Bài giảng thuỷ văn công trình (đại học thủy lợi)

Biến cố và quan hệ giữa các biến cố B- Xuất hiện điểm 4 khi đổ xúc sắc C- Xuất hiện điểm 6 khi đổ xúc sắc G- Xuất hiện số chẵn khi đổ xúc sắc G = A + B + C Biến cố cơ bản hay biến c

Chương 3: Phân tích tần suất và Phân tích

Chương 3: Phân tích tần suất và Phân tích

tương quan

Nội dung chương 3

I Biến cố và xác suất

II Đại lượng ngẫu nhiên và luật phân bố xác suất của chúng

III Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

IV Ứng dụng thống kê trong thuỷ văn, khái niệm mẫu, tổng thể,

phương pháp chọn mẫu.

V Đặc trưng thống kê của mẫu và sai số lấy mẫu

V Đặc trưng thống kê của mẫu và sai số lấy mẫu

VI Khái niệm về tần suất, Đường tần suất; Tần suất kinh nghiệm

và đường tần suất kinh nghiệm

VII Một số hàm phân bố thường dùng trong thuỷ văn (P-III, K-M)

VIII Ảnh hưởng của các tham số thống kê đến đường tần suất

IX Phương pháp vẽ đường tần suất của tổng thể

X Phân tích tương quan tuyến tính

1. Biến cố và quan hệ giữa các biến cố

2. Công thức tính xác suất

3. Các định lý cơ bản của lý thuyết xác suất

I Biến cố và xác suất

Trong lý thuyết xác suất, biến cố được hiểu là một sự kiện bất kỳ có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong thí nghiệm

Sử dụng chữ cái la tính viết hoa để ký hiệu các biến cố

Ví dụ: A: Xuất hiện mặt ngửa khi tung đồng xu; B: Xuất hiện lưu

1 Biến cố và quan hệ giữa các biến cố

Ví dụ: A: Xuất hiện mặt ngửa khi tung đồng xu; B: Xuất hiện lưu lượng dòng chảy Q = 2000 m3/s tại vị trí mặt cắt ngang sông nào đó.

Xác suất của một biến cố là mức đo khách quan khả năng xuất hiện của biến cố đó: đó là 1 số không âm, biến đổi trong khoảng từ 0 đến 1

P(A), P(B): Xác suất biến cố A, xác suất biến cố B

Biến cố chắc chắn (E): Là biến cố trong thí nghiệm bao giờ cũng xảy ra

1 Biến cố và quan hệ giữa các biến cố

hiện phép thử Các biến cố ngẫu nhiên thường được ký hiệu là A, B, C hoặc là A1, A2, , An

Biến cố không trùng lặp (Biến cố xung khắc): 1 vài biến cố được gọi là biến cô không trùng lặp nếu trong thí nghiệm không bao giờ

có 2 biến cố trong số đó cùng đồng thời xảy ra.

Ví dụ: A xuất hiện mặt ngửa khi tung đồng xu; B: xuất hiện mặt úp khi tung đồng xu; A và B là 2 biến cố không trùng lặp

Biến cố đồng khả năng: 1 vài biến cố được gọi là đồng khả năng nếu

chúng ta không có cơ sở để cho rằng biến cố này dễ xuất hiện hơn biến

cố khác Nói 1 cách khác, những biến cố đồng khả năng là những biến cố

có xác suất bằng nhau.

Biến cố tổng: G = A + B + C + : Tổng của nhiều biến

cố là 1 biến cố G, chỉ xuất hiện khi ít nhất 1 trong

những biến cố ấy xuất hiện

Ví dụ

A- Xuất hiện điểm 2 khi đổ xúc sắc

B- Xuất hiện điểm 4 khi đổ xúc sắc

1 Biến cố và quan hệ giữa các biến cố

B- Xuất hiện điểm 4 khi đổ xúc sắc

C- Xuất hiện điểm 6 khi đổ xúc sắc

G- Xuất hiện số chẵn khi đổ xúc sắc

G = A + B + C

Biến cố cơ bản hay biến cố sơ cấp: là những biến cố chúng ta không thể coi chúng là tổng của bất cứ những biến cố nào, nghĩa là chúng ta không thể phân chia ra được nữa

