọi là Ràng buộc hình học hay ràng buộc buộc chặn

(c) Hàm mục tiêu

Nhiệm vụ của bài toán tối ưu là so sánh lựa chọn phương án tốt nhất trong các phương

án có thể của biến chính Muốn vậy phải có một tiêu chí hay chỉ tiêu để so sánh các phương án nghiệm đã nêu, thông thường tiêu chí này được thể hiện dưới dạng hàm số

của các biến chính, hàm này được định nghĩa là hàm mục tiêu Loại và dạng hàm mục

tiêu phụ thuộc vào bản chất tự nhiên của bài toán tối ưu đồng thời phụ thuộc vào người lập bài toán Cần chú ý rằng việc xác định hàm mục tiêu được chọn là bước quan trọng nhất trong toàn bộ quá trình giải một bài toán tối ưu

Nếu bài toán tối ưu nhằm giải quyết một tiêu chí và chỉ đưa ra một hàm mục tiêu thì đó

là bài toán tối ưu Đơn mục tiêu Khi bài toán tối ưu đồng thời phải thỏa mãn từ hai mục tiêu trở lên thì bài toán thuộc Tối ưu đa mục tiêu (Rao, 1996)

Có nhiều cách phân loại bài toán tối ưu, có thể dựa vào đặc điểm của các ràng buộc, dựa vào bản chất tự nhiên của biến quyết định, phân loại dựa vào cấu trúc vật lý của bài toán, dựa vào đặc điểm giá trị của biến chính, phân loại dựa vào số lượng mục tiêu, Sau đây là các cách phân loại thường gặp nhất dựa trên tính chất, đặc điểm của hàm mục tiêu và điều kiện ràng buộc

Mỗi bài toán tối ưu đều bao gồm hai bộ phận là: Hàm mục tiêu và các ràng buộc Hàm mục tiêu thể hiện mục tiêu về khả năng của hệ thống, còn các ràng buộc thể hiện những điều kiện và giới hạn mà các biến chính phải tuân theo Nghiệm của bài toán tối ưu là

tập hợp các phương án biến chính thỏa mãn các ràng buộc Vùng nghiệm của bài toán tối

ưu là miền chứa các nghiệm của bài toán Nghiệm tối ưu là tập hợp một phương án biến chính thỏa mãn các ràng buộc và cho giá trị tối ưu của hàm mục tiêu

Tùy thuộc vào tính chất và đặc điểm của hàm mục tiêu và các điều kiện ràng buộc mà người ta có thể chia bài toán tối ưu thành những loại sau:

(1) Tuyến tính hay Phi tuyến

(2) Xác định hay Không xác định

(3) Tĩnh hay Động

(4) Liên tục hay Rời rạc

(5) Thông số đồng nhất hay Thông số phân bố

Bài toán Tuyến tính tức là hàm mục tiêu cùng các ràng buộc của nó là tuyến tính, còn bài toán Phi tuyến có các ràng buộc là phi tuyến còn hàm mục tiêu là phi tuyến hoặc tuyến tính Với bài toán Xác định thì các thông số hay hệ số được gán giá trị xác định, trong khi đó ở bài toán Không xác định thì các thông số lại nhận các giá trị ngẫu nhiên Các bài toán Tĩnh thì rõ ràng không xét đến yếu tố thời gian thay đổi còn các bài toán Động lại quan tâm và xem xét đến yếu tố thời gian Bài toán liên tục có các biến và thông số của nó nhận các giá trị đồng nhất đối với toàn bộ hệ thống, còn bài toán phân

bố thì biến và thông số lại nhận những giá trị biến đổi từ vị trí này sang vị trí khác của

hệ thống (Hillier, et al., 1995)

Thông thường phương pháp được lựa chọn để giải bài toán tối ưu trong thủy lợi nói riêng và bài toán tối ưu nói chung phụ thuộc vào ba yếu tố là:

- Loại của hàm mục tiêu;

- Loại của các ràng buộc;

- Số lượng các biến chính và số lượng ràng buộc

Dựa vào ba yếu tố trên đây chúng ta có thể định dạng được loại bài toán tối ưu và phương pháp giải phù hợp (Mays, et al., 1992)

1.1.4 Một số lý thuyết tối ưu được đề cập trong chương này

Toán tối ưu được phân chia thành nhiều loại, về cơ bản, tất cả các loại đã được đề cập trên đây đều có thể được áp dụng trong lĩnh vực thủy lợi, tuy nhiên có một số loại tối ưu được ứng dụng đặc biệt rộng rãi trong mảng thiết kế, vận hành và phân tích kinh tế tài chính các dự án thủy lợi Đó là:

(1) Quy hoạch tuyến tính

(2) Quy hoạch động

(3) Quy hoạch phi tuyến

(4) Quy hoạch đa mục tiêu

Trong chương này sẽ đề cập tới bốn loại toán tối ưu nêu trên

1.2 Quy hoạch tuyến tính (QHTT)

Quy hoạch tuyến tính (QHTT) là một trong những lớp bài toán tối ưu được nghiên cứu trọn vẹn cả trên phương diện lý thuyết, phương diện thực hành và tin học hóa

QHTT bắt nguồn từ những nghiên cứu của nhà toán học Nga nổi tiếng, Viện sỹ Kantorovich L.V trong một loạt các công trình về bài toán kế hoạch hóa sản xuất, công

bố năm 1938 Năm 1947 nhà toán học Mỹ Dantzig đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp đơn hình (Simplex method) để giải bài toán QHTT Năm 1952 phương pháp đơn hình đã được chạy trên máy tính điện tử ở Mỹ

QHTT có một vị trí quan trọng trong tối ưu hóa vì hai lẽ Lẽ thứ nhất là mô hình tuyến tính đơn giản trong việc áp dụng Lẽ thứ hai là nhiều bài toán qui hoạch nguyên và qui hoạch phi tuyến có thể xấp xỉ với độ chính xác cao bởi một dãy các bài toán QHTT (Mays, 1996)

1.2.1 Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính

Lý thuyết qui hoạch tuyến tính được ứng dụng rất rộng rãi và rất sớm trong kỹ thuật, kinh tế và kỹ thuật thủy lợi nói riêng Mô hình tổng quát của bài toán QHTT dạng chính tắc được thể hiện như sau:





1 j j j

x)Min(

bi - các số hạng bên vế phải của ràng buộc

Dưới dạng đại số, bài toán QHTT trên đây được biểu diễn như sau:

Max (Min) x  c x  c x   c x (1.7) Thỏa mãn các ràng buộc:

a x  a x   a x  b

a x  a x   a x  b (1.8)

b - véctơ m phần tử số hạng vế phải của ràng buộc

Dưới dạng chuẩn, mô hình bài toán QHTT khác với dạng chính tắc là các dấu bằng

ở điều kiện ràng buộc được thay bằng dấu ≤ và trở thành:

