Bài giảng dao động và điều khiển (đại học thủy lợi)

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DOMục tiêu: • Trình bày dao động tự do không tắt dần và tắt dần với cản nhớt Phương trình chuyển động; nghiệm, tần số tự nhiên tần số riêng; Độ suy

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO

Mục tiêu:

• Trình bày dao động tự do không tắt dần và tắt

dần với cản nhớt (Phương trình chuyển động; nghiệm,

tần số tự nhiên (tần số riêng); Độ suy giảm Lôgarít)

• Nghiên cứu dao động chịu kích thích điều hòa

(phương trình chuyển động đáp ứng của hệ, cộng

hưởng, hệ số phóng đại (khuếch đại hay tỉ số biên độ)

Một vài mô hình áp dụng quan trọng

• Đáp ứng của hệ với điều kiện cưỡng bức tổng

quát, đặc biệt dưới tác dụng của hệ tuần hoàn tổng quát.

NỘI DUNG:

§2.1 Dao động tự do không tắt dần của hệ một bậc tự do

• Nhận đoán hệ dao động tự do?

• Hệ một bậc tự do? Mô hình tính cho hệ một bậc tự do: Hệ khối lượng – lò xo; dao động xoắn; dao động uốn của thanh (dầm) (H.2.1.a,b,c)

• Phương trình chuyển động:

a Sử dụng định luật II Niutơn về chuyển động

b Dùng nguyên lý Đalămbe và phương pháp lực (trường hợp riêng của Nguyên lý Đalămbe)

c Dùng nguyên lý di chuyển ảo

d Dùng nguyên lý bảo toàn năng lượng

- Xác định dạng cân bằng tĩnh của khối lượng (ở đây trùng với vị trí lò xo chưa biến dạng) và tính di chuyển của khối lượng từ vị trí cân bằng tĩnh

- Vẽ sơ đồ vật rắn tự do cho khối lượng (biểu thị tất cả các lực hoạt động và phản lực liên kết tác dụng lên nó) khi cho nó một di chuyển và vận tốc theo hướng dương

- Áp dụng định luật II Niu tơn về chuyển động: Biến thiên động lượng của khối lượng bằng lực tác dụng lên nó

( )( ) d dx t

Nếu m không đổi thì:

(b)

Hình 2.2

Trong trường hợp xét, ta có:

0

mx&&+ kx =Chú ý:

Nếu xét hệ khối lượng – lò xo ở hướng thẳng đứng (H2.2b)

mx&&= −k x + δδ +W W = mg = δk δ

Ta cũng nhận được (2.2) Như vậy, khi khối lượng di chuyển theo phương thẳng đứng, ta không cần xét đến trọng lượng của nó miễn là khoảng cách x được tính từ vị trí cân bằng tĩnh của nó Phương trình (2.2) có thể đưa về dạng chuẩn:

mg w

• Dao động xoắn của trục mang đĩa (H2.1.b)

k J

n 2 0

t

J k

0

12

t n

k f

Nếu gọi độ cứng chống uốn của thanh AB là EJ; khối lượng gắn vào thanh dao động là m Khi m dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng tĩnh một đoạn y, thì lực đàn hồi của thanh tác dụng lên khối lượng là:

11

1

δ

δ11 là hệ số ảnh hưởng, phụ thuộc vào a, b và EJ Đặt lực quán

tính my&& vào khối lượng; theo nguyên lý Đalămbe, ta có:

Trình tự xác định δ : ik

- Đặt tải trọng đơn vị không thứ nguyên (ở đây là lực đơn vị

P = 1) tại điểm đặt khối lượng tập trung theo hướng di chuyển

của khối lượng

- Vẽ biểu đồ mô men uốn đơn vị M do tải trọng đơn vị P = 1 gây

ra

- Sử dụng phép nhân biểu đồ Vêresaghin

*

i k ik

M EJ

cần chú ý chia chiều dài thanh sao cho trong mỗi đoạn của M k

phải là đường thẳng Theo định lý Macxoen: δ = δ Ở trường ik kihợp đang xét ta có:

• Nghiệm (đáp ứng điều hòa) của phương trình (2.4)

