Bài giảng giải tích một biến đại học thủy lợi 2

Giới thiệu môn học• Giải tích một biến HKI-Toán 1 • Giải tích nhiều biến HKII-Toán 2 • Phương trình vi phân HKIV-Toán 4 • Đề cuơng chi tiết Giải tích một biến và đề cương ôn tập • Trước

Giới thiệu môn học

• Giải tích một biến (HKI)-Toán 1

• Giải tích nhiều biến (HKII)-Toán 2

• Phương trình vi phân (HKIV)-Toán 4

• Đề cuơng chi tiết Giải tích một biến và đề cương ôn tập

• Trước đây 300 năm Galile đã nói rằng:

“Cuốn sách vĩ đại của tự nhiên được viết bằng các kí hiệu Toán học”

• Toán là môn học chứa nhiều thành tựu lớn nhất

lại được đối với các nhà nghiên cứu như cánh

đồng hoa quyến rũ đàn ong.

• Giải tích là một phần quan trọng của Toán học, là công cụ không thể thiếu trong hầu hết các lĩnh

vực khoa học: Vật lí, hóa học, sinh học địa chất, thiết kế và thậm chí trong cả một số nghành khoa học xã hội

• Phương pháp và những ứng dụng của Giải tích luôn được coi là một trong những thành tựu trí

tuệ bậc nhất của nền văn minh nhân loại

Cách học

• Thói quen làm bài tập về nhà khi chưa đọc phần giải thích trong giáo trình lý thuyết là việc làm kỳ cục, vô lý, giống như việc xỏ giầy trước khi đi tất

• Câu ngạn ngữ Pháp: ‘’ Ai muốn giải thích mọi điều ngay lập tức sẽ thấy như minh

đang trò chuyện trong một căn phòng

rỗng.

Chương I Đạo hàm và vi phân hàm một biến

Chương I Đạo hàm và vi phân hàm một biến

$1 Vận tốc và tốc độ biến thiên

1.1 Hàm số

• ĐN: Một hàm số xác định trên D (tập con của R) là một quy tắc cho phép xác định duy nhất giá trị y ứng với mỗi giá trị x đã cho trong D Viết y=f(x) với x là biến độc lập, y-hàm số, D-miền xác định.

1.2 Vận tốc

• Ví dụ 1: Xét chuyển động rơi tự do của một hòn đá rơi từ một cạnh vách đá cao 400 ft (Hình 2.11) Bằng kinh

nghiệm, người ta biết rằng hòn đá rơi một độ cao

feet trong t giây Khi t = 5, s = 400 Do đó sau khi rơi 5 giây, hòn đá sẽ chạm mặt đất và công thức (2) chỉ đúng đối với

0 ≤ t ≤ 5.

Ví dụ 2

• Một tên lửa phóng thẳng lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 128ft/s Tên lửa này chuyển động lên hoặc xuống dọc theo đường thẳng Tuy nhiên, hai phần đường đi

của nó được chia ra như Hình 2.12.

• Đặt s = f(t) là độ cao của tên lửa sau khi phóng được t giây Nếu bỏ qua trọng lực, tên lửa sẽ tiếp tục chuyển động đi lên với một vận tốc không đổi 128ft/s, và ta có s

= f(t) = 128t Tuy nhiên, do lực hấp dẫn gây ra, nó

chuyển động chậm dần, dừng lại tại điểm cao nhất của đường bay, rồi rơi xuống trái đất với tốc độ tăng dần Bằng kết quả thực nghiệm chỉ ra rằng độ cao của tên

lửa trong chuyến bay của nó được cho bởi công thức

Vận tốc tại thời điểm t là

1.3 Suất biến đổi

$2 Độ dốc và đạo hàm Giới hạn và

liên tục (2.2, 2.3, 2.5)

2.1 Bài toán tiếp tuyến

2.2 Tính độ dốc

2.3 Định nghĩa đạo hàm

2.4 Giới hạn

2.5 Hàm số liên tục

$2 Độ dốc và đạo hàm Giới hạn và liên tục

(3.2)

(3.3, 3.4)

Giải tích một biến

PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo

Bài 2

$ 5 Đạo hàm của các hàm mũ và lôgarít (8.3, 8.4)

5.1 Hàm mũ

5.2 Hàm logarit

$ 6 Đạo hàm các hàm lượng giác (9.2)

6.1 Các hàm lượng giác 6.2 Các công thức

6.3 Đạo hàm các hàm lượng giác

Chương 2

(1.8, 4.1, 4.2)

(Tự vẽ)

Ghi nhớ

• Buổi sau học lí thuyết các mục: 4.3, 4.4,

4.5 và 4.6.