1.2.2 Thiết lập mô hình bài toán QHTT qua thí dụ minh họa

Để làm quen với bài toán QHTT và cách xây dựng mô hình của bài toán, trước tiên chúng ta nghiên cứu một thí dụ mang tính chất tiêu biểu trong lĩnh vực thủy lợi và nông nghiệp dưới đây

Thí dụ 1.1: Tại lưu vực của con sông có 2 hồ chứa nước phục vụ tưới cho nông nghiệp Mỗi hồ chứa phục vụ một khu đất trồng trọt của một xóm dân cư Mỗi năm,

hồ 1 có dung tích hữu ích đủ phục vụ 4 ha lúa nước Hồ 2 có dung tích hữu đủ phục vụ tưới cho 12 ha cây ăn quả Để có năng suất và sản lượng tốt, hàng năm, mỗi ha trồng lúa cần 1 nghìn m3

nước tưới và 3 trăm công lao động, còn mỗi ha cây ăn quả cần 2 nghìn

m3 nước tưới và 2 trăm công lao động, trong khi số lao động tối đa của xóm là 18 trăm công Nếu thu hoạch tốt, mỗi ha lúa có giá trị 3.107

đồng, mỗi ha cây ăn quả có giá trị 5.107 đồng (xem minh họa ở hình 7.1) Dưới góc độ kinh tế, hội nông dân của xóm cần tính toán xem nên trồng bao nhiêu diện tích lúa, bao nhiêu diện tích cây ăn quả để có được thu nhập cao nhất trong năm

Để đơn giản và tránh phức tạp bởi chuyển đổi đơn vị, vấn đề của xóm trên được phát biểu lại ngắn gọn lại như sau: Mỗi năm, hồ 1 có dung tích hữu ích đủ phục vụ 4 đơn vị diện tích cây lương thực Hồ 2 có dung tích hữu đủ phục vụ tưới cho 12 đơn vị diện tích cây trồng khác Hàng năm, mỗi đơn vị diện tích trồng cây lương thực cần 1 đơn vị nước tưới và 3 đơn vị công lao động, còn mỗi đơn vị diện tích cây trồng khác cần 2 đơn vị nước tưới và 2 đơn vị công lao động, trong khi khả năng tối đa của xóm là 18 đơn vị công lao động mỗi năm Mỗi đơn vị diện tích cây lương thực cho 3 đơn vị tiền tệ, mỗi đơn vị diện tích cây trồng khác cho 5 đơn vị tiền tệ

Với diện tích cây trồng khác

Khả năng và tính chất của nguồn lực

Tên của nguồn lực

Nhu cầu tưới cây

Nhu cầu tưới cây trồng

khác

Như vậy, nguyện vọng của hội nông dân xóm dưới góc độ hiệu quả kinh tế (tổng thu nhập từ nông nghiệp trong năm) được thể diện dưới dạng toán học là:

Với giả thiết là diện tích trồng trọt phải được cung cấp đủ nước tưới, đủ công lao động

để cho sản lượng cao, trong khi khả năng về nguồn nước, khả năng lao động là có hạn,

chúng ta cần tiếp tục giúp đỡ hội nông dân của xóm, xây dựng các điều kiện của hàm mục tiêu trên

Về mặt khả năng của nguồn lực, hàm mục tiêu cần thỏa mãn hai giới hạn Giới hạn về khả năng cấp nước tưới của hồ 1 và hồ 2 (Bằng, et al., 1997)

Đối với hồ 1: Do hồ 1 chỉ tưới cho diện tích trồng cây lương thực, với nhu cầu nước cho cây là 1 đơn vị thể tích nước tưới cho mỗi đơn vị diện tích, trong khi khả năng cấp nước của hồ là 4 đơn vị thể tích tưới mỗi năm Chúng ta có:

Các bất phương trình (1.18), (1.19) và (1.20) được gọi là các điều kiện ràng buộc về khả năng của nguồn lực (Functional Constraints) Khi cần biến đổi dấu bất đẳng thức hoặc chuyển thành đẳng thức, người ta chỉ tác động vào loại điều kiện ràng buộc này (Bằng,

et al., 1997)

Còn một loại điều kiện ràng buộc nữa là ràng buộc về tính chất vật lý của biến (Physical Constraints), trong thí dụ này có hai biến là diện tích đất trồng cây lương thực (X1) và diện tích đất trồng cây khác (X2) Về nguyên tắc, diện tích gieo trồng là hữu hạn nhưng giá trị có thể là rất lớn Còn về mặt tính chất vật lý, rõ ràng diện tích gieo trồng không thể là số âm được (-) Do đó, chúng ta có:

Bây giờ bài toán mà hội nông dân xóm đặt ra đã được thiết lập xong, bài toán này chính

là một bài toán QHTT, mô hình cụ thể như sau:

X 4

X 63X 2X 18

Để giải bài toán QHTT bằng phương pháp hình học, chúng ta sử dụng mô hình bài toán

đã thiết lập cho thí dụ 1.1 Xét mô hình bài toán QHTT dạng chuẩn (1.23), ta thấy tồn tại

2 biến chính là X1 và X2, với chỉ 2 biến, chúng ta có thể dễ dàng nghiên cứu lời giải bằng phương pháp đồ thị trên không gian 2 chiều (mặt phẳng), để từ đó có thể rút ra những tính chất tổng quát cho bài toán nhiều biến

Trước tiên cần xác định miền biến thiên của biến chính Do có ràng buộc không âm đối với biến chính, chúng ta chỉ cần xét trên 1/4 mặt phẳng mà (X1, X2 ≥ 0) trong hình 1.2 Sau đó tới điều kiện ràng buộc (1.18), ràng buộc này chính là phần mặt phẳng nằm bên trái đường thẳng X1 = 4 Tương tự, đối với rằng buộc (1.20) là phần mặt phẳng bên dưới đường X2 = 6 Ràng buộc về sức lao động (1.21) là phần bên trái của đường 3X1 + 2X2 =

18, đường này đi qua các điểm có tọa độ (X1=0, X2=9) và (X1=6, X2=0)

Đối với hàm mục tiêu (1.17), vì hàm mục tiêu Z có giá trị xác định đối với X1 và X2trong phạm vi ràng buộc của chúng, cho nên có thể viết lại như sau:

X2 =6) Đó chính là lời giải của bài toán, tức là Z* = 36, còn X1* = 2 và X2* = 6

2 Một số nhận xét quan trọng từ phương pháp đồ thị

Sau khi giải bằng phương pháp hình học với miền giới hạn của biến quyết định cũng như sự thay đổi của hàm mục tiêu, chúng ta có thể rút ra một số nhận xét quan trọng đã được chứng minh trong toán học cho mọi trường hợp của bài toán QHTT (Tâm, et al., 1998)

- Nếu bài toán QHTT có phương án tối ưu, thì có ít nhất một đỉnh của miền nghiệm cho giá trị tối ưu của hàm mục tiêu Sở dĩ nói ít nhất có một đỉnh bởi có thể đường mức của hàm mục tiêu Z trong trường hợp nào đó sẽ trùng với một cạnh của miền nghiệm, khi đó tất cả các điểm trên cạnh này là phương án nghiệm tối ưu và cho cùng một giá trị tối ưu của hàm mục tiêu