Ví dụ A, B, C là những biến cố cơ bản

Biến cố tích: G = A.B.C : Tích của nhiều biến cố là 1 biến cố G chỉ xuất hiện khi tất cả những biến cố đó

cùng xuất hiện đồng thời

Ví dụ

A: Xuất hiện Q = 200 m3/s tại tuyến A

1 Biến cố và quan hệ giữa các biến cố

B

A: Xuất hiện Q = 200 m3/s tại tuyến A

B: Xuất hiện Q = 300 m3/s tại tuyến B

C: Xuất hiện Q = 500 m3/s tại tuyến C

C = A.B

Biến cố đối lập: A được gọi là biến cố đối lập với biến cố A nếu

A là biến cố A không xảy ra trong thí nghiệm

Ví dụ:

hiện mặt ngửa khi tung đồng xu

điểm 2 khi đổ xúc sắc

E = A +A ,tổng 2 biến cố đối lập là 1 biến cố chắc chắn

1 Biến cố và quan hệ giữa các biến cố

E = A +A ,tổng 2 biến cố đối lập là 1 biến cố chắc chắn

Khái niệm đối lập bao hàm cả khái niệm không trùng lặp 2

biến cố đối lập thì bao giờ cũng là 2 biến cố không trùng

lặp, nhưng 2 biến cố không trùng lặp thì chưa chắc đã đối

lập Ví dụ:

khi đổ xúc sắc

Trường biến cố cơ bản: 1 nhóm biến cố cơ bản A1, A2, A3, , An lập nên trường biến cố cơ bản nếu chúng có tính chất sau:

A1 + A2 + +An = E

gọi đó là nhóm đầy đủ các biến cố

1 Biến cố và quan hệ giữa các biến cố

A1, A2, , An là những biến cố không trùng lặp từng đôi một

A1, A2, , An là những biến cố đồng khả năng

Nếu có trường biến cố cơ bản thìcác biến cố cơ bản lập nên

trường đó được gọi là các trường hợp

Trường hợp được gọi là thuận lợi cho một biến cố nào đó nếu

trường hợp đó xảy ra thì kéo theo biến cố đó xảy ra

trường hợp: 1, 2, 3 , 6 Gọi biến cố A xuất hiện mặt chẵn, vậy biến cố A này có 3 trường hợp thuận lợi là 2, 4, 6.

Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển

Giả sử ta có trường biến cố cơ bản, xác suất của biến cố

A được tính như sau:

Xác suất để rút được bi đỏ là 13/20 = 0.65

Xác suất để rút được bi trắng là 7/20 = 0.35

n

Định nghĩa xác suất theo thống kê

Khái niệm về tần số: Giả sử ta có 1 biến cố A và tiến

hành thí nghiệm trên nó Trong n lần thí nghiệm thì có m lần biến cố A xuất hiện, khi đó tỷ số m/n được gọi là tần

số xuất xuất hiện biến cố A trong loạt phép thử

2 Công thức tính xác suất

Ví dụ: Khi kiểm tra ngẫu nhiên 80 sản phẩm do một máy sản xuất, người ta phát hiện ra 3 phế phẩm Gọi A là biến cố “Xuất hiện phế phẩm” Vậy tần suất xuất hiện phế phẩm = 3/80.