• Bài tập các mục vừa học (các bài số lẻ)

• Tuần 20-10 đến 24-10 có bài kiểm tra số 1 (50 phút)

Giải tích một biến

PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo

Bài 3

§ 3 BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ

GIÁ TRỊ BÉ NHẤT (4.3, 4.4)

4

§ 4 TỐC ĐỘ TƯƠNG ĐỐI (4.5)

§ 5 BẤT ĐẲNG THỨC, PHƯƠNG PHÁP NEWTON

(4.6)

§1 VI PHÂN VÀ ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM (5.2)

sung khái niệm chính xác của vi phân

Định nghĩa: hàm số y = f(x) được gọi là khả

vi tại x nếu tồn tại số A không phụ thuộc sao cho

Chú ý:

(i) số A trong định nghĩa trên là duy nhất

(ii) khi f(x) khả vi có f’(x) nên dy = f’(x)dx

(iii) f(x) khả vi tương đương với f(x) có đạo hàm.

(iv) Lập luận về vi phân của Leibnitz cho hàm y = x 2

Thay x, y bởi x + dx và y + dy có

y + dy = (x + dx) 2 = x 2 + 2xdx + dx 2

dy = 2xdx + dx 2

vì dx 2 rất bé nên có dy = 2xdx.

Ý tưởng này đã thống trị sự phát triển của giải

tích và vật lý trong suốt 150 năm và chỉ chấm

dứt vào những năm đầu của thế kỷ 19 Cho dù

các lập luận còn thiếu chặt chẽ, nhưng đáng

ngạc nhiên là hiếm khi họ lạc lối trong các kết

Mệnh đề: Nếu hai hàm F(x) và G(x) có cùng đạo hàm

là f(x) trên một khoảng nào đó thì tồn tại hằng số c sao cho

G(x) = F(x) + c

Chứng minh

G(x) – F(x) = c G(x) = F(x) + c

( )

32

3 2

x

3 2 2

Ví dụ 7: f(x) = x 6 sinx

Điều kiện tồn tại: f bị chặn và có hữu hạn điểm gián đoạn

1 5

1 2

Ví dụ 9: tính sin

1 cos

x

dx x

∫

2sec

c Tích phân lượng giác

f(x)dx = sin m x.cos n xdx = sin m x.(1 – sin 2 x) 2k d(sinx)

+ Nếu f(x) = tan m x.sec n x với m n , ∈ »

d(secx) = secx.tanxdx

= (sec 2 x – 1) m-1 sec n x.sec -1 xd(secx)

= (sec 2 x – 1) m-1 sec n-1 xd(secx)

Nếu cả hai số mũ đều chẵn ta có:

= tan m x.sec n-2 x.sec 2 xdx

= tan m x.(1+tan 2 x) (n-2)/2 d(tanx)

Ví dụ 15: tính

a x

dx x

được bằng phép thế lượng giác)

f Phương pháp phân thức đơn giản

Định nghĩa: Hàm hữu tỉ ( ) ( )

( )

n m

Các hệ số trên tìm được bằng phương pháp hệ số bất định

Tích phân thứ nhất bên phải đã biết,

còn tích phân thứ hai bên phải luôn tính được nhờ phép thế

hoặc bằng phương pháp truy hồi

§3 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH (6.6)

3.1 Xuất xứ

một phần của parabol

phát huy kết quả bởi các công trình của Fermat, Pascal,

Newton, Leibnitz Đó chính là định lý cơ bản của Giải tích.

đại, đã nắm vững cách tính diện tích tam giác, hình tròn, …

3.2 Bài toán diện tích

D có giới hạn bởi đường cong f 1 (x) và

3.3 Tính diện tích hình thang cong

→∞

=

Hình 6.10: Miền xấp xỉ

Hình 6.11 Tổng dưới

Chú ý:

3.4 Tính diện tích qua giới hạn

b

Hình 6.14 Hình 6.15

=

23

(ii) Nhiều năm sau, Fermat đã chứng minh công thức này đúng với mọi số n tự nhiên

3.5 Định lý cơ bản của Giải tích:

tích phân

Leibnitz

Định lý cơ bản của Giải tích:

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và F(x) là một

Ví dụ 3

53

x

dx x

=  − 

4 49 10

2 1

=

(iv) Tích phân xác định luôn có những hạn chế cho những hàm được lấy tích phân còn tích phân

không xác định không mắc phải những hạn chế đó

(v) Newton và Leibnitz là những người đầu tiên

nhưng độc lập nhau tìm ra định lý cơ bản của Giải tích.