- Nếu miền giới hạn của nghiệm giới nội (biên khép kín) và không rỗng thì chắc chắn tồn tại phương án tối ưu

- Nếu miền giới hạn của nghiệm không giới nội nhưng hàm mục tiêu bị chặn trên ở miền giới hạn của biến thì bài toán cũng chắc chắn tồn tại phương án tối ưu

3 Giải bài toán bằng phương pháp đơn hình (Simplex Method)

Cơ sở của phương pháp đơn hình được Dantzig công bố năm 1947 Có tên gọi như vậy

là vì những bài toán đầu tiên được giải bằng phương pháp của Dantzig có các ràng buộc dạng:

mà tập các điểm n

xR thỏa mãn các ràng buộc trên là một đơn hình trong không gian

n chiều Sau đó thuật toán đơn hình được cải biên có tên gọi phương pháp đơn hình cải biên Từ phương pháp đơn hình và đơn hình cải biên, các nhà toán học đã dần dần hoàn thiện các vấn đề toán học xung quanh phương pháp này Chẳng hạn như phương pháp số lớn M hay phương pháp hai pha khi tìm phương án nghiệm cực biên, bài toán đối ngẫu Gần đây, đã xuất hiện phương pháp tìm nghiệm tắt với thuật toán khác với thuật toán của phương pháp đơn hình Các phần tiếp theo, chúng ta sẽ lần lượt đề cập đến những phương pháp quan trọng nhất và có ý nghĩa thực tế nhất trong các phương pháp nêu trên Đường lối chung của phương pháp đơn hình dựa trên hai nhận xét sau:

- Nếu bài toán QHTT có phương án tối ưu thì có ít nhất một đỉnh của miền giới hạn nghiệm là phương án tối ưu

- Đa diện lồi của miền giới hạn nghiệm chắc chắn có số đỉnh hữu hạn Như vậy phải tồn tại thuật toán giải hữu hạn

Như vậy, về nguyên tắc, thuật toán giải bài toán QHTT gồm hai giai đoạn:

Giai đoạn 1: Tìm một phương án cực biên (tại một đỉnh của miền giới hạn nghiệm)

Giai đoạn 2: Kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án tìm được ở giai đoạn 1 Nếu điều kiện tối ưu được thỏa mãn thì phương án đó là tối ưu Nếu không, ta chuyển sang phương án cực biên mới có giá trị hàm mục tiêu tốt hơn Tiếp theo lại kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án mới cho tới khi giá trị của hàm mục tiêu không thể tốt hơn nữa Người ta thực hiện một dãy các thủ tục như vậy cho đến khi nhận được phương án tối

ưu của bài toán, hoặc đến tình huống bài toán không có phương án tối ưu

Về mặt thuật toán, phương pháp đơn hình được thực hiện đối với bài toán QHTT dạng chính tắc và bao gồm ba bước cơ bản là:

- Bước xuất phát: Bắt đầu với một phương án nghiệm cực biên nào đó

- Bước lặp: Thực hiện tính lặp cho điểm nghiệm biên kề cận tốt hơn

- Bước dừng: Kiểm tra điều kiện tối ưu của phương án, nếu đạt yêu cầu,

dừng bài toán, nếu chưa đạt, điều chỉnh phương án và quay

lại bước lặp

Xét mô hình bài toán của thí dụ 1.1, sau khi đã đưa các biến phụ vào điều kiện ràng buộc

để được bài toán dạng chính tắc (1.24), chúng ta có thể viết lại mô hình bài toán để sử dụng phương pháp đơn hình

Khi đã có mô hình bài toán QHTT dạng chính tắc tương tự như (1.27), ba bước cơ bản của thuật toán đơn hình nêu trên được chi tiết thành 5 bước giải bài toán như sau:

Bước 0: Từ mô hình bài toán QHTT dạng chính tắc, tìm phương án cực biên ban đầu, sau đó xây dựng bảng đơn hình xuất phát Người ta hay cho các biến chính nhận giá trị

0, sau đó tính ra giá trị các biến phụ, và tất nhiên giá trị của hàm mục tiêu cũng sẽ bằng

0 Theo cách như vậy, ở mô hình (1.27), phương án cực biên xuất phát sẽ là:

Bước 2: Tìm "cột quay" và "biến thay thế" Cột quay là cột chứa hệ số âm lớn nhất của biến trong hàng 0 Biến thay thế là biến ứng với hệ số âm lớn nhất đó Trong bảng đơn hình xuất phát ở trên, hệ số âm lớn nhất của hàng 0 là (-5) và cột chứa nó là cột quay, còn biến thay thế là X2 (xem bảng đơn hình 1)

Bước 3: Kiểm tra điều kiện về phương án biên Nếu tất cả các hệ số thuộc cột quay là không dương, điều này chứng tỏ phương án nghiệm ban đầu không nằm trên biên Dừng tính toán và tìm phương án nghiệm xuất phát khác (quay lại bước 0) Nếu có ít nhất một

hệ số là dương, chuyển sang bước 4

Bước 4: Tìm "hàng quay" và "biến bị thay thế" Muốn vậy cần phải tính toán và tìm tỉ số

hệ số nhỏ nhất ốmin

i i ik

ba

Bước 5: Lập bảng đơn hình tiếp theo và quay lại bước 1 Bảng đơn hình tiếp theo có những đặc điểm cơ bản sau:

+ Biến bị thay thế ở cột "Tên biến" sẽ bị đưa ra khỏi bảng và biến thay thế

sẽ được đưa vào tại vị trí vừa bỏ trống

+ Hàng có biến mới sẽ thay thế hàng quay cũ với những hệ số (kể cả vế phải) mới được tính theo công thức sau:

Hệ số hàng có biến mới = (Hệ số hàng quay cũ)/(Hệ số tại cột quay)

Trong bảng đơn hình xuất phát, hệ số của hàng quay tại cột quay là (2), cho nên các hệ

số mới của hàng quay mới sẽ là:

+ Các hàng mới còn lại (kể cả hàng 0 chứa Z) sẽ thay thế các hàng cũ với

những hệ số mới được tính theo công thức sau:

Hệ số hàng mới = (Hệ số hàng cũ) - (Hệ số tại cột quay) x

x (Hệ số hàng có biến mới tương ứng)

Xét hàng 0 ở bảng đơn hình xuất phát: hệ số tại cột quay là (-5), hệ số hàng

có biến mới đã tính ở trên (1.20), cho nên các hệ số mới của hàng 0 sẽ là:

1

3 ( 5) * 0 5 ( 5) *1 0 ( 5) * 0 0 ( 5) * 0 ( 5) * 0 0 ( 5) * 6

25

Tương tự, xét hàng 3 ở bảng đơn hình xuất phát: hệ số tại cột quay là (2),

hệ số hàng có biến mới đã tính ở trên (1.29), cho nên các hệ số mới của hàng

Và chúng ta có được bảng đơn hình tiếp theo dưới đây

Bảng đơn hình tiếp theo

Tên

hàng

Tên biến Phương trình số

Với bảng đơn hình này, khi kiểm tra điều kiện tối ưu (bước 1), thấy thỏa mãn Và chúng

ta đã thu được nghiệm tối ưu trùng với kết quả của phương pháp hình học (Tâm, et al., 1998)

Hệ số hàng mới = (Hệ số hàng cũ) + (-M) x (Các hệ số tương ứng của các

ràng buộc chứa biến tự tạo) Với thí dụ trên ta có:

Hàng 0 cũ: { -3 -5 0 0 M 0 }

Hàng 3x(-M): -M{ 3 2 0 0 1 18 }

Hàng 0 mới: {(-3M-3) (-2M-5) 0 0 0 -18M}

Sau khi đã qua kỹ thuật xử lý trên, chúng ta lại quay trở lại với các quy tắc giải của phương pháp đơn hình (pha thứ hai) Trong thí dụ 1.2 ở phần sau sẽ minh họa chi tiết hơn về việc áp dụng phương pháp số lớn M để giải bài toán QHTT

5 Bài toán đối ngẫu

Người ta đã chứng minh được rằng: bài toán QHTT dạng chuẩn hoàn toàn tương đương với một bài toán QHTT dạng "đối ngẫu" với bài toán gốc Cùng với bài toán gốc, bài toán QHTT tạo thành một cặp bài toán với một số đặc điểm sau:

- Mỗi ràng buộc của bài toán này tương ứng với một biến của bài toán kia

- Mỗi phần tử bên vế phải thuộc ràng buộc của bài toán này tương ứng với một

hệ số biến trong hàm mục tiêu của bài toán kia

- Tiêu chuẩn tối ưu của bài toán này ngược lại với tiêu chuẩn tối ưu của bài toán kia Tức là mục tiêu bài toán này nếu là maximum thì bài toán kia là minimum

và ngược lại

- Ràng buộc của bài toán maximum có dấu ≤, còn ở bài toán minimum là dấu ≥

- Các biến chính của cả hai bài toán đêu không âm

Như vậy bài toán QHTT gốc dạng chuẩn đã xét:

Bài toán gốc: Bài toán đối ngẫu:

Thớ dụ 1.2: Trong hỡnh 1.3, minh họa sơ đồ và số liệu của thớ dụ Mục tiờu của bài toỏn

là tỡm mức độ xử lý nước thải (tỷ lệ phần trăm xử lý lượng nước thải chảy vào sụng) tại mặt cắt 1 và mặt cắt 2 của con sụng H để đạt được nồng độ O2 yờu cầu tại mặt cắt 2 và mặt cắt 3 với tổng chi phớ nhỏ nhất Lưu ý rằng mức độ xử lý tối thiểu do yờu cầu về mụi trường là 0,30 (30%), cũn tối đa là 0,95 (95%) do yờu cầu về kỹ thuật xử lý nước thải (Nhật, et al., 2001)

c h i p h í x ử l ý t ỷ l ệ t u y ến t ín h

v ớ i mứ c độ (v ề k h ố i l u ợ n g ) x ử l ý

t ạ i mc -1 l à c 1 (đơ n v ị t iền t ệ) Tạ i mc -2 l à c 2 (đơ n v ị t iền t ệ)

s ôn g h

n

ớ

c

h i

w 2=

100 m3 /s

mặt c ắt 1

mặt c ắt 2

mặt c ắt 3 Mức độ cải thiện (aij) chất

luợng nuớc tại MC (mg/l) Khi 1 m3 nuớc thải

mặt c ắt 3

Thành phần tính chất

3

mặt c ắt 2 Hàm luợng O2 tự nhiên

Hỡnh 1.3: Sơ đồ và số liệu của thớ dụ 1.2

Với thớ dụ này, chỳng ta đặt biến chớnh là tỷ lệ (mức độ) xử lý đối với nguồn nước thải

đổ vào MC1 là X1 và MC2 là X2 Vỡ chi phớ xử lý tỷ lệ tuyến tớnh với mức độ xử lý tại mỗi mặt cắt, cho nờn hàm mục tiờu sẽ là:

Min Z  C X C X

Nếu đặt nồng độ oxy tự nhiờn tại mặt cắt i là hi cũn nồng độ yờu cầu tại đú là Hi chỳng ta

sẽ cú ràng buộc về yờu cầu nồng độ như sau:

1 20,30  X , X  0, 95

Thay các số liệu đầu bài vào ràng buộc bất phương trình sẽ có được dạng số của ràng buộc như sau:

Giải bài toán bằng phương pháp đồ thị:

Tương tự như quá trình giải bằng đồ thị đối với thí dụ 1.1, hình 1.4 cho bức tranh rõ nét

về quá trình cũng như kết quả của bài toán QHTT trong thí dụ 1.2

i C 1<

C

2 )

Z (k h

i C 1>

C

2 )

X1+X

2 >= 1 ,6

Hình 1.4: Quá trình và lời giải thí dụ 1.2 bằng đồ thị

Giải bài toán bằng phương pháp số lớn M:

Từ kết quả lời giải bằng hình học, chúng ta biết rằng, nếu C1 > C2 thì sẽ tồn tại một nghiệm duy nhất tại X1=0,8 và X2=0,8

Do đó, để mô hình đầy đủ hơn, chúng ta giả thiết C1=10 và C2=6 Bây giờ mô hình gốc của bài toán sẽ là:

Dưới dạng chuẩn, mô hình (1.32) trở thành:

1 0 -1 0 0 0 1 0

0 1 1 -1 0 0 -1 1

-12,8 0,15 0,15 0,80 0,80

Từ bảng đơn hình cuối cùng ta có nghiệm của bài toán nhƣ sau:

X1* = 0,80, X2* = 0,80, cho -Z* = -12,8 hay Z* = 12,8

Giải bài toán đối ngẫu:

Theo quy tắc thiết lập bài toán đối ngẫu, từ mô hình (1.32), chúng ta thiết lập đƣợc mô hình của bài toán đối ngẫu nhƣ sau:

Chỳng ta thấy rằng bảng đơn hỡnh của bài toỏn đối ngẫu trong trường hợp này đơn giản hơn nhiều so với bảng đơn hỡnh giải theo phương phỏp số lớn M, và cũn đơn giản hơn nữa nếu so với bảng đơn hỡnh nếu giải trực tiếp bài toỏn gốc (Trớ, 1999)

6 Phương phỏp tỡm nghiệm tắt

Thuật toỏn theo phương phỏp đơn hỡnh tỡm kiếm nghiệm tối ưu của bài toỏn QHTT bằng cỏch xỏc định từ những điểm cực biờn sau đú rà soỏt và so sỏnh trờn toàn bộ chu vi của miền nghiệm, nguyờn tắc này được ứng dụng dựa trờn lý thuyết Dantzig