Cho số phép thử tăng lên vô hạn, tần số xuất hiện biến cố

A dần về một số xác định gọi là xác suất của biến cố A

Quy tắc cộng: Nếu A và B xung khắc thì:

3 Các định lý cơ bản của lý thuyết xác suất

Quy tắc cộng: Nếu A và B xung khắc thì:

P(A∪B) = P(A) + P(B) hay P(A hoặc B) = P(A) + P(B)

Trong trường hợp tổng quát, khi A và B không xung khắc với nhau ta có công thức sau:

P(A hoặc B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Trong đó AB là biến cố “A và B đồng thời xảy ra”

Quy tắc chuyển qua biến cố đối lập

Biến cố đối của biến cố A, ký hiệu là A, là biến cố “A không xảy ra”

Công thức

P(A) = 1 – P(A) hay P(A) = 1 – P(A)

3 Các định lý cơ bản của lý thuyết xác suất

P(A) = 1 – P(A) hay P(A) = 1 – P(A)

Ý nghĩa: Trong nhiều trường hợp việc tính xác suất của biến cố A khó hơn nhiều so với việc tính xác suất của biến cố đối A Khi đó sẽ tính P(A) rồi từ đó tính P(A)

Quy tắc nhân

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của biến cố kia

Trong trường hợp ngược lại ta nói A và B là 2 biến cố

3 Các định lý cơ bản của lý thuyết xác suất

Trong trường hợp ngược lại ta nói A và B là 2 biến cố

phụ thuộc nhau

Quy tắc nhân: Nếu A và B độc lập thì

P(A∩B) hay P(AB) = P(A).P(B) hay P(A và B) = P(A).P(B)

Biến cố phụ thuộc và xác suất có điều kiện

Giả sử A và B là 2 biến cố phụ thuộc Điều đó có nghĩa rằng việc xảy ra hay không xảy ra biến cố A có ảnh

hưởng tới xác suất xảy ra của B

Xác suất của B được tính trong điều kiện biết rằng A đã

3 Các định lý cơ bản của lý thuyết xác suất

Xác suất của B được tính trong điều kiện biết rằng A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A và được

Ví dụ

kế trong hệ thống kênh tiêu vào mỗi mùa lũ là 0.1; xác suất xuất hiện sự cố mất điện trong vùng đó là 0.2; kinh nghiệm cho thấy rằng khi có lũ xuất hiện, xác suất xuất hiện sự cố mất điện vì bất cứ lý do gì tăng lên 0.4 Vậy:

P(lũ) = P(F) = 0.1 và P(không lũ) = P(F) = 0.9

P(mất điện) =P(P)= 0.2 và P(không mất điện =P(P)= 0.8

P(mất điện khi có trận lũ xuất hiện) = P(P/F)= 0.4

P((F∪P) =P(F) + P(P) = 0.1 + 0.2 = 0.3

Nếu những sự kiện này là độc lập, thì ta có;

1. Khái niệm và phân loại ĐLNN

II Đại lượng ngẫu nhiên và luật phân bố xs của chúng

1 Khái niệm và phân loại ĐLNN

Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là 1 đại lượng trước thí nghiệm ta không biết trước nó bằng bao nhiêu, nhưng sau thí ngiệm bao giờ nó cũng nhận 1 trị số cụ thể

Ví dụ

Trong trò chơi gieo xúc sắc: trước khi gieo chúng ta không

biết nó ra điểm mấy, nhưng sau khi gieo bao giờ cũng ngửa 1 điểm cụ thể, Điểm đó có thể là 1, 2, 3, 4, 5, 6 Vậy số điểm

xuất hiện khi gieo xúc sắc là 1 đại lượng nhẫu nhiên

Trong thuỷ văn : trước khi đo đạc chúng ta không thể biết lưu lượng nước tại 1 mặt cắt của 1 con sông nào đó là bao nhiêu Nhưng sau khi đo đạc, bao giờ lưu lượng Q cũng là một con số

cụ thể Vậy lưu lượng nước tức thời tại 1 mặt cắt của 1 con

sông là 1 đại lượng ngẫu nhiên

Đặc điểm

Đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận những trị số khác nhau sau thí nghiệm Những trị số này được gọi là trị số có thể của đại lượng ngẫu nhiên

Trong lý thuyết xác suất người ta thường dùng các chữ cái X

để ký hiệu đại lượng ngẫu nhiên và xi để chỉ những trị số có thể của nó; X = { x1, x2, , xn } ta hiểu đại lượng ngẫu nhiên