Nghiệm tổng quát của phương trình (2.4) có thể viết dưới dạng:

Chẳng hạn, di chuyển x(t) và vận tốc ( )x t& được cho cụ thể tại

1 00

0tan

là 10ft Trọng lượng của két kể cả nước bằng 6.105 lb Bỏ qua khối lượng của cột và giả sử môđun đàn hồi của bê tông cốt thép

là 4.106 (lb/in.2) Xác định:

a Tần số và chu kỳ dao động ngang của két nước;

b Đáp ứng dao động của két nước khi có di chuyển ngang ban đầu là 10 in

c Giá trị vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của két nước

Bài giải: Giả sử két nước như một chất điểm (điểm khối lượng), cột có diện tích mặt cắt ngang không đổi, và bỏ qua khối lượng của cột; hệ có thể được mô hình hóa như một dầm côngxon chịu tải trọng đúng tâm (trọng lực) tại đầu tự do như được biểu diễn trên hình 2.4(b)

a Biến dạng ngang của dầm, δ, do tải trọng P gây ra là

3

3

Pl

EI ,

với l là chiều dài của dầm, E là modul đàn hồi, và I là mômen

quán tính diện tích của mặt cắt ngang dầm Độ cứng của dầm (cột của két nước) được xác định bởi

HÌNH 2.4 Két nước (Ảnh tư liệu của Công ty West Lafayette.)

b Sử dụng di chuyển ban đầu x0 =10 in và vận tốc ban đầu của két nước ( )x& bằng không, dao động điều hòa của két nước 0

có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng phương trình (2.23)

Ví dụ 2.2: Đáp ứng dao động tự do gây ra bởi va chạm

Một dầm côngxon mang khối lượng M tại đầu tự do như trong hình 2.5(a) Một khối lượng m rơi từ độ cao h vào khối lượng M

và gắn chặt vào nó mà không nẩy lên Xác định dao động ngang tổng hợp của dầm

Bài giải: Khi khối lượng m rơi xuống từ độ cao h, nó sẽ đập vào khối lượng M với vận tốc v m = 2gh , với g là gia tốc trọng trường Vì khối lượng m gắn chặt vào M mà không nẩy lên, vận

tốc của khối lượng kết hợp (M + m) ngay sau khi va chạm ( )x& có 0

thể tìm được nhờ nguyên lý bảo toàn động lượng:

k như trong hình 2.5(c) Ở đây k biểu thi độ cứng của

dầm côngxon, được xác định bởi: k 3EI3

l

=

HÌNH 2.5 Đáp ứng gây ra bởi va chạm

Vì dao động tự do của dầm với khối lượng mới (M + m) xảy ra quanh vị trí cân bằng tĩnh của nó, các điều kiện đầu của bài toán

có thể được phát biểu như sau

§2.2 Dao động tự do với tắt dần nhớt của hệ một bậc tự do

• Phương trình chuyển động

Hệ giảm chấn - khối lượng – lò xo (H2.6.a.b)

Như đã biết trong chương I, lực tắt dần nhớt F tỷ lệ với vận tốc x&

hay v, có thể biễu diễn:

HÌNH 2.6 Hệ một bậc tự do đơn giản với tắt dần nhớt

Hệ xoắn với tắt dần nhớt ( H2.7a,b)

HÌNH 2.7 Giảm chấn nhớt xoắn

Phương trình chuyển động viết ở dạng:

J &&θ + θ + θ =c & k (2.20) Trong đó: ct là hằng số tắt dần nhớt khi xoắn; θ di chuyển góc của đĩa, d

dt

θ

θ =& vận tốc góc của đĩa, Jo mômen quán tính khối lượng của đĩa, kt hằng số lò xo của hệ (mômen xoắn phục hồi trên một đơn vị di chuyển góc)

• Nghiệm (đáp ứng) của phương trình (2.19)

a Giả sử nghiệm phương trình có dạng: ( )x t = Ce st;thay vào phương trình (2.19) ta được phương trình đặc trưng:

2

0

Nghiệm của (2.21) là:

2 2

- Hằng số tắt dần tới hạn cc là giá trị của hằng số tắt dần C khi

căn số trong phương trình (2.22) bằng không:

02

c

c c

tantan

C C

C C

HÌNH 2.8 Nghiệm tắt dần yếu

Trường hợp tắt dần yếu là rất quan trọng khi nghiên cứu dao động cơ học, vì chỉ có trường hợp này hệ mới dẫn tới dao động

(*) Trường hợp 2: Hệ tắt dần tới hạn, ζ =1 (hoặc c = cc, hoặc 2

x t = x + x& + ω x t e −ω (2.36) Vậy chuyển động là không tuần hoàn và cuối cùng giảm về không

(*) Trường hợp 3: Hệ tắt dần mạnh, ζ >1 (hoặc c>cc; hoặc 2

m > m ) Trong trường hợp này, nghiệm của phương trình (2.27) với điều kiện ban đầu x(t) = 0 = x0 và x t&( = 0) = x&0 có dạng:

Phương trình (2.27) chỉ ra rằng, chuyển động cũng không tuần hoàn; chuyển động giảm dần theo thời gian dưới dạng hàm số mũ:

• Độ suy giảm lôgarít

Độ suy giảm lôgarít biểu diễn suy giảm biên độ dao động tự do tắt dần Nó là lôgarít tự nhiên của tỷ số hai biên độ liên tiếp bất

Khi biết δ, có thể tìm được ζ từ các phương trình trên

• Các ví dụ áp dụng:

Ví dụ 2.3: Đáp ứng của Đe búa rèn (H.2.9 a,b) (VD2.10)

Đe của một búa rèn có trọng lượng 5000 N được đặt trên nền có

độ cứng 6

5 10× N/m và có hằng số tắt dần nhớt là 10000 Ns/m Trong quá trình gia công, búa trọng lượng 1000 N được thả rơi

tự do từ độ cao 2 m xuống mặt đe (hình 2.9a) Nếu đe đứng yên ngay trước khi va chạm vào mặt nện, xác định đáp ứng của đe ngay sau khi va chạm Giả sử rằng hệ số khôi phục giữa đe và mặt nện là 0.4

HÌNH 2.9 Búa rèn

Bài giải: Trước tiên ta sử dụng nguyên lý bảo toàn động lượng

và dựa vào hệ số khôi phục để xác định vận tốc ban đầu của đe

Gọi vận tốc tốc của búa ngay trước khi va chạm và ngay sau khi

va chạm lần lượt là v và t1 v Tương tự, gọi t2 v và a1 v lần lượt là a2

vận tốc của đe ngay trước khi va chạm và ngay sau khi va chạm (hình 2.9b) Chú ý rằng di chuyển của đe được đo từ vị trí cân bằng tĩnh của nó và giả sử tất cả các vận tốc có chiều dương hướng xuống dưới Từ nguyên lý bảo toàn động lượng, ta có

( a a ) ( t t )

M v − v = m v − v (E.1) trong đó v a1 = (đe đứng yên trước khi va chạm) và 0 v có thể t1

xác định từ biểu thức động năng của búa ngay trước va chạm bằng thế năng trước khi rơi xuống từ độ cao h = m: 2

2 11

2 mv t = mgh (E.2)

hay v t1 = 2gh = 2 9.81 2× × = 6.26099m/s

Do đó, phương trình (E.1) trở thành

5000 ( 2 0) 1000 (6.26099 2)

9.81 v a − = 9.81 − v thay

510.204082v a = 638.87653 102.040813− v t (E.3) Định nghĩa của hệ số khôi phục ( )r cho ta:

ta được

v a2 = v t2 + 2.505396 (E.5) Giải các phương trình (E.3) và (E.5) thu được:

5 10

98.9949495000

9.81

n

k M

Ví dụ 2.4: (H2.10.a,b) Thiết bị giảm xóc của xe máy (Xem

ví dụ 2.11)

HÌNH 2.10 Bộ giảm sóc của xe máy

§2.3 Dao động kích thích điều hòa

2.3.2 Đáp ứng của hệ không tắt dần chịu kích thích điều hòa

• Xét hệ không tắt dần chịu lực tác dụng điều hòa hình cosin: F(t) = F0cosωt vào khối lượng m Phương trình (2.40) có dạng:

0 cos

mx&&+ kx = F ωt (2.41) Nghiệm tổng quát của phương trình (2.41), x(t) là tổng của nghiệm của phương trình thuần nhất, xh(t) và nghiệm riêng xp(t) của phương trình (2.41)

( ) ( )

1cos 2 sincos

Trong đó, X là hằng số chỉ biên độ cực đại của xp(t) Để xác định

X, thay xp(t) vào (2.41) và giải theo biến X, ta được:

0

2 2

01

st

F X

δ = độ lệch tĩnh (độ lệch của khối lượng dưới tác dụng của lực F0 không đổi (tĩnh) Vậy:

Hình 2.12 Hệ số phóng đại của hệ không tắt dần

/ st

( / n)

 

Do xp (t) và F(t) có dấu ngược nhau, đáp ứng này lệch pha 1800

so với lực kích thích ngoài Hơn nữa khi , 0

Hình 2.13 Đáp ứng của hệ khi 1

n

ω Như vậy, đáp ứng của hệ khi xảy ra cộng hưởng, x(t), tăng vô hạn Số hạng cuối của (2.50) thường gọi là số hạng đặc tính,

được minh hoạ trong H2.13, cho ta biên độ đáp ứng tăng bậc nhất theo thời gian

• Đáp ứng toàn phần và hiện tượng phách

Đáp ứng toàn phần của hệ, phương trình (2.44) hoặc (2.45) có thể viết ở dạng:

n

n

t n

 

(2.51)

Như vậy, chuyển động đầy đủ được biểu diễn bằng tổng hai đường cosin có tần số khác nhau:

Khi tần số lực tác dụng rất gần tần số dao động riêng, biên độ dao động tăng rồi giảm dần đều đặn, một hiện tượng xảy ra gọi

là hiện tượng phách

• Các ví dụ áp dụng

Ví dụ 2.5: (H2.14) Tấm đỡ máy bơm - xem ví dụ 3.1

Hình 2.14 Tấm đỡ máy bơm không cân bằng Bài giải:

Có thể mô hình hóa tấm bằng một dầm cố định 2 đầu với

( )E = 30 10× psi, dài ( )l = 100 in., và mômen quán

tính tiết diện 1 3 4

( ) (20)(0,5) 0, 2083

12

I = = in Độ cứng chống uốn của dầm cho bởi

2.3.3 Đáp ứng của hệ tắt dần chịu lực điều hòa

• Nếu hàm lực cho F(t) = F0cosωt, phương trình chuyển động (2.40) có dạng:

0 cos

mx&&+ cx& + kx = F ωt (2.52) Nghiệm của (2.52) cũng có dạng điều hòa, ta giả thiết lấy dạng:

( )

0

1/ 2 2

2 2 2

F X

ω = tần số dao động riêng không tắt dần

n

r r

δ

=

δ được gọi là hệ số phóng đại (khuếch đại) hay

tỷ số biên độ Sự biến thiên của M và φ theo r được cho trong (H2.15)

(a) (b)

HÌNH 2.15 Sự biến thiên của /X δ và st φ theo tỷ số tần số r

• Các đặc tính của hệ số khuếch đại (M): Được suy ra từ phương trình (2.56) và đồ thị (2.15a), còn đặc tính của góc pha được suy

ra từ phương trình (2.57) và đồ thị (2.15b) (sinh viên đọc trong sách)

• Đáp ứng toàn phần: Nghiệm đầy đủ được cho bởi:

• Các ví dụ áp dụng:

Ví dụ 2.6: Đáp ứng toàn phần của hệ – xem ví dụ 3.2

2.3.4 Đáp ứng của hệ tắt dần chịu tác dụng của hàm lực

Trong đó: x(t) là đại lượng phức; F0 nói chung là số phức Do kích thích thực sự cho bởi phần thực của F(t), nên đáp ứng của

hệ cũng chỉ được biểu diễn bởi phần thực của x(t)

Giả sử nghiệm riêng xp(t) có dạng:

F X

Nhân tử và mẫu của vế phải phương trình (2.62) với [(k - mω2) - iωc] rồi tách phần thực và phần ảo Sau đó sử dụng các hệ thức:

1/ 2 2

( )

i t p

2 0

2.3.5.a Đáp ứng của hệ tắt dần phụ thuộc vào chuyển động điều hòa của nền hay giá đỡ

• Nền hay giá đỡ của hệ khối lượng – lò xo – giảm chấn thực hiện chuyển động điều hòa (H2.1.a) Gọi y(t) là di chuyển của nền hay giá đỡ và x(t) là di chuyển của khối lượng m từ vị trí cân bằng tĩnh của hệ tại thời điểm t Sơ đồ vật rắn tự do của hệ được biểu diễn trên (H2.16b) Phương trình chuyển động sẽ là:

mx&&+ c x& − y& + k x − y = (2.68)

Hình 2.16 Kích thích nền

Nếu cho y(t) = Y sin ωt, thì (2.68) sẽ trở thành:

• Hệ số truyền di chuyển Td: Theo kết quả phần trên, đáp ứng bình ổn của khối lượng xp(t) có dạng:

2 2

1 1/ 2

và (2.74) ứng với các giá trị khác nhau của r và ζ cho bởi các đồ thị tương ứng (H 2.17 a,b)

HÌNH 2.17 Biến thiên của T và d φ theo r

Hệ

số truyền

di chuyển

(b)

Như biểu diễn trong (H2.16), một lực F sẽ được truyền đến nền hay giá đỡ do phản lực của lò xo và bộ giảm chấn Nó được xác định bằng:

F = k x − y + c x& − y& = −mx&& (2.77)

Có thể viết lại (2.77) trên cơ sở ( 2.72) như sau:

2

F = ωm X ω − φ =t F ω − φ t (2.78a) Trong đó FT là biên độ hay giá trị cực đại của lực truyền đến nền

Tỷ số F T

kY được gọi là hệ số truyền lực và cho bởi hệ thức:

1/ 2 2

2

1 (2 )(1 ) (2 )

Sự biến thiên của lực truyền tới nền hay giá đỡ theo tỷ số tần số

r ứng với các giá trị khác nhau của ζ được biểu diễn trong (H2.18)

• Chuyển động tương đối

Nếu z = x - y biểu thị chuyển động tương đối của khối lượng m đối với nền hay giá đỡ, thì phương trình chuyển động (2.68) khi này có dạng:

Chuyển động của nền

MX me

Sự quay không cân bằng

có bước sóng là 6 m

HÌNH 2.20 Xe chuyển động trên mặt đường gồ ghề

Mặt đường

Một chu kỳ

Bài giải: Tần số ω của kích thích nền được tính bằng cách lấy tốc độ của xe v km/h chia cho chiều dài một chu kỳ lồi lõm của mặt đường:

400 10

18, 2574 rad/s1200

n

k m

Có thể tính được tỉ số biên độ từ phương trình (2.73):

Ví dụ 2.8 Máy đặt trên nền đàn hồi - Xem ví dụ 3.4

Một máy nặng, trọng lượng 3000 N, được đỡ trên nền đàn hồi Biến dạng tĩnh của nền do trọng lượng của máy là 7,5 cm Người

ta quan sát thấy máy dao động với biên độ 1 cm khi đáy nền dao động điều hòa ở tần số tự nhiên không tắt dần với biên độ 0,25

cm Hãy tìm (a) hằng số tắt dần của nền, (b) biên độ của lực động lực tác dụng lên đáy nền, và (c) biên độ di chuyển của máy tương đối so với đáy nền

Bài giải:

a.Có thể tính độ cứng của nền qua biến dạng tĩnh:

k = trọng lượng máy/δ = 3000/0,075 = 40.000 N/m stKhi cộng hưởng (ω = ωn hay r = Phương trình (2.73) cho 1)

1/ 2 2

 + ζ 

ζ

  (E.1) Giải phương trình (E.1) ta được ζ = 0,1291 Hằng số tắt dần cho bởi

1/ 2 2

2

1 4

40.000 0, 01 4004

Z ≠ X − Điều này là do sự lệch pha giữa Y x, y, và z

2.3.5b Đáp ứng của hệ tắt dần quay lệch tâm

• Sự không cân bằng của máy móc khi quay là nguyên nhân chính gây ra dao động Một mô hình đơn giản được thể hiện