Gần đõy 2 tỏc giả Khatchian (1979) và Karmarkar (1984) đó xõy dựng cỏc thuật toỏn tỡm nghiệm mới cho bài toỏn QHTT bằng cỏch dịch chuyển tắt từ phớa tõm của miền nghiệm như được minh họa trong hỡnh 1.5

So sỏnh thuật toỏn đơn hỡnh và thuật toỏn Karmarkar và Khatchian chỳng ta thấy: thuật toỏn đơn hỡnh sử dụng thời gian với cấp số mũ cũn thuật toỏn Karmarkar và Khatchian

cú thời gian bậc đa thức Cú nghĩa là với kớch cỡ bài toỏn QHTT là n thỡ thời gian để giải theo thuật toỏn đơn hỡnh là 2n cũn theo Karmarkar và Khatchian thỡ cần n (trong

đú , ,  là những số dương) cú nghĩa là hai thuật toỏn mới cú ưu điểm hơn về thời gian giải bài toỏn so với thuật toỏn đơn hỡnh

X 1

X 2

1

t h u ật t o á n đơ n h ìn h

2

3 4

1 2 3 4 5

t h u ật t o á n

k a r ma r k a r

Hỡnh 1.5: Thuật toỏn đơn hỡnh và thuật toỏn Karmarkar

tỡm nghiệm bài toỏn quy hoạch tuyến tớnh

7 Chương trỡnh và phần mềm tớnh toỏn giải bài toỏn QHTT

Từ những năm 1960, với sự hỗ trợ hiệu quả của mỏy tớnh điện tử, cỏc chuyờn gia phần mềm đó xõy dựng những chương trỡnh và phần mềm để giải bài toỏn QHTT Cho đến nay, những chương trỡnh và phần mềm đều dựa trờn thuật toỏn giải của phương phỏp đơn hỡnh Lỳc đầu, do hạn chế về cấu hỡnh của mỏy tớnh, cỏc bài toỏn QHTT chỉ cú thể tin học húa với số ẩn (số biến) cũn khiờm tốn Khi phần cứng của mỏy tớnh điện tử được cải thiện, số ẩn của bài toỏn được nõng lờn, từ 29 ẩn, lờn 49 ẩn, 99 ẩn, và hơn 100 ẩn Núi chung, đó cú một số chương trỡnh và phần mềm giải bài toỏn QHTT, tất nhiờn, muốn giải được, cần phải đưa mụ hỡnh bài toỏn về dạng chuẩn, đú là cụng việc khụng

đơn giản của các kỹ sư thủy lợi và kỹ sư kinh tế thủy lợi Một số chương trình có thể kể

ra như: SQRT, MATHPRO, LINDO,

Ngoài ra, trong một số trường hợp, những kỹ sư có trình độ về tin học hoàn toàn có thể

tự viết và xây dựng chương trình giải bài toán QHTT của riêng mình Điều này có tính khả thi cao, bởi vì một trong những yếu tố cơ bản là lý thuyết giải bài toán QHTT đã được nghiên cứu với mức độ hoàn chỉnh và mức độ tổng quát cao (Trí, 1999)

1.3 Lý thuyết quy hoạch động (QHĐ)

Quy hoạch động (DYNAMIC PROGRAMMING) là một mảng lớn và quan trọng trong lĩnh vực toán tối ưu Năm 1957, BELLMAN là người đầu tiên công bố nguyên tắc tối ưu

để giải các bài toán quy hoạch động, từ đó đã đặt kim chỉ nam để xây dựng thuật toán giải các bài toán tối ưu phức tạp mà hàm mục tiêu và các ràng buộc là các hàm phi tuyến

Với những ưu điểm và những tính chất của mình, có thể thấy rằng, quy hoạch động gắn chặt với "kỹ thuật tìm kiếm nghiệm" của bài toán tối ưu hơn là một thuật toán tổng quát giải bài toán tối ưu nhiều biến, nhiều giai đoạn

Dưới đây, chúng ta sẽ lần lượt làm sáng tỏ hơn những kiến thức cơ bản của lý thuyết quy hoạch động

1.3.1 Thành phần của một bài toán QHĐ

Như trên đã đề cập, QHĐ là một quá trình tối ưu một chuỗi các bài toán con để tìm nghiệm cho cả chuỗi hay nghiệm của bài toán gốc Vậy những thành phần và đặc điểm của chuỗi các bài toán con của QHĐ là gì? Tham khảo hình 1.6, chúng ta có một số khái niệm và định nghĩa dưới đây

Hình 1.6: Thành phần của bài toán QHĐ

Trong hình 1.6, bài toán tối ưu lớn đã được thay bằng một chuỗi N bài toán con của mô hình QHĐ Mô hình này có những đặc trưng sau:

1 Giai đoạn - Stage (n): Nếu bài toán tối ưu có thể chia thành N bài toán con, chúng ta sẽ

có N giai đoạn, mà mỗi giai đoạn sẽ tồn tại một biến chính cần xác định để đạt được mục tiêu tối ưu hóa giai đoạn đó

2 Biến chính (X n ): Biến chính hay biến quyết định là biến cần được xác định để đạt

được mục tiêu tối ưu của giai đoạn Mỗi giai đoạn thường có một biến chính, cho đến một vài biến

3 Biến trạng thái - State Variables (S n ): Biến trạng thái thể hiện trạng thái của hệ thống

tại các giai đoạn Biến trạng thái có thể mang tính liên tục hay rời rạc, có thể hữu hạn hay vô hạn Mỗi giai đoạn có một biến trạng thái vào và một biết trạng thái ra (kết quả), biến trạng thái ra của giai đoạn này là biến vào của giai đoạn tiếp theo Biến trạng thái

đã liên kết các giai đoạn lại với nhau thành một chuỗi gắn kết hữu cơ Do đó nếu như tất

cả các giai đoạn đều đã tối ưu hóa thì tổng thể cũng sẽ được tối ưu

4 Kết quả giai đoạn - Stage Return (r n ): Kết quả giai đoạn là chỉ số và thước đo đánh

giá mức độ tối ưu của giai đoạn Nó là hàm của biến trạng thái vào, biến trạng thái ra và biến chính của mỗi giai đoạn Tức là: rn  r S , S n n 1 , Xn

5 Phép biến đổi trạng thái - Stage Tranformation hay phép biến đổi giai đoạn - Transition (t n ): Là phép biến đổi đơn trị biểu thị mối quan hệ giữa biến trạng thái vào,

trạng thái ra và biến chính Như vậy, thông qua phép biến đổi này, tại bất kỳ giai đoạn nào, biến trạng thái ra sẽ là hàm số của biến trạng thái vào và biến chính của giai đoạn Nghĩa là: Sn 1  tn S , Xn n

Từ ý nghĩa cũng như những thành phần cơ bản của bài toán QHĐ nêu trên, dưới đây chúng ta sẽ đề cập nghiên cứu các đặc điểm chung của bài toán Trong đó phương trình truy toán và trình tự giải là những vấn đề hết sức quan trọng (Trí, 1999)