X gồm n trị số có thể Trong thí dụ về gieo xúc sắc ta có X = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

1 Khái niệm và phân loại ĐLNN

X gồm n trị số có thể Trong thí dụ về gieo xúc sắc ta có X = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Những trị số có thể của đại lượng ngẫu nhiên là những biến cố không trùng lặp từng đôi một : Ví dụ : trong ví dụ gieo xúc sắc xuất hiện mặt 1 là 1 biến cố, xuất hiện mặt 2 là 1 biến cố

đó là những biến cố không trùng lặp từng đôi một

Đại lượng ngẫu nhiên gồm nhiều biến cố, tổng tất cả các biến

cố ấy là 1 biến cố chắc chắn, tức là tạo thành 1 nhóm đầy đủ.Trong ví dụ gieo xúc sắc, tổng của 6 biến cố là 1 biến cố chắc chắn

Phân loại đại lượng ngẫu nhiên

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc (gián đoạn): Đại lượng ngẫu nhiên

được gọi là gián đoạn nếu các trị số có thể của nó là những số tách rời nhau.

Như trong ví dụ gieo xúc sắc, những trị số có thể của nó là 1, 2, 3,

4, 5, 6 - đây là những con số tách rời nhau, giữa chúng còn có vô vàn những con số khác mà đại lượng ngẫu nhiên không thẻ nhận được.

1 Khái niệm và phân loại ĐLNN

chúng không có khoảng cách nào.

Trong ví dụ về đo lưu lượng, lưu lượng tức thời tại 1 mặt cắt của 1 con sông là 1 đại lượng ngẫu nhiên liên tục Lưu lượng tức thời này có thể nhận bất cứ giá trị nào trong khoảng từ 0 đến ∞.

P(X = xn) = 1/∞ = 0

Mỗi một đại lượng ngẫu nhiên đều có 1 luật phân bố của nó, luật phân bố này phụ thuộc vào bản chất của đại lượng ngẫu nhiên

Để mô tả 1 đại lượng ngẫu nhiên, chúng ta phải tìm

luật phân bố của nó

Luật phân bố xác suất của đại lượng ngẫu nhiên là

2 Luật phân phối xs của ĐLNN

Luật phân bố xác suất của đại lượng ngẫu nhiên là

quy luật liên hệ những trị số có thể của đại lượng ngẫu nhiên với những xác suất tương ứng của chúng

a. Bảng phân bố và đa giác phân bố

Bảng phân bố xs: dùng để thiết lập luật phân phối xs của ĐLNN rời rạc, nó gồm 2 hàng, hàng thứ nhất liệt

kê các giá trị có thể x1, x2, , xn của ĐLNN X và hàng thứ 2 liệt kê các xs tương ứng p1, p2, , pn của các giá trị có thể đó

Nếu các giá trị có thể của ĐLNN X gồm hữu hạn số x1,

a Bảng phân bố và đa giác phân bố

Nếu các giá trị có thể của ĐLNN X gồm hữu hạn số x1, x2, , xn thì các biến cố X = x1, X = x2, , X = xn lập thành một nhóm các biến cố đầy đủ xung khắc từng đôi

p

=

=

∑

Đa giác phân bố : Để rõ ràng trực quan hơn, người ta dùng hình thức đồ thị để biểu diễn luật phân bố của đại lượng ngẫu nhiên : trên trục hoành đặt những trị số có thể của đại lượng ngẫu nhiên, trên trục tung đặt những xác suất tương ứng của chúng, sau đó nối các điểm lại với nhau theo đường thẳng Hình đó được gọi là đa

a Bảng phân bố và đa giác phân bố

với nhau theo đường thẳng Hình đó được gọi là đa

giác phân bố và có dạng như sau

Ta lấy một điểm xi bất kỳ trên trục số và xét xác suất của sự kiện đại lượng ngẫu nhiên nhận những trị số nhỏ hơn xi , tức là xét P(X<xi) Rõ ràng là xác suất này hoàn toàn phụ thuộc vào điểm xi :Nếu xi biến đổi thì xác suất này biến đổi và nếu điểm xi cố định thì xác suất này là một số cụ thể Vì vậy giữa P(X<xi) và xi có 1 mối tương quan hàm số và ta ký hiệu: F (x) = P (X<x)