Các vết tích sơ khai của chứng minh định lý cơ bản đã

có trong các công trình của Baron, Pascal và đặc

biệt là Fermat, người đã nắm bắt tường tận định lý này nhưng đã không công bố nó

các tiết: 2, 5, 8, 11 và có bài kiểm tra 1 vào các tiết 3, 4 và 9, 10.

Ở đó A1, A3 là các phần diện tích nằm trên trục hoành;

A2, A4 là các phần diện tích nằm dưới trục hoành

Ví dụ 1 Tính diện tích đại số của miền phẳng tạo bởi đường cong y = x x( 2 −1) và

224

1

764

1

224

§5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH CÁC BIẾN (5.4)

Khi cho C các giá trị cụ thể ta có nghiệm riêng

3 Phương trình vi phân có biến số phân ly

11

12

x

x x C x

Ví dụ 4. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân

C C C

Chú ý: - Về nguyên tắc có thể gọi các phương trình vi phân là các phương trình

đạo hàm, tuy nhiên chúng gọi là phương trình vi phân vì:

+) Khái niệm vi phân có trước đạo hàm +) Đây là khái niệm chuẩn đã được sử dụng hàng thế kỉ

- Chúng ta thường phải đối mặt với bài toán thực tế là tìm hàm số chưa biết

từ thông tin về tốc độ biến thiên của nó, thông tin này thường được biểu diễn dưới

dạng một phương trình bao gồm đạo hàm của hàm chưa biết Những phương trình

vi phân này thường nảy sinh trong các vấn đề khoa học mà các nghiên cứu về

chúng cấu thành một trong những nhánh chính của toán học

§6 PHƯƠNG PHÁP SỐ TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (10.9)

• Quy tắc hình thang

• Quy tắc Simpson

1) Đt vn đ:

• Các lớp hàm f(x) để có thể tính được ∫f x dx( ) là quá nhỏ, thậm chí ngay cả khi

biết f(x) có nguyên hàm thì cũng không thể tính được nguyên hàm này, chẳng hạn:

k k

Ví dụ 1. Sử dụng quy tắc hình thang tính gần đúng

1

3 0

do

2 0

1 3

22

k k

+

∫

41

dx

x x

Chương IV Ứng dụng tích phân xác định

§1 Diện tích giới hạn bởi các đường cong, thể tích tròn xoay

(7.2, 7.3, 7.4)

• Ý nghĩa trực giác của tích phân

• Diện tích giữa hai đường cong

• Thể tích tròn xoay

1 Ý nghĩa trực giác của tích phân

• Trong chương trước có *

• Ta xem diện tích hình thang cong gồm nhiều

diện tích của các hình chữ nhật rất nhỏ với chiều

cao là y và chiều rộng là dx , nên có diện tích là

dA=ydx=f(x)dx

Xem diện tích A của toàn miền là tổng các yếu tố

diện tích dA, khi x tăng từ a đến b ta có

2 Diện tích giữa hai đường cong:

g x ≤ y ≤ f x a≤ x ≤ b

Cách tính:

- Vẽ miền cần tính diện tích, viết

phương trình các đường biên và tìm

các toạ độ giao điểm

- Chọn vi phân diện tích: hoặc thẳng

đứ ng với chiều rộng dx hoặc nằm

ngang với chiều rộng dy

- Từ hình vẽ và từ các đường biên tính vi phân diện tích dA bằng tích

của chiều dài hay chiều rộng

- Lấy tích phân dA theo cận của x hoặc y

Hình 7.1

Hình 7.2

• Chiều dài của dải thẳng đứng là 3-x2

-(x+1), nên diện tích miền phẳng là

Tính tích phân này, ta cũng có kết quả như trên

Ví dụ 3. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường y=x3-3x và y=x, x ≥ 0

Hình 7.3

Hình 7.4

• Phần bên trái hình 7.5 thể hiện miền phẳng với một dải rất mỏng thẳng

đứ ng với độ dày là dx và đáy nằm trên trục Ox

Hình 7.5

• Dải này tạo nên một đĩa mỏng hình đồng xu với bán kính là y = f(x) và

độ dày là dx (xem hình 7.5 bên phải)