Những đặc điểm cơ bản chung nhất áp dụng cho tất cả các bài toán QHĐ được rút ra như sau:

1 Bài toán được chia thành nhiều giai đoạn, ở mỗi giai đoạn có biến quyết định của giai đoạn đó

2 Mỗi giai đoạn có các biến trạng thái của nó (biến trạng thái vào và biến trạng thái ra)

3 Các ứng xử và quyết định trong mỗi giai đoạn được phản ánh bởi kết quả giai đoạn thông qua hàm kết quả giai đoạn và các yếu tố ảnh hưởng, đồng thời chuyển biến trạng thái của giai đoạn này sang giai đoạn tiếp theo thông qua phép biến đổi trạng thái

4 Đối với trạng thái đang xét, tiêu chuẩn và ứng xử tối ưu cho các giai đoạn sau là độc lập với tiêu chuẩn và ứng xử tối ưu của các giai đoạn trước đó Đây là nguyên tắc tối

ưu Bellman, một nguyên tắc xương sống của QHĐ

5 Nếu quá trình tối ưu được bắt đầu từ giai đoạn cuối cùng, thì được gọi là truy toán ngược, còn bắt đầu với giai đoạn đầu tiên, thì được gọi là truy toán xuôi

6 Phương trình truy toán là các phương trình biểu diễn mối liên hệ về tối ưu giữa các trạng thái của giái đoạn này đối với trạng thái của giai đoạn kế bên Nếu theo trình tự

ngược, chúng ta có phương trình truy toán ngược và ngược lại, có phương trình truy toán xuôi

Phương trình truy toán ngược có dạng:

Trong (1.37) và (1.38), dấu ● là ký hiệu biểu thị phép tính số học + (cộng),

- (trừ), x (nhân), hay : (chia)

Nhìn vào (1.27) hoặc (1.28), chúng ta có thể phát biểu: Tối ưu trạng thái n bằng tối ưu (max hoặc min) khi biến dn thay đổi của kết quả giai đoạn n với tối ưu trạng thái (n+1) nếu là truy toán ngược, hoặc (n-1) nếu là truy toán xuôi

Như vậy, có thể nói, tiêu chuẩn tối ưu hoặc là maximum, hoặc là minimum, nhưng phương trình hàm quan trọng lại chính là rn  r S , S n n 1 , Xn và Sn 1  tn S , Xn n Trong bài toán QHTT, phương trình hàm của hàm mục tiêu và các điều kiện ràng buộc

đều ở dạng tuyến tính, trong khi phương trình hàm của QHĐ (r n và t n) có thể là tuyến tính hay phi tuyến, có thể là hàm lồi hay hàm lõm

Để làm rõ về bài toán QHĐ, về các thành phần của bài toán, về các đặc trưng của mô hình, dưới đây chúng ta sẽ nghiên cứu một thí dụ cụ thể trong lĩnh vực thủy lợi và kinh

tế tổng hợp nguồn nước

Đây là một thí dụ kinh điển minh họa bài toán QHĐ, được đề cập trong nhiều giáo trình

và sách về toán tối ưu, trong cuốn sách này chúng tôi sẽ mô tả thí dụ đó dưới dạng một bài toán có ý nghĩa thực tế trong thủy lợi và kinh tế sử dụng tổng hợp nguồn nước, đó là bài toán tìm phương án tối ưu khi chuyển nước lưu vực

Thí dụ 1.3: Trên con sông C người ta đã thiết kế một hồ chứa điều tiết dòng chảy phục

vụ cấp nước cho dân cư vùng hạ lưu, tuy nhiên qua tính toán cân bằng nước hồ chứa, thấy rằng nguồn nước của bản thân lưu vực sông C không đủ phục vụ nhu cầu Qua nghiên cứu, người ta thấy rằng ở lưu vực sông M kề cận, lượng nước thiên nhiên rất dồi dào và có thể tìm kiếm một phương án chuyển một phần nước của lưu vực sông M (từ

hồ chứa 1) sang lưu vực sông C (đến hồ chứa 10)

Sông C

Sông M

Hồ chứa

Hồ chứa và trạm bơm

Đuờn

g ph

ân t hủ y

Hỡnh 1.7: Địa hỡnh và cỏc vị trớ cú thể xõy dựng bể chứa và trạm bơm

1

3 4

4 6

6 3

4 3

Chi phí từ 8 đến 10

là 3 tỷ đồng

Hỡnh 1.8: Sơ đồ cỏc phương ỏn chuyển nước và chi phớ

Địa hỡnh giữa hồ 1 trờn sụng M và hồ 10 trờn sụng C (hỡnh 1.7) khỏ phức tạp, cho nờn phương ỏn dẫn nước bằng bơm và đường ống cú ỏp là khả thi nhất Do độ chờnh địa hỡnh khỏ lớn, cho nờn cần ớt nhất hai cấp bơm và sau đú là hai cấp tự chảy Đối với cấp bơm thứ nhất cú 3 phương ỏn vị trớ bể chứa và nhà mỏy bơm là 2, 3 và 4 Với cấp bơm thứ hai cũng cú 3 phương ỏn vị trớ là 5, 6 và 7 Sau khi đó đạt độ cao, cú thể sử dụng đường ống tự chảy với hai phương ỏn vị trớ bể điều hũa là 8 và 9, trước khi đổ vào hồ 10 (Nhật, et al., 2001)

Tất nhiờn đối với mỗi phương ỏn chuyển nước, từ điểm này tới điểm tiếp sau đều cú tổng chi phớ tương ứng Trong hỡnh 1.8, mụ tả sơ đồ bài toỏn và chi phớ tương ứng cho

mỗi phương án Vấn đề ở đây là lựa chọn phương án chuyển nước từ hồ 1 đến hồ 10 sau cho tổng chi phí toàn tuyến là thấp nhất

1.3.4 Lập mô hình và giải bài toán QHĐ ở thí dụ minh họa

Từ bài toán thực tế trong thí dụ 1.3, chúng ta thấy rất gần gũi với lý thuyết QHĐ ở chỗ, nếu tồn tại một phương án chuyển nước rẻ nhất (Min tổng chi phí) từ điểm 1 đến điểm

10 trải qua 4 giai đoạn (4 cấp độ chuyển nước), thì có thể chia bài toán thành 4 bài toán con mà ở mỗi bài toán con đó cần thỏa mãn tiêu chuẩn min chi phí của chính nó cùng với giai đoạn trước

Áp dụng lý thuyết QHĐ để giải, trước tiên cần xác định rõ các thành phần của bài toán

1 Giai đoạn (n): Có 4 giai đoạn như trong hình 1.8, tức là n=4

2 Biến chính (X n ): Biến chính của bài toán chính và vị trí có thể xây dựng trạm bơm, bể

chứa hoặc bể điều hòa Như vậy hai điểm 1 và 10 là cố định vì là điểm đầu và cuối của tuyến chuyển nước Tại giai đoạn 1, có 3 phương án biến là các vị trí 2, 3, và 4 Giai đoạn 2 cũng có 3 phương án vị trí là 5, 6 và 7 Trong khi đó giai đoạn 3 chỉ có 2 phương