Tức là P (X<x) là một hàm của x và hàm đó ta gọi là hàm phân bố luỹ tích

Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là F(x) là xác

b Hàm phân bố luỹ tích

Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là F(x) là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số thực bất kỳ F (x) = P (X<x)

Hàm phân phối xác suất dùng cho cả ĐLNN liên tục và rời rạc

1 x2 xi

Tính chất của hàm phân bố luỹ tích

Tính chất 1: Hàm phân phối xác suất F(x) luôn nhận giá trị giữa

0 và 1: 0 ≤ F(x) ≤1.

suất, vì nó là một xác suất nên: 0 ≤ F(x) ≤1

Tính chất 2: Hàm phân bố luỹ tích là hàm luôn luôn đồng biến , tức là: x2 >x1 thì F (x2 )≥ F (x1)

b Hàm phân bố luỹ tích

Tính chất 3: Ta có biểu thức giới hạn sau: F(-∞) = 0; F(+∞) = 1.

Đồ thị của hàm phân bố luỹ tích

Đó là một đường luôn luôn đi lên (tính chất 2)

Nó có hai tiệm cận ngang là 2 đường F (x) = 0 và F (x)

Xác suất đại lượng ngẫu nhiên rơi trong một khoảng nào đó

Trong nhiều bài toán kỹ thuật , chúng ta cần phải tính xác suất đại lượng ngẫu nhiên nhận những trị số trong 1 khoảng nào đó thí dụ từ α đến β Chúng ta quy ước rằng bất đẳng thức: α < X <

β là diễn biến sự kiện đại lượng ngẫu nhiên X rơi trong khoảng

Định nghĩa mật độ phân bố xác suất

Chúng ta quan tâm đến xác suất đại lượng ngẫu nhiên đó nhận

X x

P

∆

∆ +

<

(

Xác suất bình quân khi ∆x → 0, tức là tính:

Giới hạn này hoàn toàn phụ thuộc vào x và ứng với 1 trị số x ta luôn có 1 trị số cụ thể tương ứng của giới hạn này Do đó giới hạn này là 1 hàm của x và được ký hiệu là f(x), hàm f (x) được gọi là mật độ phân bố xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X

Mật độ phân bố cũng là 1 cách để biểu diễn luật phân

bố xác suất của đại lượng ngẫu nhiên Mật độ phân bố chỉ dùng cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục, còn đối với đại lượng ngẫu nhiên gián đoạn , khái niệm về mật độ phân bố mất ý nghĩa , vì rằng đối với đại lượng ngẫu

b Mật độ phân bố xác suất của ĐLNN

phân bố mất ý nghĩa , vì rằng đối với đại lượng ngẫu nhiên gián đoạn , sự kiện đại lượng ngẫu nhiên rơi vào

1 khoảng nào đó mất ý nghĩa

Tính chất của hàm mật độ xác suất

Tính chất 1: Hàm mật độ xác suất luôn không âm: f(x) ≥ 0, với mọi x

đó đạo hàm của nó F’(x) = f(x) là một hàm không âm Về mặt hình học điều đó có nghĩa là đồ thị của hàm f(x) không nằm thấp hơn trục Ox.

Tính chất 2: Xác suất để đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (a,b) bằng tích phân xác định của hàm mật

độ xác suất trong khoảng đó

b Mật độ phân bố xác suất của ĐLNN

độ xác suất trong khoảng đó

Tính chất 3: Hàm phân phối xác suất F(x) của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X bằng tích phân suy rộng của hàm mật độ xác suất trong khoảng (-∞; x).