• Thể tích của đĩa này là vi phân thể tích dV, mặt khác vì đĩa là hình trụ

• Xem hình nón là vật thể tròn xoay khi:

y = x, 0 ≤ x ≤ h quay quanh trục Ox

•Cạnh huyền của tam giác vuông cân này là

1

h h

Ví dụ 3. Cho hình trụ có bán kính đáy a, chiều

cao h Tính thể tích phần nằm trong hình trụ giới

hạn bởi mặt phẳng z=0 và mặt phẳng đi qua

đườ ng kính đáy hình trụ và tạo với đáy trụ một

góc 450

• Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với

đườ ng kính thì tiết diện là tam giác vuông cân

• Khi quay quanh trục Oy thì dải mỏng thẳng đứng sẽ tạo thành một vỏ hình trụ mỏng Vi phân thể tích dV của vỏ này đúng bằng diện tích mặt

trong 2 xyπ nhân với độ dày của trụ mỏng, tức là ta có

Ví dụ 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi quay:

y = x2, y = 2 – x2, 0 ≤ x ≤ 2 xung quanh trục Oy

• Chiều cao của vỏ là: y = 2 – x2 – x2 = 2 – 2x2

Về nguyên tắc có thể tính thể tích vật thể tròn xoay trong phần b) bằng phương pháp đĩa, nhưng khi đó gặp khó khăn là cần phải tìm hàm ngược của y = f(x) là hàm x = ϕ (y)

Hình 7.11

Chú ý

• Tuần sau lý thuyết học các mục : 17.1, 7.6, 16.2, 16.3, 16.4 và 16.5

• Bài tập tuần sau làm bài lẻ các mục: 6.7, 5.4, 10.9, 7.2, 7.3 và 7.4

Cho vật thể giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng

x = a, x = b, a < b, biết mọi đường thẳng song song với trục Oz chỉ cắt mặt cong tại không quá hai điểm

Chia [a; b] thành n đoạn nhỏ: a ≡ x0 < x1<
< x n ≡ b

Vật thể V được cắt thành n phần nhỏ, mỗi phần có thể tích xấp xỉ là S( )ξi ∆ x i

ở đó ∆x i = x i −x i−1, ξ ∈ ∆x i còn S( )ξi là diện tích tiết diện thẳng tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = x i

Thể tích của vật thể xấp xỉ bằng ( )

1

n

i i i

2 Đối với vật thể hình trụ tuỳ ý cho trước (có đáy trên là mặt cong và mặt bên tạo

bởi các đường sinh song song với trục Oz) luôn tìm được một hình trụ có cùng

đáy và cùng thể tích

3 Các nhận xét trên làm rõ hơn khả năng ứng dụng của các hình chữ nhật và hình trụ

+) g(x) không đổi dấu trên đoạn [a; b]

Khi đó tồn tại µ∈[m M; ] sao cho: ( ) ( ) ( )

b a b a

chiều cao h Khi đó lực nước tác dụng lên đáy bể

được tính theo công thức

32

Ví dụ 2. Một con đập hình tam giác có đáy ở phía trên dài 10ft và đỉnh có chiều sâu

là 6ft Tính áp lực nước tác dụng lên đập khi mực nước vừa chạm đáy và sắp tràn qua đập

Dựa vào tam giác đồng dạng ta có:

b) Công và năng lượng:

Công sản ra do lực F tác dụng vào một vật di chuyển trên đường thẳng từ a đến b là

b

a

w = ∫Fdx

Ví dụ 3. Một hình trụ có bán kính đáy r, chiều cao h, chứa

mực nước ở chiều cao k Tính công sản ra để bơm nước ra

khỏi thùng qua đáy trên biết tỉ trọng nước là w

Mỗi giọt nước cần được nâng lên từ vị trí ban đầu của nó

đến miệng thùng để đổ ra ngoài

Xem nước trong thùng thuộc một lớp mỏng nằm ngang có

chiều dày dx ở chiều cao x kể từđáy thùng

Vi phân thể tích của lớp nước này là

$3 PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ ĐỘ DÀI CUNG (17.1)

• Phương trình tham số của đường cong • Độ dài cung

1 Phương trình tham số của đường cong:

Định nghĩa: - Phương trình của đường cong: F(x, y) = 0 (1)