án là vị trí 8 và 9

3 Biến trạng thái (S n ): Trong trường hợp đơn giản này, biến trạng thái cũng chính là

biến chính mà không phải là một hàm của biến chính Như vậy, với bài toán này, biến trạng thái là rời rạc, và hữu hạn

4 Kết quả giai đoạn (r n ): Kết quả giai đoạn trong bài toán này chính là chi phí cho mỗi

phương án chuyển nước từ vị trí này tới vị trí tiếp theo Đây chính là một ma trận chi

phí Do đó hàm r là hàm ẩn và cho thẳng kết quả Có thể nói rằng

r  r S , S  , X C là các giá trị rời rạc được cho trong ma trận sau

Bảng chi phí (CSXn - tỷ đồng) cho các phương án tuyến dẫn giữa các vị trí

5 Phép biến đổi trạng thái (t n ): Trong bài toán này, như ở phần biến trạng thái đã nêu,

phép biến đổi trạng thái tn = 1 Nghĩa là: Sn 1  Xn

6 Trình tự giải: Trước hết chọn trình tự ngược để giải bài toán, tức là đi từ điểm 10 (hồ

chứa trên sông C) Lưu ý rằng, người ta rất hay sử dụng trình tự ngược để giải bởi nó theo logic xuôi Có nghĩa là: nếu tuyến trước đó đã tối ưu thì đoạn cuối cùng (giai đoạn cuối cùng) đạt tiêu chuẩn tối ưu thì sẽ cho tối ưu toàn tuyến

7 Phương trình truy toán): Từ phương trình truy toán tổng quát dạng giải ngược:

Với (1.39) cùng các dữ liệu của bài toán, chúng ta bắt tay vào giải bài toán QHĐ của thí

dụ 1.3 theo trình tự ngược cho từng giai đoạn để tìm được lời giải tối ưu là dẫn chuyển nước theo phương án tuyến nào sẽ cho tổng chi phí thấp nhất

Với giai đoạn n=4: Chúng ta có điểm đến cuối cùng là điểm 10 (hồ chứa trên sông C), đây chính là biến X4*, có hai phương án đến điểm 10, hay có hai biến trạng thái của giai đoạn 3 đến điểm 10, đó là S3 = 8 và 9 Sau đó có được giá trị của f4 và đồng thời là f4*

có thể, những biến trạng thái của giai đoạn 2 sang giai đoạn 3 chỉ là 3 biến là S2 = 5, 6

và 7 Sau đó có được giá trị của f3 và f3* như trong bảng sau

(n=3)

Biến trạng thái 2 (S 2 )

Với giai đoạn n = 2: Thực hiện tương tự như ở giai đoạn n=3, chúng ta có bảng sau

1.4 Giới thiệu lý thuyết quy hoạch phi tuyến (QHPT)

Quy hoạch phi tuyến được chia thành hai loại chính là: tối ưu phi tuyến không ràng buộc

và tối ưu phi tuyến ràng buộc Mỗi loại lại có những thuật toán giải và khả năng áp dụng

rất phong phú và đa dạng Dưới đây chỉ trình bày một số phương pháp hay được áp dụng nhất

1.4.1 Tối ưu phi tuyến không ràng buộc

Bài toán quy hoạch phi tuyến không ràng buộc dưới dạng tìm cực trị được viết dưới dạng:

x  EnTrong đó: X là véc tơ của n biến quyết định X = (x1, x2, , xn)T xác định trên toàn không gian En Xuất phát từ việc miền nghiệm được mở rộng không giới hạn cho nên loại bài toán này không có ràng buộc nào

Hình 1.9: Hàm phi tuyến đơn trị và đa trị

Giả thiết rằng hàm mục tiêu f(X) là một hàm phi tuyến bậc hai một chiều thì dạng của nó

là đường cong bậc hai lồi, lõm khác nhau với một cực trị trong khoảng (a, b) hay nhiều cực trị cục bộ trong khoảng (a, b) như hình 1.9 biểu diễn

Điều kiện cần để (1.41) có nghiệm tối ưu x* là:

Quá trình giải bài toán quy hoạch phi tuyến tìm cực trị của (1.41) thường được chuyển

về bài toán tìm cực tiểu, sau đó suy ngược lại cho bài toán tìm cực trị Để giải bài toán

tìm cực tiểu, thường áp dụng thuật toán tìm kiếm qua hai bước cơ bản là:

(1) Xác định phương tìm kiếm theo chiều giảm của hàm mục tiêu;

(2) Bước thứ hai còn được gọi là tìm kiếm một chiều nhằm thu được điểm tối ưu dọc theo phương tìm kiếm đã xác định ở bước 1

Thuật toán tìm điểm cực tiểu một chiều được diễn đạt như sau:

0Min f(x d)

Trong đó: x0 - điểm nghiệm ban đầu;

d - biểu hiện véc tơ chỉ phương tìm kiếm;

 - đại lượng vô hướng dương nằm trong khoảng (0, ) thể hiện cỡ của bước

Thuật toán tìm cực tiểu này sẽ cho nghiệm cục bộ (phụ thuộc vào phương án nghiệm ban đầu và phương tìm kiếm) trừ trường hợp hàm mục tiêu là hàm lõm trên toàn miền

k k 1

2 k

f(X ) f(X )f(X )



  

(1.47) Trong đó: k - chỉ số lặp;

 - độ chính xác cần đạt được;

x - độ dài của véc tơ x;

  - giá trị tuyệt đối

Quá trình tìm nghiệm của (1.41) thường qua những bước cơ bản sau:

- Bước 1: Chọn nghiệm ban đầu xk-0=(x10, x20, , xn0)

- Bước 2: Xác định phương tìm kiếm dk

- Bước 3: Tìm điểm nghiệm mới xk+1 = xk + k

dk) trong đó k

là bước chuyển (vô hướng)

- Bước 4: Kiểm tra qui tắc dừng theo một trong 4 tiêu chuẩn (1.44 đến 1.47) Nếu chưa thỏa mãn thì cho k=k+1 và quay lại bước 2

Xét bài toán quy hoạch phi tuyến ràng buộc mà đại diện là hàm mục tiêu phi tuyến sau:

Đối với bài toán tối ưu phi tuyến ràng buộc thì điều kiện Kuhn-Tucker là rất quan trọng Điều kiện này phải được thỏa mãn tại mọi điểm tối ưu ràng buộc (dù là nghiệm cục bộ hay nghiệm toàn miền, với bài toán quy hoạch tuyến tính hay quy hoạch phi tuyến) (Trí, 1999)

(a) Toán tử Lagrangian L(x,)

Toán tử Lagrangian được sử dụng để chuyển bài toán quy hoạch phi tuyến bất kỳ thành bài toán qui hoạch phi tuyến không ràng buộc, toán tử được định nghĩa như sau:

Đối với bài toán tìm cực tiểu, L(x,) là hàm mục tiêu có m+n biến Điều kiện cần và đủ

để tồn tại nghiệm tối ưu x*

i 1

gL(x ) f

(4) i không bị hạn chế về dấu i=1, , m (1.55)

Giải đồng thời hai phương trình (1.53) và (1.54) sẽ thu được nghiệm tối ưu Số nhân Lagrangian có một ý nghĩa quan trọng trong các bài toán tối ưu Đối với một ràng buộc cho trước, số nhân tương ứng sẽ chỉ độ nhạy của giá trị hàm mục tiêu khi thay đổi vế phải của ràng buộc, nghĩa là:

i được gọi là biến đối ngẫu

(b) Điều kiện Kuhn Tucker

Nếu sử dụng phương pháp số nhân Lagrange thì các điều kiện cho bài toán dạng tổng quát quy hoạch phi tuyến là:

Và bài toán quy hoạch phi tuyến gốc bây giờ được chuyển sang dạng bài toán rút gọn

(c) Phương pháp gradient tổng hạ nhanh nhất

Mô hình tổng quát của bài toán đơn mục tiêu có ràng buộc như sau:

Thỏa mãn các ràng buộc: hi(X)  0, Với i = 1, 2, , I (1.64)

lj(X) = 0, Với j = 1, 2, , J (1.65)

0  xn xnmax, Với n = 1, 2, , N (1.66) Trong đó: X - véctơ nghiệm: X = {x1, x2, , xn};

f - hàm mục tiêu riêng biệt;

h - các ràng buộc không chặt;

l - các ràng buộc chặt;

I - số lượng ràng buộc không chặt;

J - số lượng ràng buộc chặt;

n - chỉ số thứ tự hồ chứa được xét trong bài toán

Với các biến không âm thêm vào các ràng buộc không chặt (1.64) ta được:

Thỏa mãn các ràng buộc: hi(X) + xN+i = 0, Với i = 1, 2, , I (1.68)

lj(X) = 0, Với j = 1, 2, , J (1.69)

0  xn  xnmax, Với n =1,2, , N (1.70)

xN+i  0, Với i = 1, 2, , I (1.71)

Số lượng biến bây giờ là: N+I với X = {x1, x2, , xN, xN+1, xN+I}, bài toán trở thành:

Thỏa mãn các ràng buộc: gi(X) = 0, Với i = 1, 2, , I+J (1.73)

0  xn xnmax, Với n = 1, 2, , N+I (1.74)

Để giải bài toán từ (1.72) đến (1.74), phương pháp giải phù hợp là Phương pháp gradient tổng hạ nhanh nhất (Generalied Reduced Gradient Method), gọi tắt là phương

pháp GRG

Phương pháp GRG dựa trên ý tưởng giảm bớt độ lớn các biến thông qua những ràng buộc tương đương Về lý thuyết, mỗi biến có thể giảm kích cỡ mảng bằng cách tách thành hai mảng tương đương Tức là có thể tách:

YX

Z

 

  

.f

Giả thiết rằng các ràng buộc của bài toán thỏa mãn với véctơ X, tức là g(X)= 0, như vậy bất cứ thay đổi nào với véctơ dX đều phải cho dg = 0 nhằm duy trì được tính khả dĩ tại

X + dX Phương trình (1.80) có thể giải bằng cách khai triển dZ như sau:

dZ = -[D]-1 [C] dY (1.87)

Khi thay đổi biến X sẽ làm cho giá trị của hàm mục tiêu thay đổi theo Sự thay đổi này

được biểu hiện bằng phương trình (1.78) Thay (1.87) vào (1.78) sẽ có:

Chúng ta biết rằng, điều kiện cần để tồn tại cực tiểu của hàm không ràng buộc là các thành phần của gradient bị triệt tiêu Tương tự như vậy, đối với hàm mục tiêu có ràng buộc, sẽ tồn tại giá trị cực tiểu của hàm khi các thành phần của gradient giảm xuống bằng không (zero) Điều kiện này đã được chứng minh và được áp dụng trong toán tối

ưu, khi các điều kiện này được thỏa mãn thì sẽ tồn tại giá trị nhỏ nhất tương đối của hàm mục tiêu

Giá trị gradientf có được sử dụng để tạo phương tìm kiếm S cho hàm mục tiêu không

ràng buộc, tương tự như vậy, gradient giảm G R được sử dụng để tạo phương tìm kiếm S cho hàm mục tiêu có ràng buộc Trên phương tìm kiếm S, cần xác định bước tìm kiếm 

phù hợp để có thể nhanh chóng tìm ra giá trị cực tiểu của hàm mục tiêu Đối với giá trị của , véctơ biến phụ thuộc Z được điều chỉnh thông qua phương trình (1.87) Chú ý

rằng phương trình (1.87) sử dụng cơ sở gần đúng tuyến tính để áp dụng cho bài toán phi tuyến chuẩn, vì vậy đôi khi ta thấy các ràng buộc không tuyệt đối bằng zero tại  (tức là

dg0) Do đó khi Y đã sơ bộ được xác định, để đạt được:

gi(X) + dgi(X) = 0, Với i = 1, 2, , I+J (1.91) Phải có: g(X) + dg(X) = 0 (1.92)

Thay (1.80) vào (1.92) ta được:

dZ = [D]-1 (-g(X) - [C] dY) (1.93)

Giá trị dZ tính được từ (1.93) được sử dụng để điều chỉnh lại giá trị của Z

bằng cách:

Giá trị tính toán của các ràng buộc tại X sau khi điều chỉnh và quá trình điều chỉnh dZ bằng phương trình (1.93) được lặp lại nhiều lần cho đến khi đạt được dZ đủ nhỏ Thuật

toán và các bước giải như sau:

 Thuật toán và các bước giải bài toán đơn mục tiêu phi tuyến ràng buộc

Bước 1:

Xác định các biến chính Y (biến độc lập) và biến trạng thái Z (biến phụ thuộc) Cho một véctơ nghiệm X ban đầu và bắt đầu quá trình với X Trong bước này lưu ý một số điểm sau:

(a) Chọn biến trạng thái sao cho ma trận [D] không là đơn nhất;

(b) Vì biến trạng thái sẽ được điều chỉnh trong quá trình tính lặp nhằm duy trì vùng nghiệm khả dĩ, cho nên bất kỳ thành phần nào của ma trận X bằng giá trị biên dưới

và biên trên đều phải chọn làm biến chính;

(c) Các biến đưa thêm vào ràng buộc (để biến bất phương trình thành phương trình) đều phải cho là biến trạng thái Tuy nhiên nếu giá trị ban đầu của biến trạng thái là zero (giá trị biên dưới) thì phải chuyển nó thành biến chính

Tìm giá trị nhỏ nhất trên phương tìm kiếm Quá trình này như sau:

(a) Xác định giá trị  bằng khoảng cách nhỏ nhất tới biên trên và biên dưới:

- Khi xác định theo biến chính:

(u)

i cu i

i i

(l)

i cu i

i i