Tính chất 4: tích phân suy rộng trong khoảng (-∞;∞) của hàm mật độ xác suất bằng 1

( dx x f

Đồ thị của hàm mật độ phân bố :

Hoán toàn nằm bên trên trục hoành (do tính chất 1)

Do tính chất 4 , diện tích giới hạn bởi đồ thị của nó với trục hoành phải bằng 1 do đó hàm mật độ phải nhận trục 0X làm tiệm cận ngang

b Mật độ phân bố xác suất của ĐLNN

0X làm tiệm cận ngang

Tối thiểu phải có một cực đại

0 f(x)

III Các đặc trưng của ĐLNN

1 Kỳ vọng toán học

Định nghĩa

Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận cácgiá trị x1, x2, …, xn với các xác suất tương ứng p1,

p2,…, pn Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên x, ký hiệu

là E(X) (hay M(X)), là số được xác định bởi:

Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độxác suất f(x) Kỳ vọng của ĐLNN X được xác định bởi:

1

( )

n

i i i

Ý nghĩa:

Kỳ vọng là một trị số bình quân nào đó của đại lượng

ngẫu nhiên , mà các trị số có thể của nó dao động quanh

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên là những điểm của 1 trục số : Khi đó M[X]là một điểm nào đó nằm tương đối ở giữa , còn các trị số có thể của đại lượng ngẫu nhiên là những điểm phân bố sang 2 bên

1 Kỳ vọng toán học

thể của đại lượng ngẫu nhiên là những điểm phân bố sang 2 bên

kỳ vọng toán học không phải là trị số bình quân số học của đại lượng ngẫu nhiên , nó là 1 trị số bình quân thống kê Nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất

x1-∞

x

xi

M[X]

Số đông là trị số có khả năng xuất hiện nhất của đại lượng ngẫu nhiên

Số đông được ký hiệu bằng chữ µ Có những đại lượng ngẫu nhiên có nhiều số đông , khi đó hàm mật độ của

Định nghĩa

Phương sai của ĐLNN X, ký hiệu Var(X) hay D(X), có

kỳ vọng E(X) là kỳ vọng toán học của đại lượng ngẫu nhiên (X-E(X))2được định nghĩa bằng công thức

Var(X) = E{[X-E(X)] 2 }

Nếu X là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị có thể x1, x2, ,

3 Phương sai

Nếu X là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị có thể x1, x2, ,

xn với các xác suất tương ứng p1, p2, ,pn thì

Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) thì

Ý nghĩa:

Ta thấy X – E(X) là độ lệch khỏi giá trị trung bình nênVar(X)

= E{[X-E(X)]2} là độ lệch bình phương trung bình Do đóphương sai phản ánh mức độ phân tán các giá trị của ĐLNN chung quanh giá trị trung bình

3 Phương sai

Độ lệch tiêu chuẩn

Đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của ĐLNN Khi cần đánh giá mức độ phân tán các giá trị của ĐLNN theo đơn vị của nó, người ta dùng một đặc trưng mới đó là độ lệch tiêu chuẩn

Độ lệch tiêu chuẩn của ĐLNN X, ký hiệu là σ(X), được định nghĩa như sau

4 Độ lệch tiêu chuẩn và hệ số phân tán

như sau

Ý nghĩa: Phương sai cũng như độ lệch quân phương là những đại lượng cùng 1 bản chất, đều dùng để đánh giá độ phân tán của 1 đại lượng ngẫu nhiên so với kỳ vọng của nó

( ) X V ar( ) X

Hệ số phân tán

Để so sánh 2 đại lượng ngẫu nhiên với nhau về mức độ phân tán người ta không thể dùng các chỉ tiêu như phương sai và độ lệch tiêu chuẩn được vì 2 lý do :

tiêu chuẩn hoá chúng

4 Độ lệch tiêu chuẩn và hệ số phân tán

tiêu chuẩn hoá chúng

Khi so sánh mức độ phân tán giữa 2 đại lượng ngẫu nhiên

người ta dùng tiêu chuẩn là hệ số phân tán CV [X]

Đại lượng ngẫu nhiên nào, có hệ số phân tán lớn hơn thì nó sẽ phân tán nhiều hơn so với kỳ vọng của nó