- Phương trình tham số của đường cong: x = f(t), y = g(t) (2)

Nhận xét: - Phương trình (2) được sử dụng thuận lợi hơn (1)

Ví dụ 2: Một viên đạn được bắn ra khỏi gốc toạ độ tại thời điểm

t = 0 với vận tốc ban đầu là v0 m/s và xác định bởi góc α (Hình

17.3) và giả sử rằng chỉ có lực hấp dẫn tác dụng lên viên đạn

Lập phương trình chuyển động của viên đạn

Ví dụ 3: Phương trình tham số của đường tròn x2 + y2 = a2 là

+ Phương trình trong hệ trục vuông góc là x+y =1, x y, ∈[ ]0,1

b) Cho phương trình tham số x = t – 1, y = 2t + 3

+ Phương trình trong hệ trục vuông góc là:

+ Thay t = x + 1 ta có y = 2(x + 1) + 3 hay y = 2x + 5

2 Độ dài cung

+ Xét về trực giác độ dài một cung là

một khái niệm rất đưon giản: chỉ cần

uốn một đoạn dây cho hợp với đường

cong từ A đến B, kéo căng sợi dây ra và

dung thước đo độ dài của đoạn dây đó

+ Xét về Toán học khái niệm này phức

tạp hơn nhiều Mô tả như sau:

+ Chia cung AB thành n cung nhỏ hơn với các điểm

chia P0 ≡ A, P1, P2, …, Pn ≡ B

+ Đặt thẳng sợi dây từ đỉnh này tới đỉnh kia, rõ ràng sợi

dây có độ dài ngắn hơn cung AB

+ Tuy nhiên khi ta chia cung AB thành các phần đủ nhỏ

thì sẽ có độ dài sợi dây xấp xỉ bằng độ dài cung AB

+ Ý tưởng này được diễn đạt theo ngôn ngữ toán học

mọi cách chia cung AB, cách chọn xk*

+ Chú ý: có công thức độ dài cung là

Ví dụ: Tìm độ dài cung đường cong y2 = 4x3 từ điểm (0,0) đến điểm (2, 4 2 )

+ Cung dường cong cần tính nằm trong góc phần tư thứ nhất

$4: DIỆN TÍCH MẶT CONG VÀ ĐỒ THỊ TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CỰC (7.6, 16.2)

• Diện tích mặt tròn xoay • Đồ thị trong hệ toạ độ cực

1 Diện tích mặt tròn xoay

+ Cho đường cong y = f(x) ≥ 0, a ≤ x ≤ b quay quanh trục Ox, sẽ tạo thành một mặt tròn xoay Tính diện tích mặt này

+ Xấp xỉ độ dài cung trơn y = f(x), bởi đường gấp khúc gồm nhiều đoạn ngắn nối các

diểm kề nhau trên đường cong

+ Diện tích mặt tròn xoay cần tìm xấp xỉ với diện tích cho đường gấp khúc quay quanh trục Ox tạo nên

Nếu vi phân cung ds quay quanh trục Ox sẽ tạo nên vi phân diện tích dA, và

+ Khi r âm, ta định nghĩa (r,ϕ) (= −r,ϕ π+ )

Ví dụ 1: Trong toạ độ Decartes cho M −( 1, 3) Tìm toạ độ

cực của điểm này

+ θ tăng thì r giảm, r = 0 khi θ = 2π/3

+ θ tăng đến π thì r giảm từ 0 đến –a

+ khi θ tăng hết góc phần tư thứ 3 và thứ tư thì r nhận lại giá trị với vị trí đảo ngược

+ vòng tròn trong hoàn thành khi θ = 4π/3, và vòng ngoài hoàn thành khi θ = 2π

Ví dụ 3: r 2 = 2a 2 cos2θ, a>0, (Đường Lemniscate)

+ Hình 16.10

+ r = ±a 2 cos 2θ

+ Khi θ tăng từ 0 đến π/4 thì hai giá trị r đồng thời vẽ nên 2 phần đường cong

+ Khi θ tăng qua nửa thứ hai của góc phần tư 1 và nửa 1 của góc phần tư 2 thì cos2θ âm, vì vậy đồ thị không có điểm nào

+ Khi θ tăng qua nửa thứ 2 của góc phần tư thứ 2 thì 2 giá trị của r lại hoàn thành 2 vòng ở bên trái hình tròn

+ Tiếp tục như trên ta, thấy không thu được điểm nào nữa